Wydział Fizyki PW Algebra z geometria

Transkrypt

1 Wydział Fizyki PW Algebra z geometria - konspekt wykładu Agata Pilitowska Rok akademicki 2016/2017 Spis treści 1 Liczby zespolone 3 2 Geometria analityczna w przestrzeni R Punkty i wektory 9 22 Prosta i płaszczyzna 13 3 Układy równań liniowych Macierze Układy równań liniowych Wyznaczniki i ich zastosowanie 32 4 Przestrzenie wektorowe Przestrzenie i podprzestrzenie wektorowe Układy wektorów Baza i wymiar przestrzeni wektorowych 41 5 Odwzorowania liniowe Macierz odwzorowania liniowego Macierze zmiany bazy 46 6 Postać kanoniczna macierzy i odwzorowań Wartości i wektory własne Diagonalizacja macierzy odwzorowania liniowego Postać kanoniczna Jordana Wielomiany macierzy Macierze i odwzorowania hermitowskie 56 1

2 SPIS TREŚCI 2 Oznaczenia N - zbiór liczb naturalnych Z - zbiór liczb całkowitych Q - zbiór liczb wymiernych R - zbiór liczb rzeczywistych C - zbiór liczb zespolonych - implikacja - równoważność - kwantyfikator szczegółowy Istnieje - kwantyfikator ogólny Dla każdego

3 1 LICZBY ZESPOLONE 3 1 Liczby zespolone Definicja 11 Liczba zespolona z nazywamy (uporza dkowana ) pare (a, b) liczb rzeczywistych a, b R Zbiór wszystkich liczb zespolonych oznaczymy przez C := {(a, b) a, b R} Uwaga 12 Dwie liczby zespolone z 1 = (a 1, b 1 ) i z 2 = (a 2, b 2 ) sa równe, gdy a 1 = a 2 oraz b 1 = b 2 W zbiorze C określamy działania dodawania, odejmowania oraz mnożenia: z 1 + z 2 = (a 1, b 1 ) + (a 2, b 2 ) := (a 1 + a 2, b 1 + b 2 ) z 1 z 2 = (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) := (a 1 a 2, b 1 b 2 ) z 1 z 2 = (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) := (a 1 a 2 b 1 b 2, a 1 b 2 + a 2 b 1 ) Twierdzenie 13 Dla z 1, z 2, z 3 C mamy: z 1 + z 2 = z 2 + z 1 z 1 z 2 = z 2 z 1 z 1 + (z 2 + z 3 ) = (z 1 + z 2 ) + z 3 z 1 (z 2 z 3 ) = (z 1 z 2 ) z 3 (z 1 + z 2 ) z 3 = (z 1 z 3 ) + (z 2 z 3 ) Każdej liczbie rzeczywistej a można jednoznacznie przyporza dkować liczbe zespolona (a, 0) Dodawanie i mnożenie liczb rzeczywistych traktowanych jak liczby zespolone jest zgodne z klasycznym dodawaniem i mnożeniem liczb rzeczywistych: (a 1, 0) + (a 2, 0) = (a 1 + a 2, 0) (a 1, 0) (a 2, 0) = (a 1 a 2, 0) Be dziemy zamiennie stosować zapis a oraz (a, 0), w obu przypadkach maja c na myśli liczbe rzeczywista a Definicja 14 Liczby postaci (0, b) be dziemy nazywać liczbami urojonymi W zbiorze liczb zespolonych C rozwia zaniem równania x = 0 jest liczba urojona (0, 1), gdyż (0, 1) (0, 1) = ( 1, 0)

4 1 LICZBY ZESPOLONE 4 Postać algebraiczna liczby zespolonej Wprowadzamy oznaczenie: i := (0, 1) Dla każdej liczby urojonej (0, b) mamy: (0, b) = (b, 0) (0, 1) b i Każ liczbe zespolona z = (a, b) można jednoznacznie zapisać w postaci: (a, b) = (a, 0) + (b, 0) (0, 1) a + bi Definicja 15 Wyrażenie z = a + bi nazywamy liczba zespolona w postaci algebraicznej Rez := a - cze ść rzeczywista liczby z Imz := b - cze ść urojona liczby z Uwaga 16 1 Re(z 1 + z 2 ) = Rez 1 + Rez 2 2 Im(z 1 + z 2 ) = Imz 1 + Imz 2 Uwaga 17 Dwie liczby zespolone z 1 = a 1 + b 1 i oraz z 2 = a 2 + b 2 i sa równe, gdy Rez 1 = Rez 2 oraz Imz 1 = Imz 2 W przypadku, gdy liczby zespolone sa zapisane w postaci algebraicznej, działania na nich można wykonywać tak jak dodawanie i mnożenie dwumianów o współczynnikach rzeczywistych zaste puja c i 2 przez 1: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i a + bi c + di ac + bd bc ad = c d2 c 2 + d 2 i Definicja 18 Sprze żeniem liczby zespolonej z = a + bi nazywamy liczbe zespolona z := a bi Modułem liczby zespolonej z = a + bi nazywamy liczbe rzeczywista a2 + b 2, która oznaczamy z Jeżeli z = a R, to z = a 2 jest wartościa bezwzgle dna liczby a Liczbe zespolona (a, b) można traktować jako wektor na płaszczyźnie R 2, którego pocza tek pokrywa sie sie z pocza tkiem układu współrze dnych, a koniec znajduje sie w punkcie z = (a, b) Wtedy dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych jest dodawaniem i odejmowaniem wektorów Moduł liczby zespolonej z = a + bi jest długościa wektora o pocza tku w pocza tku układu współrze dnych i końcu w punkcie (a, b) Sta d dla danych

5 1 LICZBY ZESPOLONE 5 z 0 = a 0 + b 0 i, z 1, z 2 C oraz 0 < r R, zbiór {z C z z 0 = r} jest zbiorem wszystkich liczb zespolonych położonych w równej odległości od liczby zespolonej z 0, czyli jest to okra g o środku (a 0, b 0 ) i promieniu r Natomiast zbiór {z C z z 1 = z z 2 } jest zbiorem punktów, które sa równo oddalone od dwóch zadanych punktów z 1 i z 2, czyli jest to symetralna odcina ła cza cego z 1 i z 2 Twierdzenie 19 Niech z, z 1, z 2 C Wtedy 1 z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 3 dla z 2 0, z 1 z 2 = z 1 z 2 4 z = z 5 z = z z R 6 z + z = 2Rez, z z = Imz 7 z z = z 2 8 z 0, z = 0 z = 0 9 z = z 10 z 1 z 2 = z 1 z 2 11 dla z 2 0, z 1 z 2 = z 1 z 2 12 Rez Rez z, Imz Imz z 13 z 1 + z 2 z 1 + z 2 (tzw nierówność trójka ta) 14 z 1 z 2 z 1 z 2 Postać trygonometryczna liczby zespolonej Niech dla danej liczby zespolonej 0 z = a + bi, φ be dzie ka tem zorientowanym mie dzy dodatnia półosia Ox a wektorem Oz Definicja 110 Miare ka ta φ nazywamy argumentem liczby zespolonej 0 z i oznaczamy symbolem Argφ Jeśli liczba φ jest argumentem z, to liczba φ + 2kπ, dla k Z, jest także argumentem liczby z Twierdzenie 111 Dla każdej liczby zespolonej z 0 istnieje dokładnie jedna liczba rzeczywista 0 φ < 2π taka, że z = z (cos φ + i sin φ) (1111) Jeżeli także z = r(cos α + i sin α), dla r > 0, to r = z oraz α = φ + 2kπ, k Z

6 1 LICZBY ZESPOLONE 6 Definicja 112 (1111) nazywamy postacia trygonometryczna liczby zespolonej z Wniosek 113 Dwie liczby zespolone w postaci trygonometrycznej sa równe wtedy i tylko wtedy, gdy maja równe moduły, a ich argumenty różnia sie o całkowita wielokrotność ka ta pełnego Jeśli 0 φ < 2π, to φ nazywamy argumentem głównym liczby z i oznaczamy argz Przyjmujemy, że arg0 = 0 Przykład 114 Dla liczby zespolonej z = 1+ 3i, z = 2 oraz argz = π 3 Sta d postać trygonometryczna liczby z: z = 2(cos π 3 + i sin π 3 ) Twierdzenie 115 Niech z = r(cos φ + i sin φ) oraz z k = r k (cos φ k + i sin φ k ), dla k = 1, 2,, n Wtedy 1 z = r(cos( φ) + i sin( φ)) 2 z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos(φ 1 + φ 2 ) + i sin(φ 1 + φ 2 )) 3 dla z 2 0, z1 z 2 = r1 r 2 (cos(φ 1 φ 2 ) + i sin(φ 1 φ 2 )) 4 z 1 z n = r 1 r n (cos(φ φ n ) + i sin(φ φ n )) 5 z n = r n (cos nφ + i sin nφ) Wniosek 116 Dla dowolnej liczby naturalnej n N prawdziwy jest tzw wzór Moivre a: (cos φ + i sin φ) n = cos nφ + i sin nφ (1161) Przykład 117 Dla z = 1 + i = 2(cos π 4 + i sin π 4 ) mamy (1 + i) 12 = ( 2) 12 (cos 12π 4 12π + i sin ) = 64(cos 3π + i sin 3π) = 64 4 Zbiór {z C argz = φ} wszystkich liczb zespolonych o danym argumencie głównym φ [0, 2π) jest półprosta o wierzchołku w pocza tku układu współrze dnych i ka cie nachylenia do dodatniej półosi Ox równym φ Sta d dla danych α, φ [0, 2π) zbiór {z C α argz φ} jest obszarem ograniczonym półprostymi wychodza cymi z pocza tku układu i tworza cymi ka ty α i φ z dodatnia cze ścia osi Ox Pierwiastkowanie liczb zespolonych Definicja 118 Pierwiastkiem stopnia 0 < n N z liczby zespolonej z = z (cos φ + i sin φ) nazywamy każ liczbe zespolona w = w (cos α + i sin α) spełniaja ca warunek: w n = z

7 1 LICZBY ZESPOLONE 7 Twierdzenie 119 Niech 0 < n N oraz 0 < r R Istnieje dokładnie n różnych pierwiastków zespolonych stopnia n z liczby zespolonej z = r(cos φ + i sin φ) 0 Pierwiastki te sa postaci: z k = n r(cos φ + 2kπ n + i sin φ + 2kπ ), k = 0, 1,, n 1 n Wszystkie pierwiastki zespolone z liczby z = r(cos φ + i sin φ) 0 leża na okre gu o promieniu n r w wierzchołkach wieloka ta foremnego wpisanego w ten okra g Przykład 120 Pierwiastki stopnia 3 z liczby i = cos π 2 + i sin π 2 : z 0 = cos π 6 + i sin π 6 = i z 1 = cos 5π 6 + i sin 5π 6 = i, z 2 = cos 3π 2 + i sin 3π 2 = i Wniosek 121 Niech 0 < n N Pierwiastki stopnia n z 1 można zapisać naste puja co: ( n 1) k = z k = cos 2kπ n 2kπ + i sin n = (cos 2π n + i sin 2π n )k, k = 0, 1,, n 1 Każdy pierwiastek n-tego stopnia z jedynki jest pote ga liczby ε = cos 2π n + i sin 2π n ε nazywamy pierwiastkiem pierwotnym z 1 Przykład 122 Wszystkie pierwiastki 6-go stopnia z 1 sa wierzchołkami sześcioka ta wpisanego w okra g jednostkowy: z 0 = cos 0 + i sin 0 = 1 z 1 = cos 2π 6 + i sin 2π 6 = i (pierwiastek pierwotny) 2 z 2 = cos 4π 6 + i sin 4π 3 6 = i, z 3 = cos 6π 6 + i sin 6π 6 = 1, z 4 = cos 8π 6 + i sin 8π 3 6 = i, z 5 = cos 10π 10π + i sin 6 6 = i

8 1 LICZBY ZESPOLONE 8 Postać wykładniczna liczby zespolonej Dla φ R wprowadzamy naste puja ce oznaczenie: Przykład 123 e i π 2 e iφ := cos φ + i sin φ = cos π 2 + i sin π 2 = i Twierdzenie 124 Niech φ R Zachodza naste puja ce tożsamości nazwane wzorami Eulera: cos φ = eiφ + e iφ, 2 sin φ = eiφ e iφ 2i Twierdzenie 125 Każ liczbe zespolona z można zapisać w tzw postaci wykładniczej : z = re iφ, (1251) gdzie 0 r R oraz φ R Jeżeli re iφ jest postacia wykładnicza liczby z, to r jest modułem liczby z, natomiast φ jest jej argumentem Uwaga 126 Niech 0 r 1, r 2 R oraz φ 1, φ 2 R Wówczas r 1 e iφ1 = r 2 e iφ2 r 1 = r 2 = 0 albo r 1 = r 2 > 0 oraz φ 1 = φ 2 + 2kπ, k Z Równania algebraiczne Niech a, b, c C Równanie algebraiczne drugiego stopnia az 2 + bz + c = 0 (1261) o współczynnikach zespolonych rozwia zuje sie w ten sam sposób co równanie o współczynnikach rzeczywistych Równanie (1261) ma dokładnie dwa pierwiastki: z 1,2 = b ±, dla = b 2 4ac C 2a Pierwiastek podwójny wyste puja cy, gdy = 0 liczymy dwa razy Definicja 127 Niech a 0, a 1,, a n C Wyrażenie a 0 + a 1 z + + a n 1 z n 1 + a n z n = 0 (1271) nazywamy równaniem algebraicznym stopnia n

9 2 GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI R 3 9 Twierdzenie 128 (Zasadnicze twierdzenie algebry) Algebraiczne równanie stopnia n o współczynnikach zespolonych ma w zbiorze liczb zespolonych dokładnie n pierwiastków (każdy pierwiastek liczymy tyle razy, ile wynosi jego krotność) Przykład 129 Rozwia zaniem równania sa pierwiastki stopnia n z 1 z n 1 = 0 2 Geometria analityczna w przestrzeni R 3 21 Punkty i wektory Elementy zbioru {(x 1, x 2, x 3 ) x 1, x 2, x 3 R} be dziemy nazywać punktami przestrzeni R 3 o współrze dnych x 1, x 2, x 3 Wektor o pocza tku w punkcie p = (x 1, x 2, x 3 ) i końcu w punkcie q = (y 1, y 2, y 3 ) oznaczamy pq Punkt zaczepienia wektora nie jest istotny Wektor można jednoznacznie scharakteryzować za pomoca trzech współrze d- nych Dla wektora pq zachodzi zależność: u = [u 1, u 2, u 3 ] = pq = [y 1 x 1, y 2 x 2, y 3 x 3 ] Liczby u 1, u 2 oraz u 3 nazywamy współrze dnymi wektora u = pq = [u 1, u 2, u 3 ] Przy ustalonym układzie współrze dnych punktowi p = (x 1, x 2, x 3 ) odpowiada wektor 0p = [x 1, x 2, x 3 ] Wektor ten nazywamy promieniem wodza cym punktu p Sta d można utożsamiać punkt z jego promieniem wodza cym Definicja 21 Niech u = [u 1, u 2, u 3 ] i v = [v 1, v 2, v 3 ] be wektorami w R 3 Wektor u + v := [u 1 + v 1, u 2 + v 2, u 3 + v 3 ] nazywamy suma wektorów u i v Dla a R, wektor au := [au 1, au 2, au 3 ] nazywamy iloczynem wektora u przez liczbe a Własności sumy wektorów: Niech 0:= [0, 0, 0], u, v, w be wektorami w R 3 oraz a, b R Wtedy u + v = v + u, (u + v) + w = u + (v + w), u + 0 = 0 + u = u,

10 2 GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI R u = u, (ab)u = a(bu), (a + b)u = au + bu, a(u + v) = au + av, Jeśli u = [u 1, u 2, u 3 ], to dla wektora u := [ u 1, u 2, u 3 ] mamy Lemat 22 (Nierówność Schwartza) Dla dowolnych u 1, u 2, u 3, v 1, v 2, v 3 R u + ( u) = 0 3 ( u i v i ) 2 3 i=1 i=1 u 2 i 3 vi 2 (221) i=1 Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy u 1 = u 2 = u 3 = 0 (lub v 1 = v 2 = v 3 = 0) lub istnieje t R takie, że v i = tu i dla każdego i = 1, 2, 3 Definicja 23 Niech u = [u 1, u 2, u 3 ] be dzie wektorem Liczbe u := u u2 2 + u2 3 nazywamy norma (lub długościa ) wektora u Jeśli u = pq = p q = [y 1 x 1 = y 1 x 1, y 2 x 2 = y 2 x 2, y 3 x 3 = y 3 x 3 ], to u := (y 1 x 1 ) 2 + (y 2 x 2 ) 2 + (y 3 x 3 ) 2 jest długościa odcinka pq (oraz odcinka p q ) Własności normy wektora: Niech u i v be wektorami w R 3 oraz a R Wtedy u = 0 u = 0, au = a u, u + v u + v (nierówność trójka ta) Definicja 24 Iloczynem skalarnym wektorów u = [u 1, u 2, u 3 ] i v = [v 1, v 2, v 3 ] w przestrzeni R 3 nazywamy liczbe u v := u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 Nierówność (221) można zapisać jako: (u v) 2 u 2 v 2

11 2 GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI R 3 11 Własności iloczynu skalarnego: Niech u, v i w be wektorami w R 3 oraz a R Wtedy u v = v u, (u + v) w = (u w) + (v w), (au) v = a(u v), Jeśli u 0, to u u > 0, u = u u Niech u i v be niezerowymi wektorami w przestrzeni R 3 Na mocy nierówności Schwartza 1 u v 1 u v Istnieje zatem dokładnie jedna liczba 0 α π taka, że cos α = u v u v Definicja 25 Liczbe α nazywamy ka tem (niezorientowanym) mie dzy wektorami u i v Jeśli jeden z wektorów jest wektorem zerowym, to jako ka t mie dzy tymi wektorami może być przyje ta dowolna liczba rzeczywista Wtedy dla dowolnych wektorów u i v u v = u v cos α Definicja 26 Niech α be dzie ka tem mie dzy wektorami u i v Wektory u i v sa prostopadłe, co oznaczamy u v, jeśli α = π 2 Wektory u i v sa równoległe, co oznaczamy u v, jeśli α = 0 lub α = π Jeśli α = 0, to mówimy, że wektory u i v sa równoległe ze zwrotem zgodnym, jeśli natomiast α = π, to sa równoległe ze zwrotem przeciwnym Przyjmujemy umowe, że wektor zerowy 0 jest jednocześnie równoległy i prostopadły do każdego wektora w R 3 Twierdzenie 27 Wektory u i v sa prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy u v = 0 Twierdzenie 28 Wektory u i v sa równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje t R takie, że v = tu Jeśli wektory u i v sa niezerowe, to dla t > 0 jest to równoległość ze zwrotem zgodnym, a w przypadku t < 0, ze zwrotem przeciwnym

12 2 GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI R 3 12 Twierdzenie 29 (cosinusów) Niech α be dzie ka tem mie dzy wektorami u i v Wtedy u v 2 = u 2 + v 2 2 u v cos α Definicja 210 Niech u = [u 1, u 2, u 3 ] i v = [v 1, v 2, v 3 ] be wektorami w przestrzeni R 3 Iloczynem wektorowym wektorów u i v nazywamy wektor: u v := [u 2 v 3 u 3 v 2, (u 1 v 3 u 3 v 1 ), u 1 v 2 u 2 v 1 ] Twierdzenie 211 Niech u = [u 1, u 2, u 3 ] i v = [v 1, v 2, v 3 ] be wektorami w przestrzeni R 3 Wówczas u v = 0 u v Twierdzenie 212 Niech u = [u 1, u 2, u 3 ], v = [v 1, v 2, v 3 ] i w = [w 1, w 2, w 3 ] be wektorami w przestrzeni R 3 Jeśli wektory u i v nie sa równoległe, to w = u v wtedy i tylko wtedy, gdy w u i w v, w = u v sin α, gdzie α jest ka tem mie dzy wektorami u i v, w 1 (u 2 v 3 u 3 v 2 ) w 2 (u 1 v 3 u 3 v 1 ) + w 3 (u 1 v 2 u 2 v 1 ) > 0 Wniosek 213 Długość iloczynu wektorowego wektorów u i v jest polem równoległoboku, którego nierównoległymi bokami sa wektory u i v Własności iloczynu wektorowego: Niech u, v i w be wektorami w przestrzeni R 3 oraz a R Wtedy u v = v u, (au) v = a(u v), (u + v) w = (u w) + (v w) Definicja 214 Niech u = [u 1, u 2, u 3 ], v = [v 1, v 2, v 3 ] i w = [w 1, w 2, w 3 ] be wektorami w przestrzeni R 3 Wyrażenie (u v) w nazywamy iloczynem mieszanym wektorów u, v i w Wniosek 215 Niech wychodza ce z jednego wierzchołka krawe dzie równoległościanu w R 3 be wektorami u, v i w Wówczas (u v) w jest obje tościa tego równoległościanu

13 2 GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI R Prosta i płaszczyzna Niech u = [u 1, u 2, u 3 ] 0 be dzie wektorem oraz p 0 = (x 10, x 20, x 30 ) be dzie punktem przestrzeni R 3 Punkt p = (x 1, x 2, x 3 ) leży na prostej L przechodza cej przez punkt p 0 o kierunku u wtedy i tylko wtedy, gdy u p 0 p, czyli wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje t R 3 takie, że p 0 p = tu Zatem punkty należa ce do prostej L spełniaja nastepuja ca zależność: dla t R x 1 = x 10 + tu 1, x 2 = x 20 + tu 2, x 3 = x 30 + tu 3 Opisanie punktów prostej L w powyższej postaci nazywa sie przedstawieniem parametrycznym tej prostej Równoważnie punkty należa ce do prostej L spełniaja tzw równanie kierunkowe prostej : x 1 x 10 = x 2 x 20 = x 3 x 30 u 1 u 2 u 3 Punkt p = (x 1, x 2, x 3 ) należy do płaszczyzny Π przechodza cej przez punkt p 0 = (x 10, x 20, x 30 ) i równoległej do nierównoległych wektorów u = [u 1, u 2, u 3 ] i v = [v 1, v 2, v 3 ] wtedy i tylko wtedy, gdy istnieja t, s R takie, że x 1 = x 10 + tu 1 + sv 1, x 2 = x 20 + tu 2 + sv 2, x 3 = x 30 + tu 3 + sv 3 Opisanie punktów płaszczyzny Π w powyższej postaci nazywa sie przedstawieniem parametrycznym tej płaszczyzny Płaszczyzne Π przechodza ca przez punkt p 0 = (x 10, x 20, x 30 ) i równoległa do dwóch nierównoległych wektorów u i v można równanoważnie opisać jako zbiór Π := {p = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 p 0 p u v} Wektor n Π nazywamy wektorem normalnym do płaszczyzny Π Punkt p = (x 1, x 2, x 3 ) należy do płaszczyzny Π przechodza cej przez punkt p 0 = (x 10, x 20, x 30 ) i prostopadłej do wektora n = [A, B, C] wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia równanie normalne płaszczyzny: A(x 1 x 10 ) + B(x 2 x 20 ) + C(x 3 x 30 ) = 0 Przyjmuja c D := (Ax 10 +Bx 20 +Cx 30 ) równanie normalne płaszczyzny można przekształcić do równania ogólnego: Ax 1 + Bx 2 + Cx 3 + D = 0 W przestrzeni R 3 każde dwie proste albo sie pokrywaja, albo sa równoległe, albo sie przecinaja w dokładnie jednym punkcie, albo sa skośne

14 3 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 14 Każde dwie płaszczyzny albo sie pokrywaja, albo sa równoległe, albo przecinaja sie wzdłuż prostej Układ równań A 1 x 1 + B 1 x 2 + C 1 x 3 + D 1 = 0 A 2 x 1 + B 2 x 2 + C 2 x 3 + D 2 = 0 dwóch nierównoległych płaszczyzn przecinaja cych sie wzdłuż prostej L nazywamy równaniem krawe dziowym prostej L Zbiór wszystkich płaszczyzn zawieraja cych ustalona prosta nazywamy pe kiem płaszczyzn 3 Układy równań liniowych Niech K be dzie zbiorem R liczb rzeczywistych lub zbiorem C liczb zespolonych i niech m, n N 31 Macierze Definicja 31 Funkcje A : {1,, m} {1,, n} K, (i, j) A(i, j) nazywamy macierza stopnia m n o elementach w zbiorze K Funkcja A przyporza dkowuje każdej parze (i, j) liczb takich, że i {1,, m}, j {1,, n} element macierzy A(i, j) K Najcze ściej zamiast A(i, j) be dziemy pisać a ij dla i = 1,, m oraz j = 1,, n, natomiast macierz o elementach a ij oznaczamy A = [a ij ] n m lub po prostu A = [a ij ] Elementy macierzy A = [a ij ] n m wygodnie jest ustawić w prostoka tna tablice a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn Para indeksów (i, j) przy każdym elemencie a ij określa odpowiednio wiersz oraz kolumne macierzy, w których ten element sie znajduje Zatem macierz A stopnia m n jest macierza o m wierszach i n kolumnach Równość dwóch macierzy A = [a ij ] i B = [b ij ] oznacza, że obie macierze sa tego samego stopnia (tzn maja te sama liczbe wierszy i te sama liczbe kolumn), oraz a ij = b ij dla wszystkich i {1,, m}, j {1,, n} Symbolem M n m(k) be dziemy oznaczali zbiór wszystkich macierzy stopnia m n o elementach w K

15 3 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 15 Przykład 32 A = Dla ustalonego i {1,, m}, elementy i-tego wiersza macierzy A = [a ij ] be dziemy oznaczać jako r i (A) := (a i1, a i2,, a in ) Analogicznie, dla ustalonego j {1,, n}, elementy j-tej kolumny macierzy A = [a ij ] n m be dziemy oznaczać c j (A) := (a 1j, a 2j,, a mj ) (321) Macierza zerowa stopnia m n nazywamy macierz, której wszystkie wyrazy sa równe zero i oznaczamy 0 n m n m = Definicja 33 Macierz stopnia n n nazywamy macierza kwadratowa stopnia n O wyrazach a 11,, a nn macierzy kwadratowej mówimy, że leża na głównej przeka tnej tej macierzy a 11 a 12 a 1i a 1n a 21 a 22 a 2i a 2n A = a i1 a i2 a ii a in a n1 a n2 a ni a nn Definicja 34 Jeżeli wszystkie elementy pod główna przeka tna w macierzy

16 3 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 16 kwadratowej sa równe zero: a 11 a 12 a 1i a 1n 0 a 22 a 2i a 2n 0 0 a ii a in a nn to taka macierz nazywamy macierza trójka tna górna Jeżeli wszystkie elementy nad główna przeka tna w macierzy kwadratowej sa równe zero: a a 21 a a i1 a i2 a ii 0 a n1 a n2 a ni a nn to taka macierz nazywamy macierza trójka tna dolna Przykład 35 Macierz trójka tna górna: A = Macierz trójka tna dolna: A = Definicja 36 Macierz A = [a ij ] n m nazywamy górna trapezowa, jeżeli dla każdego i > j, a ij = 0 Podobnie określamy macierz dolna trapezowa Przykład 37 Określenie macierz trapezowa bierze sie z faktu, że niezerowe elementy takiej macierzy układaja sie w trapez:

17 3 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 17 Definicja 38 Macierz kwadratowa A M n n (K), której wszystkie elementy poza główna przeka tna sa zerami, tzn A(i, j) = 0 dla i j, nazywamy macierza diagonalna i oznaczamy diag(a 11, a 22,, a nn ) a a diag(a 11, a 22,, a nn ) = 0 0 a ii a nn Przykład 39 Macierz diagonalna stopnia 3 3: diag(1, 2, 3) = Macierz diagonala diag(1, 1,, 1) stopnia n n nazywamy macierza jednostkowa i oznaczamy I n lub I I n = Przykład 310 Macierz jednostkowa stopnia 3 3: I 3 = diag(1, 1, 1) = Definicja 311 Niech A, B M n m(k) i K Suma macierzy A = [a ij ] n m i B = [b ij ] n m nazywamy macierz A + B = [a ij + b ij ] M n m(k) taka, że dla i = 1,, n, j = 1,, m: (A + B)(i, j) := A(i, j) + B(i, j) A + B = a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 1j + b 1j a 1n + b 1n a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 2j + b 2j a 2n + b 2n a i1 + b i1 a i2 + b i2 a ij + b ij a in + b in a m1 + b m1 a m2 + b m2 a mj + b mj a mn + b mn

18 3 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 18 Iloczynem macierzy A przez liczbe R nazywamy macierz A = [a ij ] M n m(k) taka, że (A)(i, j) := A(i, j) dla i = 1,, n, j = 1,, m: a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n A = a i1 a i2 a ij a jn a m1 a m2 a mi a mn W szczególności, A = ( A)(i, j) = A(i, j) : a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n a i1 a i2 a ij a jn a m1 a m2 a mi a mn Przykład = = Definicja 313 Niech A M n m(k) i B M p n(k) Iloczynem macierzy A i B nazywamy macierz C = AB = [ n M p m(k) taka, że dla i = 1,, m, j = 1,, p C(i, j) := n A(i, k)b(k, j) k=1 k=1 a ik b kj ]

19 3 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 19 b 11 b 12 b 1j b 1p a 11 a 12 a 1s a 1n a 21 a 22 a 2s a 2n b 21 b 22 b 2j b 2p AB = a i1 a i2 a is a in = b s1 b s2 b sj b sp a m1 a m2 a ms a mn b n1 b n2 b nj b np n n n n a 1k b k1 a 1k b k2 a 1k b kj a 1k b kp k=1 k=1 k=1 k=1 n n n n a 2k b k1 a 2k b k2 a 2k b kj a 2k b kp k=1 k=1 k=1 k=1 n n n n a ik b k1 a ik b k2 a ik b kj a ik b kp k=1 k=1 k=1 k=1 n n n n a mk b k1 a mk b k2 a mk b kj a mk b kp k=1 k=1 k=1 k=1 Przykład 314 ( ) ( ) ( ) a b x y ax + bz ay + bt = c d z t cx + dz cy + dt Przykład 315 ( a b c x y z ) ( a + 3b + 5c 2a + 4b + 6c = x + 3y + 5z 2x + 4y + 6z Mnożenie macierzy nie jest przemienne a także wynikiem mnożenia dwóch niezerowych macierzy może być macierz zerowa ( ) ( ) Przykład 316 Niech A = i B = Wtedy ( ) ( ) ( ) AB = = = ( ) ( ) ( ) BA = = AB Przykład 317 x y z a b c = xa yb zc )

20 3 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 20 Uwaga 318 Iloczyn dwóch macierzy diagonalnych jest macierza diagonalna, której elementy sa iloczynami odpowiednich elementów macierzy be cych czynnikami: diag(a 11, a 22,, a nn ) diag(b 11, b 22,, b nn ) = diag(a 11 b 11, a 22 b 22,, a nn b nn ) Definicja 319 Niech A M n n (K) be dzie macierza kwadratowa Pote ge macierzy A określamy w naste puja cy sposób: A 0 := I n, A k := AA k 1, dla k > 0 ( ) 0 1 Przykład 320 Niech A = Wtedy 2 3 ( ) A = AA = 6 11 ( ) A 3 = AA = Własności sumy i iloczynu macierzy Niech A, A, A M n m(k), B, B M p n(k), C M r p (K) oraz K Wtedy (A + A ) + A = A + (A + A ), A + A = A + A, A + ( A) = 0 n m, A + 0 n m = A, (AB)C = A(BC), (A + A )B = (AB) + (A B) oraz A(B + B ) = (AB) + (AB ), (A)B = A(B) = (AB), I m A = A = AI n Uwaga 321 Niech A M n m(k) i B M p n(k) Wtedy r i (AB) = r i (A)B, dla i = 1,, m, c j (AB) = Ac j (B), dla j = 1,, n Definicja 322 Macierza transponowana wzgle dem macierzy A = [a ij ] n m nazywamy macierz A T stopnia n m taka, że dla i = 1,, m, j = 1,, n A T (i, j) := A(j, i)

21 3 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 21 Przykład 323 A = A T = Macierz kwadratowa A spełniaja ca warunek A T = A nazywamy macierza symetryczna Macierz kwadratowa A nazywamy macierza antysymetryczna, jeżeli spełnia warunek A T = A Przykład 324 Macierz symetryczna: ( Macierz antysymetryczna: ( Uwaga 325 Jeżeli A jest dowolna macierza kwadratowa, to macierz 1 2 (A+AT ) jest symetryczna, a macierz 1 2 (A AT ) antysymetryczna Własności macierzy transponowanej Niech A, B M n m(k), C M k n(k) i K Wtedy (A + B) T = A T + B T, (A) T = A T, (A T ) T = A, I T n = I n, (AC) T = C T A T Operacje elementarne macierzy Niech A M m n (K) Elementarnymi operacjami wierszowymi macierzy A sa : Mnożenie dowolnego wiersza macierzy A przez element 0 K A r i A oznaczać be dzie, że macierz A powstała z macierzy A w wyniku pomnożenia i-tego wiersza macierzy A przez 0 ) )

22 3 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 22 Dodawanie do dowolnego wiersza macierzy A dowolnego innego wiersza pomnożonego przez dowolny element K A r i+r k A oznaczać be dzie, że macierz A powstała z macierzy A w wyniku dodania do i-tego wiersza macierzy A wiersza k-tego pomnożonego przez Zamiana dwóch wierszy miejscami A r i r k A oznaczać be dzie, że macierz A powstała z macierzy A w wyniku zamiany miejscami wierszy i-tego oraz k-tego Operacje elementarne na wierszach macierzy można opisać jako mnożenie tej macierzy przez odpowiednio zmodyfikowana macierz jednostkowa : A r i A A = 0 0 a ii = 0 A = diag(1,,,, 1)A = [r i ](I m )A A r i+r k A A = a ii = 1 a ik = a kk = [r i + r k ](I m )A A = A r i r k A

23 3 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 23 A = a ik = a ki = [r i r k ](I m )A A = Definicja 326 Każde złożenie skończonej liczby elementarnych operacji wierszowych be dziemy nazywali operacja wierszowa Przykład r r2 2r r1 r Definicja 328 Powiemy, że macierz A jest wierszowo równoważna macierzy A, jeśli A można utworzyć z A za pomoca pewnej operacji wierszowej Przykład 329 Macierz jest wierszowo równoważna macierzy Algorytm Gaussa Każ macierz kwadratowa można sprowadzić do postaci trójka tnej górnej ba dź dolnej (a czasami do postaci diagonalnej) za pomoca skończonej liczby wierszowych operacji elementarnych (tzn każda macierz kwadratowa jest wierszowo równoważna macierzy trójka tnej) Jedna z metod prowadza cych do tego celu nazywamy algorytmem Gaussa Algorytm Gaussa działa dla macierzy kwadratowej A = [a ij ] n n w taki sposób, że uzyskujemy zera pod główna przeka tna w kolumnie 1 j n, odejmuja c od wierszy o numerach j+1,, n wiersz o numerze j pomnożony przez odpowiednio dobrane stałe Czasami trzeba dodatkowo przestawić wiersze, jeśli wysta pi sytuacja, w której na głównej przeka tnej macierzy znajdzie sie wartość zero

24 3 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 24 Przykład r1 r Przykład r 3+r r 1 r r 3+r 2 r2 3r r 3 3r 1 r2 r r 2+r Poste puja c analogicznie jak w przypadku macierzy trójka tnej, możemy każ macierz stopnia m n sprowadzić do macierzy (górnej) trapezowej Przykład r 2 2r r 3 r r 3 3r 1 r 4 2r r 4 5r 1 Twierdzenie 333 Każda niezerowa macierz A M n m(k) jest wierszowo równoważna pewnej macierzy (górnej) trapezowej W szczególności, każda macierz kwadratowa jest wierszowo równoważna macierzy trójka tnej (górnej) Twierdzenie 334 Liczba niezerowych wierszy w macierzch (górnych) trapezowych wierszowo równoważnych jest taka sama Definicja 335 Rze dem macierzy A M n m(k) nazywamy liczbe niezerowych wierszy w macierzy (górnej) trapezowej wierszowo równoważnej macierzy A i oznaczamy rza Przykład 336 Sprowadzimy macierz A =

25 3 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 25 do postaci trapezowej (górnej) A = r 4 r 4 3r 1 r 3 r 2 r 1 r 2 r 5 +r Otrzymana macierz B ma rza d równy 3 Macierz odwrotna r 3 r 3 5r 1 r 5 2r 1 r 4 r 2 r 3 r 5 Definicja 337 Macierz kwadratowa A M n n (K) jest odwracalna, jeśli istnieje macierz B M n n (K) taka, że AB = BA = I n Macierz B nazywamy macierza odwrotna do macierzy A i oznaczamy A 1

26 3 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 26 Przykład 338 Dla A = ( A 1 = ) macierz odwrotna jest równa ( ) Przykład 339 Niech 0 a, b, c K Wtedy 1 1 a 0 0 a b 0 = 1 0 b c 0 0 c Przykład 340 Macierz odwrotna do macierzy diagonalnej diag(a 11, a 22,, a nn ), w której a 11, a 22,, a nn 0: (diag(a 11, a 22,, a nn )) 1 = diag( 1 a 11, 1 a 22,, 1 a nn ) Twierdzenie 341 Niech A, B M n n (K) be macierzami odwracalnymi i 0 K Wtedy I 1 n = I n, (A 1 ) 1 = A, (AB) 1 = B 1 A 1, (A T ) 1 = (A 1 ) T, (A) 1 = 1 A 1 Niech A Mm(K) n i B Mm(K) p Symbolem A B be dziemy oznaczali macierz stopnia m (n + p) o elementach w K taka, że { c j c j (A), dla j = 1,, n, (A B) = c j n (B), dla j = n + 1,, n + p ( ) ( ) a b x y Przykład 342 Niech A = i B = Wtedy c d z w ( ) a b x y A B = c d z w Twierdzenie 343 Jeżeli macierz A jest odwracalna, to znaczy że jest wierszowo równoważna macierzy jednostkowej Twierdzenie 344 Niech A M n n (K) be dzie odwracalna macierza kwadratowa Jeśli f jest operacja wierszowa taka, że to wtedy A I n f I n B, B = A 1

27 3 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 27 ( 1 3 Przykład 345 Niech A = 2 5 macierz odwrotna do macierzy A Sta d A I 2 = ( ) ( Przykład 346 Niech A = A 1 = ) Stosuja c Twierdzenie 344 znajdziemy r 2 2r 1 ( ) ( r ( Stosuja c wniosek 344 znajdziemy macierz odwrotna do macierzy A A I 4 = r 4 r 1 r 4+r r 2+r r 2 r 1 ) ) ) r 1 +3r 2 r3+r2 1 2 r 4 r2 r r3 r r1 r

28 3 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 28 Sta d A 1 1 = Układy równań liniowych Układem m równań liniowych nad K z n niewiadomymi x 1,, x n nazywać be dziemy każdy układ równań postaci: a 11 x a 1j x j + + a 1n x n = b 1 a i1 x a ij x j + + a in x n = b i a m1 x a mj x j + + a mn x n = b m, gdzie dla i = 1,, m, j = 1,, n, a ij, b i K Elementy a ij nazywamy współczynnikami przy niewiadomych, elementy b i nazywamy wyrazami wolnymi Rozwia zaniem układu równań liniowych nazywamy każdy cia g liczb (x 1,, x n ) z K spełniaja cych każde równanie układu Każdy układ równań liniowych albo nie ma rozwia zań, albo ma jedno rozwia zanie, albo ma nieskończenie wiele rozwia zań Jeżeli układ równań nie ma rozwia zań, to mówimy, że jest sprzeczny Jeżeli układ ma jedno rozwia zanie, to mówimy, że jest oznaczony Jeżeli układ ma nieskończenie wiele rozwia zań, to mówimy, że jest nieoznaczony Wprowadzaja c oznaczenia: A := a 11 a 1j a 1n a i1 a ij a in a m1 a mj a mn, B := b 1 b j b m, X := układ m równań z n niewiadomymi możemy zapisać w postaci macierzowej AX = B Macierz A nazywamy macierza układu równań lub macierza główna układu równań Jednokolumnowa macierz X nazywamy macierza niewiadomych lub kolumna niewiadomych Jednokolumnowa macierz B nazywamy macierza wyrazów wolnych lub kolumna wyrazów wolnych Macierz (A B) złożona z macierzy układu i kolumny wyrazów wolnych nazywamy macierza rozszerzona Niech A M n m(k), B M 1 m(k) Oznaczmy przez Rozw(A B) := {X M 1 n(k) AX = B} x 1 x i x n

29 3 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 29 zbiór wszystkich rozwia zań układu AX = B Powiemy, że dwa układy równań liniowych sa równoważne, jeżeli maja takie same zbiory rozwia zań Twierdzenie 347 Niech A, A M n m(k), B, B M 1 m(k) i niech macierz A B be dzie wierszowo-równoważna macierzy A B Wtedy Rozw(A B ) = Rozw(A B), czyli układy równań AX = B oraz A X = B sa równoważne Przykład 348 Macierz rozszerzona ( ) A B := jest wierszowo-równoważna macierzy ( A B := Sta d układ równań jest równoważny układowi ) x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 5 3x 1 + 3x 2 + 3x 3 + 3x 4 = 10 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 0 = 1, co oznacza, że jest sprzeczny Zauważmy, że rza = 1 rz(a B) = 2 Przykład 349 Macierz rozszerzona A B := jest wierszowo-równoważna macierzy Sta d układ równań jest równoważny układowi A B := x 1 + x 2 = 2 x 1 + x 3 = 2 x 1 + x 2 + x 3 = 3 x 1 = 1 x 2 = 1 x 3 = 1,

30 3 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 30 czyli ma dokładnie jedno rozwia zanie W tym przypadku rza = rz(a B) = n = 3 Macierz A jest wierszowo-równoważna macierzy jednostkowej I 3, zatem jest odwracalna Sta d X = x 1 x 2 x 3 = A 1 B = Przykład 350 Macierz rozszerzona A B := jest wierszowo-równoważna macierzy Sta d układ równań jest równoważny układowi Sta d A B := x 1 + x 2 = 2 x 1 + x 3 = 2 2x 1 + x 2 + x 3 = 4 4x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 8 x 1 + x 2 = 2 x 2 + x 3 = 0 x 1 = 2 x 2 x 2 = t R x 3 = x 2, = czyli układ ma nieskończenie wiele rozwia zań zależnych od jednego parametru t R W tym przykładzie mamy: rza = rz(a B) = 2 < n = 3 Twierdzenie 351 (Kronecker, Capelli) Niech A M n m(k) i B M 1 m(k) Układ równań AX = B ma co najmniej jedno rowia zanie wtedy i tylko wtedy, gdy Ponadto: rza = rz(a B)

31 3 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 31 Jeśli rza = rz(a B) = n, to rozwia zanie jest dokładnie jedno W przypadku, gdy macierz A jest odwracalna, to X = A 1 B, a układ AX = B nazywamy układem Cramera Jeśli rza = (A B) < n, to istnieje nieskończenie wiele rozwia zań zależnych od p = n rza parametrów Przykład 352 Rozważmy naste puja cy układ m = 5 równań z n = 5 niewiadomymi: x 2 + 7x 3 5x 4 + x 5 = 5 2x 1 + x 2 x 3 + x 4 + 3x 5 = 1 5x 1 + 3x 2 + x 3 + 8x 5 = 0 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 x 4 + 5x 5 = 1 4x 1 + x 2 9x 3 + 7x 4 + 8x 5 = 1 Jak pokazaliśmy w Przykładzie 336 macierz A B = jest wierszowo równoważna macierzy A B w postaci trapezowej: A B = Sta d rza = rz(a B) = 3, czyli układ ma nieskończenie wiele rozwia zań zależnych od p = n rza = 2 parametrów Rozwia zanie możemy zapisać w naste puja cej postaci: x 1 = 5 + 4t 1 3t 2 x 2 = 3 7t 1 + 5t 2 x 3 = t 1 x 4 = t 2 x 5 = 2, gdzie t 1, t 2 R Niech A M n m(k) i X M 1 n(k) Układ równań postaci: nazywamy układem jednorodnym AX = 0 1 n Wniosek 353 Układ jednorodny AX = 0 1 n ma niezerowe rozwia zanie wtedy i tylko wtedy, gdy rza < n

32 3 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 32 Twierdzenie 354 Niech A M n m(k), B M 1 m(k), X M 1 n(k) oraz X 0 Rozw(A B) Wtedy Rozw(A B) = {X 0 + Y Y Rozw(A 0 1 n)} 33 Wyznaczniki i ich zastosowanie Z każ macierza kwadratowa A Mn n (K) zwia zana jest liczba DetA należa ca do zbioru K zwana wyznacznikiem macierzy A Niech A ij Mn 1 n 1 (K) be dzie macierza otrzymana z A przez skreślenie i- tego wiersza i j-tej kolumny Wyznacznik definiujemy indukcyjnie w naste puja cy sposób Definicja 355 Wyznacznik macierzy A = (a 11 ) stopnia 1 określamy jako jedyny element tej macierzy: DetA := a 11 Wyznacznik macierzy A stopnia n > 2 postaci a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn określamy jako: DetA := ( 1) 1+1 a 11 DetA 11 + ( 1) 1+2 a 12 DetA ( 1) 1+n a 1n DetA 1n Wyznacznik macierzy A = cze sto oznaczamy w naste puja cy sposób: DetA = a 11 a 1j a 1n a i1 a ij a in a n1 a nj a nn a 11 a 1j a 1n a i1 a ij a in a n1 a nj a nn Przykład 356 ( ) a11 a Det 12 = a a 21 a 11 a 22 a 12 a 21 22

33 3 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 33 Przykład 357 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 11 a 23 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 Definicja 358 Niech A M n n (K) Element D ij := ( 1) i+j DetA ij nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu a ij macierzy A DetA = a 11 D 11 + a 12 D a 1n D 1n Twierdzenie 359 Niech A = (a ij ) M n n (K) be dzie macierza stopnia n 2 Dla dowolnej liczby 1 i n, wyznacznik macierzy A jest równy DetA = a i1 D i1 + a i2 D i2 + + a in D in (3591) Wyrażenie (3591) nosi nazwe rozwinie cia Laplace a wzgle dem i-tego wiersza Twierdzenie 360 Niech A = (a ij ) M n n (K) be dzie macierza stopnia n 2 Dla dowolnej liczby 1 j n, wyznacznik macierzy A jest równy DetA = a 1j D 1j + a 2j D 2j + + a nj D nj (3601) Wyrażenie (3601) nosi nazwe rozwinie cia Laplace a wzgle dem j-tej kolumny Przykład 361 Rozwinie cie Laplace a wyznacznika macierzy wzgle dem drugiego wiersza: Det = 1 ( 1) ( 1) ( 1) = ( 1) ( 1) 0 = 1 Przykład 362 Wyznacznik macierzy trójka tnej (górnej) a 11 a 12 a 13 a 1n 0 a 22 a 23 a 2n 0 0 a 33 a 3n = a 11 a 22 a 33 a nn a nn W szczególności: oraz Det(diag( 1,, n )) = 1 n DetI n = 1

34 3 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 34 Twierdzenie 363 Niech A M n n (K) i K 1 Jeżeli macierz A zawiera wiersz złożony z samych zer, to DetA = 0 2 Jeżeli zamienimy miejscami dwa różne wiersze macierzy A, to jej wyznacznik zmieni znak 3 Jeżeli macierz A ma dwa jednakowe wiersze, to DetA = 0 4 Wyznacznik jest jednorodna funkcja wierszy macierzy, tzn a 11 a 1j a 1n a i1 a ij a in a n1 a nj a nn dla dowolnego i = 1,, n = a 11 a 1j a 1n a i1 a ij a in a n1 a nj a nn 5 Wyznacznik jest addytywna funkcja wierszy macierzy, tzn a 11 a 1j a 1n a i1 + b i1 a ij + b ij a in + b in a n1 a nj a nn a 11 a 1j a 1n a i1 a ij a in a n1 a nj a nn dla dowolnego i = 1,, n 6 DetA = DetA T + = a 11 a 1j a 1n b i1 b ij b in a n1 a nj a nn 7 Wyznacznik macierzy A nie ulegnie zmianie, jeśli do dowolnego wiersza dodamy elementy dowolnego innego wiersza tej macierzy pomnożone przez dowolny element K: a 11 a 1j a 1n a i1 a ij a in a k1 a kj a kn a n1 a nj a nn dla dowolnych 1 i, k n =,, a 11 a 1j a 1n a i1 + a k1 a ij + a kj a in + a kn a k1 a kj a kn a n1 a nj a nn,

35 3 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 35 Własności podane w Twierdzeniu 363 pozostaja prawdziwe, gdy zamiast wierszy mówić be dziemy o kolumnach Twierdzenie 364 (Binet, Cauchy) Niech A, B M n n (K) Wtedy Zastosowania wyznaczników 1 Obliczanie macierzy odwrotnej Det(A B) = DetA DetB (3641) Definicja 365 Niech A M n n (K) Transponowana macierz dopełnień algebraicznych A D := [D ij ] T nazywamy macierza doła czona Twierdzenie 366 Niech A M n n (K) Wtedy A A D = A D A = (DetA) I n Twierdzenie 367 Niech A M n n (K) 1 Jeśli A jest macierza odwracalna, to DetA 0 oraz Det(A 1 ) = 1 DetA 2 Jeśli DetA 0, to A jest macierza odwracalna oraz A 1 = AD DetA Przykład 368 Det = A D = D T 11 D 12 D 13 D 21 D 22 D 23 = 1 0 D 31 D 32 D T = T =

36 3 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH 36 Sta d 2 Rza d macierzy A 1 = A D = Definicja 369 Podmacierza stopnia p r macierzy A M n m(k) nazywamy macierz otrzymana z macierzy A przez usunie cie m p wierszy oraz n r kolumn Definicja 370 Minorem stopnia r N macierzy A M n m(k) nazywamy wyznacznik dowolnej podmacierzy stopnia r r macierzy A Liczba r N jest rze dem macierzy A M n m(k), jeśli istnieje różny od zera minor stopnia r macierzy A, nie istnieje różny od zera minor macierzy A stopnia wie kszego od r Twierdzenie 371 Niech A M n m(k) 1 rza m, rza n 2 Jeśli m = n, to rza = n wtedy i tylko wtedy, gdy DetA 0 3 Rozwia zywanie równań Twierdzenie 372 Niech A M n n (K) Jeżeli DetA 0, to układ równań AX = B ma dokładnie jedno rozwia zanie dla każdego B M 1 n(k) Rozwia zanie dane jest tzw wzorami Cramera: gdzie dla j = 1,, n x j = DetA j DetA, A j := (c 1 (A), c 2 (A),, c j 1 (A), B, c j+1 (A),, c n (A)), 4 Iloczyn wektorowy wektorów u = [u 1, u 2, u 3 ] i v = [v 1, v 2, v 3 ] u v := [u 2 v 3 u 3 v 2, (u 1 v 3 u 3 v 1 ), u 1 v 2 u 2 v 1 ] [ ] u = 2 u 3 v 2 v 3, u 1 u 3 v 1 v 3, u 1 u 2 v 1 v 2 5 Iloczyn mieszany wektorów u = [u 1, u 2, u 3 ], v = [v 1, v 2, v 3 ] i w = [w 1, w 2, w 3 ] [ ] u (u v) w = 2 u 3 v 2 v 3, u 1 u 3 v 1 v 3, u 1 u 2 v 1 v 2 [w 1, w 2, w 3 ] = u w 2 u 3 1 v 2 v 3 w 2 u 1 u 3 v 1 v 3 + w 3 u 1 u 2 v 1 v 2 = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3

37 4 PRZESTRZENIE WEKTOROWE 37 4 Przestrzenie wektorowe 41 Przestrzenie i podprzestrzenie wektorowe Niech K oznacza zbiór liczb rzeczywistych lub zespolonych Definicja 41 Przestrzenia wektorowa (liniowa ) V (K) nad K nazywamy zbiór V, w którym 1 dla dowolnych elementów v, u V określona jest ich suma v + u V, która spełnia naste puja ce warunki: dla v, u V, v + u = u + v, dla v, u, w V, (v + u) + w = v + (u + w), w zbiorze V istnieje element 0 taki, że dla każdego v V, v + 0 = v, dla każdego v V istnieje element v V taki, że v + ( v) = 0; 2 dla każdej liczby K i dla każdego v V określony jest ich iloczyn v V, który spełnia naste puja ce warunki: dla, µ K oraz v V, ( + µ) v = v + µ v, dla K oraz v, u V, (v + u) = v + u, dla, µ K oraz v V, (µ v) = (µ) v, 1 v = v Elementy zbioru V nazywamy wektorami przestrzeni wektorowej V (K) Elementy zbioru K nazywamy skalarami Element 0 V nazywamy wektorem zerowym Dla każdego v V, element v nazywamy wektorem przeciwnym do wektora v Przykład 42 Przykłady przestrzeni wektorowych Przestrzeń K n (K) Niech n N i K n := {v = [v 1,, v n ] v 1,, v n K} Dla v, u K n oraz K określamy działania w naste puja cy sposób: v + u := [v 1 + u 1,, v n + u n ], v := [v 1,, v n ] Zbiór K n z tak określonymi działaniami jest przestrzenia wektorowa Przestrzeń K (K) Niech K := {v = (v 1, v 2, ) v 1, v 2, K} Dla v, u K oraz K określamy działania w naste puja cy sposób: v + u := (v 1 + u 1, v 2 + u 2, ), v := (v 1, v 2, ) Zbiór K z tak określonymi działaniami jest przestrzenia wektorowa

38 4 PRZESTRZENIE WEKTOROWE 38 Przestrzeń K[x](K) Niech K[x] oznacza zbiór wszystkich wielomianów jednej zmiennej x o współczynnikach w K Dla p, q K[x] oraz K określamy działania w naste puja cy sposób: (p + q)(x) := p(x) + q(x), dla każdego x K, ( p)(x) := p(x), dla każdego x K Zbiór K[x] z tak określonymi działaniami jest przestrzenia wektorowa Przestrzeń K n [x](k) Niech n N i niech K n [x] oznacza zbiór wszystkich wielomianów jednej zmiennej x o współczynnikach w K stopnia niewie kszego niż n Dla p, q K n [x] oraz K określamy działania w naste puja cy sposób: (p + q)(x) := p(x) + q(x), dla każdego x K, ( p)(x) := p(x), dla każdego x K Zbiór K n [x] z tak określonymi działaniami jest przestrzenia wektorowa Przestrzeń Map(X, K)(K) Niech = X K i Map(X, K) oznacza zbiór wszystkich funkcji f : X K Dla f, g Map(X, K) oraz K określamy działania w naste puja cy sposób: (f + g)(x) := f(x) + g(x), dla każdego x X, ( f)(x) := f(x), dla każdego x X Zbiór Map(X, K) z tak określonymi działaniami jest przestrzenia wektorowa Przestrzeń M n m(k)(k) Niech n, m N Zbiór M n m(k) wszystkich macierzy stopnia m n o elementach w zbiorze K z działaniami dodawania macierzy i mnożenia macierzy przez liczbe K jest przestrzenia wektorowa Lemat 43 Niech V (K) be dzie przestrzenia wektorowa nad K Wtedy dla dowolnych v V i K: v = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy = 0 lub v = 0 ( ) v = ( v) = ( v) W szczególności: v = ( 1) v Definicja 44 Niech V (K) be dzie przestrzenia wektorowa nad K i niech U V, U U nazywamy podprzestrzenia przestrzeni V (K) i ozn U(K), jeśli dla każdego u, w U i K u + w U,

39 4 PRZESTRZENIE WEKTOROWE 39 u U W szczególności, jeśli U(K) jest podprzestrzenia V (K), to dla dowolnych u, w U i 1, 2 K 1 u + 2 w U Przykład 45 Przykładami podprzestrzeni wektorowych nad K sa : V (K) jest podprzestrzenia V (K) Jednoelementowy zbiór {0} jest podprzestrzenia przestrzeni V (K) Dla dowolnego n N, K n [x](k) jest podprzestrzenia przestrzeni K[x](K) Niech A M m n (K) Zbiór Rozw(A 0 n ) rozwia zań układu jednorodnego AX = 0 jest podprzestrzenia przestrzeni M 1 n(k)(k) Dla X, zbiór wszystkich funkcji f : X K cia głych na X jest podprzestrzenia przestrzeni Map(X, K)(K) Twierdzenie 46 Niech U(K) i W (K) be podprzestrzeniami przestrzeni V (K) Wtedy U(K) W (K) := {v V v U i v W } U(K) + W (K) := {u + w u U, w W } sa podprzestrzeniami przestrzeni V (K) 42 Układy wektorów Każdy skończony multi-zbiór (dopuszczamy powtórzenia elementów) B wektorów v 1,, v m z przestrzeni V (K) nazywamy układem wektorów w przestrzeni V (K) Definicja 47 Niech 1,, m K Wektor 1 v m v m nazywamy kombinacja liniowa (układu) wektorów v 1,, v m Skalary 1,, m nazywaja sie współczynnikami tej kombinacji Przykład 48 Wektor [4, 0, 5] jest kombinacja liniowa wektorów v 1 = [1, 0, 2] oraz v 2 = [2, 0, 1], gdyż [4, 0, 5] = 2[1, 0, 2] + 1[2, 0, 1] Twierdzenie 49 Niech B be dzie układem wektorów v 1,, v m z przestrzeni V (K) Wtedy zbiór wszystkich kombinacji liniowych wektorów v 1,, v m : L(v 1,, v m ) := { 1 v m v m 1,, m K} jest podprzestrzenia przestrzeni V (K)

40 4 PRZESTRZENIE WEKTOROWE 40 Mówimy, że podprzestrzeń L(v 1,, v m ) jest podprzestrzenia generowana przez układ {v 1,, v m } Jest to najmniejsza podprzestrzeń przestrzeni V (K) zawieraja ca układ {v 1,, v m } O układzie {v 1,, v m } mówimy, że jest zbiorem generatorów podprzestrzeni L(v 1,, v m ) Przykład 410 L([1, 0], [0, 1]) = { 1 [1, 0] + 2 [0, 1] 1, 2 R} = {[ 1, 2 ] 1, 2 R} = R 2 Przyjmujemy, że L( ) := {0} czyli, że podprzestrzeń generowana przez pusty układ wektorów jest podprzestrzenia jednoelementowa złożona tylko z wektora zerowego Definicja 411 Niech B be dzie układem wektorów v 1,, v m z przestrzeni V (K) i niech 1,, m K Układ B jest liniowo niezależny (lub wektory v 1,, v m sa liniowo niezależne), jeśli 1 v m v m = 0 1 = = m = 0 Jeśli układ {v 1,, v m } nie jest liniowo niezależny, to mówimy, że jest liniowo zależny (lub wektory v 1,, v m sa liniowo zależne) Przykład 412 Układ wektorów v 1 = [1, 0, 1], v 2 = [0, 1, 1], v 3 = [0, 0, 1] z przestrzeni R 3 jest liniowo niezależny Układ wektorów v 1 = [1, 0, 1], v 2 = [2, 0, 2], v 3 = [0, 0, 1] z przestrzeni R 3 jest liniowo zależny Twierdzenie 413 Układ B wektorów v 1,, v m jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy żaden z wektorów v B nie jest kombinacja liniowa pozostałych Wniosek 414 Niech B be dzie liniowo niezależnym układem wektorów v 1,, v m z przestrzeni V (K) i niech v V Układ v 1,, v m, v jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy v / L({v 1,, v m }) Twierdzenie 415 Niech B be dzie układem wektorów v 1,, v m z przestrzeni V (K) i niech v V Wtedy: 1 Jeśli istnieja takie i j, że v i = v j, to układ B jest liniowo zależny 2 Jeśli układ B jest liniowo niezależny, to każdy jego podzbiór (tzw podukład) też jest liniowo niezależny 3 Jeśli układ B jest liniowo zależny, to dla każdego v V układ v, v 1,, v m też jest liniowo zależny 4 Układ złożony z jednego wektora v V jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy v 0

41 4 PRZESTRZENIE WEKTOROWE Baza i wymiar przestrzeni wektorowych Definicja 416 Układ B wektorów v 1,, v n z przestrzeni V (K) nazywa sie baza przestrzeni V (K), jeśli v 1,, v n jest układem liniowo niezależnym, V = L(v 1,, v n ) Jako baze przestrzeni {0} przyjmujemy układ pusty Twierdzenie 417 Układ B wektorów v 1,, v n jest baza przestrzeni V (K) wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego wektora v V istnieja jednoznacznie określone 1,, n K takie, że v = 1 v n v n Skalary 1,, n K nazywaja sie współrze dnymi wektora v w bazie B Przykład 418 Układ wektorów v 1 = [1, 0, 1], v 2 = [0, 1, 1], v 3 = [0, 0, 1] jest baza przestrzeni R 3 Układ wektorów: e 1 = [1, 0,, 0],, e n = [0, 0,, 1] jest baza przestrzeni K n Jest to tzw baza kanoniczna Twierdzenie 419 Dla dowolnego układu B wektorów v 1,, v n z przestrzeni V (K), B jest baza przestrzeni V (K) wtedy i tylko wtedy, gdy B jest maksymalnym układem liniowo niezależnym w przestrzeni V (K) Twierdzenie 420 Jeżeli v 1,, v n i w 1,, w m sa bazami przestrzeni wektorowej V (K), to n = m Definicja 421 Przestrzeń wektorowa, dla której istnieje baza nazywamy przestrzenia skończenie wymiarowa Definicja 422 Jeśli V (K) jest skończenie wymiarowa przestrzenia wektorowa to liczbe elementów (dowolnej) bazy przestrzeni V (K) nazywamy wymiarem tej przestrzeni i oznaczamy dimv (K) Wymiar przestrzeni wektorowej V (K) jest maksymalna liczba liniowo niezależnych wektorów w V (K) Przykład 423 dimr n (R) = n, dimm 1 m(k) = m, dimm n m(k) = m n, dimk n [x](k) = n + 1 Wniosek 424 Niech v 1,, v r V i r > dimv (K) Wtedy układ v 1,, v r jest liniowo zależny

42 4 PRZESTRZENIE WEKTOROWE 42 Wniosek 425 Jeżeli dimv (K) = n, to każdy n-elementowy liniowo niezależny układ wektorów w V (K) jest baza tej przestrzeni Twierdzenie 426 Niech V (K) be dzie przestrzenia skończenie wymiarowa Każdy liniowo niezależny układ wektorów w przestrzeni V (K) można uzupełnić do bazy tej przestrzeni Wniosek 427 Niech W (K) be dzie podprzestrzenia skończenie wymiarowej przestrzeni V (K) Wtedy W (K) też jest przestrzenia skończenie wymiarowa Jeżeli W (K) V (K), to dimw (K) < dimv (K) Jeżeli przestrzeń wektorowa V (K) nie posiada bazy, tzn nie istnieje układ v 1,, v n wektorów liniowo niezależnych taki, że V (K) = L(v 1,, v n ), to mówimy, że V (K) jest przestrzenia nieskończenie wymiarowa i oznaczamy dimv (K) = + Twierdzenie 428 Niech U(K) i W (K) be podprzestrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V (K) Wówczas dim(u(k) + W (K)) = dimu(k) + dimw (K) dim(u(k) W (K)) Definicja 429 Niech U(K) i W (K) be podprzestrzeniami przestrzeni V (K) Sume U(K) + W (K) nazywamy suma prosta, jeżeli każdy element v U + W tej sumy daje sie jednoznacznie przedstawić w postaci u + w, gdzie u U i w W Sume prosta podprzestrzeni U(K) i W (K) oznaczamy U(K) W (K) Wniosek 430 Niech U(K) i W (K) be podprzestrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V (K) Wówczas suma U(K) + W (K) jest suma prosta wtedy i tylko wtedy, gdy dim(u(k) + W (K)) = dimu(k) + dimw (K)