1 WPROWADZENIE 1. Agata Pilitowska. parzysta. 3. Znaleźć odległość kodu kontroli parzystości nad ciałem GF (q).
|
|
- Alojzy Pawlik
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 1 WPROWADZENIE 1 Kody korekcyjne - zadania Agata Pilitowska 1 Wprowadzenie 1. Pokazać, że dla dowolnych wektorów c, f Z n 2, d(c, f ) = n (c i f i ) 2, i=1 wt(c + f ) = wt(c) + wt(f ) 2wt(cf ), wt(c + f ) wt(c) wt(f ). 2. Pokazać, że dla dowolnych wektorów c, f Z n 2, jeśli wt(c) = wt(f ) to d(c, f ) jest liczba. 3. Znaleźć odległość kodu kontroli parzystości nad ciałem GF (q). 4. Niech C be dzie kodem binarnym o długości n i odległości d 3. Znaleźć liczbe wektorów a Z2 n wagi i 1 oddalonych od słów kodowych o 1 oraz liczbe słów kodowych wagi i + 1 również oddalonych od słów kodowych o Niech c, f Z n 2. Pokazać, że iloczyn skalarny c f = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy wt(cf ) jest liczba. 6. Z ilu maksymalnie słów kodowych może składać sie binarny kod długości 11 poprawiaja cy błe dy podwójne? 7. Niech C be dzie kodem binarnym długości 16, w którym dla dowolnych wektorów c, f C, wtc = 6 oraz d(c, f ) = 8. Pokazać, że C Niech d be dzie liczba. Załóżmy, że a, b, c i f sa czterema różnymi wektorami binarnymi długości n d, parami odległymi od siebie o d. Pokazać, że istnieje dokładnie jeden wektor binarny, odległy od a, b i c o d. Czy zawsze istnieje binarny wektor odległy o d od 2 2 wszystkich czterech wektorów a, b, c i f?
2 2 KODY LINIOWE 2 9. Niech (X = {x 1,..., x n }, B = {B 1,..., B n }) be dzie konfiguracja kwadratowa 1 o parametrach n, k i λ. Macierz A = (a ij ) M n n(z 2 ), gdzie 1, jeśli x i B j, a ij := 0, jeśli x i / B j, nazywamy macierza incydencji rodziny B. Niech c i f be wierszmi tej macierzy traktowanymi jako wektory binarne długości n. Pokazać, że d(c, f ) = 2(k λ). 2 Kody liniowe 1. Znaleźć macierz generuja binarnego (6,3)-kodu liniowego o macierzy kontroli parzystości H = Odkodować wektory c 1 = (1, 1, 0, 0, 1, 0), c 2 = (0, 1, 1, 1, 0, 0), c 3 = (0, 0, 0, 0, 0, 1), c 4 = (1, 0, 0, 0, 1, 1) oraz c 5 = (1, 0, 1, 0, 1, 1). 2. Niech H M n n k(gf (q)) be dzie macierza kontroli parzystości (n, k)- kodu C, A M n k n k (GF (q)) be dzie macierza odwracalna oraz AH M n n k(gf (q)) be dzie macierza kontroli parzystości kodu C 1. Pokazać, że C = C Znaleźć wszystkie słowa kodowe ( (4, 2)-kodu ) ternarnego C o macierzy kontroli parzystości H =. Sprawdzić, czy kod C jest samodualny. 4. Wektor c = (c 1, c 2, c 3, c 4, c 5, c 6, c 7 ) Z 7 2 jest słowem kodowym binarnego (7, 4)-kodu liniowego C wtedy i tylko wtedy, gdy c 1 = c 4 + c 5 + c 7 c 2 = c 4 + c 6 + c 7 c 3 = c 4 + c 5 + c 6. 1 Niech X be dzie zbiorem n-elementowym zaś B = {B 1,..., B n } pewna rodzina jego podzbiorów. Pare (X, B) nazywamy konfiguracja kwadratowa o parametrach n, k, λ, jeśli: B i = k < n 1 dla 1 i n oraz każdy dwu-elementowy zbiór {x, y} X jest podzbiorem dokładnie λ > 0 bloków spośród B 1,..., B n.
3 2 KODY LINIOWE 3 Znaleźć macierz generuja oraz macierz kontroli parzystości kodu C. Zakodować wiadomość u = (0, 1, 1, 0). Sprawdzić, czy wektor c = (0, 0, 0, 0, 1, 1, 1) należy do kodu C. Odkodować słowa: c 1 = (0, 0, 0, 0, 1, 1, 1) oraz c 2 = (0, 0, 0, 1, 1, 1, 1). 5. Znaleźć rozkład wagi (4, 2)-kodu ternarnego, o macierzy generuja cej G = Znaleźć odległość binarnego kodu C generowanego przez macierz G = Niech C be dzie liniowym (n, k)-kodem binarnym. Pokazać, że zbiór słów o wadze parzystej tworzy podprzestrzeń przestrzeni C. Jaki jest wymiar tej podprzestrzeni? 8. Niech c C be dzie słowem kodowym kodu liniowego. Znaleźć liczbe słów kodowych f C, dla których d(c, f ) = i. 9. Pokazać, że jeśli G M k n(gf (q)) jest macierza generuja w postaci standardowej (n, k)-kodu linowego, a H M n n k(gf (q)) odpowiadaja jej macierza kontroli parzystości, to HG = O k n k oraz G T H T = O n k k. 10. Znaleźć najkrótszy kod linowy wymiaru 3, który poprawia błe dy potrójne. 11. Z ilu maksymalnie słów kodowych może składać sie binarny kod liniowy długości 11, poprawiaja cy błe dy podwójne?.
4 2 KODY LINIOWE Czy istnieje binarny liniowy (10, 5)-kod poprawiaja cy błe dy podwójne? 13. Pokazać, że jeśli kolumny macierzy generuja cej binarnego (ternarnego) (n, k)-kodu linowego C maja wage (podzielna przez 3) i sa wzajemnie ortogonalne, to C jest kodem słabo samo-dualnym. 14. Pokazać, że jeśli kolumny macierzy generuja cej binarnego (n, k)-kodu linowego C maja wage podzielna przez 4 i sa wzajemnie ortogonalne, to C jest kodem słabo samo-dualnym i wszystkie słowa kodowe w C maja wage podzielna przez Niech C be dzie ternarnym kodem słabo samo-dualnym. Pokazać, że dla każdego c C, waga wt(c) jest podzielna przez Niech H = be dzie macierza kontroli parzystości binarnego (8, 4)-kodu C. Pokazać, że kod C jest samo-dualny. 17. Niech C be dzie binarnym (n, k)-kodem liniowym i niech f / C. Pokazać, że C (C + f ), gdzie C + f = {c + f c C}, jest kodem liniowym. Jaki jest wymiar kodu C + f? 18. Niech C be dzie binarnym (2k+1, k)-kodem słabo samo-dualnym. Pokazać, że C = C (C + 1 2k+1 ). 19. Niech G M k n(gf (q)) be dzie macierza generuja, zaś H M n n k(gf (q)) macierza kontroli parzystości (n, k)-kodu C. Pokazać, że H T jest macierza generuja a G T jest macierza kontroli parzystości kodu dualnego C. 20. Niech C 1 i C 2 be kodami tej samej długości nad ciałem GF (q) i niech C 1 + C 2 := {c 1 + c 2 c 1 C 1, c 2 C 2 } (tzw. suma kodów C 1 i C 2 ). Pokazać, że jeśli C 1 i C 2 sa kodami liniowymi, to C 1 +C 2 jest najmniejszym kodem liniowym zawieraja cym sume mnogościowa C 1 C 2.
5 3 KONSTRUKCJE KODÓW Niech C 1 be dzie (n, k 1 )-kodem a C 2 be dzie (n, k 2 )-kodem liniowym. Jaki jest wymiar k kodu C 1 + C 2? Kiedy k = k 1 + k 2? 22. Niech C 1 i C 2 be kodami liniowymi tej samej długości nad ciałem GF (q). Pokazać, że (C 1 + C 2 ) = C 1 C Niech C 1 i C 2 be odpowiednio (n, k 1 ) i (n, k 2 ) binarnymi kodami liniowymi. Znaleźć kod ortogonalny C do kodu C, jeśli (a) C = {c c : c C 1 }, (b) C = {c c + f : c C 1, f C 2 }, (c) C = {a + c b + c a + b + c : a, b C 1, c C 2 }, gdzie a b := (a 1,..., a n, b 1,..., b m ) dla a = (a 1,..., a n ) i b = (b 1,..., b m ). 24. Pokazać, że w liniowym kodzie binarnym albo wszystkie słowa kodowe maja wage, albo dokładnie połowa z nich ma wage a połowa nie. 25. Pokazać, że w liniowym kodzie binarnym albo wszystkie słowa kodowe rozpoczynaja sie 0, albo dokładnie połowa z nich rozpoczyna sie 0 a połowa Niech C be dzie binarnym (n, k)-kodem generowanym przez macierz G, w której żaden wiersz nie jest zerowy. Pokazać, że wt(c) = n2 k 1. c C 27. Niech C be dzie binarnym (n, k, d)-kodem liniowym, który osia ga ograniczenie Griesmera i niech d 2 k 1. Pokazać, że w macierzy generuja cej kod C żadne dwa wiersze nie moga sie powtórzyć. 3 Konstrukcje kodów 1. Niech C 1 be dzie binarnym (n, 1)-kodem powtórzeniowym oraz C 2 be dzie binarnym (n, n 1)-kodem kontroli parzystości. Znaleźć
6 3 KONSTRUKCJE KODÓW 6 (a) kody rozszerzone Ĉ1 i Ĉ2, (b) kody C 1 i C 2 skrócone o ostatnia współrze dna, (c) kody C 1 i C 2 skrócone o pierwsza współrze dna, (d) kody powie kszone C 1 1 i C 1 2, (e) sume C 1 + C 2, dla n = 2, (f) sume prosta C 1 C 2, (g) sume prosta C 1 C 1 + C 2, dla n = 2, (h) sume Levenshteina 2C 2 3C 1, dla n = 2, (i) produkt Kroneckera C 1 C 2, dla n = Znaleźć kod okrojony C powstały ze wszystkich tych słów binarnego (n, n 1)-kodu kontroli parzystości, których ostatnia współrze dna jest równa Znaleźć kod powie kszony C 1 kodu okrojonego C z zadania 2. Jaki jest wymiar i odległość tego kodu? 4. Niech C be dzie (7, 4)-kodem binarnym, dla którego H = jest macierza kontroli parzystości. Znaleźć macierz kontroli parzystości dla rozszerzonego kodu Ĉ. Jaka jest odległość kodu Ĉ? 5. Niech G = M 4 7(Z 2 ) be dzie macierza generuja (7, 4)-kod binarny C. Znaleźć macierz kontroli parzystości kodu C skróconego o pia ta współrze dna.
7 3 KONSTRUKCJE KODÓW 7 6. Niech G 1 = i G 2 = be macierzami generuja cymi (5, 2)-kody ternarne C 1 i C 2. Znaleźć odległość kodów C 1 i C 2 oraz kodów rozszerzonych Ĉ1 i Ĉ2. 7. Pokazać, że jeśli C jest [n, M, d]-kodem binarnym, w którym d jest liczba nie, to odległość kodu rozszerzonego Ĉ wynosi d Niech C 1 i C 2 be kodami liniowymi o macierzach generuja cych odpowiednio G 1 M k 1 n (GF (q)) i G 2 M k 2 n (GF (q)). Znaleźć macierz generuja kod C 1 C 1 + C Niech dla i = 1,..., m, G i be macierzami generuja cymi (n, k i )-kody liniowe C i. Znaleźć macierze generuja ce kody C 1 + C C m oraz C 1 C 2... C m. 10. Niech dla i = 1, 2, 3, C i be dzie (n, k i, d i )-kodem liniowym generowanym przez macierz G i M k i n (GF (q)). Załóżmy, że C 3 C 2 oraz k 1 = k 2 k 3. Znaleźć wymiar i odległość kodu generowanego przez macierz G = ( G1 O k 3 n G 2 G 3 gdzie G 2 M k 2 k 3 n (GF (q)) jest macierza taka, że G 2 = ( G 2 G 3 ). 11. Niech C 1 i C 2 be odpowiednio [n, M 1, d 1 ] i [n, M 2, d 2 ] kodami binarnymi. Pokazać, że suma prosta kodów C 1 i C 1 + C 2 jest [2n, M 1 M 2, d]- kodem, gdzie d = min{2d 1, d 2 }. 12. Niech d Z + be dzie liczba. Pokazać, że jeśli istnieje binarny [n, M, d]-kod, to istnieje również [n, M, d]-kod C taki, że dla każdego c C, waga wt(c) jest liczba. ),
8 4 KODY NIELINIOWE I OGRANICZENIA NA WIELKOŚĆ KODÓW 8 4 Kody nieliniowe i ograniczenia na wielkość kodów 1. Pokazać, że dla kodów binarnych i dowolnych n, d N: A(n, 2d 1) = A(n + 1, 2d), A(n, d) 2A(n 1, d). 2. Niech d N be dzie liczba. Pokazać, że A(2d, d) 4d. Czy istnieje binarny kod, dla którego A(2d, d) = 4d? 3. Niech n N be dzie liczba, d N taka, że 2d > n d oraz d M := 2[ ]. Skonstruować binarny [n, M, d]-kod. 2d n 4. Skonstruować binarny [27, 6, 16]-kod. 5. Niech A(n, d, w) oznacza maksymalna liczbe binarnych wektorów długości n, odległości co najmniej d i wagi równej w. Pokazać, że A(n, 2d 1, w) = A(n, 2d, w). 6. Pokazać, że jeśli w < d to A(n, 2d, w) = Pokazać, że A(n, 2d, d) = [ n d ]. 8. Pokazać, że dla w 2 wn + dn > 0, dn A(n, 2d, w) [ w 2 wn + dn ]. 9. Oszacować możliwie najlepiej liczbe binarnych wektorów o wadze równej 4, długości 9 i odległości co najmniej Pokazać, że A(n, 2d, w) [ n A(n 1, 2d, w 1)]. w 11. Oszacować możliwie najlepiej wartość A(20, 8, 7). 12. Czy istnieje binarny nieliniowy [16, 10, 9]-kod?
9 4 KODY NIELINIOWE I OGRANICZENIA NA WIELKOŚĆ KODÓW Jeśli c C jest słowem kodowym kodu liniowego C, to liczba słów kodowych f C, dla których d(c, f ) = i, równa jest A i. Czy jest to nadal praw dla kodów nieliniowych? 14. Skonstruować [12, 24, 6]-kod binarny. 15. Znaleźć wszystkie słowa kodowe kodów Hadamarda dla n = Pokazać, że kody z zadania 16 nie sa liniowe. 17. Niech m N i p > 2 be dzie liczba pierwsza taka, że p m Pokazać, że odległość kodu konferencyjnego C p m równa jest d = 1 2 (pm 1). 18. Znaleźć kod konferencyjny C Czy istnieje [9, 20, 4]-kod nierównoważny z kodem C 9? 20. Skonstruować [5, 12, 2]-kod binarny. 21. Skonstruować [25, 52, 12]-kod binarny. 22. Niech C be dzie binarnym (7, 4, 3)-kodem liniowym o macierzy kontroli parzystości H = Niech ponadto π : Z 7 2 Z 2 be dzie zdefiniowane naste puja co: 0, jeśli wt(a) jest liczba π(a) :=, 1, jeśli wt(a) jest liczba nie. Znaleźć liczbe słów kodowych binarnego kodu D := {a a + c π(a) + 2 wt(c) : a Z 7 2, 0 7 c C} {a a π(a) : a Z 7 2}. Znaleźć odległość kodu D. Czy D jest kodem liniowym?
10 5 KODY DOSKONAŁE 10 5 Kody doskonałe 1. Znaleźć macierz kontroli parzystości binarnego kodu Hamminga H 4. Zakodować wiadomość u = (1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0). Odkodować słowo c = (1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0). 2. Znaleźć macierz kontroli parzystości kodu Hamminga H 3 (3). 3. Znaleźć macierz kontroli parzystości rozszerzonego kodu Ĥ3 i opisać algorytm dekodowania dla tego kodu. 4. Jakie jest prawdopodobieństwo P C błe du po dekodowaniu dla binarnego kodu Hamminga C = H m, m 1? 5. Znaleźć prawdopodobieństwo P C błe du po dekodowaniu dla kodu Golaya C = G 23, jeśli prawdopodobieństwo błe du przy przesyłaniu pojedynczego symbolu wynosi 1 p. 6. Niech A i be dzie liczba słów kodowych wagi i w binarnym kodzie Hamminga H m. Pokazać, że (i + 1)A i+1 + A i + (n i + 1)A i 1 = ( ) n i. 7. Znaleźć numerator binarnego kodu Hamminga H 3 oraz rozszerzonego kodu Ĥ3. 8. Znaleźć macierz generuja i macierz kontroli parzystości kodu sympleksowego H Znaleźć macierz generuja kodu liniowego, którego wszystkie niezerowe słowa kodowe maja wage równa Znaleźć wielomian Lloyda dla binarnego kodu Hamminga H Niech C be dzie [n, M, 2t + 1]-kodem doskonałym nad ciałem GF (q) i niech L t (x) be dzie wielomianem Lloyda. Pokazać, że L t (0) = q r, dla pewnego r N. 12. Niech C be dzie nietrywialnym [n, M, 2t + 1]-kodem doskonałym nad ciałem GF (q) i niech L t (x) be dzie wielomianem Lloyda. Pokazać, że L t (1) 0 oraz L t (2) Pokazać, że kody Vasileva nie sa liniowe.
11 6 KODY CYKLICZNE Pokazać, że wektor 1 24 należy do kodu G Pokazać, że każde słowo kodowe kodu G 24 ma wage podzielna przez Pokazać, że kod G 24 jest samodualny, tzn. G 24 = G Znaleźć liczbe słów kodowych o wadze 0 i 9 doskonałego (23, 12, 7)- kodu binarnego. 18. Niech A be dzie zbiorem wszystkich kolumn macierzy Q 11 (zdefiniowanej przy konstrukcji kodu Golaya G 24 ) i niech c C wtedy i tylko wtedy, gdy c A lub c = a lub c = a + b lub c = a + b , gdzie a b A. Pokazać, że C jest nieliniowym, binarnym [11, 132, 3]- kodem. 6 Kody cykliczne 1. Sprawdzić, czy wielomian 1 + x 3 + x 4 + x 6 + x 7 jest słowem kodowym binarnego kodu wielomianowego C 1+x 2 +x 3 +x4 długości n = Stosuja c algorytm systematyczny znaleźć wszystkie słowa kodowe binarnego kodu wielomianowego C 1+x+x 3 długości n = Znaleźć macierz generuja binarny kod wielomianowy C 1+x 2 +x 4 +x 5 długości n = 9. Sprawdzić, czy wektor f = (1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1) jest słowem kodowym kodu C. 4. Znaleźć kod wielomianowy długości n = 7 w pierścieniu Z 5 [x]/(3x + x 2 + 4x 5 + 2x 7 ). 5. Wiemy, że nad ciałem Z 2 x 15 1 = (x+1)(1+x+x 2 )(1+x+x 4 )(1+x 3 +x 4 )(1+x+x 2 +x 3 +x 4 ). (a) Ile jest wszystkich binarnych kodów cyklicznych długości n = 15? (b) Znaleźć macierz generuja oraz macierz kontroli parzystości dowolnie wybranego kodu cyklicznego C długości n = 15 i wymiaru k = 7. (c) Stosuja c wybrany w punkcie (b) nietrywialny kod cykliczny C, zakodować wiadomość u = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1).
12 6 KODY CYKLICZNE 12 (d) Sprawdzić, czy wektor c = (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1) jest słowem kodowym kodu C. 6. Niech C 1 = (g 1 (x)) i C 2 = (g 2 (x)) be kodami cyklicznymi. Pokazać, że C 1 C 2 wtedy i tylko wtedy, gdy g 2 (x) g 1 (x). 7. Niech C 1 = (g 1 (x)) i C 2 = (g 2 (x)) be kodami cyklicznymi. Pokazać, że C 1 C 2 oraz C 1 + C 2 również sa kodami cyklicznymi. Znaleźć ich wielomiany generuja ce. 8. Niech C = (1 + x) be dzie binarnym kodem cyklicznym długości n. Znaleźć kod dualny C. 9. Niech C = (1 + x) be dzie binarnym kodem cyklicznym długości n. Pokazać, że dla każdego wektora c Z n 2 o wadze parzystej, c C. 10. Pokazać, że binarny kod cykliczny C = (g(x)) zawiera tylko wektory wagi parzystej wtedy i tylko wtedy, gdy (1 + x) g(x). 11. Niech n, q N be wzgle dnie pierwsze i niech C = (g(x)) be dzie kodem cyklicznym długości n nad ciałem GF (q). Pokazać, że 1 n C wtedy i tylko wtedy, gdy g(1) Pokazać, że binarny kod cykliczny długości n, który zawiera wektor o nieparzystej wadze, zawiera wektor 1 n. 13. Niech h(x) be dzie wielomianem sprawdzaja cym kodu cyklicznego C = (g(x)). Pokazać, że C jest słabo samo-dualny wtedy i tylko wtedy, gdy x sth(x) h(x 1 ) g(x). 14. Sprawdzić, czy binarny kod cykliczny C = (1 + x 2 + x 3 + x 4 ) długości n = 7 jest kodem słabo samo-dualnym. 15. Niech C = (g(x)) be dzie samo-dualnym binarnym kodem cyklicznym. Pokazać, że (1 + x) g(x). 16. Znaleźć wielomian generuja cy kod sympleksowy H Niech α be dzie elementem pierwotnym ciała GF (2 5 ). Określić wymiar binarnego kodu C długości n = 31, dla którego elementy α, α 2, α 3, α 4, α 5, α 6, α 7, α 8, α 9 i α 10 sa zerami. Ile błe dów może poprawić kod C?
13 7 KODY BCH Niech C = (g(x)) be dzie kodem cyklicznym długości n na ciałem GF (q). Pokazać, że wielomian g 2 (x) również generuje kod C. 19. Niech r, n N i niech NW D(r, n) = 1. Pokazać, że kod cykliczny długości n z zerami α b, α b+r, α b+2r,..., α b+(δ 2)r, ma odległość wie ksza ba dź równa δ. 7 Kody BCH 1. Znaleźć wielomian generuja cy binarny BCH kod C w wa skim sensie, długości n = 15, który poprawia t = 3 błe dy. Jaki jest wymiar kodu C? 2. Znaleźć macierz H kontroli przystości kodu BCH z zadania Znaleźć binarna postać macierzy H z zadania Niech C be dzie binarnym BCH kodem, długości n = 7 i odległości d = 5. Znaleźć macierz kontroli parzystości kodu C. Sprawdzić, czy wektor c = (1, 0, 1, 0, 0, 0, 1) C. 5. Znaleźć macierz kontroli parzystości binarnego BCH kodu w wa skim sensie, długości n = 7, o zadanej odległości δ = 2. Znaleźć binarna postać tej macierzy. 6. Znaleźć stopień wielomianu generuja cego binarny BCH kod długości n = 31, o zadanej odległości δ = 3 i b = 2. Jaki jest wymiar tego kodu? 7. Niech C be dzie binarnym BCH kodem w wa skim sensie, długości n = 15, poprawiaja cym do trzech błe dów. Odkodować wektor f = (0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0). 8. Znaleźć wielomian generuja cy binarny BCH kod długości n = 7 dla b = 2, który poprawia błe dy podwójne. 9. Niech α be dzie elementem pierwotnym ciała GF (2 5 ). Znaleźć BCH kod C długości n = 31 taki, że c(x) C wtedy i tylko wtedy, gdy elementy α, α 2, α 3, α 4, α 5, α 6, α 7, α 8, α 9 i α 10 sa pierwiastkami wielomianu c(x). Ile błe dów może poprawić kod C?
14 8 KODY RS Znaleźć macierz generuja oraz wielomian sprawdzaja cy binarnego BCH kodu w wa skim sensie i długości n = 7, który poprawia błe dy podwójne. 11. Niech C be dzie binarnym (15, 5, 7)-kodem BCH w wa skim sensie. Odkodować wektor f = (1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1). 12. Niech m N i t N be dzie takie, że t+1 i=1 ( 2 m ) 1 > 2 mt. i Niech C be dzie kodem BCH długości n = 2 m 1 oraz zadanej odległości δ = 2t + 1. Sprawdzić, czy faktyczna odległość d kodu C może być wie ksza ba dź równa 2t Niech C be dzie binarnym (31, 21, 5)-kodem BCH i niech i A i be dzie rozkładem wagi kodu dualnego C. Znaleźć numerator kodu C. 14. Znaleźć wymiar binarnego kodu BCH w wa skim sensie, długości n = 127 i zadanej odległości δ = 7. 8 Kody RS 1. Znaleźć macierz kontroli parzystości RS kodu C długości n = 7, poprawiaja cego błe dy podwójne (dla b = 1). Sprawdzić, czy wektor 1 7 jest słowem kodowym kodu C. 2. Znaleźć macierz kontroli parzystości kodu binarnego powstałego z kodu RS z zadania Znaleźć wielomian generuja cy 4-ro wymiarowy RS kod C nad ciałem GF (8). Jaka jest długość i odległość kodu C? 4. Niech C be dzie 4-ro wymiarowym RS kodem nad ciałem GF (8). Stosuja c algorytm Reeda-Solomona zakodować wiadomość u = (0, 1, 0, 1).
15 9 KODY MDS Niech C be dzie RS kodem z zadania 4. Odkodować wektor f = (1, 1 + α + α 2, 1 + α, 1 + α + α 2, 1 + α 2, 1 + α 2, 1 + α), gdzie α jest elementem pierwotnym ciała GF (8). 6. Opisać wszystkie słowa kodowe 1-wymiarowego kodu RS nad ciałem GF (2 m ). 7. Znaleźć kod dualny do kodu RS. 8. Niech c = (c 0, c 1,..., c N 1 ) należy do (N, K, D)-kodu RS nad ciałem GF (2 m ). Zasta pmy każdy element c i GF (2 m ) przez odpowiadaja cy mu binarny cia g m-elementowy φ(c i ) i dodajmy do każdego takiego cia gu symbol kontroli parzystości. W rezultacie otrzymamy kod C długości n = (m + 1)(2 m 1) i wymiaru k = mk. Znaleźć odległość kodu C. 9. Niech α be dzie elementem pierwotnym ciała GF (8) i niech C be dzie (7, 2, 6)-kodem cyklicznym nad tym ciałem, generowanym przez wielomian g(x) = (x + α)(x + α 2 ). Niech B 1 = {1, α, α 2 } i B 2 = {α 3, α 6, α 5 } be dwiema różnymi bazami GF (8). Dla każdej z tych baz znaleźć rozkład wagi i odległość kodu C. Naste pnie, dla każdej z baz B 1 i B 2, określić odwzorowanie φ : GF (8) Z2 3 i znaleźć rozkład wagi oraz odległość kodu binarnego powstałego z kodu C. 10. Niech α be dzie elementem pierwotnym ciała GF (8) = Z 2 [x]/(1+x+x 3 ). Sprawdzić, czy wektor c = (1, 1 + α + α 2, 1 + α, 1 + α + α 2, 1 + α 2, 1 + α 2, 1 + α) należy do RS kodu C z zadania 1. Znaleźć odpowiadaja ce wektorowi c słowo kodowe kodu Justesen utworzonego z kodu C. 9 Kody MDS 1. Niech C be dzie (15, 7, 9)-kodem RS. Znaleźć macierz kontroli parzystości kodu rozszerzonego Ĉ. 2. Znaleźć macierz kontroli parzystości podwójnie rozszerzonego kodu C z zadania Niech C be dzie (n, k, d)-kodem MDS nad ciałem GF (q). Pokazać, że dla każdego wyboru d współrze dnych 1 i 1,..., i d n, istnieje słowo c C takie, że wt(c) = d oraz dla każdego i i 1,..., i d, c i = 0.
16 10 KODY RESZT KWADRATOWYCH Nie korzystaja c z Twierdzenia 10.6, znaleźć liczbe słów kodowych o wadze w = n k + 1 w (n, k, d)-kodzie MDS nad ciałem GF (q). 5. Niech H = α 1 α 2 α 3 α 4 α 5 α α1 2 α2 2 α3 2 α4 2 α5 2 α M 10 3 (GF (q)), gdzie 1, α 1, α 2, α 3, α 4, α 5, α 6 GF (8) sa niezerowe i parami różne, be dzie macierza kontroli parzystości kodu liniowego C nad ciałem GF (8). Sprawdzić, czy kod C jest kodem MDS. 6. Niech k, n k 3 i C be dzie (n, k)-kodem liniowym o macierzy generuja ( ) P cej G = M k n(gf (q)), gdzie P M k n k(gf (q)). Pokazać, I k że jeśli C jest kodem MDS, to macierz utworzona z 3 ostatnich kolumn i 3 dowolnych wierszy macierzy P ma niezerowy wyznacznik. 7. Znaleźć wielomiany generuja ce cykliczne kody MDS nad ciałem GF (4) długości n = 5 i wymiaru k = 1, 2, 3, Znaleźć cykliczny kod MDS długości n = 17 i wymiaru k = Znaleźć cykliczny kod MDS długości n = 9 i wymiaru k = Znaleźć liczbe słów kodowych wagi w = 5 w 4-ro wymiarowym RS kodzie C nad ciałem GF (8). 11. Niech C be dzie 4-ro wymiarowym RS kodem C nad ciałem GF (8). Znaleźć liczbe słów kodowych wagi w = 6 w rozszerzonym oraz podwójnie rozszerzonym kodzie C. 12. Znaleźć wielomian generuja cy kod dualny do kodu C z zadania 1. Znaleźć zera kodu C. 10 Kody reszt kwadratowych 1. Czy istnieje binarny kod reszt kwadratowych długości n = 23?
17 10 KODY RESZT KWADRATOWYCH Znaleźć wielomiany generuja ce binarne kody reszt kwadratowych długości n = Znaleźć kody dualne do ternarnych kodów reszt kwadratowych wymiaru k = Niech C be dzie ternarnym kodem reszt kwadratowych generowanym przez wielomian g(x) = 1 x + x 2 x 3 + x 5. Znaleźć kod dualny C. 5. Kody Golaya oraz binarny (7, 4)-kod Hamminga H 3 to przykłady kodów doskonałych, które sa jednocześnie kodami reszt kwadratowych. Czy moga istnieć jeszcze inne kody reszt kwadratowych, które sa doskonałe i których długość jest mniejsza niż 11? 6. Niech p 4 takie, że 3 be dzie liczba pierwsza i niech f 0,..., f p 1 Z 2 be p 1 f i x i := 1 + x n. i=0 n N p Wiedza c, że macierz f 0 f 1... f p 1 f p 1 f 0... f p f 1 f 2... f 0 Mp p(z 2 ) ma rza d równy p 1 2 oraz, że wektor (f 0, f 1,..., f p 1 ) jest słowem kodowym binarnego okrojonego kodu reszt kwadratowych Q długości p, znaleźć wszystkie słowa c Q takie, że wt(c) 4 0 lub wt(c) 4 3.
1 WPROWADZENIE 1. Agata Pilitowska. parzysta. 3. Znaleźć odległość kodu kontroli parzystości nad ciałem GF (q).
1 WPROWADZENIE 1 Kody korekcyjne - zadania Agata Pilitowska 1 Wprowadzenie 1 Pokazać, że dla dowolnych wektorów c, f Z n 2, d(c, f ) = n (c i f i ) 2, i=1 wt(c + f ) = wt(c) + wt(f ) 2wt(cf ), wt(c + f
Bardziej szczegółowoKody korekcyjne - Konspekt wykładu
Kody korekcyjne - Konspekt wykładu Agata Pilitowska Rok akademicki 2015/2016 1 Wprowadzenie Zasadnicza idea kodowania polega na przesyłaniu wraz z oryginalna wiadomościa pewnej informacji nadmiarowej,
Bardziej szczegółowoKody korekcyjne - Konspekt wykładu
Kody korekcyjne - Konspekt wykładu Agata Pilitowska Rok akademicki 2013/2014 1 Wprowadzenie Zasadnicza idea kodowania polega na przesyłaniu wraz z oryginalna wiadomościa pewnej informacji nadmiarowej,
Bardziej szczegółowoKodowanie i kompresja Tomasz Jurdziński Studia Wieczorowe Wykład Kody liniowe - kodowanie w oparciu o macierz parzystości
Kodowanie i kompresja Tomasz Jurdziński Studia Wieczorowe Wykład 13 1 Kody liniowe - kodowanie w oparciu o macierz parzystości Przykład Różne macierze parzystości dla kodu powtórzeniowego. Co wiemy z algebry
Bardziej szczegółowoKodowanie i kompresja Streszczenie Studia dzienne Wykład 6
Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia dzienne Wykład 6 1 Kody cykliczne: dekodowanie Definicja 1 (Syndrom) Niech K będzie kodem cyklicznym z wielomianem generuja- cym g(x). Resztę z dzielenia słowa
Bardziej szczegółowoAgata Pilitowska 22 stycznia 2007
dy Agata Pilitowska 22 stycznia 2007 1 Wprowadzenie Transmisja danych to nic innego jak przesyłanie symboli ustalonego, skończonego alfabetu przez pewien kanał transmisyjny Niedoskonałość takiego kanału
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011
1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy
Bardziej szczegółowo0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.
5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 7: Kody korygujące błędy Gniewomir Sarbicki Błędy transmisji i kodowanie nadmiarowe Zakładamy, że przy pewnym małym prawdopodobieństwie ɛ przy transmisji bit zmienia wartość.
Bardziej szczegółowoW11 Kody nadmiarowe, zastosowania w transmisji danych
W11 Kody nadmiarowe, zastosowania w transmisji danych Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Marek Woda www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Plan wykładu 1. Kody nadmiarowe w systemach transmisji cyfrowej 2. Typy kodów,
Bardziej szczegółowoLaboratorium ochrony danych
Laboratorium ochrony danych Ćwiczenie nr 3 Temat ćwiczenia: Kod BCH Cel dydaktyczny: Zapoznanie się z metodami detekcji i korekcji błędów transmisyjnych za pomocą binarnych kodów cyklicznych, na przykładzie
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoKody blokowe Wykład 2, 10 III 2011
Kody blokowe Wykład 2, 10 III 2011 Literatura 1. R.M. Roth, Introduction to Coding Theory, 2006 2. W.C. Huffman, V. Pless, Fundamentals of Error-Correcting Codes, 2003 3. D.R. Hankerson et al., Coding
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ MATEMATYKI I NAUK INFORMACYJNYCH PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA MATEMATYKA. Kody doskonałe. Autor:
POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ MATEMATYKI I NAUK INFORMACYJNYCH PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA MATEMATYKA Kody doskonałe Autor: Bogumił Buczkowski nr albumu: 190774 Promotor: dr inż. Agata Pilitowska Warszawa,
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania ćwiczenia
Algebra i jej zastosowania ćwiczenia 13 stycznia 013 1 Reprezentacje liniowe grup skończonych 1. Pokazać, że zbiór wszystkich pierwiastków stopnia n z jedności jest grupa abelowa wzgle dem mnożenia.. Pokazać,
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Definicja Niech V, W,
Bardziej szczegółowoTeoria informacji i kodowania Ćwiczenia Sem. zimowy 2016/2017
Algebra liniowa Zadanie 1 Czy jeśli wektory x, y i z, należące do binarnej przestrzeni wektorowej nad ciałem Galois GF (2), są liniowo niezależne, to można to samo orzec o następujących trzech wektorach:
Bardziej szczegółowo13. Cia la. Rozszerzenia cia l.
59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja
Bardziej szczegółowoφ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Bardziej szczegółowoEndomorfizmy liniowe
Endomorfizmy liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 8. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2011 1 / 16 Endomorfizmy
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar liniowej Baza liniowej Niech V bedzie nad cia lem K Powiemy, że zbiór wektorów {α,, α n } jest baza V, jeżeli wektory α,, α n sa liniowo niezależne oraz generuja V tzn V = L(α,,
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowoDiagonalizacja macierzy i jej zastosowania
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa,listopad
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów.
Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. Adam Kolany Instytut Techniczny adamkolany@pm.katowice.pl Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia 2012 1 /
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2017 1 / 10 Definicja Funkcja
Bardziej szczegółowoKody blokowe Wykład 5a;
Kody blokowe Wykład 5a; 31.03.2011 1 1 Kolorowanie hiperkostki Definicja. W teorii grafów symbol Q n oznacza kostkę n-wymiarową, czyli graf o zbiorze wierzchołków V (Q n ) = {0, 1} n i zbiorze krawędzi
Bardziej szczegółowoDiagonalizacja macierzy i jej zastosowania
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień
Bardziej szczegółowoWersja testu D 14 września 2011 r. 1. Czy prawda jest, że a) x Z y Z y 2 = 2 ; b) x Z y Z x 2 = 1 ; c) x Z y Z x 2 = 2 ; d) x Z y Z y 2 = 1?
1. Czy prawda jest, że a) x Z y Z y 2 = 2 ; b) x Z y Z x 2 = 1 ; c) x Z y Z x 2 = 2 ; d) x Z y Z y 2 = 1? 2. Czy prawda jest, że a) 5 8 1 jest podzielne przez 4 ; b) 5 7 1 jest podzielne przez 4 ; c) 3
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Bardziej szczegółowoKody blokowe Wykład 1, 3 III 2011
Kody blokowe Wykład 1, 3 III 2011 Literatura 1. R.M. Roth, Introduction to Coding Theory, 2006 2. W.C. Huffman, V. Pless, Fundamentals of Error-Correcting Codes, 2003 3. D.R. Hankerson et al., Coding Theory
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1
Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania ćwiczenia
Algebra i jej zastosowania ćwiczenia A. Pilitowska i A. Romanowska jesień 2012 1 Iloczyny (produkty) proste 1. Znaleźć tabelke dodawania i mnożenia pierścienia Z 2 Z 3. 2. Które z naste puja cych par grup
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 1 / 16 Definicja Niech V,
Bardziej szczegółowoA. Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1
A Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1 Zadanie 1 Niech f b edzie endomorfizmem skończenie wymiarowej przestrzeni V nad cia lem charakterystyki różnej od 2 takim, że M(f) nie jest diagonalizowalna ale M(f
Bardziej szczegółowoBaza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
Bardziej szczegółowo1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler
GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy
Bardziej szczegółowo1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )
Bardziej szczegółowo6 Homomorfizmy przestrzeni liniowych
konspekt wykladu - 2009/10 1 6 Homomorfizmy przestrzeni liniowych Definicja 6.1. Niech V, U be przestrzeniami liniowymi nad cialem K. Przeksztalcenie F : V W nazywamy przeksztalceniem liniowym (homomorfizmem
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także
Bardziej szczegółowoPokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem
Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =
11 Algebra macierzy Definicja 11.1 Dla danego ciała F i dla danych m, n N funkcję A : {1,..., m} {1,..., n} F nazywamy macierzą m n (macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowoInformatyka Stosowana. a b c d a a b c d b b d a c c c a d b d d c b a
Działania na zbiorach i ich własności Informatyka Stosowana 1. W dowolnym zbiorze X określamy działanie : a b = b. Pokazać, że jest to działanie łączne. 2. W zbiorze Z określamy działanie : a b = a 2 +
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, cz
Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, cz eść druga Anna Romanowska 22 października 2015 Pierścienie i cia la.1 Idea ly i pierścienie ilorazowe Definicja.11. Pierścień, w którym wszystkie idea ly
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
Algebra liniowa z geometrią /4 Działania na zbiorach Zadanie Czy działanie : R R R określone wzorem (x x ) (y y ) := (x y x y x y + x y ) jest przemienne? Zadanie W dowolnym zbiorze X określamy działanie
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009
Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 1. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech 0 K oraz θ V będą elementem zerowym ciała K i wektorem zerowym przestrzeni V. Posługując
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające
Bardziej szczegółowoAlgebra konspekt wykladu 2009/10 1. du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle
Algebra konspekt wykladu 2009/10 1 3 Podgrupy Niech S g mówimy, że podzbiór S jest zamknie ty ze wzgle du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle
Bardziej szczegółowoWłasności wyznacznika
Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
Bardziej szczegółowo0.1 Pierścienie wielomianów
0.1 Pierścienie wielomianów Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z 5 [X] drugi wielomian określający tę samą funkcję, co wielomian X 2 X + 1. (Odp. np. X 5 + X 2 2X + 1). Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn
Bardziej szczegółowoSkończone rozszerzenia ciał
Skończone rozszerzenia ciał Notkę tę rozpoczniemy od definicji i prostych własności wielomianu minimalnego, następnie wprowadzimy pojecie rozszerzenia pojedynczego o element algebraiczny, udowodnimy twierdzenie
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 4. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2006 1 / 7
Bardziej szczegółowo3 Przestrzenie liniowe
MIMUW 3 Przestrzenie liniowe 8 3 Przestrzenie liniowe 31 Przestrzenie liniowe Dla dowolnego ciała K, analogicznie jak to robiliśmy dla R, wprowadza się operację dodawania wektorów kolumn z K n i mnożenia
Bardziej szczegółowoNiezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny
Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )
Bardziej szczegółowodet[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...
Wykład 14 Wyznacznik macierzy cd Twierdzenie 1 Niech A będzie macierzą kwadratową i niech A i, A j będą dwiema różnymi jej kolumnami, wtedy dla dowolnego k K: det[a 1,, A i,, A j,, A n ] det[a 1,, A i
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy
Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Definicja. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz
Bardziej szczegółowomacierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.
Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Bardziej szczegółowoAlgebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań
Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,
Bardziej szczegółowoRównania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem
Rozdział 6 Równania liniowe 6 Przekształcenia liniowe Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem F Definicja 6 Funkcję f : X Y spełniającą warunki: a) dla dowolnych x,
Bardziej szczegółowoz = x + i y := e i ϕ z. cos ϕ sin ϕ = sin ϕ cos ϕ
Izometrie liniowe Przypomnijmy, że jeśli V jest przestrzenią euklidesową (skończonego wymiaru), to U End V jest izometrią wtedy i tylko wtedy, gdy U U = UU = E, to znaczy, gdy jest odwzorowaniem ortogonalnym.
Bardziej szczegółowo- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe
1 Algebra Liniowa z Geometria - Wydział Fizyki Zestaw nr 2 Krzywe stożkowe 1 Znaleźć współrze dne środka i promień okre gu x 2 8x + y 2 + 6y + 20 = 0 2 Znaleźć zbiór punktów płaszczyzny R 2, których odległość
Bardziej szczegółowo1 Określenie pierścienia
1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowoPODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowo1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)
Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla
Bardziej szczegółowoWydział Fizyki PW Algebra z geometria
Wydział Fizyki PW Algebra z geometria - konspekt wykładu Agata Pilitowska Rok akademicki 2016/2017 Spis treści 1 Liczby zespolone 3 2 Geometria analityczna w przestrzeni R 3 9 21 Punkty i wektory 9 22
Bardziej szczegółowo1 0 Je»eli wybierzemy baz A = ((1, 1), (2, 1)) to M(f) A A =. 0 2 Daje to znacznie lepszy opis endomorzmu f.
GAL II 2012-2013 A Strojnowski str1 Wykªad 1 Ten semestr rozpoczniemy badaniem endomorzmów sko«czenie wymiarowych przestrzeni liniowych Denicja 11 Niech V b dzie przestrzeni liniow nad ciaªem K 1) Przeksztaªceniem
Bardziej szczegółowo3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B
1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =
Bardziej szczegółowoDiagonalizacja macierzy i jej zastosowania
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 29 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień
Bardziej szczegółowo13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Bardziej szczegółowo15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej
15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowoWykład VIII. Systemy kryptograficzne Kierunek Matematyka - semestr IV. dr inż. Janusz Słupik. Wydział Matematyki Stosowanej Politechniki Śląskiej
Wykład VIII Kierunek Matematyka - semestr IV Wydział Matematyki Stosowanej Politechniki Śląskiej Gliwice, 2014 c Copyright 2014 Janusz Słupik Egzotyczne algorytmy z kluczem publicznym Przypomnienie Algorytm
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania ćwiczenia
Algebra i jej zastosowania ćwiczenia A Pilitowska i A Romanowska 24 kwietnia 2006 1 Grupy i quasigrupy 1 Pokazać, że w każdej grupie (G,, 1, 1): (a) jeśli xx = x, to x = 1, (b) (xy) 1 = y 1 x 1, (c) zachodzi
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe
Zadania z algebry liniowej Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe Definicja 1 (Iloczyn skalarny). Niech V będzie rzeczywistą przestrzenią liniową. Iloczynem skalarnym w przestrzeni V nazywamy funkcję
Bardziej szczegółowo- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe
1 Algebra Liniowa z Geometria - Wydział Fizyki Zestaw nr 2 Krzywe stożkowe 1 Znaleźć współrze dne środka i promień okre gu x 2 8x + y 2 + 6y + 20 = 0 2 Znaleźć zbiór punktów płaszczyzny R 2, których odległość
Bardziej szczegółowoCiała skończone. 1. Ciała: podstawy
Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe, liniowa niezależność wektorów, bazy przestrzeni wektorowych
Grupa, cia lo Zadanie 1. Jakie w lasności w zbiorze liczb naturalnych, ca lkowitych, wymiernych, rzeczywistych maj dzia lania a b = a b, a b = a 2 + b 2, a b = a+b, a b = b. 2 Zadanie 2. Pokazać, że (R
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
Bardziej szczegółowoWykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2
Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana Niech A - macierz kwadratowa stopnia n Jak obliczyć np A 100? a 11 0 0 0 a 22 0 Jeśli A jest macierzą diagonalną tzn A =, to Ak = 0 0 a nn Niech B =
Bardziej szczegółowoZastosowania wyznaczników
Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17
Bardziej szczegółowo, to liczby γ +δi oraz γ δi opisują pierwiastki z a+bi.
Zestaw 1 Liczby zespolone 1 Zadania do przeliczenia Nie będziemy robić na ćwiczeniach S 1 Policz wartość 1 + i + (2 + i)(i 3) 1 i Zadania domowe x y(1 + i) 1 Znajdź liczby rzeczywiste x, y takie, że +
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowoGeometria Lista 0 Zadanie 1
Geometria Lista 0 Zadanie 1. Wyznaczyć wzór na pole równoległoboku rozpiętego na wektorach u, v: (a) nie odwołując się do współrzędnych tych wektorów; (b) odwołując się do współrzędnych względem odpowiednio
Bardziej szczegółowo