1 WPROWADZENIE 1. Agata Pilitowska. parzysta. 3. Znaleźć odległość kodu kontroli parzystości nad ciałem GF (q).

Transkrypt

1 1 WPROWADZENIE 1 Kody korekcyjne - zadania Agata Pilitowska 1 Wprowadzenie 1 Pokazać, że dla dowolnych wektorów c, f Z n 2, d(c, f ) = n (c i f i ) 2, i=1 wt(c + f ) = wt(c) + wt(f ) 2wt(cf ), wt(c + f ) wt(c) wt(f ) 2 Pokazać, że dla dowolnych wektorów c, f Z n 2, jeśli wt(c) = wt(f ) to d(c, f ) jest liczba 3 Znaleźć odległość kodu kontroli parzystości nad ciałem GF (q) 4 Niech C be dzie kodem binarnym o długości n i odległości d 3 Obliczyć ile jest wektorów wagi i odległych o 1 od słów kodowych, wiedza c że słów kodowych wagi 1 j n jest A j 5 Niech c, f Z n 2 Pokazać, że iloczyn skalarny c f = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy wt(cf ) jest liczba 6 Z ilu maksymalnie słów kodowych może składać sie binarny kod długości 11 poprawiaja cy błe dy podwójne? 7 Niech C be dzie kodem binarnym długości 16, w którym dla dowolnych wektorów c, f C, wtc = 6 oraz d(c, f ) = 8 Pokazać, że C 16 8 Niech d be dzie liczba Załóżmy, że a, b, c i f sa czterema różnymi wektorami binarnymi długości n d, parami odległymi od siebie o d Pokazać, że istnieje dokładnie jeden wektor binarny, odległy od a, b i c o d Czy zawsze istnieje binarny wektor odległy o d od 2 2 wszystkich czterech wektorów a, b, c i f?

2 2 KODY LINIOWE 2 2 Kody liniowe 1 Znaleźć macierz generuja binarnego (6,3)-kodu liniowego o macierzy kontroli parzystości H = Odkodować wektory c 1 = (1, 1, 0, 0, 1, 0), c 2 = (0, 1, 1, 1, 0, 0), c 3 = (0, 0, 0, 0, 0, 1), c 4 = (1, 0, 0, 0, 1, 1) oraz c 5 = (1, 0, 1, 0, 1, 1) 2 Niech H M n n k(gf (q)) be dzie macierza kontroli parzystości (n, k)- kodu C, A M n k n k (GF (q)) be dzie macierza odwracalna oraz AH M n n k(gf (q)) be dzie macierza kontroli parzystości kodu C 1 Pokazać, że C = C 1 3 Znaleźć wszystkie słowa kodowe ( (4, 2)-kodu ) ternarnego C o macierzy kontroli parzystości H = Sprawdzić, czy kod C jest samodualny 4 Wektor c = (c 1, c 2, c 3, c 4, c 5, c 6, c 7 ) Z 7 2 jest słowem kodowym binarnego (7, 4)-kodu liniowego C wtedy i tylko wtedy, gdy c 1 = c 4 + c 5 + c 7 c 2 = c 4 + c 6 + c 7 c 3 = c 4 + c 5 + c 6 Znaleźć macierz generuja oraz macierz kontroli parzystości kodu C Zakodować wiadomość u = (0, 1, 1, 0) Sprawdzić, czy wektor c = (0, 0, 0, 0, 1, 1, 1) należy do kodu C Odkodować słowa: c 1 = (0, 0, 0, 0, 1, 1, 1) oraz c 2 = (0, 0, 0, 1, 1, 1, 1) 5 Niech C be dzie liniowym (n, k)-kodem binarnym Pokazać, że zbiór słów o wadze parzystej tworzy podprzestrzeń przestrzeni C Jaki jest wymiar tej podprzestrzeni? 6 Niech c C be dzie słowem kodowym kodu liniowego Znaleźć liczbe słów kodowych f C, dla których d(c, f ) = i 7 Pokazać, że jeśli G M k n(gf (q)) jest macierza generuja w postaci standardowej (n, k)-kodu linowego, a H M n n k(gf (q)) odpowiadaja jej macierza kontroli parzystości, to HG = O k n k oraz G T H T = O n k k

3 2 KODY LINIOWE 3 8 Z ilu maksymalnie słów kodowych może składać sie binarny kod liniowy długości 11, poprawiaja cy błe dy podwójne? 9 Pokazać, że jeśli kolumny macierzy generuja cej binarnego (ternarnego) (n, k)-kodu linowego C maja wage (podzielna przez 3) i sa wzajemnie ortogonalne, to C jest kodem słabo samo-dualnym 10 Pokazać, że jeśli kolumny macierzy generuja cej binarnego (n, k)-kodu linowego C maja wage podzielna przez 4 i sa wzajemnie ortogonalne, to C jest kodem słabo samo-dualnym i wszystkie słowa kodowe w C maja wage podzielna przez 4 11 Niech C be dzie ternarnym kodem słabo samo-dualnym Pokazać, że dla każdego c C, waga wt(c) jest podzielna przez 3 12 Niech H = be dzie macierza kontroli parzystości binarnego (8, 4)-kodu C Pokazać, że kod C jest samo-dualny 13 Niech C be dzie binarnym (n, k)-kodem liniowym i niech f / C Pokazać, że C (C + f ), gdzie C + f = {c + f c C}, jest kodem liniowym Jaki jest wymiar kodu C + f? 14 Niech C be dzie binarnym (2k+1, k)-kodem słabo samo-dualnym Pokazać, że C = C (C + 1 2k+1 ) 15 Pokazać, że w liniowym kodzie binarnym albo wszystkie słowa kodowe maja wage, albo dokładnie połowa z nich ma wage a połowa nie 16 Pokazać, że w liniowym kodzie binarnym albo wszystkie słowa kodowe rozpoczynaja sie 0, albo dokładnie połowa z nich rozpoczyna sie 0 a połowa 1

4 2 KODY LINIOWE 4 17 Znaleźć odległość binarnego kodu C generowanego przez macierz G = Znaleźć najkrótszy kod linowy wymiaru 3, który poprawia błe dy potrójne 19 Czy istnieje binarny liniowy (10, 5)-kod poprawiaja cy błe dy podwójne? 20 Niech C 1 i C 2 be kodami tej samej długości nad ciałem GF (q) i niech C 1 + C 2 := {c 1 + c 2 c 1 C 1, c 2 C 2 } (tzw suma kodów C 1 i C 2 ) Pokazać, że jeśli C 1 i C 2 sa kodami liniowymi, to C 1 +C 2 jest najmniejszym kodem liniowym zawieraja cym sume mnogościowa C 1 C 2 21 Niech C 1 be dzie (n, k 1 )-kodem a C 2 be dzie (n, k 2 )-kodem liniowym Jaki jest wymiar k kodu C 1 + C 2? Kiedy k = k 1 + k 2? 22 Niech C 1 i C 2 be kodami liniowymi tej samej długości nad ciałem GF (q) Pokazać, że (C 1 + C 2 ) = C 1 C 2 23 Niech C 1 i C 2 be odpowiednio (n, k 1 ) i (n, k 2 ) binarnymi kodami liniowymi Znaleźć kod ortogonalny C do kodu C, jeśli (a) C = {c c : c C 1 }, (b) C = {c c + f : c C 1, f C 2 }, (c) C = {a + c b + c a + b + c : a, b C 1, c C 2 }, gdzie a b := (a 1,, a n, b 1,, b m ) dla a = (a 1,, a n ) i b = (b 1,, b m )

5 3 KONSTRUKCJE KODÓW 5 3 Konstrukcje kodów 1 Niech C 1 be dzie binarnym (n, 1)-kodem powtórzeniowym oraz C 2 be dzie binarnym (n, n 1)-kodem kontroli parzystości Znaleźć (a) kody rozszerzone Ĉ1 i Ĉ2, (b) kody C 1 i C 2 skrócone o ostatnia współrze dna, (c) kody C 1 i C 2 skrócone o pierwsza współrze dna, (d) kody powie kszone C 1 1 i C 1 2, (e) sume C 1 + C 2, dla n = 2, (f) sume prosta C 1 C 2, (g) sume prosta C 1 C 1 + C 2, dla n = 2, 2 Znaleźć kod okrojony C powstały ze wszystkich tych słów binarnego (n, n 1)-kodu kontroli parzystości, których ostatnia współrze dna jest równa 1 3 Znaleźć kod powie kszony C 1 kodu okrojonego C z zadania 2 Jaki jest wymiar i odległość tego kodu? 4 Niech C be dzie (7, 4)-kodem binarnym, dla którego H = jest macierza kontroli parzystości Znaleźć macierz kontroli parzystości dla rozszerzonego kodu Ĉ Jaka jest odległość kodu Ĉ? 5 Niech G = M 4 7(Z 2 ) be dzie macierza generuja (7, 4)-kod binarny C Znaleźć macierz kontroli parzystości kodu C skróconego o pia ta współrze dna

6 4 KODY DOSKONAŁE 6 6 Niech G 1 = i G 2 = be macierzami generuja cymi (5, 2)-kody ternarne C 1 i C 2 Znaleźć odległość kodów C 1 i C 2 oraz kodów rozszerzonych Ĉ1 i Ĉ2 7 Pokazać, że jeśli C jest kodem binarnym długości n, odległości d, o M słowach kodowych, w którym d jest liczba nie, to odległość kodu rozszerzonego Ĉ wynosi d Niech dla i = 1,, m, G i be macierzami generuja cymi (n, k i )-kody liniowe C i Znaleźć macierze generuja ce kody C 1 + C C m oraz C 1 C 2 C m 9 Niech C 1 be dzie kodem binarnym o odległości d 1 oraz C 2 be dzie kodem binarnym o odległości d 2 Pokazać, że suma prosta kodów C 1 i C 1 + C 2 jest kodem o odległości równej d = min{2d 1, d 2 } 10 Niech d Z + be dzie liczba Pokazać, że jeśli istnieje binarny kod długości n, odległości d o M słowach kodowych, to istnieje również kod binarny C długości n, odległości d o M słowach kodowych taki, że dla każdego c C, waga wt(c) jest liczba 4 Kody doskonałe 1 Znaleźć macierz kontroli parzystości binarnego kodu Hamminga H 4 (2) Zakodować wiadomość u = (1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0) Odkodować słowo c = (1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) 2 Znaleźć macierz kontroli parzystości kodu Hamminga H 3 (3) 3 Znaleźć macierz kontroli parzystości rozszerzonego kodu Ĥ3(2) i opisać algorytm dekodowania dla tego kodu 4 Niech A i be dzie liczba słów kodowych wagi i w binarnym kodzie Hamminga H m (2) Pokazać, że (i + 1)A i+1 + A i + (n i + 1)A i 1 = ( ) n i

7 5 KODY CYKLICZNE 7 5 Znaleźć macierz generuja i macierz kontroli parzystości kodu sympleksowego H 3 (2) 6 Znaleźć macierz generuja kodu liniowego, którego wszystkie niezerowe słowa kodowe maja wage równa 4 7 Znaleźć wielomian Lloyda dla binarnego kodu Hamminga H 3 (2) 8 Niech C be dzie kodem doskonałym nad ciałem GF (q) o długości n, odległości 2t+1, liczbie słów kodowych M i niech L t (x) be dzie wielomianem Lloyda Pokazać, że L t (0) = q r, dla pewnego r N 9 Niech C be dzie nietrywialnym kodem doskonałym nad ciałem GF (q) o długości n, odległości 2t + 1, liczbie słów kodowych M i niech L t (x) be dzie wielomianem Lloyda Pokazać, że L t (1) 0 oraz L t (2) 0 10 Pokazać, że kody Vasileva nie sa liniowe 11 Znaleźć liczbe słów kodowych o wadze 0 i 9 doskonałego liniowego (23, 12)-kodu binarnego o odległości d = 7 5 Kody cykliczne 1 Sprawdzić, czy wielomian 1 + x 3 + x 4 + x 6 + x 7 jest słowem kodowym binarnego kodu wielomianowego C 1+x 2 +x 3 +x4 długości n = 8 2 Stosuja c algorytm systematyczny znaleźć wszystkie słowa kodowe binarnego kodu wielomianowego C 1+x+x 3 długości n = 6 3 Znaleźć macierz generuja binarny kod wielomianowy C 1+x 2 +x 4 +x 5 długości n = 9 Sprawdzić, czy wektor f = (1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1) jest słowem kodowym kodu C 4 Znaleźć kod wielomianowy długości n = 7 w pierścieniu Z 5 [x]/(3x + x 2 + 4x 5 + 2x 7 ) 5 Wiemy, że nad ciałem Z 2 x 15 1 = (x+1)(1+x+x 2 )(1+x+x 4 )(1+x 3 +x 4 )(1+x+x 2 +x 3 +x 4 ) (a) Ile jest wszystkich binarnych kodów cyklicznych długości n = 15?

8 5 KODY CYKLICZNE 8 (b) Znaleźć macierz generuja oraz macierz kontroli parzystości dowolnie wybranego kodu cyklicznego C długości n = 15 i wymiaru k = 7 (c) Stosuja c wybrany w punkcie (b) nietrywialny kod cykliczny C, zakodować wiadomość u = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) (d) Sprawdzić, czy wektor c = (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1) jest słowem kodowym kodu C 6 Niech C 1 = (g 1 (x)) i C 2 = (g 2 (x)) be kodami cyklicznymi Pokazać, że C 1 C 2 wtedy i tylko wtedy, gdy g 2 (x) g 1 (x) 7 Niech C 1 = (g 1 (x)) i C 2 = (g 2 (x)) be kodami cyklicznymi Pokazać, że C 1 C 2 oraz C 1 + C 2 również sa kodami cyklicznymi Znaleźć ich wielomiany generuja ce 8 Niech C = (1 + x) be dzie binarnym kodem cyklicznym długości n Znaleźć kod dualny C 9 Niech C = (1 + x) be dzie binarnym kodem cyklicznym długości n Pokazać, że dla każdego wektora c Z n 2 o wadze parzystej, c C 10 Pokazać, że binarny kod cykliczny C = (g(x)) zawiera tylko wektory wagi parzystej wtedy i tylko wtedy, gdy (1 + x) g(x) 11 Niech n, q N be wzgle dnie pierwsze i niech C = (g(x)) be dzie kodem cyklicznym długości n nad ciałem GF (q) Pokazać, że 1 n C wtedy i tylko wtedy, gdy g(1) 0 12 Pokazać, że binarny kod cykliczny długości n, który zawiera wektor o nieparzystej wadze, zawiera wektor 1 n 13 Niech h(x) be dzie wielomianem sprawdzaja cym kodu cyklicznego C = (g(x)) Pokazać, że C jest słabo samo-dualny wtedy i tylko wtedy, gdy x sth(x) h(x 1 ) g(x) 14 Sprawdzić, czy binarny kod cykliczny C = (1 + x 2 + x 3 + x 4 ) długości n = 7 jest kodem słabo samo-dualnym 15 Niech C = (g(x)) be dzie samo-dualnym binarnym kodem cyklicznym Pokazać, że (1 + x) g(x)

9 6 KODY BCH 9 16 Niech α be dzie elementem pierwotnym ciała GF (2 5 ) Określić wymiar binarnego kodu C długości n = 31, dla którego elementy α, α 2, α 3, α 4, α 5, α 6, α 7, α 8, α 9 i α 10 sa zerami Ile błe dów może poprawić kod C? 17 Niech C = (g(x)) be dzie kodem cyklicznym długości n na ciałem GF (q) Pokazać, że wielomian g 2 (x) również generuje kod C 18 Niech r, n N i niech NW D(r, n) = 1 Pokazać, że kod cykliczny długości n z zerami α b, α b+r, α b+2r,, α b+(δ 2)r, ma odległość wie ksza ba dź równa δ 6 Kody BCH 1 Znaleźć wielomian generuja cy binarny BCH kod C w wa skim sensie, długości n = 15, który poprawia t = 3 błe dy Jaki jest wymiar kodu C? 2 Znaleźć stopień wielomianu generuja cego binarny BCH kod długości n = 31, o zadanej odległości δ = 3 i b = 2 Jaki jest wymiar tego kodu? 3 Znaleźć wielomian generuja cy binarny BCH kod długości n = 7 dla b = 2, który poprawia błe dy podwójne 4 Znaleźć wymiar binarnego kodu BCH w wa skim sensie, długości n = 127 i zadanej odległości δ = 7 5 Niech α be dzie elementem pierwotnym ciała GF (2 5 ) Znaleźć BCH kod C długości n = 31 taki, że c(x) C wtedy i tylko wtedy, gdy elementy α, α 2, α 3, α 4, α 5, α 6, α 7, α 8, α 9 i α 10 sa pierwiastkami wielomianu c(x) Ile błe dów może poprawić kod C? 6 Znaleźć macierz H kontroli przystości kodu BCH z zadania 1 7 Znaleźć binarna postać macierzy H z zadania 2 8 Niech C be dzie binarnym BCH kodem, długości n = 7 i odległości d = 5 Znaleźć macierz kontroli parzystości kodu C Sprawdzić, czy wektor c = (1, 0, 1, 0, 0, 0, 1) C 9 Znaleźć macierz kontroli parzystości binarnego BCH kodu w wa skim sensie, długości n = 7, o zadanej odległości δ = 2 Znaleźć binarna postać tej macierzy

10 7 KODY RS Niech C be dzie binarnym BCH kodem w wa skim sensie, długości n = 15, poprawiaja cym do trzech błe dów Odkodować wektor f = (0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) 11 Znaleźć macierz generuja oraz wielomian sprawdzaja cy binarnego BCH kodu w wa skim sensie i długości n = 7, który poprawia błe dy podwójne 12 Niech C be dzie binarnym (15, 5, 7)-kodem BCH w wa skim sensie Odkodować wektor f = (1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1) 7 Kody RS 1 Znaleźć macierz kontroli parzystości RS kodu C długości n = 7, poprawiaja cego błe dy podwójne (dla b = 1) Sprawdzić, czy wektor 1 7 jest słowem kodowym kodu C 2 Znaleźć macierz kontroli parzystości kodu binarnego powstałego z kodu RS z zadania 1 3 Znaleźć wielomian generuja cy 4-ro wymiarowy RS kod C nad ciałem GF (8) Jaka jest długość i odległość kodu C? 4 Niech C be dzie 4-ro wymiarowym RS kodem nad ciałem GF (8) Stosuja c algorytm Reeda-Solomona zakodować wiadomość u = (0, 1, 0, 1) 5 Opisać wszystkie słowa kodowe 1-wymiarowego kodu RS nad ciałem GF (2 m ) 6 Znaleźć kod dualny do kodu RS 8 Kody reszt kwadratowych 1 Czy istnieje binarny kod reszt kwadratowych długości n = 23? 2 Znaleźć wielomiany generuja ce binarne kody reszt kwadratowych długości n = 17 3 Znaleźć kody dualne do ternarnych kodów reszt kwadratowych wymiaru k = 7

11 8 KODY RESZT KWADRATOWYCH 11 4 Niech C be dzie ternarnym kodem reszt kwadratowych generowanym przez wielomian g(x) = 1 x + x 2 x 3 + x 5 Znaleźć kod dualny C 5 Kody Golaya oraz binarny (7, 4)-kod Hamminga H 3 to przykłady kodów doskonałych, które sa jednocześnie kodami reszt kwadratowych Czy moga istnieć jeszcze inne kody reszt kwadratowych, które sa doskonałe i których długość jest mniejsza niż 11?