Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki

Transkrypt

1 Politechika dańska Wydział Elektrotechiki i Automatyki Katedra Iżyierii Systemów Sterowaia Podstawy Automatyki Charakterystyki częstotliwościowe Nyquist'a i Bode'a Materiały pomocicze do ćwiczeń termi T9 i T Opracowaie: Kazimierz Duzikiewicz, dr hab. iż. Michał rochowski, dr iż. Robert Piotrowski, dr iż. Tomasz Rutkowski, dr iż.

2 Podstawowe charakterystyki częstotliwościowe Metody charakterystyk częstotliwościowych są popularymi metodami aalizy i sytezy liiowych układów regulaci. Metody charakterystyk częstotliwościowych są uważae za metody graficze w odróżieiu od metod charakterystyk czasowych, które związae są bezpośredio z rówaiami różiczkowymi i są zasadiczo oparte a podeściu aalityczym. Zasadiczą cechą metod charakterystyk częstotliwościowych est to, że opis układu est day w kategoriach ego odpowiedzi ustaloe a siusoidalie zmiey sygał weściowy. Jeżeli układ est liiowy, odpowiedź układu będzie siusoidala o te same częstotliwości, co weście, ale o ie amplitudzie i przesuięta w fazie; eżeli układ est ieliiowy, odpowiedź układu będzie dodatkowo zawierała wyższe harmoicze i czasem podharmoicze. Drugą ważą cechą metod częstotliwościowych est to, że widmowa fukca prześcia (trasmitaca widmowa) opisuąca ustaloą odpowiedź układu a wymuszeie siusoidale może być otrzymaa z operatorowe fukci prześcia (trasmitaci operatorowe), przez podstawieie zmiee ω w miesce zmiee s. s s () W aalizie i sytezie liiowych układów regulaci (liiowych układów sterowaia ze sprzężeiem zwrotym) szczególie populare są astępuące metody graficzego przedstawiaia trasmitaci widmowe (ω):. charakterystyki amplitudowo-fazowe (wykresy Nyquist a, wykresy bieguowe) wykresy zależości modułu trasmitaci widmowe w fukci przesuięcia fazowego w układzie współrzędych bieguowych przy zmiaie ω od zera do ieskończoości ako parametru a tych wykresach;. charakterystyki Bode a (wykresy logarytmicze, kątowe) wykresy zależości modułu trasmitaci widmowe w decybelach w fukci logω (lub ω) oraz kąta przesuięcia fazowego w fukci logω (lub ω) w prostokątym układzie współrzędych; 3. charakterystyki moduł faza wykresy zależości modułu trasmitaci widmowe w decybelach w fukci przesuięcia fazowego w prostokątym układzie współrzędych przy zmiaach ako parametru a tych wykresach. Charakterystyki amplitudowo fazowe (Nyquist'a) Charakterystyki amplitudowo-fazowe są używae przede wszystkim w aalizie i proektowaiu układów realizowaych z wykorzystaiem kryterium Nyquist a. Załóżmy, że mamy elemet układu regulaci o trasmitaci widmowe. Aby arysować charakterystykę amplitudowo-fazową tego elemetu powiiśmy przedstawić, traktuąc ą ako liczbę zespoloą w postaci: trasmitacę (i) wykładicze: lub (ii) algebraicze: e () P Q (3) Dale sporządzeie charakterystyki amplitudowo-fazowe związae est z przeprowadzeiem obliczeń służących zestawieiu tabeli puktów wykresu. Moża do tego celu posłużyć się wykoaymi wcześie charakterystykami Bode a.

3 Sporządzaie charakterystyki amplitudowo-fazowe zilustruemy a przykładzie. Zadaie Daa est trasmitaca operatorowa: s e 5 (4) s 5s Rozwiązaie Zadaia 5 e 5 (5) 5 (6) 5 9 arctg5 (7) W oparciu o przytoczoe zależości możemy utworzyć tabelę daych dla sporządzeia wykresu amplitudowo fazowego: ω [s - ] (ω) [-] Arg(ω) [deg] ω [s - ]..4 (ω) [-].68.5 Arg(ω) [deg] Charakterystyka amplitudowo fazowa elemetu o trasmitaci została a Rysuku. przedstawioa 3

4 Rysuek. Wykres bieguowy do Zadaia Charakterystyki logarytmicze (Bode a) Charakterystyki Bode a są ią użyteczą formą graficzego przedstawiaia trasmitaci widmowe a dwóch wykresach pierwszym, z modułem trasmitaci w zależości od logω (lub ω) i drugim, z kątem przesuięcia fazowego trasmitaci w zależości od logω (lub ω). Charakterystyki Bode a maą astępuące zalety: (i) Iloczyy czyików w wyrażeiu staą się sumami składików, poieważ używay est zapis logarytmiczy. (ii) Kształty charakterystyk Bode a aczęście spotykaych trasmitaci elemetów układów regulaci pozwalaą a ogół a ich przybliżoe przedstawieie za pomocą tak zwaych asymptotyczych charakterystyk Bode a. (iii) Poieważ wykresy Bode a są proste w kostrukci (szczególie asymptotycze), mogą oe służyć ako źródło daych przy rysowaiu wykresów bieguowych lub moduł faza. W edym z poprzedim ćwiczeń pozaliśmy trasmitace elemetarych człoów liiowych. Weźmy takie połączeie tych człoów, że ich wypadkowa trasmitaca widmowa będzie miała postać: K l i q T i T q m k r k r k k e r r T d (8) Moduł wyrażoy w decybelach otrzymamy możąc logarytm dziesięty modułu przez : 4

5 5 r r r r q q m k k k k i i db log T log log T log log l K log log (9) Wyrażeie określaące kąt przesuięcia fazowego ma postać: q l r r r r q m k k k k i i T arctg T arctg arctg T arctg 9 l Arg () Ostatie dwa rówaia pokazuą, że moduł i przesuięcie fazowe trasmitaci składaą się z pięciu prostych składików: () Stałe K () Zer lub bieguów w początku układu współrzędych,,,l l (3) Poedyczych rzeczywistych zer lub bieguów T (4) Sprzężoych zespoloych zer lub bieguów (5) Opóźieia trasportowego e T l Korzyści ze stosowaia wykresów logarytmiczych są oczywiste, poieważ każdy z pięciu rodzaów składików moża traktować ako oddziely wykres. Wykresy te ależy astępie odpowiedio dodać lub odąć w zależości od tego, aki est ich wkład w moduł i przesuięcie fazowe.

6 Podstawowe charakterystyki częstotliwościowe człoów elemetarych Omówimy pięć wymieioych wyże rodzaów składików charakterystyk Bode a i przedstawimy odpowiadaące im charakterystyki amplitudowo fazowe, awiązuąc edocześie do przedstawioych wcześie trasmitaci elemetarych człoów liiowych. Stała elemet proporcoaly Składik: stała K odpowiada elemetowi o trasmitaci: czyli, elemetowi proporcoalemu. e K Charakterystyki Bode a takiego elemetu określoe są zależościami: K db log K cost (a) K deg (b) Charakterystyki Bode a dla stałe K, przy półlogarytmicze podziałce osi, pokazae są a Rysuku. Rysuek. Charakterystyki Bode a dla stałe K Z porówaia: widać, że: e K P Q K P (c) Q (d) Charakterystyka amplitudowo-fazowa dla elemetu stała, przy pulsaci zmieiaące się od do ma postać puktu położoego a osi Re. 6

7 Zera lub bieguy w początku układu współrzędych elemet różiczkuący lub całkuący (idealy) Składik: zera lub bieguy w początku układu współrzędych odpowiada elemetowi o trasmitaci: lub: e e l - zera w początku układu współrzędych l - bieguy w początku układu współrzędych czyli, dla l est to opis elemetu różiczkuącego idealego, a dla l - elemetu całkuącego idealego. Dla l est to opis elemetów wielokrotego idealego różiczkowaia lub całkowaia. Charakterystyki Bode a takiego elemetu określoe są zależościami: l l log l log db l l 9deg (a) (b) Charakterystyki Bode a dla elemetów l przy półlogarytmicze podziałce osi, pokazae są a rys. 3. Weźmy l. Z porówaia: e P Q widać, że: P Q Charakterystyka amplitudowo-fazowa dla elemetu poedycze zero w początku układu współrzędych, przy pulsaci zmieiaące się od do est półprostą rozpoczyaącą się w początku układu współrzędych i pokrywaącą się z dodatią częścią osi Im. Jeżeli weźmiemy l, to z porówaia: widać, że: e P Q P Q Charakterystyka amplitudowo-fazowa dla elemetu podwóe zero w początku układu współrzędych, przy pulsaci zmieiaące się od do est półprostą rozpoczyaącą się w początku układu współrzędych i pokrywaącą się z uemą częścią osi Re. 7

8 Ogólie dla ieparzystych a dla parzystych Rysuek 3. Charakterystyki Bode a dla elemetów l,4, l,3, możemy apisać: Q Q P P l ; l ; l P (c) dla l,5, dla l 3,7, (d) l ; dla l,6, (e) l ; dla l 4,8, Q (f) Charakterystyki Nyquist a dla elemetu l pokazae są a Rysuku 4, atomiast dla elemetu l a Rysuku 5. 8

9 Imagiary Axis Imagiary Axis x 5 Nyquist Diagram Real Axis x 7 Rysuek 4. Charakterystyki Nyquist a dla elemetu l 4 x Nyquist Diagram Real Axis x 3 Rysuek 5. Charakterystyki Nyquist a dla elemetu l 9

10 Poedycze zera lub bieguy rzeczywiste Składik poedycze zera lub bieguy rzeczywiste odpowiada elemetowi o trasmitaci: lub: e e T - zero rzeczywiste T - biegu rzeczywisty Charakterystyki Bode a takiego elemetu określoe są zależościami: T log T log T db Arg T arctg T (3a) (3b) Zasady rysowaia asymptotyczych charakterystyk Bode a dla tego rodzau elemetu są astępuące: (i) Charakterystyka amplitudowa Pukt przecięcia asymptot: T Asymptota iskich częstości: Prosta pozioma o module db Asymptota wysokich częstości: T Prosta o achyleiu db/dekadę przechodząca przez pukt (/T[s - ],[db]) (ii) Charakterystyka fazowa Asymptota iskich częstości: Prosta pozioma deg T a Asymptota wysokich częstości: Prosta pozioma 9deg b Przybliżeie prostoliiowe dla częstości: Prosta łącząca pukty ( a [s - ],deg) i ( b [s - ],9deg) Częstości a i b wylicza się z formuły: a b b e a 4.8 (4) Charakterystyki Bode a dla elemetu (+ Tω) ± rzeczywiste i asymptotycze pokazae są a Rysuku 6.

11 Rysuek 6a,b Charakterystyki Bode a modułu rzeczywiste i asymptotycze dla elemetu (+ Tω) ± i charakterystyka błędu modułu wykresu asymptototyczego

12 Rysuek 6c,d Charakterystyki Bode a modułu i fazy rzeczywiste i asymptotycze dla elemetu (+ Tω) ± Charakterystyki Nyquist a dla elemetu T elemetu T a Rysuku 8. pokazae są a Rysuku 7, atomiast dla

13 Imagiary Axis Imagiary Axis T = T = T 3 = 5 Nyquist Diagram Real Axis Rysuek 7. Charakterystyki Nyquist a dla elemetu T.8.6 T = T = T 3 = 5 Nyquist Diagram Real Axis Rysuek 8. Charakterystyki Nyquist a dla elemetu T 3

14 4 Sprzężoe zespoloe zera lub bieguy Składik sprzężoe zespoloe zera lub bieguy odpowiada elemetowi o trasmitaci: e - zera sprzężoe lub: e - bieguy sprzężoe Charakterystyki Bode a takiego elemetu określoe są zależościami: db log log (5a) arctg Arg (5b) Zasady rysowaia asymptotyczych charakterystyk Bode a dla tego rodzau elemetów są astępuące: (i) Charakterystyka amplitudowa Pukt przecięcia asymptot: = Asymptota iskich częstości: Prosta pozioma o module db Asymptota wysokich częstości: Prosta o achyleiu 4dB/dekadę, przechodząca przez pukt ( [s - ],[db]) (ii) Charakterystyka fazowa Asymptota iskich częstości: a Prosta pozioma deg Asymptota wysokich częstości: b Prosta pozioma 8deg Przybliżeie prostoliiowe dla częstości: b a Prosta łącząca pukty ( a [s - ],deg) i ( b [s - ],8deg) Częstości a i b wylicza się z formuły: 4.8 e b a (6)

15 5 Charakterystyki Bode a dla elemetu rzeczywiste i asymptotycze pokazae są a Rysuku 9. Rysuek 9a. Charakterystyki Bode a modułu rzeczywiste i asymptotycze dla elemetu Rysuek 9b,c. Charakterystyka błędu modułu wykresu asymptotyczego i charakterystyki Bode a fazy rzeczywiste i asymptotycze dla elemetu

16 6 Rysuek 9d. Charakterystyki Bode a rzeczywiste i asymptotycze dla elemetu Charakterystyki Nyquist a dla elemetu pokazae są a Rysuku, atomiast dla elemetu a Rysuku.

17 Imagiary Axis Imagiary Axis 8 3 Nyquist Diagram T = T = T 3 = Real Axis x 6 Rysuek a. Charakterystyki Nyquist a dla elemetu wartości oraz różych wartości T dla stałych 6 4 Nyquist Diagram =, =, 3 =, Real Axis x 5 Rysuek b. Charakterystyki Nyquist a dla elemetu wartości T oraz różych wartości dla stałych 7

18 Imagiary Axis Imagiary Axis.5 T = T = T 3 = 3 Nyquist Diagram Real Axis Rysuek a. Charakterystyki Nyquist a dla elemetu dla stałych wartości oraz różych wartości T 6 4 =, =, 3 =,3 Nyquist Diagram Real Axis Rysuek b. Charakterystyki Nyquist a dla elemetu dla stałych wartości T oraz różych wartości 8

19 Opóźieie trasportowe Składik opóźieia trasportowego odpowiada elemetowi o trasmitaci: e Td e Charakterystyki Bode a takiego elemetu określoe są zależościami: e db T e Td T d log (7a) Arg d (7b) Charakterystyki Nyquist a takiego elemetu określoe są zależościami: P Re k cost Q Im k sit P Q k cos T si (8a) (8b) T k (8c) 9