Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji asymptoty i ciągłość Definicja sąsiedztwo punktu. Niech 0 a b R r > 0. Sąsiedztwem o promieniu r punktu 0 nazywamy zbiór S 0 r = 0 r 0 0 0 + r; Można je podzielić na sąsiedztwo lewostronne S 0 r = 0 r 0 oraz sąsiedztwo prawostronne S + 0 r = 0 0 + r. Analogicznie definiujemy sąsiedztwo jako S = b oraz sąsiedztwo + czyli S = a. Definicja Heinego granicy właściwej funkcji. Niech 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S 0. Mówimy że liczba g jest granicą właściwą funkcji f w punkcie 0 wtedy i tylko wtedy gdy n S0 n = 0 = f n = g. Symbolicznie zapisujemy to f = g. 0 Analogicznie definiuje się prawostronną i lewostronną granicę właściwą funkcji: 0 + 0 f = g n S 0 n = 0 = f n = g f = g n S + 0 n = 0 = f n = g oraz granice właściwe w ± : f = g n S f = g n S n = = n = g n = = n = g Definicja 3 Heinego granicy niewłaściwej funkcji. Analogicznie jak wcześniej definiujemy granice niewłaściwe w punkcie: f = n S0 n = 0 = f 0 n =
0 + 0 f = n S 0 n = 0 = f n = f = n S + 0 n = 0 = f n = f = n S0 n = 0 = f 0 n = f = n S 0 n = 0 = f n = 0 + 0 oraz w ± : f = n S + 0 n = 0 = f = n S f = n S f = n S f = n S f n = n = = n = n = = n = n = = n = n = = n = Definicja 4 Cauchy ego granicy właściwej funkcji. Niech 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S 0. Mówimy że liczba g jest granicą właściwą funkcji f w punkcie 0 wtedy i tylko wtedy gdy ε>0 δ>0 S0 0 < δ = f g < ε. Symbolicznie zapisujemy to 0 f = g. Analogicznie definiuje się prawostronną i lewostronną granicę właściwą funkcji: 0 f = g ε>0 δ>0 S 0 δ < 0 < 0 = f g < ε + 0 f = g ε>0 δ>0 S + 0 0 < 0 < δ = f g < ε oraz granice właściwe w ± : f = g ε>0 R>0 S > R = f g < ε f = g ε>0 R>0 S < R = f g < ε Definicja 5 Cauchy ego granicy niewłaściwej funkcji. Analogicznie jak wcześniej definiujemy granice niewłaściwe w punkcie: 0 f = M>0 δ>0 S0 0 < δ = f > M
0 + 0 f = M>0 δ>0 S 0 δ < 0 < 0 = f > M f = M>0 δ>0 S + 0 0 < 0 < δ = f > M 0 f = M>0 δ>0 S0 0 < δ = f < M 0 + 0 oraz w ± : f = M>0 δ>0 S 0 δ < 0 < 0 = f < M f = M>0 δ>0 S + 0 0 < 0 < δ = f < M f = M>0 R>0 S > R = f > M f = M>0 R>0 S < R = f > M f = M>0 R>0 S > R = f < M f = M>0 R>0 S < R = f < M Twierdzenie. Odpowiadające sobie definicje Cauchy ego i Heinego granic funkcji są równoważne. Zadanie. Podać odpowiednią definicję granicy funkcji a następnie korzystając z niej wykazać: a + 3 = 5 b 4 3 8 = 4 c 5 5 = 0 d + = e = f = 4 g 0 + = h 0 sin = 0 i cos = 0 j tg = 4 k ln = 0 + l = m 3 = n tg nie istnieje o sin nie istnieje. Twierdzenie o arytmetyce granic funkcji. Jeżeli funkcje f i g mają granice właściwe w punkcie 0 to. 0 f ± g = 0 f ± 0 g. 0 c f = c f c R 0 3
3. f g = f g 0 0 0 4. 0 f = 0 f g 0 g jeśli 0 g 0 g 5. f g = f 0. 0 0 Powyższe twierdzenia są prawdziwe również dla granic jednostronnych w punkcie 0 oraz granic w ±. Twierdzenie 3 o granicy funkcji złożonej. Jeżeli funkcje f i g spełniają warunki f = y 0 S0 0 f y 0 oraz gy = p 0 y y 0 to 0 g y = p 0. Powyższe twierdzenie jest prawdziwe również dla pozostałych typów granic. Twierdzenie 4 o trzech funkcjach. Jeśli funkcje f g h spełniają warunki S0 f g h 0 f = 0 h = g to 0 g = g. Powyższe twierdzenie jest prawdziwe również dla pozostałych typów granic. Twierdzenie 5 o dwóch funkcjach. Jeśli funkcje f g spełniają warunki S0 f g 0 f = + / 0 g = to g = + / f =. 0 0 Powyższe twierdzenie jest prawdziwe również dla pozostałych typów granic. Twierdzenie 6 zamiana granic funkcji. Granice funkcji w punkcie lub nieskończoności można zastąpić granicami: f = fu + 0 0 u 0 f = f ± u 0 ± u 4
Zadanie. Obliczyć granice: a 0 + e cos 9 b 3 + 3 c 4 d + e 6 + 5 3 8 f 4 g 3 3 7 3 7 3 + h + 4 3 + + 6 i 5 3 + 8 4 4 + j 5 5 + 3 k 4 5 + 3 l 4 m 3 + + 3 + n 3 + o 3 p 3 + + 3 + q 3 + r 3 + s + t e + e u e e e + e v e e w + 3 + 3 y + z + aa 55 + + 7 ab 0 ac ad ae af ag ah ai aj ak 3 + 5 3 4 e + e 0 3 + 3 + 5 + 3 + 5 + 3 + 7 + + + + + + 4 + al am + 3 0 + 5 + 3 + 3 0 5 + 3 an + +3 0 ao 0 e ap 0 sin5 9 sin aq ar sin as 0 tg at 0 tg 4 au 0 sin av 0 sin sin3 aw sin3 0 + sin5 a cos arcsin ay 0 sin az 0 cos ba 0 cos sin5 bb 0 + 3 3 bc bd arctg 3 + arctg 3 + 3 + 3 5
be bf bg arctg + arctg arccos 0 5 + 3 5 + 3 sin bh arccos 0 + sin bi tg bj cos 0 bk cos sin. Definicja 6 asymptota pionowa. Prosta = a jest asymptotą pionową funkcji f gdy f = ± jest to asymptota pionowa lewostronna a f = ± jest to asymptota pionowa prawostronna a + a f = ± jest to asymptota pionowa obustronna. Definicja 7 asymptota ukośna. Jeżeli y = A ± + B ± tzn. dla A + B + lub A B jest asymptotą ukośną wtedy i tylko wtedy gdy [f A + + B + = 0 asymptota ukośna w + prawostronna + [f A + B = 0 asymptota ukośna w lewostronna ± [f A + B = 0 asymptota ukośna obustronna. Jeśli A ± = 0 to prostą y = B ± nazywamy asymptotą poziomą. Twierdzenie 7 warunek istnienia asymptoty ukośnej. Prosta y = A ± + B ± jest asymptotą ukośną funkcji f wtedy i tylko wtedy gdy A + = A = f + f oraz B + = + [f A +] oraz B = [f A ]. Zadanie 3. Znaleźć asymptoty poniższych funkcji: a f = + arctg b f = + arctg + c f = d f = 3 e f = f f = 3 +8 4 g f = sin h f = arctg i f = arccos j f = ln k f = ln 3 l f = ln 3. 6
Definicja 8 otoczenie punktu. Niech 0 R r > 0. Otoczeniem o promieniu r punktu 0 nazywamy zbiór O 0 r = 0 r 0 + r; Można je podzielić na otoczenie lewostronne O 0 r = 0 r 0 ] oraz otoczenie prawostronne O + 0 r = [ 0 0 + r. Definicja 9 ciągłości funkcji. Niech 0 D f R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu O 0 D f. Funkcja f jest ciągła w punkcie 0 wtedy i tylko wtedy gdy 0 f = f 0 tzn. jeżeli spełniony jest jeden z poniższych warunków. Definicja 0 ciągłości funkcji w sensie Heinego. Jeśli funkcja f spełnia warunek n O 0 n = 0 = f n = f 0 to jest ciągła w sensie Heinego w punkcie 0 O 0. Definicja ciągłości funkcji w sensie Cauchy ego. Jeśli funkcja f spełnia warunek ε>0 δ>0 O0 [ 0 < δ = f f 0 < ε] to jest ciągła w sensie Cauchy ego w punkcie 0 O 0. Definicja jednostronna ciągłości funkcji. Niech 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu O + 0 / O 0. Funkcja f jest prawostronnie/lewostronnie ciągła w punkcie 0 wtedy i tylko wtedy gdy + 0 f = f 0 / 0 f = f 0. Twierdzenie 8 warunek konieczny i wystarczający ciągłości funkcji. Funkcja f jest ciągła w 0 wtedy i tylko wtedy gdy jest w tym punkcie ciągła lewoi prawostronnie. 7
Zadanie 4. Na podstawie jednej z definicji Heinego lub Cauchy ego zbadać ciągłość następujących funkcji w podanych punktach: a f = 0 = 0 b f = 3 0 = c f = 3 3 + + 0 = d f = 3 0 = 0 e f = na R f f = sin na R g f = cos na R. Zadanie 5. Uzasadnić ciągłość funkcji: a f = e sin b f = sin c f = tg. Zadanie 6. Wykazać że funkcja Dirichleta określona wzorem { dla Q Q = 0 dla Q nie jest ciągła w żadnym punkcie. Zadanie 7. Podać przykład funkcji g : R R która jest ciągła dokładnie: a w jednym punkcie b w dwóch punktach c w trzech punktach. Definicja 3 nieciągłość funkcji. Niech 0 D f R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu O 0. Funkcja f jest nieciągła w punkcie 0 wtedy i tylko wtedy gdy nie istnieje granica f albo f f 0. 0 0 Fakt. Punkty nieciągłości dziey na. pierwszego rodzaju gdy istnieją skończone granice 0 f + 0 f oraz 0 f f 0 lub + 0 f f 0 ; typu skok gdy 0 f + 0 f typu luka gdy 0 f = + 0 f f 0.. drugiego rodzaju jeśli co najmniej jedna z granic 0 f + 0 f nie istnieje lub jest niewłaściwa. 8
Twierdzenie 9. Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w punkcie 0 to również funkcje f + g f g f g f g o ile g 0 0 są ciągłe w 0. Jeżeli funkcja f jest ciągła w 0 a g ciagła w y 0 = f 0 to funkcja złożona g f jest ciągła w 0. Zadanie 8. Zbadać ciągłość funkcji. Wyznaczyć i określić rodzaj punktów nieciągłości dla funkcji nieciągłych: arctg gdy < 0 a f = 0 gdy = 0 gdy > 0 b f = { gdy R \ { } + 3 gdy = lub = { + 6 gdy ± c f = 4 5 4 gdy = { sin d f = gdy R \ {0} gdy = 0 { sin e f = cos gdy 0 0 gdy = 0 log + 3 gdy 3 < k f = gdy < 0 arctg gdy 0 < l f = + gdy + + gdy < < ctg gdy < 0 gdy < sin gdy arctg + gdy < cos gdy f f = tg gdy < < gdy { gdy = k k Z g f = sin gdy k k Z h f = i f = { 0 gdy 0 cos gdy > 0 j f = [] Zadanie 9. Znaleźć parametry a b R tak aby podane funkcje były ciągłe na R:. { a gdy < a f = sin gdy { sin3 b f = sin5 gdy 0 a gdy = 0 3 gdy ± c f = a gdy = b gdy = { cos gdy 0 d f = a gdy = 0 e f = { 3 + 3 4 gdy 3 a + gdy = 3 f f = g f = { arcsin+ + gdy a gdy = { a + gdy < + b + gdy 3 gdy 0 h f = a + b gdy 0 < < gdy i f = { gdy a + b + gdy >. 9
Zadanie 0. Zbadać ciągłość funkcji określonej wzorem: a f = b f = e n + e n + e n + e n + [0 ] + n c f = d f = [] sin. + n R Zadanie. Wykazać że jeśli funkcja f jest ciągła i nieujemna na przedziale X R to funkcja f jest ciągła na X. Twierdzenie 0 Weierstrassa. Jeżeli funkcja jest ciągła na przedziale domkniętym i ograniczonym to jest na nim ograniczona oraz osiąga swoje kresy. Twierdzenie Darbou o miejscach zerowych funkcji. Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale domkniętym [a b] oraz spełnia fafb < 0 to c ab fc = 0. Zadanie. Uzasadnić że podane równania mają jednoznaczne rozwiązania we wskazanych przedziałach: a 3 + 5 = 9 [ ] e 00 + = 0 b a + b = y a b > 0 c = sin + d arctg = [ ] 0 3 3 f 3 + = 3 0 g 3 3 = [ ] h = 3. Obliczyć wartość pierwiastka z dokładnością 0.5. Zadanie 3. Niech f g : [a b] R będą takimi funkcjami ciągłymi że fa < ga oraz fb > gb. Wykazać że istnieje taki punkt 0 a b dla którego f 0 = g 0. Zadanie 4. Niech f : R R będzie funkcją ciągłą i okresową o okresie T > 0. Wykazać że istnieje taki punkt 0 że f 0 + T = f 0. Definicja 4 jednostajna ciągłość. Jeśli funkcja f spełnia warunek ε>0 δ>0 y I [ y < δ = f fy < ε] to jest ciągła jednostajnie na przedziale I = [a b]. 0
Definicja 5 Heinego jednostajnej ciągłości. Jeśli funkcja f spełnia warunek ny n I n y n = 0 f n fy n = 0 to jest ciągła jednostajnie na przedziale I = [a b]. Uwaga. Funkcja jednostajnie ciągła na I jest ciągła na I. Twierdzenie. Funkcja f jest ciągła na a b oraz istnieją skończone granice b f to f jest jednostajnie ciągła na a b. Analogiczne twierdzenie zachodzi dla półprostej. a + f Twierdzenie 3 Cantora. Funkcja f : I R która jest ciągła jest również jednostajnie ciągła na I. Twierdzenie 4. Funkcja f spełniająca warunek Lipschitza ze stałą L na I tzn. f f L jest jednostajnie ciągła na przedziale I. Zadanie 5. Zbadać jednostajną ciągłość funkcji f na przedziale A: a f = A = R b f = A = [0 ] c f = e A = 0 d f = sin A = 0 e f = sin A = 0 f f = e A = 0 g f = e A = 0 h f = ln A = 0 i f = sin A = [0 j f = sin A = [0 k f = e A = [0 l f = sin A = [0. Zadanie 6. Zbadać czy dane funkcje mają ciągłe przedłużenie na R: a f = c f = sin e f = e b f = sin d f = sin f f = e. Bibliografia:. J. Banaś S. Wędrychowicz Zbiór zadań z analizy matematycznej WNT Warszawa 00.. M. Gewert Z. Skoczylas Analiza matematyczna. Definicje twierdzenia wzory GiS Wrocław 00. 3. M. Gewert Z. Skoczylas Analiza matematyczna. Przykłady i zadania GiS Wrocław 00. 4. K. Jankowska T. Jankowski Zbiór zadań z matematyki PG Gdańsk 006. 5. W. Krysicki L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach część PWN Warszawa 999. 6. W. Kryszewski Wykład analizy matematycznej cz. - Funkcje jednej zmiennej UMK Toruń 009. 7. F. Leja Rachunek różniczkowy i całkowy ze wstępem do równań różniczkowych PWN Warszawa 977.