cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5

Transkrypt

1 Matematyka ZLic - 07 Wektory i macierze Wektorem rzeczywistym n-wymiarowym x x 1, x 2,,x n nazwiemy ciąg n liczb rzeczywistych (tzn odwzorowanie 1, 2,,n R) Zbiór wszystkich rzeczywistych n-wymiarowych wektorów oznaczamy przez R n Wektory zaczepione w zerze jednoznacznie wyznaczają punkty x x 1,x 2,,x n, będące końcami tych wektorów Dodawanie wektorów Niech x x 1,x 2,,x n i y y 1,y 2,,y n będą wektorami z R n Wtedy ich sumą x y jest wektor z R n x y x 1 y 1,x 2 y 2,,x n y n Przykład 2, 5 3, 1 5, 4 Mnożenie wektora przez liczbę Gdy x x 1,x 2,x 3,,x n R n oraz c R, to iloczynem cx jest wektor Przykład 1 2 4, , cx cx 1,cx 2,cx 3,,cx n Własności dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby Niech x, y,z będą wektorami z R n, a c i d liczbami Niech 0 0, 0,, 0 oznacza wektor zerowy z R n Wtedy 1 x y y x przemienność 2 x y z x y z łączność 3 0 x x 0 x element neutralny dodawania 4 x x x x 0 element przeciwny 5 rozdzielności: a cx y cx cy b c dx cx dx 6 cdx cdx łączność 7 1x x element neutralny mnożenia przez liczbę Uwaga Zbiór wektorów X z określonymi w tym zbiorze działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby i spełniającymi warunki 1-7, nazywamy przestrzenia wektorową (przestrzenią liniową) Uwaga Wektor x x 1, x 2,,x n R n można traktować jak macierz x x 1 x 2 x n 1

2 wymiaru 1n (jednowierszową) albo macierz x 1 x x 2 wymiaru n1(jednokolumnową) Kombinacja liniowa wektorów Wektor b jest kombinacją liniową wektorów v 1, v 2,,v m jeśli b c 1 v 1 c 2 v 2 c m v m dla pewnych liczb c 1,c 2,,c m Liniowa niezależność wektorów Wektory v 1,v 2,,v m nazwiemy liniowo zależnymi, gdy któryś z nich można przedstawić jako kombinację liniową pozostałych, tzn gdy dla pewnego k 1, 2,,m, istnieją liczby a i,i 1, 2,,m\ktakie,że v k 1 i m i k a i v i Wektory v 1,v 2,,v m nazwiemy liniowo niezależnymi gdy nie są liniowa zależne; równoważnie gdy równość zachodzi v 1,v 2,, wtedy i tylko wtedy gdy x n x 1 v 1 x 2 v 2 x m v m 0 x 1 x 2 x m 0 Zauwazmy,że ponieważ dla wektorów z R n mamy x 1 v 1 x 2 v 2 x m v m v 11 v 12 v 1m x 1 v 21 x 2 v 22 x m v 2m v n1 v n2 v nm 2

3 x 1 v 11 x 2 v 12 x m v 1m x 1 v 21 x 2 v 22 x m v 2m x 1 v n1 x 2 v n2 x m v nm v 11 x 1 v 12 x 2 v 1m x m v 21 x 1 v 22 x 2 v 2m x m v n1 x 1 v n2 x 2 v nm x m v 11 v 12 v 1m v n1 v n2 v nm x 1 x 2 x m to równość x 1 v 1 x 2 v 2 x m v m 0 można zapisać jako układ układu n równań z m niewiadomymi x 1,x 2,,x m : v 11 x 1 v 12 x 2 v 1m x m 0 v 21 x 1 v 22 x 2 v 2m x m 0 v n1 x 1 v n2 x 2 v nm x m 0 lub w postaci macierzowej v 11 v 12 v 1m v n1 v n2 v nm x 1 x 2 x m 0 0 Wektory v 1,v 2,,v m są więc liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy gdy jedynym rozwiązaniem układu n równań z m niewiadomymi x 1,x 2,,x m : 3

4 v 11 x 1 v 12 x 2 v 1m x m 0 v 21 x 1 v 22 x 2 v 2m x m 0 v n1 x 1 v n2 x 2 v nm x m 0 jest rozwiązanie x 1 x 2 x m 0 Korzystając z twierdzenia Kroneckera-Capelliego możemy więc podać twierdzenie Twierdzenie Wektory v 1,v 2,,v m R n są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy gdy rząd macierzy v 1 v 2 v m v 11 v 12 v 1m, v n1 v n2 v nm której kolumnami są wektory v 1,v 2,,v m, wynosi m Twierdzenie W R n : - każdy układ liniowo niezależnych wektorów składa się z co najwyżej n wektorów, - każdy układ generujący R n (tj układ taki,że każdy wektor z R n można przedstawić jako kombinację liniową wektorów z tego układu) składa się z co najmniej n wektorów Zbiór wektorów v 1,v 2,,v n w przestrzeni R n jest bazą przestrzeni R n jeśli wektory te są liniowo niezależne Standardowa baza w R n to zbiór wektorów e 1, e 2, e n gdzie e 1 1, 0, 0,, 0 e 2 0, 1, 0,, 0 e n 0, 0, 0,, 1 Przekształcenia liniowe Definicja Przekształcenie T : R n R m nazywiemy przekształceniem liniowym jeśli dla dowolnych x R n, y R n oraz dowolnych liczb c zachodzą równości: 1 Tx y Tx Ty 2 Tcx ctx 4

5 Z własności działań na macierzach natychmiast wynika,że każda macierz A wymiaru mn definiuje przekształcenie T A : R n R m zadane równością T A x Ax, które jest przkształceniem liniowym W szczególności, każdy wektor y y 1,y 2,,y n (potraktowany jako macierz wymiaru 1n definiuje operator liniowy T y : R n R 1, T y x x 1 y 1 x 2 y 2 x n y n nazywany też funkcjonałem liniowym Uwaga W istocie każdy operator liniowy T A : R n R m jest jednoznacznie określony przez pewną macierz A T wymiaru mn Niech e 1,e 2,,e n będzie standardową bazą dla R n, a f 1, f 2,,f m będzie standardową bazą dla R m Jeśli oznaczymy Te j a 1j,a 2j,,a mj,tzn a 1j,a 2j,,a mj są współrzędnymi wektora Te j w bazie f 1,f 2,,f m, to wtedy Tx Tx 1 e 1 x 2 e 2 x n e n x 1 Te 1 x 2 Te 2 x n Te n a 11 a 12 a 1n x 1 a 21 x 2 a 22 x n a 2n a m1 a m2 a mn a 11 x 1 a 12 x 2 a 1n x n a 21 x 1 a 22 x 2 a 2n x n a m1 x 1 a m2 x 2 a mn x n x 1 Te 1 Te 2 Te n x 2 czyli Tx A T x gdzie A T jest standardową macierzą, której j tą kolumnę tworzą współrzędne wektora x n 5

6 Te j a 1j,a 2j,,a mj w standardowej bazie f 1, f 2,,f m przestrzeni R m Dla macierzy prostokątnej wymiaru mn a 11 a 12 a 1n A a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn a 1 a 2 a n układ liniowy Ax b (równanie macierzowe) można zapisać jako równanie wektorowe x 1 a 1 x 2 a 2 x n a n b, zatem ma rozwiązania wtedy i tylko wtedy gdy b jest kombinacją liniową wektorów a 1,a 2,,a n, Długość (norma euklidesowa) wektora Długością (normą euklidesową) wektora x x 1, x 2,,x n R n, nazwiemy liczbę x x 1 2 x 2 2 x n x y Własności normy: 1 x 0 x 0 2 cx c x 3 x y x y (nierówność trójkąta) Dla wektorów x x 1,,x n oraz y y 1,,y n należących do R n, odległość między x a y jest zdefiniowana jako długość wektora x y, tzn 6

7 n dx,y x y x i y i 2 i1 Własności odległości: 1 dx,y 0 x y 2 dx,y dy,x 3 dx,z dx,y dy,z (nierówność trójkąta) x 1 y 1 2 x 2 y 2 2 x n y n 2 Iloczyn skalarny Iloczynem skalarnym wektorów x x 1,,x n oraz y y 1,,y n należących do R n, jest liczba x y x T y x 1 x n y 1 y n n x i y i x 1 y 1 x 2 y 2 x n y n i1 Własności iloczynu skalarnego 1 x y y x 2 x y z x y x z 3 cx y x cy cx y Podstawowe związki normy euklidesowej i iloczynu skalarnego: 1 x 2 x x 2 x y x y x y (nierówność Schwarza), a jedna z nierówności jest równością wtedy i tylko wtedy gdy istnieje t R, takie,że y tx Kąt między wektorami Kątem między wektorami x x 1,,x n oraz y y 1,,y n należącymi do R n, jest liczba x y x,y arccos x y Zatem x y x y cosx, y Wniosek Wektory x oraz y są prostopadłe x y wtedy i tylko wtedy gdy x y 0 7

8 zgodnie równoległe x y wtedy i tylko wtedy gdy x y x y przeciwnie równoległe x y wtedy i tylko wtedy gdy x y x y Hiperpłaszczyzną prostopadłą do wektora v v 1,,v n R n i przechodzącą przez punkt z 1,,z n R n zbiór W R 2 jest to prosta dana równaniem ogólnym x R n : v x z 0 v 1 x 1 z 1 v 2 x 2 z 2 0 W R 3 jest to płaszczyzna dana równaniem ogólnym v 1 x 1 z 1 v 2 x 2 z 2 v 3 x 3 z 3 0 Hiperpłaszczyzną prostopadłą do wektora v v 1,,v n R n jest przy dowolnej liczbie c zbiór W R 2 jest to prosta dana równaniem ogólnym x R n : v x c v 1 x 1 v 2 x 2 c W R 3 jest to płaszczyzna dana równaniem ogólnym v 1 x 1 v 2 x 2 v 3 x 3 c Prostą o kierunku wyznaczonym przez wektor v v 1,,v n R n i przechodzącą przez punkt z 1,,z n R n jest zbiór x R n : x ztv, t R W R 2 jest to prosta dana równaniem parametrycznym x 1 z 1 tv 1 x 2 z 2 tv 2 lub (po wyeliminowaniu parametru t) równaniem kierunkowym x 1 z 1 v 1 x 2 z 2 v 2 W R 3 jest to prosta dana równaniem parametrycznym x 1 z 1 tv 1 x 2 z 2 tv 2 x 3 z 3 tv 3 lub (po wyeliminowaniu parametru t) równaniem kierunkowym x 1 z 1 v 1 x 2 z 2 v 2 x 3 z 3 v 3 8