Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Transkrypt

1 Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna Geometria analityczna w R Liczby zespolone Wielomiany i funkcje wymierne Macierze i wyznaczniki Układy równań liniowych Geometria analityczna w R 3 i R n Przestrzenie i przekształcenia liniowe Powtórzenie

2 Warto także korzystać ze zbioru zadań, ułożonego przez pp dra M Gewerta i doc Z Skoczylasa Na stronach Instytutu Matematyki i Informatyki znajdują się wskazówki do korzystania z pożytecznych narzędzi do obliczeń matematycznych, aby np weryfikować wyniki 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 1 Uprościć wyrażenie a b a b a a 2 2ab+b 2 b 1, b a b + a 2 b 2 a 1, c a4 +a 3 b+a 2 b 2 a 3 b 3 b 2 a W rozwinięciu dwumianowym wyrażenia fx wyznaczyć współczynnik przy x m, jeśli a fx = x x 10, m = 39, b fx = x 4 1 x 2 9, m = 24 3 Zapisać w prostszej postaci liczbę n a 3 k, b n k k=0 n n k k=0 2 k 4 Za pomocą indukcji matematycznej udowodnić, że dla wszystkich liczb naturalnych dodatnich n N + : a n 2 = nn+12n+1 6, b 4 n 1 n 2, c liczba 7 n 4 n jest podzielna przez 3 1 a 1 b, b 1 a, c a b 2 a a 2 = 10 2 = 45, b a 2 = 9 2 = 36 3 a 4 n, b 1 n 4 Najpierw należy przez podstawienie sprawdzić, że teza zachodzi dla n = 1 Prawdziwe zatem jest twierdzenie T 1 Następnie z prawdziwości twierdzeń T 1, T 2,, T n może wystarczyć użycie tylko T n należy wywnioskować prawdziwość twierdzenia T n+1, gdzie n N + 2

3 1 Geometria analityczna w R 2 1 Wyznaczyć w mierze łukowej kąt pomiędzy wektorami u, v, jeśli a u = 1, 3, v = 1, 3, b u = 3, 1, v = 1, 3, c u = 2, 2, v = 1, 3, d u = 2, 2, v = 3, 1 Wskazówka: dla dwóch ostatnich przykładów wyniki można otrzymać jako sumy lub różnice odpowiednich kątów 2 Wyznaczyć kąt przy wierzchołku C w trójkącie o wierzchołkach A = 1, 1, B = 3, 2 + 3, C = 1 + 3, 2 3 Obliczyć długość wysokości opuszczonej z wierzchołka B w trójkącie o wierzchołkach A = 3, 5, B = 0, 6 oraz C = 2, 2 4 Wyznaczyć punkt { przecięcia oraz kąt, pod { jakim przecinają się proste, określone przez x = t, x = s, układy równań oraz y = 5 + t y = 1 gdzie t, s R 3 s, 5 Wyznaczyć równanie okręgu przechodzącego przez punkty 4, 6, 5, 5 i 2, 2 6 Nazwać i opisać równaniem zbiór tych punktów z płaszczyzny, których odległość od punktu A = 1, 2 jest dwa razy większa od odległości od punktu B = 4, 5 7 Wyznaczyć równanie takiego okręgu o środku w punkcie S, którego jedną ze stycznych jest prosta przechodząca przez punkty A, B, jeśli a S = 1, 3, A = 1, 2, B = 2, 4, b S = 2, 1, A = 1, 2, B = 4, 1 8 Napisać równania tych stycznych do okręgu o równaniu x 2 +2x+y 2 3 = 0, które przecinają się z prostą 3 x y + 1 = 0 pod kątem π 3 1 a π 3, 2 π 2 b π 6, c 5 12 π, d 7 12 π Proste przecinają się pod kątem π 6 w punkcie 3, 4 5 x y 2 2 = 25 6 okrąg zwany okręgiem Apoloniusza, o równaniu x y 5 2 = 2 3

4 7 a x y = , b x y = y = 2, y = 2, y = 3 x , y = 3 x Liczby zespolone 1 Zapisać w postaci algebraicznej liczbę zespoloną a z = 1+i 2 i, b z = 2+3i 4+5i 2 Opisać oraz zaznaczyć na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z spełniających warunek a Re 2iz + 4 0, b Imz i = Im2 iz + i, c Re z 2 = [Imiz] 2 4, d iz + 2 = iz 2i, e 2z = 4z 4 3 Zapisać w postaci algebraicznej liczbę zespoloną a z = 1 + 3i 20 1 i 40, b z = c z = 1 + i40 3 i 20, 3 i i 14 1 i 20 4 Opisać oraz zaznaczyć na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z spełniających warunek a 0 arg1 + iz π/2, b Im z 4 < 0 5 Zapisać w postaci algebraicznej wszystkie pierwiastki trzeciego stopnia z liczby z = 2 + 2i 6 W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać równanie z 4 = 1 + 2z 4 7 Wyznaczyć pole figury F = {z C : Im z Imz < 0} 1 a z = i, b z = i 2 a półpłaszczyzna y 2, b prosta y = 1 3 x 2 3, c proste y = 2, y = 2, d prosta y = x, 4

5 e okrąg o środku w punkcie 4 3, 0 i promieniu a i, b i, c i 4 a Zbiór A składa się z liczb zespolonych z, określonych przez warunki Rez 0 Imz 1 z i przesunięta o wektor 0, 1 czwarta ćwiartka układu współrzędnych, z brzegiem i bez punktu 0, 1, b argz π 4, π 2 wnętrz czterech kątów 3π 4, π 5π 4, 3π 2 5 w 0 = 1 + i, w 1 = z { 1, i, 1 3, i} Wielomiany i funkcje wymierne 7π 4, 2π, co na płaszczyźnie przedstawia sumę i, w 2 = i 2 1 Wyznaczyć iloraz i resztę z dzielenia wielomianu P x przez Qx, jeśli a P x = x 5 x 4 + 3x 3 + x + 7, Qx = x 3 + x + 1, b P x = x 4 + 2x 3 + x 2 + x + 1, Qx = x 2 + x Rozłożyć na nierozkładalne czynniki rzeczywiste wielomian W x = x 4 +x 3 3x 2 4x 4 3 Nie wykonując dzielenia, wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu W x = x 4 +x 3 +x 2 +x+1 przez x Rozłożyć na czynniki liniowe wielomian zespolony W z = z 3 2z 2 + 4z 8 5 Rozłożyć na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną właściwą a fx = b fx = x x 3 + 2x 2 + 5x + 4, x 2 x 3 + 3x 2 + 4x + 4, c fx = 2x3 + 4x 2 + 5x + 5 x 4 + 3x 3 + 3x 2 + 3x Rozłożyć na sumę wielomianu i rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną fx = x4 5x 3 + 5x 2 19x 1 x 3 5x 2 + 4x 20 5

6 1 a Ix = x 2 x + 2, Rx = 5, b Ix = x 2 + x 3, Rx = x W x = x + 2x 2 x 2 + x Rx = 2x W z = z 2z + 2iz 2i 5 a fx = 1 + 1, x 2 +x+4 x+1 b fx = 1 + 1, x 2 +x+2 x+2 c fx = x+1 x+2 x fx = x + 1 x x Macierze i wyznaczniki 1 Wyznaczyć macierz A wymiaru 3 3, której wyrazy określone są za pomocą wzoru a ij = i 2j 2 Podać przykład dwóch macierzy wymiaru 2 2 dowodzący, że mnożenie macierzy nie jest przemienne Rozwiązać równanie macierzowe A T = Wyznaczyć iloczyn A = x y 1 a h g h b f g f c x y 1, a następnie z jego pomocą, w notacji macierzowej zapisać równanie okręgu x 2 + y 2 + 4x + 6y 12 = 0 Zaznaczyć ten okrąg na płaszczyżnie 5 Rozłożyć na iloczyn cykli rozłącznych, a następnie transpozycji permutację a σ =, b σ = Określić parzystość i znak permutacji σ W rozkładach stosować zapis cykliczny 6 Za pomocą permutacyjnej definicji wyznacznika wyprowadzić wzory na wyznaczniki macierzy stopnia 2 i 3 wzór Sarrusa 7 Dwoma sposobami, za pomocą rozwinięcia Laplace a oraz przez sprowadzenie do wyznacznika macierzy trójkątnej, a dodatkowo w podpunkcie a ze wzoru, w podpunkcie b ze wzoru Sarrusa, obliczyć wyznacznik a , 6

7 b c , Dla jakich wartości parametru a R macierz a a a A =, 2 a a 1 1 b A = 1 1 a, 1 a 1 c B = jest nieosobliwa? a a a 1 1 a 1 9 Dwoma sposobami, za pomocą dopełnień algebraicznych oraz przez przekształcanie razem z macierzą jednostkową, wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy 1 1 a A =, b B = 1 1 1, c C = A = np = A = = A = ax 2 + 2hxy + by 2 + 2gx + 2fy + c, x y równanie przedstawia okrąg o środku w punkcie 2, 3 i promieniu 5 x y 1 = 0 ; 5 a Przykładowy zapis: σ = = , permutacja nieparzysta, znak sgnσ = 1, 7

8 b przykładowy zapis: σ = = , permutacja parzysta, znak sgnσ = 1 6 Dla n = 2 są dwie permutacje, zatem dwa składniki w sumie Permutacji zbioru trzyelementowego jest 6 7 a 1, b 2, c 1 8 a a R \ {0, 2}, b a R \ { 2, 1}, c a R \ { 3, 1} 4 9 a A 1 = , b B = , c C 1 = Układy równań liniowych 1 Trzema sposobam, metodą eliminacji Gaussa, za pomocą wzorów Cramera oraz metodą macierzy odwrotnej rozwiązać układ równań { x + y = 3 a x 3y = 8, x + y + z = 0 b x y + z = 0 x + y z = 2, c a x + y + z t = 4 x + y z + t = 4 x y + z + t = 2 x + y + z + t = 2 2 Rozwiązać układ równań b x y + z + t = 4 x y z + t = 0 x y z t = 8 x + y + z = 1 2x + y + 2z = 1 3x + 2y + 3z = 3 3 Dla jakich wartości parametru a R układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań? x + y + az = 1 x + ay + z = a ax + y + z = a 1 8

9 1 dla x, 0 4 Niech sgna = 0 dla x = 0 oznacza znak liczby a R Wyznaczyć te wartości a, dla których układ równań 1 dla x 0, x + 2y + z = 2 x + y + 2z = sgna 1 2x + y + z = 2 2y + 2z = 0 nie ma rozwiązań 1 a x = 1, y = 2, b x = 1, y = 0, z = 1, c x = 1, y = 1, z = 2, t = 2 2 a y = 4, t = 2, z = x + 2, z dowolne, b układ sprzeczny brak rozwiązań 3 a = 2 4 a, 0] 6 Geometria analityczna w R 3 i R n 1 Dla jakich wartości parametru a R równoległościan o trzech kolejnych wierzchołkach podstawy A = 5, 2, 1, B = 2, 1, 2, C = 3, a 2, 3 i wierzchołku E = a 5, 4, 18 nad A, jest prostopadłościanem? 2 Dla jakich wartości parametru a R kąt pomiędzy wektorami u = a, 16, 4 oraz v = 2a, 1, 4 jest prosty? 3 Za pomoca iloczynu wektorowego wyznczyć te wartości parametru a R, dla których wektory u = 1, a 2, 1, v = 3, 12, 3 są równoległe 4 Podać przykład równania ogólnego płaszczyzny a przechodzącej przez punkty A = 1, 1, 1, B = 0, 1, 2, C = 3, 0, 5, x = 1 + t + s b o równaniu parametrycznym y = 2 + t s gdzie t, s R z = 1 + t + s, 5 Podać przykład równania parametrycznego płaszczyzny o równaniu ogólnym x + y + 2z + 1 = 0 6 Podać przykład równania parametrycznego prostej o równaniu krawędziowym { x + y + z 1 = 0 x + 2y + 3z 2 = 0 7 Podać przykład równania krawędziowego prostej o równaniu parametrycznym x = 1 + t y = 2 t gdzie t R z = 4 + t, 9

10 8 Podać przykład równania parametrycznego prostej prostopadłej do prostych o równaniach x = t x = s y = 1 y = 2 + s gdzie t, s R w punkcie ich przecięcia z = 1 + t, z = 1 s, 9 Wyznaczyć kąt pomiędzy płaszczyznami π 1, π 2, jeśli π 1 jest określona równaniem parametrycznym y = t s gdzie t, s R, a π 2 równaniem ogólnym y z 1 = 0 x = 1 + t + s z = t + s, 10 Wyznaczyć kąt pomiędzy prostą l : { x + y + z + 2 = 0 x y + z + 3 = 0 i płaszczyzną π : x + y + 5 = 0 11 Wyznaczyć pole a równoległoboku o kolejnych wierzchołkach A = 2, 2, 4, B = 0, 2, 2, C = 2, 1, 2, b równoległoboku o środku w punkcie O = 2, 1, 2 i końcach jednego z boków A = 2, 2, 4, B = 0, 2, 2, c trójkąta o wierzchołkach A = 2, 2, 4, B = 0, 2, 2, C = 2, 1, 2 12 Wyznaczyć objętość a czworościanu o wierzchołkach A = 1, 1, 1, B = 2, 2, 2, C = 1, 2, 2 i D = 1, 1, 1, b równoległościanu rozpietego na wektorach u = 1, 1, 1, v = 1, 1, 2 oraz w = 1, 1, 3 1, 2, 3 13 Wyznaczyć odległość pomiędzy punktami P, Q R n, jeśli a n = 4, P = 1, 2, 3, 2, Q = 2, 1, 4, 3, b n = 8, P = 5, 3, 2, 7, 9, 11, 1, 2, Q = 3, 4, 3, 5, 9, 9, 2, 1 14 Wyznaczyć kosinus kąta pomiędzy wektorami u, v R n, jeśli a n = 5, u = 1, 0, 2, 2, 0, v = 1, 1, 1, 1, 0, b n = 7, u = 1, 2, 0, 3, 1, 0, 1, v = 2 1, 1, 1, 1, 1, 2 3, 5 1, 1, 0, 0, 0, 3 3, 10 1 a = 3 2 a = 4 lub a = 4 3 a = 2 lub a = 2 4 a x z + 2 = 0, 5 6 b x z = 0 x = 1 + t + 2s y = t z = s x = 1 + t y = 1 2t z = 1 + t 10

11 { x + y 4 = 0 7 y + z 6 = 0 x = 1 + t 8 y = 1 z = 2 t 9 π 3 10 π 6 11 a 2 6, b 4 5, c 6 12 a 1, b a 2, b 4 14 a 1 6, b Przestrzenie i przekształcenia liniowe 1 Zbadać liniową niezależność układu złożonego z wektorów a 1, 2, 3, 4 R 2, b 1, 2, 3, 3, 4, 5 R 3, c 1, 2, 3, 3, 4, 5, 4, 6, 8 R 3, d 1, 0, 2, 2, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 2, 0, 5, 7 R 5, e 1, 2, 0, 3, 1, 0, 1, 3, 1, 2, 2, 2, 3, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2 3, 5, 1, 1, 0, 0, 0, 3 3, 10 R 7 2 Zbadać, czy układy niezależne w poprzednim zadaniu tworzą bazy danej przestrzeni, a jeśli nie, to uzupełnić do bazy 3 Załóżmy, że przekształcenie liniowe f : R n R m jest określone wzorem a fx, y, z, t = x y, x + y + z + 2t, b fx, y, z = x y, x + y + z, x + y, x z, gdzie x, y, z, t R Wyznaczyć n, m N +, a następnie zapisać w standardowych bazach macierz A f przekształcenia f 4 Wyznaczyć jądro, obraz i rząd przekształceń f z poprzedniego zadania 5 Załóżmy, że macierz A f przekształcenia liniowego f : R n R m ma postać a A f =,

12 b A f = Wyznaczyć n, m N +, a następnie zapisać przekształcenie f za pomocą wzoru 6 Wyznaczyć, o ile istnieją, macierze złożeń f g oraz f g w bazach standardowych, jeżeli f : R 3 R 5 oraz g : R 4 R 3 są przekształceniami linowymi, danymi wzorami: fx, y, z = x, x + y, x + y + z, x + z, y + z, gs, t, u, v = u + v, t + u + v, s + t + u + v 7 Wyznaczyć wartości własne i odpowiadające im wektory własne przekształcenia liniowego f : R 2 R 2, jeśli a fx, y = y, 6x 5y, b fx, y = x + y, 2x 1 a liniowo niezależny, b liniowo niezależny, c liniowo zależny, d liniowo niezależny, e liniowo zależny 2 Bazą jest tylko układ z pierwszego podpunktu a n = 4, m = 2, A f =, b n = 3, m = 4, A f = a Kerf = {x, x, 2t 2x, t : x, t R} = {x1, 1, 2, 0 + t0, 0, 2, 1 : x, t R} jedna z możliwości zapisu, Imf = R 2, Rzf = 2, b Kerf = {0, 0, 0}, Imf = {x1, 1, 1, 1 + y 1, 1, 1, 0 + z0, 1, 0, 1 : x, y, z R}, Rzf = 3 5 a n = 5, m = 2, fx, y, z, t, u = 5x y z, 8x 4y + z + t + u, b n = 3, m = 4, fx, y, z = x y, x + 3y + 2z, x + 4y + 6z, x + 5y + 7z 6 Złożenie g f nie istnieje Macierz złożenia f g ma postać M f g = M f M g = = a Wartości własnej a 1 = 2 odpowiadają wektory własne postaci v 1 = α1, 2, wartości własnej a 2 = 3 odpowiadają wektory własne postaci v 2 = α1, 3, gdzie α R \ {0}, b wartości własnej a 1 = 1 odpowiadają wektory własne postaci v 1 = α1, 2, wartości własnej a 2 = 2 odpowiadają wektory własne postaci v 2 = α1, 1 dla α R \ {0} 12

13 8 Powtórzenie 1 Obliczyć długość wysokości opuszczonej z wierzchołka A w trójkącie o wierzchołkach A = 1, 5, B = 2, 4 oraz C = 1, 1 2 Wyznaczyć w mierze łukowej kąt przy wierzchołku C w trójkącie o wierzchołkach A = 2, 1, B = 3, 2 oraz C = 2 3, Wyznaczyć punkt przecięcia oraz kąt, pod { jakim przecinają { się proste na płaszczyźnie, x = 3 t, x = 3, określone równaniami parametrycznymi oraz gdzie t, s R y = t y = 1 + s, Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy A = Zbadać, dla jakich rzeczywistych parametrów a R istniejemacierz odwrotna A 1 do macierzy A, a następnie wyznaczyć A 1, jeśli A = a 6 Dla jakich wartości parametru a R układ równań 2x ay az = 1 + a x + ay + z = a ma nieskończenie wiele rozwiązań? ax + y + z = a 1 7 W zależności od rzeczywistego parametru a R, rozwiazać układ równań 2x + 3y z = 1 x ay + 2z = 3 2x ay + 3z = 5 8 Wyznaczyć równanie ogólne płaszczyzny o równaniu parametrycznym x = 1 + t + s y = t + s gdzie t, s R z = 1 t + 2s, x = 1 + t x = 3 s 9 Wyznaczyć punkt przecięcia prostych y = 1 oraz y = s z = 1 + t z = 5 s, a następnie napisać równanie ogólne płaszczyzny zawierającej te proste 10 Wyznaczyć odległość punktu P = 1, 2, 1 od płaszczyzny π, zadanej w postaci parametrycznej y = 2 + s x = 1 + s + t z = 1 + s t 11 Opisać oraz zaznaczyć na płaszczyżnie zbiór liczb zespolonych z spełniających warunek a 0 arg2 iz π 2, b Im z 4 > 0 12 Zapisać w postaci algebraicznej liczbę zespoloną a z = 3 + i 12 1 i 24, 13

14 b z = 1 i i Zapisać w postaci algebraicznej wszystkie pierwiastki trzeciego stopnia z liczby z = Rozłożyć na nierozkładalne czynniki rzeczywiste wielomian W x = x 4 + 2x 3 x 2 15 Rozłożyć na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną fx = 3x2 + 5x + 1 x 3 + 3x 2 + 3x Wyznaczyć jądro, obraz i rząd przekształcenia f : R 4 R 2, określonego wzorem fx, y, z, t = z y, x + y + z + 2t, gdzie x, y, z, t R 17 Wyznaczyć, o ile istnieją, macierze złożeń f g oraz g f w bazach standardowych, jezeli f : R 3 R 2 oraz g : R 2 R 5 są przekształceniami linowymi, danymi wzorami: fx, y, z = x 2y, x + y + 3z, gu, v = u + v, v, u 2v, 3u, u π 6 3 P 0 = 2 3, 1, ϕ = 3 π A 1 = Macierz odwrotna istnieje dla a R \ {1} i wtedy A 1 = 6 a = 2 2a 1 a a a a 1 7 Dla a R \ {1} układ ma dokładnie jedno rozwiązanie x = 1, y = 0, z = 1, a dla a = 1 x = 2 z, nieskończenie wiele rozwiązań postaci y = 1 + z, z R 8 x + 3y 2z + 1 = 0 9 Punktem wspólnym prostych jest P = 2, 1, 4 dla t = 3 i s = 1, a płaszczyzna ma równanie x + z 2 = Równaniem ogólnym płaszczyzny jest x + 2y z 4 = 0, a odległość dp, π = 3 11 a Jest to zbiór {z C : Rez 0 Imz 2 z 2i}, b argz 0, π π 4 2, 3π π, 5π 3π 4 4 4, 7π, co na płaszczyźnie jest sumą 4 wnętrz czterech kątów 12 a z = 1, b z = i 14

15 i 2, 2, 2 i 2 14 W x = x 1x + 2x 2 + x fx = 2x x 2 + x x Kerf = {z, z, 2t 2z, t : z, t R} = {z1, 1, 2, 0 + t0, 0, 2, 1 : z, t R} jedna z możliwości zapisu, Imf = R 2, Rzf = 2 17 Złożenie f g nie istnieje Macierz złożenia g f ma postać M g f = M g M f = =