Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne"

Iwona Karpińska
6 lat temu
Przeglądów:

1 Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne Definicja 1. Działaniem dwuargumentowym w niepustym zbiorze A nazywamy każdą funkcję : A A A, tzn. taką funkcję, że zachodzi a,b A (a, b) ((a, b)) A. Przyjmujemy oznaczenia: (a, b) = a b. Aby wyróżnić działanie będziemy pisać (A, ). Mówimy wtedy, że (A, ) jest systemem algebraicznym lub działanie wprowadza w A strukturę algebraiczną. Definicja 2. Działanie : A A A nazywamy: łącznym, jeżeli a,b,c A (a b) c = a (b c), przemiennym, jeżeli a,b a a b = b a. Mówimy też, że: 1. element e A jest elementem neutralnym działania, jeżeli a A e a = a e = a, 2. element a A jest elementem odwrotnym elementu a A, jeżeli a A a A a a = a a = e. Zadanie 1. Podać przykłady działań w następujących zbiorach: a) A = {0, 1}, b) A = { 1, 0, 1}, c) A = { 1, 1}, d) A = {1, 2, 3, 4, 5}, e) A = {a, b, c, d}, f) A = N, g) A = Z, h) A = Q, i) A = Q \ {0}, j) A = R, k) A = C, l) A = S n. Sprawdzić, czy podane działania są łączne i przemienne. Czy istnieje element neutralny tego działania? Czy każdy element posiada element odwrotny? 1

2 Definicja 3. Grupą nazywamy niepusty zbiór G z działaniem dwuargumentowym, które spełnia następujące warunki: 1 o a,b,c G (a b) c = a (b c) (łączność), 2 o e G a G e a = a e = a (istnienie elementu neutralnego), 3 o a G a G a a = a a = e (istnienie elementu odwrotnego). Jeśli dodatkowo działanie jest przemienne, to G nazywamy grupą abelową. Zadanie 2. Sprawdzić, czy zbiór G z działaniem jest grupą. Czy (G, ) jest grupą abelową? a) G = {0}, = +, b) G = {e}, =, {[ ] 1 0 c) G =, 0 1 d) G = {1, 0}, = +, e) G = Z 2, = + 2, f) G = Z 3 \ {0}, = 4, g) G = Z 4 \ {0}, = 4, [ ]}, =, h) G = R, =, i) G = R, = +, j) G = Z, =, k) G = N, x y = 2 x y, l) G = Z, x y = x y, m) G = Z, x y = x 2 + y 2, n) G = N, x y = x y, o) G = GL(n, R) = {A M n n (R) det(a) 0}, =, p) G = SL(n, R) = {A GL(n, R) det(a) = 1}, =, q) G = Q[ 2] = {a + b 2 a, b Q}, = +, r) G = Q[ 2] = {a + b 2 a, b Q}, =, s) G = Q[ 3] \ {0} = {a + b 3 a, b Q a 2 + b 2 0}, =, t) G = Q[ 5] = {a + b 5 a, b Q}, = +, u) G = {(a, b) R 2 a 0}, (a, b) (c, d) = (a c, a d + b), v) G = {1, 2, 3, 4}, działanie określone w tabeli w) G = {a, b, c}, działanie określone w tabeli a b c a b b b b c c c c a a a 2

3 x) G = {,,,, }, działanie określone w tabeli y) G = {,, }, działanie określone w tabeli Odpowiedzi: a) tak, jest grupą b) tak, c) tak, d) nie, e) tak, f) tak, g) nie, h) nie, i) tak, j) nie, k) tak, l) nie, m) nie, n) nie, o) tak, p) tak, q) tak, r) nie, s) tak, t) tak, u) tak, v) nie, w) nie, x) nie, y) tak. Zadanie 3. Wypisać elementy grupy izometrii: a) trójkąta równobocznego, b) prostokąta, c) kwadratu. Następnie napisać tabelkę działania składania przekształceń dla tej grupy. Definicja 4. H nazywamy podgrupą grupy (G, ), jeżeli H, H G oraz (H, ) jest grupą. Zapisujemy wtedy H < G, a G zwiemy nadgrupą H. Twierdzenie 1. Niech H oraz (G, ) będzie grupą. Wtedy H < G wtedy i tylko wtedy gdy a,b H a b H. Uwaga 1. Oczywiście {e} < G oraz G < G, lecz są to podgrupy niewłaściwe. Pozostałe nazywamy podgrupami właściwymi. Zadanie 4. Sprawdzić, czy (A, A ) jest podgrupą grupy (B, ), A B. 1. A = {id, (12)}, B = S 3, =, 2. A = {id, (123)}, B = S 3, =, 3. A = {id, (123), (132)}, B = S 3, =, 4. A = SL(n, R), B = GL(n, R), =, 5. A = {1, 2, 3}, B = Z, = +, 6. A = {0}, B = Z 4, = +, 7. A = {0, 1}, B = Z 4, = +, 8. A = {1, 3}, B = Z 7, = +. Odpowiedzi: a) tak, b) nie, c) tak, d) tak, e) nie, f) tak, g) nie, h) nie. Definicja 5. Podgrupa grupy G nazywamy generowaną przez podzbiór X G, jeśli jest to najmniejsza (w sensie zawierania) podgrupa G zawierająca podzbiór X. W przypadku zbioru jednoelementowego X = {a} podgrupę taką nazywamy cykliczną, a element a generatorem tej podgrupy. 3

4 Zadanie 5. Podać przykłady podgrup cyklicznych oraz wskazać ich generator, jeżeli: a) A = N, b) A = Z, c) A = Q, d) A = R, e) A = C, f) A = S 6. Definicja 6. Pierścieniem nazywamy niepusty zbiór R, w którym określone są dwa działania dwuargumentowe: (dodawanie) oraz (mnożenie), spełniające następujące aksjomaty: 1 o 3 o (R, ) jest grupą, 4 o a,b R a b = b a (przemienność), 5 o a,b,c R (a b) c = a (b c) (łączność), 6 o a,b,c R (a b) c = (a c) (b c) (rozdzielność mnożenia względem dodawania). Jeśli dodatkowo istnieje element neutralny działania (tzw. jedynka), to mówimy, że R jest pierścieniem z jedynką. Natomiast gdy działanie jest przemienne, to R nazywamy pierścieniem przemiennym. Definicja 7. Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para liczb q, r taka, że m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia m przez n i oznaczamy m n. Definicja 8. Niech Z n = {0, 1, 2,..., n 1}, n N. Wtedy w zbiorze Z n możemy określić działania + n, n w następujący sposób a + n b = (a + b) n, a n b = (a b) n, czyli wynikami są reszty z dzielenia sumy i ioczynu tych liczb. Zadanie 6. Napisać tabelę mnożenia i dodawania dla zbioru: a) Z 2, b) Z 3, c) Z 4, d) Z 5, e) Z 6, f) Z 7. Które z tych zbiorów są grupami z dodawaniem/mnożeniem modulo p? Zadanie 7. Pokazać, że (Z n, + n, n) jest pierścieniem przemiennym z jedynką. 4

5 Definicja 9. Ciałem nazywamy pierścień (F,, ), w którym zachodzi: 7 o e F e 0 a F e a = a e = a (istnienie elementu neutralnego), 8 o a F â F a â = â a = e (istnienie elementu odwrotnego), 9 o a,b F a b = b a (przemienność). Zadanie 8. Które ze struktur z zadania??. są pierścieniami, a które ciałami? Zadanie 9. Sprawdzić, czy ciałem jest: a) (Z 2, + 2, 2), b) (Z 4, + 4, 4), c) (Q[ 2], +, ), d) (Q[ 3], +, ), e) (Q[ 7], +, ), f) (GL(n, R), +, ), g) (Z, +, ), h) (R, +, ), i) (C, +, ), j) (M 2 2 (R), +, ). Odpowiedzi: a) tak, b) nie, c) tak, d) tak, e) tak, f) nie, g) nie, h) tak, i) tak, j) nie. Bibliografia: 1. K. Jankowska, T. Jankowski, Zbiór zadań z matematyki, PG, Gdańsk T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1. Definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław A. Romanowski, Algebra liniowa, PG, Gdańsk J. Rutkowski, Algebra liniowa w zadaniach, PWN, Warszawa J. Topp, Algebra liniowa, PG, Gdańsk

Podobne dokumenty

Chcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM.

Chcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM. DEF. DZIAŁANIE DWUARGUMENTOWE Działaniem dwuargumentowym w niepsutym zbiorze nazywamy każde odwzorowanie iloczynu kartezjańskiego :. Inaczej mówiąc, w zbiorze jest określone działanie dwuargumentowe, jeśli: