Algebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011

1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy wektory pq i rs sa równoważne: (a) p = (1, 1), q = (4, 3), r = ( 1, 5), s = (5, 2); (b) p = (1, 4), q = ( 3, 5), r = (5, 7), s = (1, 8); (c) p = (1, 1, 5), q = ( 2, 3, 4), r = (3, 1, 1), s = (0, 5, 10); (d) p = (2, 3, 4), q = ( 1, 3, 5), r = ( 2, 3, 1), s = ( 5, 3, 8). 2. Sprawdzić, czy wektory pq i rs sa równoległe: (a) p = (1, 1), q = (4, 3), r = ( 1, 5), s = (7, 1); (b) p = (1, 4), q = ( 3, 5), r = (5, 7), s = (9, 6); (c) p = (1, 1, 5), q = ( 2, 3, 4), r = (3, 1, 1), s = ( 3, 9, 17); (d) p = (2, 3, 4), q = ( 1, 3, 5), r = ( 2, 3, 1), s = ( 11, 3, 28). 3. Wykazać, że współrze dne środka odcinka sa średnimi arytmetycznymi współrze dnych jego końców. 4. Znaleźć ka ty wewne trzne trójka ta o wierzchołkach p, q oraz r: (a) p = (2, 1, 3), q = (1, 1, 1), r = (0, 0, 5); (b) p = (2, 1, 1), q = (1, 3, 5), r = (3, 4, 4); (c) p = (3, 1, 1), q = ( 1, 2, 1), r = (2, 2, 5). 5. Sprawdzić, czy trójka t o wierzchołkach p, q i r jest prostoka tny: (a) p = (0, 0), q = (3, 1), r = (1, 7); (b) p = (1, 0), q = ( 1, 3), r = (1, 10); (c) p = (3, 2, 1), q = ( 1, 6, 5), r = (5, 3, 2). 6. Obliczyć pole trójka ta o wierzchołkach p = (0, 0, 2), q = (2, 1, 1) oraz r = ( 1, 1, 0). 7. Znaleźć wektor u wiedza c, że jest on prostopadły do wektorów v = [1, 2, 3] i w = [ 1, 4, 2] oraz, że u [4, 5, 1] = 150.

1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 2 8. Dany jest romb o wierzchołkach p, q, r i s. Wyrazić za pomoca wektorów pr i qs wektory: pq, qr, rs i sp. 9. Wektor [3, 2, 1] przedstawić w postaci sumy dwóch wektorów u i v takich, że u [ 1, 4, 5] oraz v [ 1, 4, 5]. 10. Dane sa punkty: p = (4, 1, 2a), q = (a, 2, 4), r = ( 2, 4, 2) oraz s = (3 a, 1, 3). Dla jakich wartości parametru a R iloczyn skalarny pq rs jest dodatni? 11. Pokazać, że dla dowolnych wektorów u i v: (a) u + v 2 + u v 2 = 2 u 2 + 2 v 2 ; (b) u + v 2 = u 2 + v 2 + 2u v; (c) u + v 2 u v 2 = 4u v. 12. Pokazać na przykładzie, że dla trzech wektorów u, v i w z faktu iż u v = u w nie musi wynikać v = w. 13. Pokazać, że dla dowolnych wektorów u i v oraz a R, u + av u. 14. Obliczyć pole równoległoboku o trzech kolejnych wierzchołkach w punktach: p = (1, 0, 1), q = (3, 1, 5) oraz r = ( 1, 5, 0). 15. Obliczyć pole powierzchni równoległościanu rozpie tego na wektorach u, v i w. 16. Obliczyć iloczyn mieszany wektorów: u = [3, 2, 5], v = [1, 1, 3] i w = [ 2, 2, 1]. 17. Dane sa wektory: u = [3, 2, 1], v = [1, 2, 2] i w = [ 1, 4, 3]. Obliczyć (a) ((u 2v) w) ((u w)(v w)), (b) ((v w))(2w u))((u v) (u + w)). 1.2 Proste i płaszczyzny 1. Dla jakiego parametru k R, proste 3kx 1 2x 2 + 3 = 0 i x 1 + 4x 2 3 = 0 sa prostopadłe? Znaleźć dwusieczna mie dzy tymi prostymi. 2. Znaleźć punkt symetryczny do punktu p = ( 2, 9) wzgle dem prostej 2x 1 3x 2 + 18 = 0. 3. W trójka cie o wierzchołkach w punktach p, q i r znane sa : punkt q = (0, 5) oraz wektory pq = [4, 12] i rq = [ 8, 7]. Znaleźć równanie wysokości opuszczonej z punktu r na bok pq. 4. Ramiona trójka ta równoramiennego maja równania odpowiednio: 7x 1 + x 2 +5 = 0 oraz 2x 1 2x 2 3 = 0. Znaleźć równanie podstawy przechodza cej przez punkt p = (0, 1).

1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 3 5. Znaleźć równanie płaszczyzny Π (a) przechodza cej przez punkt p = (1, 5, 1) i równoległej do wektorów u = [ 2, 1, 3] oraz v = [1, 4, 1]; (b) przechodza cej przez punkt p = (2, 4, 1) i równoległej do płaszczyzny 2x 1 x 2 3x 3 1 = 0; (c) przechodza cej przez punkt p = (3, 5, 7) i prostopadłej do płaszczyzn x 1 x 2 + 2x 3 1 = 0 oraz 3x 1 + x 2 x 3 + 2 = 0. 6. Znaleźć przedstawienie parametryczne prostej przechodza cej przez punkt p = (1, 1, 2), prostopadłej do wektora u = [ 1, 3, 4] i przecinaja cej prosta x 1 = 1 + 2t, x 2 = 4 t, x 3 = 3t. 7. Znaleźć punkt symetryczny do punktu p = (1, 1, 0) wzgle dem płaszczyzny x 1 + 2x 2 x 3 = 0. 8. Znaleźć punkt symetryczny do punktu p = (1, 2, 2) wzgle dem prostej x 1 = t, x 2 = 3 + 2t, x 3 = 2 t. 9. Sprawdzić, czy punkty: p = (1, 1, 1), q = (0, 1, 2), r = ( 1, 3, 0) i s = (5, 0, 4) należa do jednej płaszczyzny. 10. Sprawdzić, czy wektory: u = [1, 1, 2], v = [0, 4, 1] i w = [2, 2, 3] sa równoległe do jednej płaszczyzny. 11. Niech prosta L be dzie cze ścia wspólna płaszczyzn: x 1 + 4x 2 x 3 = 0 oraz 2x 2 + x 3 + 1 = 0. Znaleźć przedstawienie parametryczne prostej przecinaja cej prostopadle prosta x 1 = 1 + t, x 2 = 1 2t, x 3 = 3 t i prosta L. 12. Znaleźć przedstawienie parametryczne prostej równoległej do płaszczyzn: 3x 1 + 12x 2 3x 3 5 = 0 i 3x 1 4x 2 + 9x 3 + 7 = 0 oraz przecinaja cej proste: x 1 = 5+2t, x 2 = 3 4t, x 3 = 1+3t i x 1 = 3 2t, x 2 = 1+3t, x 3 = 2 + 4t. 13. Znaleźć odległość mie dzy prosta x 1 = 9 + 4t, x 2 = 2 3t, x 3 = t i prosta x 1 = 2t, x 2 = 7 + 9t, x 3 = 2 + 2t. 14. Znaleźć rzut prostej x 1 = 2t, x 2 = 1 t, x 3 = 1 + 2t na płaszczyzne x 1 + x 2 + x 3 = 0. 15. Niech prosta L 1 be dzie cze ścia wspólna płaszczyzn: x 1 x 2 x 3 +2 = 0 oraz x 1 2x 2 + 4 = 0. Przez rzut punktu p = (2, 1, 1) na prosta L 2 : x 1 = t, x 2 = 1 t, x 3 = 2t poprowadzić prosta prostopadła do L 2 i przecinaja ca prosta L 1. 16. Znaleźć przedstawienie parametryczne prostej przechodza cej przez punkt p = (2, 3, 1) i przecinaja cej proste L 1 i L 2, gdzie prosta L 1 jest przecie ciem płaszczyzn: x 1 + x 2 = 0 i x 1 x 2 + x 3 + 4 = 0 natomiast prosta L 2 jest przecie ciem płaszczyzn: x 1 + 3x 2 1 = 0 i x 2 + x 3 = 0.

2 PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE 4 17. Zbadać wzajemne położenie prostych L 1 i L 2, jeśli (a) L 1 jest przecie ciem płaszczyzn: x 1 + 2x 2 x 3 3 = 0 i 3x 1 x 2 + x 3 + 1 = 0 natomiast prosta L 2 jest przecie ciem płaszczyzn: 2x 1 + 3x 2 2x 3 1 = 0 i x 1 + x 2 2 = 0; (b) L 1 : x 1 = 1 + 2t, x 2 = 2 3t, x 3 = 5 + 4t oraz L 2 : x 1 = 7 + 3t, x 2 = 2 + 2t, x 3 = 1 2t; (c) L 1 : x 1 = 2 + t, x 2 = 1 + 2t, x 3 = 2t oraz L 2 : x 1 = 3 1 2 t, x 2 = 3 t, x 3 = 2 t. 18. Znaleźć dowolny wektor w przestrzeni R 3, który z wektorami u = [1, 2, 3] i v = [6, 4, 2] tworzy jednakowe ka ty i leży w płaszczyźnie równoległej do obu tych wektorów. 2 Podstawowe struktury algebraiczne 1. Niech X be dzie niepustym zbiorem. Pokazać, że składanie przekształceń w zbiorze Map(X, X) := {f f : X X} jest ła czne. 2. Sprawdzić, czy naste puja ce działania sa ła czne, przemienne, czy istnieje element neutralny i czy dla każdego elementu istnieje element odwrotny: (a) a b := a b, dla a, b R {0}, (b) a b := a b, dla a, b Q {0}, (c) a b := a b, dla a, b N, (d) a b := a+b 2, dla a, b R, (e) a b := a + b ab, dla a, b R {1}, (f) a b := a + b + ab, dla a, b R, (g) a b := a + b + 1, dla a, b R, (h) a b := 1 + (a 1)(b 1), dla a, b R, (i) a b := NW W (a, b), dla a, b N, (j) a b := NW D(a, b), dla a, b N, (k) a b := a 2 + b 2, dla a, b R, (l) (a, n) (b, m) := (a + b, n + m), dla (a, n), (b, m) R Z, (m) (a, n) (b, m) := (ab + ma + nb, nm), dla (a, n), (b, m) R Z, (n) A B := (A B) \ (A B), dla A, B X, (o) (a, b) (c, d) := (ac, ad + b), dla a, c R {0}, b, d R, (p) a r b := a(1 r) + br, dla a, b R, r R, (q) a b := a, dla a, b A, gdzie A jest dowolnym zbiorem. 3. Podać przykład działania, które jest przemienne i nie jest ła czne oraz działania, które jest ła czne, ale nie jest przemienne.

2 PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE 5 4. Niech e A be dzie elementem neutralnym ła cznego działania : A A i niech a, x, y A. Pokazać, że (a) Jeśli a x = a y, to x = y. (b) Jeśli a x = e, to x = a 1. 5. Niech : A A be dzie działaniem ła cznym z elementem neutralnym e A. Pokazać, że zbiór wszystkich elementów odwracalnych ze wzgle du na : A A tworzy grupe. 6. Niech a, b Z, n N, i niech (a) n oznacza reszte z dzielenia liczby a przez n. Pokazać, że zbiór Z n := {0, 1,..., n 1} z działaniem a + n b := (a + b) n jest grupa przemienna. Dla n = 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 znaleźć wszystkie podgrupy grupy (Z n, + n ). 7. Niech (G, ) be dzie grupa i a, x, y G. Pokazać, że równanie a x = y ma zawsze rozwia zanie. 8. Pokazać, że jeśli iloczyn a b dwóch elementów grupy G jest kwadratem elementu grupy G, to dla x G, równanie xax = b ma rozwia zanie. 9. Pokazać, że grupa G jest przemienna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego a, b G, abab = aabb. 10. Znaleźć wszystkie grupy 3-elementowe. 11. Sporza dzić tabelke składania przekształceń grupy izometrii (odwzorowań zachowuja cych odległość) prostoka ta, który nie jest kwadratem. 12. Znaleźć wszystkie podgrupy grupy ({e, a, b, c}, ), gdzie 13. Dane sa permutacje π = σ = e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 8 9 4 3 7 6 1 5 ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 8 7 1 9 6 2 (a) Obliczyć permutacje: σ π, π σ, σ 1, π 1, σ π σ 1. (b) Rozłożyć permutacje π i σ na cykle rozła czne. (c) Przedstawić permutacje π i σ jako złożenie transpozycji. ) )

2 PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE 6 (d) Znaleźć znak permutacji π i σ. 14. Pokazać, że zbiór wszystkich permutacji parzystych n-elementowego zbioru jest podgrupa grupy (S n, ). Czy permutacje nieparzyste tworza podgrupe grupy (S n, )? 15. Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem. Pokazać, że dla dowolnych x, y, P x (y z) = x y x z. 16. Czy naste puja ce zbiory z działaniami sa pierścieniami: (a) ({ r 3 s r Z, s N {0}}, +, ), (b) ({a + bi C a = 0 lub b = 0}, +, ), (c) ({a 0 + a 1 x +... + a n x n R[x] a 0 = a 1 = 0}, +, ), (d) ({a + bi a, b Z, b liczba parzysta}, +, ), (e) (Q,, ), gdzie a b := a + b 1 i a b := a + b = ab, (f) ({z, a, b, c},, ), gdzie i. ii. z a b c z z a b c a a z c b b b c z a c c b a z z a b c z z a b c a a z c b b b c z a c c b a z (g) Q( 2) = ({a + b 2 a, b Q}, +, ), (h) ({a + b 3 2 + c 3 4 a, b Q}, +, ). z a b c z z z z z a z a b c b z z z z c z a b c z a b c z z z z z a z a b c b z b z z c z c b z Które z pierścieni sa i) przemienne, ii) posiadaja jedność, iii) nie maja dzielników zera? 17. Niech X be dzie zbiorem oraz 2 X := {A A X}. Pokazać, że (2 X,, ) jest przemiennym pierścieniem z jedynka. 18. Pokazać, że (Z n, + n, n), gdzie dla a, b Z n, a n b := (a b) n, jest przemiennym pierścieniem z jedynka. Dla n = 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 znaleźć wszystkie podpierścienie oraz elementy odwracalne pierścienia (Z n, + n, n). Które z tych pierścieni sa ciałami?

3 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 7 19. Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem. Element x P {0} nazywamy dzielnikiem zera, jeśli istnieje taki element y P {0}, że x y = 0. Pokazać, że element x P \ {0} jest dzielnikiem zera wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest elementem odwracalnym w pierścieniu (P, +, ). 20. Niech A := {a + b 5 a, b Q}. Sprawdzić, czy zbiór A z działaniami dodawania i mnożenia liczb jest ciałem. 21. Sprawdzić, czy zbiór R R z działaniami: (a 1, a 2 )+(b 1, b 2 ) := (a 1 +a 2, b 1 + b 2 ) oraz (a 1, a 2 ) (b 1, b 2 ) := (a 1 a 2, b 1 b 2 ), dla (a 1, a 2 ), (b 1, b 2 ) R R, jest ciałem? 22. W ciele liczb zespolonych znaleźć elementy: (a) (1 i 3) 1, (1 2i) 1, ( 3 i) 1, (1 i) 1 ; (b) i 3 ( 1 + 2i) 2 (3 i); (c) i 2 (1 i)((1 + i) 3 ) 1. 23. Pokazać, że podzbiór (a) A := {z C z = 1}; (b) A := {z C z n 1 = 0}, dla ustalonego n N z działaniem mnożenia liczb zespolonych tworzy grupe. 3 Układy równań liniowych 3.1 Macierze 1. Obliczyć sume macierzy A i B: ( ) ( ) 1 2 3 0 2 3 (a) A = ; B = 5 6 7 4 5 2 ( ) ( ) 1 2i 0 2i (b) A = ; B = 3 1 + 5i 2i 5 2i 2. Obliczyć iloczyn liczby λ i macierzy A: 4 8 24 (a) A = 8 12 7 ; λ = 3 4 16 3 2 ( ) i 0 3 + 2i (b) A = ; λ = 1 i 1 + i 2 1 i 3. Dla macierzy A = ( 1 2 0 0 3 1 ) i B = ( 1 1 2 1 1 2 0 5(A + 2B) + 4(2A B). ) obliczyć

3 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 8 4. Obliczyć iloczyn macierzy A i B: (a) A = ( 2 1 5 1 3 2 ) i B = 3 1 2 1 0 ( ) (b) A = 2 3 1 2 0 1 i B = 3 5 4 3 ( ) ( i 1 + 2i 1 i (c) A = i B = 3 2 3i 5 + i 4 3i (d) A = ( 1 2 3 4 ) 4 i B = 3 2 1 ) 5. Obliczyć iloczyny AB i BA (o ile istnieja ) dla macierzy A i B: ( ) ( ) 1 a 1 b (a) A = i B = 0 1 0 1 ( ) ( ) 1 a 1 b (b) A = i B = 1 1 1 1 ( ) ( ) cos α sin α cos α sin α (c) A = i B = sin α cos α sin α cos α (d) A = 2 1 ( ) 1 0 1 0 3 i B = 2 1 0 0 1 (e) A = 1 0 0 1 1 0 i B = 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 (f) A = (g) A = (h) A = (i) A = 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 0 0 0 2 0 0 0 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3 i B = i B = i B = i B = 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 2 3

3 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 9 (j) A = (k) A = (l) A = 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 2 3 0 2 3 0 0 3 i B = ( 1 2 3 ) i B = i B = 0 0 0 0 0 0 6. Dla macierzy A obliczyć A 2 i A 3 : (a) A = 0 0 1 0 1 1 0 0 0 (b) A = 1 1 1 0 1 1 0 0 1 ( ) i 1 (c) A = 0 i 3 2 1 0 2 1 0 0 1 7. Podać przykład takich macierzy kwadratowych A i B, żeby (A + B) 2 A 2 + 2AB + B 2. 8. Podać przykłady macierzy A i B, dla których AB = BA. 9. Podać przykład macierzy A, dla której A 3 jest macierza zerowa, natomiast A 2 nie jest zerowa. 10. Znaleźć wszystkie macierze A M 2 2 (R) takie, że A 2 = I 2. 11. Znaleźć wszystkie macierze A M 3 3 (R) takie, że A 3 = 0 3 3. 12. Metoda eliminacji Gaussa sprowadzić macierze do postaci trójka tnej. Czy można je również sprowadzić do postaci diagonalnej? ( ) 2 1 (a) A = 3 2 ( ) 2 1 (b) A = 4 2 ( ) sin α cos α (c) A = cos α sin α (d) A = 1 1 1 0 1 1 0 0 1

3 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 10 (e) A = (f) A = (g) A = (h) A = 1 1 1 2 1 1 1 0 1 1 1 1 2 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 (i) A = (j) A = (k) A = (l) A = (m) A = 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 0 2 1 0 3 3 1 2 1 0 0 2 1 1 3 1 (n) A = 1 2 3 4 0 1 2 3 0 0 1 2 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 2 1 2 1 4 2 3 0 1 0 2 1 2 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 3 0 0 0 1 3 1 13. Dla odwracalnych macierzy A znaleźć, metoda przekształceń elementarnych, macierz odwrotna A 1 : ( ) 2 1 (a) A = 3 2 ( ) 2 1 (b) A = 4 2

3 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 11 ( ) sin α cos α (c) A = cos α sin α (d) A = 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 (e) A = 2 1 1 1 0 1 1 1 1 (f) A = 2 1 1 1 0 0 (g) A = 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 2 1 (h) A = 2 1 1 1 2 1 1 1 0 (i) A = 2 1 0 3 3 1 (j) A = 2 1 0 0 2 1 1 3 1 1 2 3 4 (k) A = 0 1 2 3 0 0 1 2 0 0 0 1 (l) A = (m) A = (n) A = 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 2 1 2 1 4 2 3 0 1 0 2 1 2 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 3 0 0 0 1 3 1 14. Znaleźć rza d macierzy A:

3 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 12 ( ) 3 1 0 8 (a) A = 1 5 3 0 ( ) 4 8 4 2 (b) A = 2 4 2 1 1 1 1 1 (c) A = 2 2 3 1 0 0 1 3 3 3 5 3 (d) A = (e) A = (f) A = (g) A = 1 1 2 1 2 3 1 1 1 0 7 4 2 1 3 2 4 4 2 5 1 7 2 1 1 8 2 1 3 5 1 2 1 3 4 5 1 1 7 7 7 9 1 1 1 2 1 2 3 1 1 1 0 7 4 15. Znaleźć rza d macierzy A w zależności od parametru a: (a) A = (b) A = (c) A = (d) A = 3 1 1 4 a 4 10 1 1 7 17 3 2 2 4 3 1 a 1 2 2 1 a 5 1 10 6 1 3.2 Układy równań a 1 2 3 4 a 2 4 5 1 1 a 3 3 a 1 2 a 3 a 1 2 1 a 1 4 a 8 4 4 a 2a 1 a 1. Rozwia zać układy równań liniowych.

3 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 13 (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) x 1 + x 2 + x 3 = 0 2x 1 x 2 x 3 = 3 x 1 x 2 + x 3 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 3 2x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 3 x 1 + 3x 2 + 4x 3 = 6 x 1 x 2 + 3x 3 = 0 2x 1 + x 2 + x 3 = 0 5x 1 + 2x 2 5x 3 = 0 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1 2x 1 3x 2 2x 3 + 5x 4 = 1 x 1 6x 2 5x 3 + 2x 4 = 1 x 1 x 2 + x 3 x 4 = 2 3x 1 x 2 7x 3 + 2x 4 = 0 6x 1 + 2x 2 x 3 x 4 = 3 2x 1 2x 2 + 2x 3 2x 4 = 5 x 1 x 2 + 3x 3 x 4 = 2 2x 1 + 3x 2 + x 3 + x 4 = 0 4x 1 + 3x 3 2x 4 = 1 3x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 = 3 x 1 + x 2 + x 3 = 2 x 1 x 3 = 0 x 2 x 3 = 1 x 1 x 2 = 1 x 1 x 2 x 3 = 0 x 1 + 2x 3 + 3x 4 = 0 x 1 + 2x 2 + 4x 3 + 5x 4 = 0 2x 1 + 4x 3 + 6x 4 = 0 3x 1 + 2x 2 + 8x 3 + 11x 4 = 0 x 1 x 2 + x 3 x 4 + x 5 = 1 x 1 x 2 + x 3 + x 4 x 5 = 1 x 1 x 2 + x 3 + 3x 4 3x 5 = 1 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1 2x 1 3x 2 2x 3 + 5x 4 = 1 x 1 6x 2 5x 3 + 2x 4 = 1 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1 2x 1 + x 2 x 3 x 4 = 1 x 1 + 2x 2 + 3x 3 2x 4 + x 5 = 4 3x 1 + 6x 2 + 5x 3 4x 4 + 3x 5 = 5 x 1 + 2x 2 + 7x 3 4x 4 + x 5 = 11 2x 1 + 4x 2 + 2x 3 3x 4 + 3x 5 = 6

3 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 14 (m) (n) (o) x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 15 x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 + 5x 5 = 35 x 1 + 3x 2 + 6x 3 + 10x 4 + 15x 5 = 70 x 1 + 4x 2 + 10x 3 + 20x 4 + 35x 5 = 126 x 1 + 5x 2 + 15x 3 + 35x 4 + 70x 5 = 210 3x 1 + 4x 2 + x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0 5x 1 + 7x 2 + x 3 + 3x 4 + 4x 5 = 0 4x 1 + 5x 2 + 2x 3 + x 4 + 5x 5 = 0 7x 1 + 10x 2 + x 3 + 6x 4 + 5x 5 = 0 x 1 x 3 + x 5 = 0 x 2 x 4 + x 6 = 0 x 1 x 2 + x 5 x 6 = 0 x 2 x 3 + x 6 = 0 x 1 x 4 + x 5 = 0 2. Rozwia zać układy równań liniowych w zależności od parametru a: (a) (b) (c) (d) x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 0 2x 1 + 4x 2 + 2ax 3 = 0 x 1 + 3x 2 + x 3 = a 3 ax 1 + x 2 + x 3 = 1 x 1 + ax 2 + x 3 = a x 1 + x 2 + ax 3 = a 2 ax 1 x 2 + x 3 = 1 x 1 ax 2 + x 3 = 1 3x 1 3x 2 + 2x 3 = 2a x 1 + ax 2 + x 3 = 2a ax 1 + x 2 + x 3 = a 3. Korzystaja c z twierdzenia Kroneckera-Capellego zbadać warunki rozwia zalności układów równań: (a) (b) (a 1)x 1 + ax 2 + 2x 3 = a 2x 1 + (2a 3)x 2 + 2x 3 = a + 3 ax 1 + (a + 2)x 2 + 2x 3 = a + 2 (a 2)x 1 + (2a 5)x 2 + (2a 4)x 3 = a 1 3.3 Wyznaczniki 1. Obliczyć wyznacznik macierzy A: 1 2 1 0 (a) A = 0 1 2 2 1 1 1 2 0 1 2 1

4 PRZESTRZENIE WEKTOROWE 15 (b) A = (c) A = (d) A = (e) A = (f) A = (g) A = a 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 c 0 0 0 0 0 0 0 d 0 0 e 0 0 x a a a a x a a a a x a a a a x 1 2 3 4 5 2 3 7 10 13 3 5 11 16 21 2 7 7 7 2 1 4 5 3 10 sin 2 α sin α cos α cos 2 α sin 2 β sin β cos α cos 2 β sin 2 γ sin γ cos γ cos 2 γ 1 1 1 1 1 x y z u w x 2 y 2 z 2 u 2 w 2 x 3 y 3 z 3 u 3 w 3 x 4 y 4 z 4 u 4 w 4 3 1 3 2 5 5 3 2 3 4 7 5 1 4 1 1 3 5 0 7 7 5 1 4 1 2. W zależności od parametru a obliczyć wyznacznik macierzy A: 3 1 1 4 (a) A = a 4 10 1 1 7 17 3 2 2 4 3 (b) A = a 1 2 1 a 1 4 a 8 4 4 a 2a 1 a 0 0 1 0 4 Przestrzenie wektorowe 4.1 Podprzestrzenie 1. Sprawdzić, że podane zbiory sa podprzestrzeniami wektorowymi odpowiednich przestrzeni liniowych:

4 PRZESTRZENIE WEKTOROWE 16 (a) {(x, y) 2x = 3y} R 2 (b) {(x, y, z) x + y = y + z} R 3 (c) {(2x y, y + z) x, y, z R} R 2 (d) {(x, y, z, t) x y = z t} R 4 (e) {A A = A T } M 3 3 (R) 2. Opisać wszystkie podprzestrzenie wektorowe przestrzeni R 2. 3. Opisać wszystkie podprzestrzenie wektorowe przestrzeni R 3. 4. Które z podanych zbiorów sa podprzestrzeniami wektorowymi odpowiednich przestrzeni liniowych: (a) {(x, y, z) yz 0} R 3 (b) {(x, y, z) x + y + z = x y = 0} R 3 (c) {(2x, x + y, 0, 1) x, y R} R 4 (d) {(x, x y, z, y) x, y, z R} R 4 (e) {(x, y) x y 1} R 2 (f) {(x, y) ln(1 x 2 y 2 ) 0} R 2 (g) {(x, y) 9x 2 + 12xy + 4y 2 = 0} R 2 (h) {(x, y) 3x 2 + 5xy 2y 2 = 0} R 2 (i) {(x, y, z, t) 3 x = 2 y } R 4 (j) {(xy, y, x, 0) x, y R} R 4 (k) {(x, y, z, t) x 2 + z 6 = 0} R 4 (l) {(x, x + y, x, y) x, y R} R 4 (m) {A DetA = 0} M2 2 (R) ( ) 0 0 (n) {A AA T = } M 0 0 2 2 (R) ( ) x y (o) { x, y R} M x + y 2x 2 2 (R) (p) {A DetA 0} M2 2 (R) ( ) a b (q) { abcd = 0} M c d 2 2 (R) ( ) a b (r) { a + c = b} M c d 2 2 (R) (s) {(x, y) x 2 + y 2 = 0 lub x = y} R 2 (t) {(x, y) x 2 + y 2 = 0 i x = y} R 2 (u) {(x, y) xy = 0 i x = 0} R 2 (v) {(x, y) xy = 0 lub x = 0} R 2

4 PRZESTRZENIE WEKTOROWE 17 (w) {(x, y, z) x + 4y = 0 i 3x z = 0} R 3 (x) {(x, y, z) x + 4y = 0 lub 3x z = 0} R 3 (y) {(x, y, z, t) x = 2y lub x 2 = 4y 2 } R 4 (z) {(x, y, z, t) x = 2y i x 2 = 4y 2 } R 4 4.2 Baza i wymiar przestrzeni wektorowej 1. Wektory v = [1, 2, 3] oraz u = [1, 3, 5] przedstawić jako kombinacje liniowe wektorów: (a) [2, 0, 6], [0, 1, 0], [1, 1, 3] (b) [2, 0, 6], [0, 1, 0], [1, 1, 1] 2. Wektory v = [3, 2, 5] oraz u = [0, 1, 1] przedstawić jako kombinacje liniowe wektorów: (a) [3, 2, 5], [1, 1, 1] (b) [3, 2, 5], [1, 1, 1], [0, 5, 2] (c) [1, 2, 3], [1, 0, 1], [0, 2, 1] (d) [1, 2, 3], [1, 0, 1], [ 1, 2, 1] 3. Zbadać liniowa niezależność podanych układów wektorów w odpowiednich przestrzeniach liniowych: (a) B = {[1, 4], [2, 3], [1, 1], [5, 6]} w przestrzeni R 2 (b) B = {[1, 2, 3], [1, 0, 1], [0, 2, 1]} w przestrzeni R 3 (c) B = {[2, 0, 6], [0, 1, 0], [1, 1, 3]} w przestrzeni R 3 (d) B = {[2, 0, 6], [0, 1, 0], [1, 1, 1]} w przestrzeni R 3 (e) B = {[1, 2, 3], [1, 0, 1], [ 1, 2, 1]} w przestrzeni R 3 (f) B = {[1, 2, 3], [2, 3, 4], [1, 1, 1]} w przestrzeni R 3 4. Wiedza c, że wektory u, v, w i x sa liniowo niezależne, zbadać liniowa niezależność wektorów: (a) u + 2v + w, v 3w + x, u x (b) u x, v x, w x, u v + w x (c) u + v, v + w, u + w (d) u, u + v, u + v + w, u + v + w + x (e) u v, v w, w (f) u v, v w, w x, x u (g) u 3v + 5w, 2u + v + 3w, 3u + 2v + 4w (h) 2u + 3v + w, u + 2v + x, 4u + 7v + w + 2x

4 PRZESTRZENIE WEKTOROWE 18 5. Wyznaczyć generatory podanych podprzestrzeni liniowych: (a) {(x 2y, x + y + 3z, y 4z, 2x + z) x, y, z R} R 4 (b) {(x, y, z) 4x y + 2z = 0} R 3 (c) {(x, y, z) x 2 = y 3 = z 1 } R3 (d) {(2x + y z, z u, x + 3y + u, y + u, z u) x, y, z, u R} R 5 (e) {(x, y, z, t) x y = y z = z t} R 4 6. Sprawdzić, czy naste puja ce układy wektorów stanowia bazy odpowiednich przestrzeni: (a) B = {(2, 5), (3, 1), (6, 7)} w R 2 (b) B = {(1, 0, 1), (1, 2, 2)} w R 3 (c) B = {(2, 3, 1), (1, 3, 2)} w R 3 (d) B = {(1, 1, 4), (3, 0, 1), (2, 1, 2)} w R 3 (e) B = {(1, 0, 1), (1, 2, 2), (0, 1, 1)} w R 3 (f) B = {(1, 0, 1), (1, 2, 2), (2, 2, 3)} w R 3 (g) B = {(0, 1, 1, 0), (0, 1, 1, 0), (3, 0, 0, 1), (1, 0, 0, 2)} w R 4 (h) B = {(1, 0, 1), (1, 2, 2), (0, 1, 1), (2, 3, 4)} w R 3 (i) B = {(1, 1, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 4), (0, 0, 0, 1)} w R 4 7. Wiedza c, że wektory u, v i w tworza baze przestrzeni V (K), zbadać czy podane wektory też sa baza tej przestrzeni: (a) u 2v + w, 3u + w, u + 4v w (b) u 2v + w, 2u v, u + v w (c) u 2v + w, 2u v, 3v + w (d) u, 2u + v, 3u v + 4w 8. Dla jakich wartości parametru p R, podane zbiory wektorów stanowia baze odpowiednich przestrzeni: (a) B = {(p 2, p), (3, 2 + p)} w R 2 (b) B = {(1, 3, p), (p, 0, p), (1, 2, 1)} w R 3 (c) B = {(1, 1, 1, 1), (1, p, 2, 3), (1, p 2, 4, 9), (1, p 3, 8, 27)} w R 4 9. Znaleźć współrze dne wektora v w bazie B: (a) v = [ 2, 5, 6], B = {[1, 1, 0], [2, 1, 0], [3, 3, 1]} (b) v = [1, 0, 1, 0], B = {[1, 2, 3, 4], [0, 1, 2, 3], [0, 0, 1, 2], [0, 0, 0, 1]} 10. Wskazać bazy i określić wymiary podanych przestrzeni wektorowych: (a) {(2x, x + y, 3x y, x 2y) x, y R} R 4

5 PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE 19 (b) {(x 2y z, 2x + y 3z, 3x + 4y 5z) x, y, z R} R 3 (c) {(x, y, z, t) x + y = z y} R 4 (d) {(x + y + z, x y, x z, y z) x, y, z R} R 4 (e) {(x + 2y + z, 3x y + 2z, 5x + 3y + 4z, y z) x, y, z R} R 3 (f) {(x, y, z, t) 2x y = z t = 0} R 4 11. Podane zbiory wektorów uzupełnić do baz wskazanych przestrzeni linowych: (a) {(2, 1, 0), (1, 1, 1)} w R 3 (b) {(1, 3, 2, 1), (5, 4, 7, 1)} w R 4 5 Przekształcenia liniowe 5.1 Ja dro i obraz przekształcenia 1. Które z naste puja cych przekształceń sa liniowe? (a) F : R 3 R 2, F (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1, x 3 ) (b) F : R 3 R 2, F (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 + x 2, 2x 1 x 2 + 3x 3 ) (c) F : R R, F (x) = (x + 1)(x 1) (d) F : R 2 R 2, F (x 1, x 2 ) = (3x 1 + x 2 1, 2x 1 3x 2 ) (e) F : R 2 R 3, F (x 1, x 2 ) = (x 1 + 2x 2, x 1 x 2, x 1 ) (f) F : R 2 R, F (x 1, x 2 ) = x 1 x 2 (g) F : R 3 R 3, F (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 + 1, x 2 + 2, x 3 + 3) (h) F : R R, F (x) = x (i) F : R 3 R 3, F (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 x 2, x 1, x 3 ) (j) F : R 2 R 3, F (x 1, x 2 ) = (2x 1 x 2, x 1 + 1, x 2 1) (k) F : R 2 R 2, F (x 1, x 2 ) = (2x 1 + x 2, x 2 ) (l) F : R 2 R 2, F (x 1, x 2 ) = (x 2 1, x 2 ) (m) F : R 4 R 4, F (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = ( x 1, x 2, x 3, x 4 ) 2. Dla każdego z przekształceń wyznaczyć ja dro KerF i obraz ImF. Podać bazy i wymiary tych podprzestrzeni. (a) F : R 3 R 2, F (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 + x 2, x 2 + x 3 ) (b) F : R 3 R 4, F (x 1, x 2, x 3 ) = (2x 1 x 2 + x 3, x 1 + 2x 2 x 3, x 1 + 3x 2 2x 3, 8x 1 + x 2 + x 3 ) (c) F : R 2 R 2, F (x 1, x 2 ) = (2x 1 x 2, 3x 2 6x 1 ) (d) F : R 3 R 4, F (x 1, x 2, x 3 ) = (2x 1 x 2 x 3, x 1 + x 2 + 4x 3, 2x 1 + x 2 + 5x 3, x 1 x 3 )

5 PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE 20 (e) F : R 4 R 3, F (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 + 2x 3 + x 4, 2x 1 + x 2 3x 3 5x 4, x 1 x 2 + x 3 + 4x 4 ) (f) F : R 4 R 5, F (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 + x 2, x 2 + x 3, x 3 + x 4, x 3, x 1 ) (g) F : R 4 R 3, F (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (2x 1 + x 3, 2x 2 x 4, x 3 + 2x 4 ) (h) F : R 4 R 4, F (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 4, x 3, x 2, x 1 ) (i) F : R 4 R 3, F (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 + x 2 + x 3 x 4, 2x 1 + x 2 x 3 + x 4, x 2 + 3x 3 3x 4 ) (j) F : R 5 R 3, F (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = (x 1 + x 2 + x 3, x 2 + x 3 + x 4, x 3 + x 4 + x 5 ) (k) F : R 4 R 3, F (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 + x 3, x 2 x 4, 2x 3 ) (l) F : R 4 R 4, F (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 2x 2 + 3x 3 4x 4, 3x 1 + 5x 3 + 2x 4, x 1 + x 2 + x 3 + 3x 4, 5x 1 x 2 + 9x 3 + x 4 ) (m) F : R 3 R 2, F (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 3x 2 + 2x 3, 2x 1 + 6x 2 4x 3 ) (n) F : R 4 R 3, F (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 + 2x 2 + x 3 x 4, x 1 + 2x 3 + x 4, 2x 1 + x 2 + 3x 3 ) (o) F : R 4 R 3, F (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 x 3, 3x 2, x 4 2x 2 ) (p) F : R 4 R 3, F (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 + x 3, x 2 x 4, x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ) (q) F : R 5 R 3, F (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = (x 1 x 2 + x 3 x 4 x 5, x 1 + x 2 + 2x 4 + 4x 5, 2x 1 + 2x 2 2x 3 + 3x 4 + x 5 )