Pozostała algebra w pigułce

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Pozostała algebra w pigułce"

Irena Pietrzak
6 lat temu
Przeglądów:

1 Algebra Pozostała algebra w pigułce Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi Gdańsk Algebra p. 1

2 Pozostała algebra w pigułce Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem Algebra p. 2

3 Uproszczenie wyrażeń 2x+(y x) = Algebra p. 3

4 Uproszczenie wyrażeń 2x+(y x) = x+y Algebra p. 3

5 Uproszczenie wyrażeń. Szczegóły 2x+(y x) = Algebra p. 4

6 Uproszczenie wyrażeń. Szczegóły 2x+(y x) = = 2x+(y +( x)) Algebra p. 4

7 Uproszczenie wyrażeń. Szczegóły 2x+(y x) = = 2x+(y +( x)) = 2x+(( x)+y) Algebra p. 4

8 Uproszczenie wyrażeń. Szczegóły 2x+(y x) = = 2x+(y +( x)) = 2x+(( x)+y) = (2x+( x))+y Algebra p. 4

9 Uproszczenie wyrażeń. Szczegóły 2x+(y x) = = 2x+(y +( x)) = 2x+(( x)+y) = (2x+( x))+y = (2x+( 1) x)+y Algebra p. 4

10 Uproszczenie wyrażeń. Szczegóły 2x+(y x) = = 2x+(y +( x)) = 2x+(( x)+y) = (2x+( x))+y = (2x+( 1) x)+y = (2+( 1)) x+y Algebra p. 4

11 Uproszczenie wyrażeń. Szczegóły 2x+(y x) = = 2x+(y +( x)) = 2x+(( x)+y) = (2x+( x))+y = (2x+( 1) x)+y = (2+( 1)) x+y = 1 x+y Algebra p. 4

12 Uproszczenie wyrażeń. Szczegóły 2x+(y x) = = 2x+(y +( x)) = 2x+(( x)+y) = (2x+( x))+y = (2x+( 1) x)+y = (2+( 1)) x+y = 1 x+y = x+y Algebra p. 4

13 Uproszczenie wyrażeń. Zasady 1. łaczność dodawania (a+b)+c = a+(b+c) 2. przemienność dodawania a+b = b+a 3. istnieje zero 0, takie że a+0 = 0+a = a 4. istnieje liczba przeciwna a, taka że a+( a) = ( a)+a = 0 5. łaczność mnożenia a(bc) = (ab)c 6. przemienność mnożenia ab = ba 7. istnieje jedynka 1, taka, że a 1 = 1a = a 8. rozdzielczość mnożenia a(b+c) = ab+ac (a+b)c = ac+bc Algebra p. 5

14 Twierdzenie Twierdzenie 1. (a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2 Dowód. Za pomoca zasad 1 8 Algebra p. 6

15 Układy, dla których spełniono 1 8 Z Q R reszty modulo 6 reszty modulo n Algebra p. 7

16 Układy, dla których spełniono 1 8 Z Q R reszty modulo 6 reszty modulo n Wniosek 3. We wszystkich tych układach prawidłowy jest wzór (a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2 Algebra p. 7

17 Pierścienie Definicja 4. ZbiórX, na którym określone sa dodawanie i mnożenie, spełniajace warunki 1 8 nazywa się przemiennym pierścieniem z jedynka Uwaga 5. Pierścieniem nazywa się zbiór, na którym określone sa dodawanie i mnożenie, spełniajęce warunki 1 8 bez 6 i 7 Algebra p. 8

18 Przykład pierścienia Niech dany będzie niepusty zbiór T X będzie zbiorem podzbiorów T A+B = (A B)\(A B) A B = A B Algebra p. 9

19 Działania w pierścieniux a+b T a b T Twierdzenie 6. X jest przemiennym pierścieniem z jedynka Wniosek 7. a,b X: (a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2 Algebra p. 10

20 Dzielenie 9. jeżeli a 0, to istnieje a 1, element odwrotny, taki że a a 1 = a 1 a = Definicja 8. Jeżeli dodawanie i mnożenie określone nax spełniaja warunki 1 10, tox nazywa się ciałem (niekiedy się mówi przemiennym ciałem) Algebra p. 11

21 Przykłady ciał Q R reszty modulo n, jeżeli n jest liczba pierwsza liczby algebraiczne liczby algebraiczne postaci a+ 2b, gdzie a,b Q Algebra p. 12

22 Podwojenie sześcianu Zadanie 9. Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej, niż dany sześcian Algebra p. 13

23 Podwojenie sześcianu Zadanie 11. Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej, niż dany sześcian Zadanie 12. Dany jest odcinek długości 1. Skonstruować (za pomoca cyrkla i linijki) odcinek długości 3 2 Algebra p. 13

24 Konstrukcje geometryczne r s r r+s r s s rs s r r s 1 1 r s Wniosek 13. ZbiórK konstruowalnych liczb tworzy ciało (podciałor). Algebra p. 14

25 Obliczenie pierwiastka kwadratowego r 1 r Algebra p. 15

26 Jakie liczby można skonstruować? 1,2,3,..., 1 2, 1 3, 2 3,... ciało Q liczby p+q r, gdzie p,q,r Q ciało F 1 liczby p+q s, gdzie p,q,s F 1 ciało F 2 i tak dalej: Q F 1 F 2 F 3 F k 1 F k Twierdzenie 14. Każda konstruowalna liczba należy do jednego z ciałf i przy odpowiednio dobranych r, s,... Algebra p. 16

27 Załóżmy, że 3 2 można skonstruować 3 2 / Q istnieje taki ciag ciał Q F 1 F 2 F 3 F k 1 F k, że 3 2 / F k 1 oraz 3 2 F k 3 2 = p+q t, gdzie p,q,t F k 1, t / F k 1 (p 3 +3pq 2 t 2)+(3p 2 q +q 3 t) t = 0 p 3 +3pq 2 t 2 = 0 oraz 3p 2 q +q 3 t = 0 więc p q t też jest pierwiastkiem trzeciego stopnia z dwójki z czego wynika, że 3 2 F k 1, czyli sprzeczność Algebra p. 17

28 Inne geometryczne zagadnienia Trysekcja kata w prypadku kata 60 : skonstruować pierwiastek równania x 3 3x = 1 Kwadratura koła skonstruować liczbę π Wielokat foremny możńa skonstruować wtedy i tylko wtedy, gdy liczba boków równa jest 2 n p 1...p b, gdzie p i sa różne liczby pierwsze postaci 2 2c +1 (liczby Fermata) przykładowo, kat można skonstruować ( ) -kat nie można Algebra p. 18

29 PierścieńZ 7 dni sa podzielone na klasy: poniedziałek, wtorek, środa, czwartek, piatek, sobota, niedziela przykładowo, środa={..., 11, 4,3,10,17,...} wsystkie liczby, kongruentne z 3 modulo 7, 7q +3 niech [x] będzie zbiorem liczb, kongruentnych z x modulo 7 dodawanie [x]+[y] = [x+y] mnożenie [x] [y] = [x y] pierścień Z 7 Algebra p. 19

30 PierścieńZ n niech [x] będzie zbiorem liczb, kongruentnych z x modulo n dodawanie [x]+[y] = [x+y] mnożenie [x] [y] = [x y] pierścień Z n Algebra p. 20

31 Liczby zespolone a+bi, gdzie i 2 = 1 wprowadźmy liczby zespolone analogicznie do pierścienia Z 7 w pierścieniu Z 7 obowiazuje 7 = 0 kongruencja modulo 7 w liczbach zespolonych powinno być x 2 +1 = 0 kongruencja modulo x 2 +1 Algebra p. 21

32 Liczby zespolone a+bi, gdzie i 2 = 1 wprowadźmy liczby zespolone analogicznie do pierścienia Z 7 w pierścieniu Z 7 obowiazuje 7 = 0 kongruencja modulo 7 w liczbach zespolonych powinno być x 2 +1 = 0 kongruencja modulo x 2 +1 pytanie: co jest kongruentne? Algebra p. 21

33 Liczby zespolone a+bi, gdzie i 2 = 1 wprowadźmy liczby zespolone analogicznie do pierścienia Z 7 w pierścieniu Z 7 obowiazuje 7 = 0 kongruencja modulo 7 w liczbach zespolonych powinno być x 2 +1 = 0 kongruencja modulo x 2 +1 pytanie: co jest kongruentne? odpowiedź: pierścień wielomianów, R[x] Algebra p. 21

34 Gra samotnik (solitaire) Gdzie może się znajdować ostatni pionek? Algebra p. 22

35 Ciało de Bruijna X = {0,1,p,q} p q p q q p p p q 0 1 q q p p q p q p 0 p q 1 q 0 q 1 p p 2 +p+1 = 0 Algebra p. 23

36 Współrzędne na planszy ( 1, 3) (0, 3) (1, 3) ( 1, 2) (0, 2) (1, 2) ( 3, 1) ( 2, 1) ( 1, 1) (0, 1) (1, 1) (2, 1) (3, 1) ( 3, 0) ( 2, 0) ( 1, 0) (0, 0) (1, 0) (2, 0) (3, 0) ( 3, 1) ( 2, 1) ( 1, 1) (0, 1) (1, 1) (2, 1) (3, 1) ( 1, 2) (0, 2) (1, 2) ( 1, 3) (0, 3) (1, 3) Algebra p. 24

37 Niezmienniki stanów planszy A(S) = p k+l B(S) = p k l na poczatku gry A(S) = B(S) = 1 a więc na końcu p k+l = p k l = 1 czyli k i l sa wielokrotnościami trójki możliwe stany: ( 3, 0), (0, 3), (3, 0), (0, 3) oraz (0, 0) (wszystkie sa osiagalne) Algebra p. 25

Podobne dokumenty

Zastosowanie teorii pierścieni w praktyce

Zastosowanie teorii pierścieni w praktyce Upozczenie wyażeń 2x+(y x) = x+y Spotkania z Matematyka Zatoowanie teoii pieścieni w paktyce Alekande Deniiuk denijuk@matman.uwm.edu.pl Uniweytet Wamińko-Mazuki w Olztynie Wydział Matematyki i Infomatyki