Chcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM.

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Chcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM."

Elżbieta Kołodziejczyk
7 lat temu
Przeglądów:

2 DEF. DZIAŁANIE DWUARGUMENTOWE Działaniem dwuargumentowym w niepsutym zbiorze nazywamy każde odwzorowanie iloczynu kartezjańskiego :. Inaczej mówiąc, w zbiorze jest określone działanie dwuargumentowe, jeśli: każdej parze uporządkowanej, elementów zbioru jest przyporządkowany pewien element, należący do zbioru. OZN., = Chcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM.

3 DEF. DZIAŁANIE DWUARGUMENTOWE PRZYKŁAD: MNOŻENIE jest działaniem dwuargumentowym w zbiorze LICZB DODATNICH bo dla, dodatnich liczba jest jednoznacznie określoną liczbą dodatnią. KONTRPRZYKŁAD: Mnożenie nie jest działaniem w zbiorze liczb ujemnych, bo wprawdzie potrafimy obliczyć iloczyn dwóch liczb ujemnych, ale nie należy on do zbioru liczb ujemnych

4 DEF.DZIAŁANIE DWUARGUMENTOWE ŁĄCZNE Mówimy, że działanie dwuargumentowe w zbiorze jest łączne, jeśli = dla dowolnych,, DEF. DZIAŁANIE DWUARGUMENTOWE PRZEMIENNE Działanie jest przemienne, jeśli = dla dowolnych, PRZYKŁAD Działania dodawania i mnożenia liczb są łączne KONTRPRZYKŁAD ale np. odejmowanie liczb nie jest łączne, bo 2 5 1= = 2

5 DEF. ELEMENT NEUTRALNY Element nazywamy elementem neutralnym (lub elementem jedynkowym) działania, jeśli = = dla każdego PRZYKŁAD Elementem neutralnym dodawania liczb jest 0: +0=0+ = dla każdej liczby Elementem neutralnym mnożenia liczb jest 1, gdyż 1=1 = Elementem neutralnym mnożenia macierzy stopnia n jest macierz jednostkowa TW. Jeśli dane działanie ma element neutralny to tylko jeden.

6 DEF. ELEMENT SYMETRYCZNY (odwrotny, przeciwny) Jeżeli w zbiorze istnieje element neutralny, względem działania, to jeśli = = dla dowolnych, wówczas element nazywamy elementem symetrycznym względem elementu. DEF. PÓŁGRUPA, MONOID Półgrupą nazywamy strukturę algebraiczną (zwaną również systemem, zespołem) (, ), w której działanie jest łączne. Półgrupa z elementem neutralnym nosi nazwę monoidu.

7 DEF. PÓŁGRUPA, MONOID KONTRPRZYKŁAD Niech następująca tabelka określa działanie dwuargumentowe w zbiorze 1,2,3 : Np. Na przecięciu wiersza odpowiadającego 3 i kolumny odpowiadającej 2 odczytujemy1, tzn Widać, że X nie jest monoidem, bo nie ma elementu neutralnego Zbiór X nie jest półgrupą, bo PRZYKŁAD Niech będzie zbiorem liczb całkowitych podzielnych przez. Jest jasne, że,,0 jest monoidem przemiennym,, półgrupą bez jedynki dla 1

8 DEF. GRUPA Grupą nazywamy strukturę algebraiczną (, ), w której działanie Jest działaniem ŁĄCZNYM: = dla dowolnych,, ; Posiada w zbiorze ELEMENT NEUTRALNY: : = = dla każdego ; Każdy element ma ELEMENT SYMETRYCZNY: : = =

9 DEF. GRUPA PRZEMIENNA (ABELOWA) Grupę nazywamy przemienną lub abelową jeśli = dla wszystkich, PRZYKŁAD DODAWANIE W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH,+ dla dowolnych liczb,, zachodzi, ze + + = +( + ), działanie łączne. posiada element neutralny 0 dla każdego element symetryczny (przeciwny) dla każdego, zachodzi, ze + = +. KONTRPRZYKŁAD MNOŻENIE W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH (, ), dla dowolnych liczb,, zachodzi, ze = ( ), działanie łączne posiada element neutralny 1 element 0 nie posiada elementu odwrotnego w zbiorze liczb rzeczywistych.

10 DEF. PODGRUPA Niepusty podzbiór grupy nazywamy podgrupą grupy (, ), gdy jest grupą ze względu na działanie określone w. TW. Niepusty podzbiór zbioru elementów grupy jest podgrupą grupy wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych, jest,. TW. Na to, żeby niepusty podzbiór był podgrupą grupy, potrzeba i wystarcza, żeby dla dowolnych, element należał do

11 DEF.GRUPA SKOŃCZONA, RZĄD GRUPY Grupa nazywa się skończona, jeśli zbiór jest skończony. Liczbę jej elementów nazywamy rzędem grupy i oznaczamy przez lub rz Podgrupami dowolnej grupy są w szczególności SAMA GRUPA i PODGRUPA JEDNOSTKOWA, składająca się tylko z jedynki.

12 DEF. PIERŚCIEŃ Pierścieniem nazywamy strukturę algebraiczna (,+, ), która posiada następujące własności: (,+) jest GRUPĄ ABELOWĄ (, ) jest PÓŁGRUPĄ Oba działania wiąże ze sobą PRAWO ROZDZIELNOŚCI, mianowicie mnożenie jest rozdzielne względem dodawania: + = +, + = + dla dowolnych,, Grupę(,+) nazywamy ADDYTYWNĄ grupą pierścienia, a półgrupę (, )- jego MULTIPLIKATYWNĄ półgrupą.

13 Jeżeli ponadto działanie jest przemienne, wówczas dany pierścień nazywamy PRZEMIENNYM. Zaś jeżeli w zbiorze istnieje element neutralny działania to taki pierścień nazywamy PIERŚCIENIEM Z JEDNOŚCIĄ. Natomiast PIERŚCIENIEM CAŁKOWITYM nazywamy pierścień niezerowy, przemienny z jednością. PRZYKŁAD Zbiór liczb całkowitych z działaniami dodawania (+) i mnożenia ( ) jest pierścieniem (,+, ), dodawanie w zbiorze liczb całkowitych tworzy grupę abelową, działanie mnożenia jest przemienne i rozdzielne względem dodawania.

14 DEF. DZIELNIK ZERA Niech oznacza element neutralny działania w pierścieniu (,, ), wówczas elementy spełniające warunek: = lub =, gdzie nazywamy dzielnikami zera. Jeżeli istnieją dzielniki 0 w pierścieniu mówimy, że jest to pierścień z dzielnikami zera Pierścień przemienny, z jednością i bez dzielników zera nazywamy pierścieniem całkowitym.

15 DEF. CIAŁO Ciałem nazywamy strukturę algebraiczną (,, ), która posiada następujące własności: (, ) jest GRUPĄ ABELOWĄ (, ) jest GRUPĄ; działanie ( ) jest rozdzielne względem ( ). Jeżeli ponadto działanie ( ) jest przemienne, wówczas dane ciało nazywamy CIAŁEM PRZEMIENNYM. PRZYKŁAD (,+, ), ciało liczb rzeczywistych dodawanie w zbiorze liczb całkowitych tworzy grupę abelową, działanie mnożenia w zbiorze liczb rzeczywistych za wyjątkiem zera 0 tworzy grupę działanie ( ) jest rozdzielne względem (+).,+, ciało liczb zespolonych BIBLIOGRAFIA Algebra liniowa, Aleksander Romanowski, Gdańsk 2003 Struktury algebraiczne, mgr Zofia Makara, 28 października 2003 Część 3 - Struktury algebraiczne, Wykład dr Magdaleny Sękowskiej

Podobne dokumenty

1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór.

1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór. 20. Definicje i przykłady podstawowych struktur algebraicznych (grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe). Pojęcia dotyczące przestrzeni liniowych (liniowa zależność i niezależność układu wektorów,