Algebra i jej zastosowania ćwiczenia

Transkrypt

1 Algebra i jej zastosowania ćwiczenia A Pilitowska i A Romanowska 24 kwietnia Grupy i quasigrupy 1 Pokazać, że w każdej grupie (G,, 1, 1): (a) jeśli xx = x, to x = 1, (b) (xy) 1 = y 1 x 1, (c) zachodzi prawo skracania, (d) jedynym elementem x spe lniaja cym równanie ax = b jest x = a 1 b 2 Pokazać, że grupa (G,, 1, 1) jest przemienna wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich a, b G, (ab) 2 = a 2 b 2 3 Niech (G,, 1, 1) be dzie grupa Pokazać, że jeśli dla każdego elementu a G zachodzi zależność aa = 1, to grupa (G,, 1, 1) jest przemienna Czy (G,, 1, 1) jest grupa cykliczna? 4 Niech (G,, 1, 1) be dzie grupa i niech C(G) = {a G g G, ag = ga} Pokazać, że (C(G),, 1) jest podgrupa grupy (G,, 1, 1) 5 Pokazać, że każda grupa cykliczna jest przemienna Znaleźć tabelki dzia lań grup cyklicznych rze du 2, 3 i 4 6 Korzystaja c z twierdzenia Cayley a o reprezentacji dla grup, zanurzyć grupe (Z 3, + 3,, 0) w grupe permutacji 1

2 1 GRUPY I QUASIGRUPY 2 7 Znaleźć najmniejsza quasigrupe, która nie jest grupa 8 Dla których z niżej określonych operacji: a b c d a a b c d b b a d c c c d a b d d c b a a b c d a a b c d b b c d a c d a b c d c d a b grupoid ({a, b, c, d}, ) jest a b c d a a a a a b b b b b c c c c c d d d d d (a) pó lgrupa, (b) pó lkrata, (c) quasigrupa, (d) grupa? Dla grupoidów ({a, b, c, d}, ), które sa quasigrupami, znaleźć tabelki dzia lań / i \ 9 Sprawdzić, czy zbiór D := {n2 m n, m Z} z dzia laniem x y := x+y 2 jest quasigrupa 10 Quasigrupy moga być pomocne przy opisywaniu eksperymentów statystycznych Dzie ki nim eksperyment można tak zaaranżować, aby zredukować liczbe możliwych b le dów bez konieczności rozbudowywania ba dź komplikowania doświadczenia (a) Przypuśćmy, że chcemy porównać plony trzech różnych odmian kukurydzy Do dyspozycji mamy prostoka tna dzia lke, ale nie mamy pewności czy urodzajność ziemi jest taka sama w każdym jej punkcie Aby doświadczenie by lo jak najbardziej miarodajne należa loby podzielić nasze poletko na bardzo duża liczbe cze ści i obsiać je trzema odmianami kukurydzy w sposób losowy Jest to jednak metoda trudna do realizacji i kosztowna Aby omina c ten problem, ale mimo wszystko zminimalizować możliwy do wysta pienia b la d pomiaru, możemy podzielić nasza dzia lke na dziewie ć prostoka tych cze ści i zasiać trzy odmiany kukurdzy A, B

3 1 GRUPY I QUASIGRUPY 3 i C w taki sposób jak to pokazuje poniższy kwadrat laciński: A B C C A B B C A Taki sposób zasiewu spowoduje, że jeśli w jednym z rze dów ziemia jest bardziej urodzajna niż w innym, to b la d pomiaru, który móg lby wówczas wysta pić, zostanie znacznie zredukowany W szczególności, gdyby urodzajność ziemi by la funkcja liniowa wspó lrze dnych pola, sposób zasiewu wed lug regu l wyznaczonych przez kwadrat laciński zminimalizowa lby ten b la d (b) Przypuśćmy, że mamy zbadać poziom smo ly jaki wyste puje w czterech rodzajach papierosów, które porównujemy Do tego celu można wykorzystać specjalna maszyne Maszyna ta ma cztery otwory umożliwiaja ce jednoczesne spalanie czterech papierosów Otwory te nie musza mieć identycznych w lasności, a to może mieć wp lyw na pomiar ilości smo ly zawartej w testowanych papierosach Ponadto, po każdym spaleniu czterech paperosów, naste puje zmiana wilgotności w otoczeniu otworu Gdybyśmy wie c spalali w jednym czasie tylko jeden rodzaj papierosów, to różnica wilgotności również nie by laby oboje tna dla wyniku eksperymentu Jak należy zaplanować doświadczenie, aby zminimalizować ewentualny b la d pomiaru? Zadania dodatkowe 11 Niech p N be dzie liczba pierwsza i niech m N Znaleźć rza d grupy Z m = ({k N 1 k m, NWD(k, m) = 1}, m, 1) 12 Rze dem elementu x grupy (G,, 1, 1) nazywamy taka najmniejsza liczbe naturalna n, że x n = 1 Jeżeli taka liczba nie istnieje, to rza d elementu jest nieskończony Pokazać, że w grupie (Z n, + n, 0) rza d elementu k Z n n NWD(k,n) równy jest 13 Pokazać, że dowolna podgrupa grupy cyklicznej jest grupa cykliczna

4 2 PIERŚCIENIE 4 14 Pokazać, że naste cego kwadratu lacińskiego A B C D E B A E C D C D A E B D E B A C E C D B A nie można otrzymać jedynie przez permutacje wierszy ba dź kolumn w tabelce dzia lania grupy rze du 5 15 Pokazać, że niepusta, la czna quasigrupa (Q, ) jest grupa 2 Pierścienie 1 Pokazać, że dla dowolnych elementów a, b, c pierścienia (P, +,, 0, ) zachodza naste ce warunki: (a) a0 = 0 = 0a, (b) ( a)b = (ab) = a( b), (c) ( a)( b) = ab, (d) a(b c) = ab ac, gdzie a b := a + ( b), (e) (a + b) n = n ( n k=0 k) a k b n k, w przypadku, gdy pierścień P jest przemienny i n N 2 Opisać szczegó lowo pierścienie: (Z 2, + 2, 2, 0, 2), (Z 3, + 3, 3, 0, 3), (Z 4, + 4, 4, 0, 4), (Z 6, + 6, 6, 0, 6) oraz (Z/ 2, +,, 0, ), (Z/ 3, +,, 0, ), (Z/ 4, +,, 0, ), (Z/ 6, +,, 0, ) 3 Pokazać, że jeżeli grupa addytywna (P, +) pierścienia (P, +, ) jest grupa cykliczna, to ten pierścień jest przemienny 4 Pokazać, że zbiór elementów odwracalnych w pierścieniu (P, +,, 1) z jedynka tworzy grupe ze wzgle du na mnożenie 5 Pokazać, że pierścień (P, +,, 0, ) jest pierścieniem bez dzielników zera wtedy i tylko wtedy, gdy dla a 0, b, c P, jeśli ab = ac, to b = c

5 2 PIERŚCIENIE 5 6 Pokazać, że jeśli elementy a, b P pierścienia (P, +,, 0, ) nie sa dzielnikami zera, to iloczyn ab też nie jest dzielnikiem zera 7 Pokazać, że równość funkcji wielomianowych g(x) i h(x) nie musi implikować równości wielomianów g i h 8 Pokazać, że jeśli (P, +,, 0, ) jest pierścieniem ca lkowitym, to pierścień wielomianów (P [x], +,, 0, ) też jest pierścieniem ca lkowitym 9 Kwaternionami nazywamy elementy 4-wymiarowej przestrzeni wektorowej (D, +, R) nad cia lem liczb rzeczywistych R o bazie z lożonej z wektorów: 1 := (1, 0, 0, 0), i := (0, 1, 0, 0), j := (0, 0, 1, 0), k := (0, 0, 0, 1) W zbiorze D określamy strukture pierścienia w naste cy sposób Dodawanie jest dodawaniem wektorów przestrzeni wektorowej (D, +, R), natomiast mnożenie : D D D jest dwuliniowym przekszta lceniem przestrzeni wektorowych jednoznacznie wyznaczonym przez podane niżej wartości na wektorach bazy: 1 1 = 1, 1 i = i = i 1, 1 j = j = j 1, 1 k = k = k 1 i i = j j = k k = 1 i j = j i = k j k = k j = i k i = i k = j Zerem pierścienia (D, +,, 0, ) jest wektor zerowy 0 := (0, 0, 0, 0), natomiast jedynka jest wektor bazowy 1 = (1, 0, 0, 0) Udowodnić, że pierścień (D, +,, 0, ) jest pierścieniem z dzieleniem i nie jest cia lem 10 Opisać cia lo u lamków pierścienia Z(i) = {a + bi a, b Z} Pokazać, że jest to cia lo izomorficzne z cia lem Q(i) = {a + bi a, b Q}

6 2 PIERŚCIENIE 6 11 Niech (S, ) be dzie pó lgrupa przemienna spe lniaja ca prawo skracania Zanurzyć pó lgrupe (S, ) w grupe przemienna 12 Pokazać, że jeśli pierścienie P i R sa izomorficzne, to ich cia la u lamków F (P ) i F (R) również sa izomorficzne 13 Opisać cia lo u lamków cia la F 14 Niech C[0, ) be dzie zbiorem wszystkich ciag lych na przedziale [0, ) funkcji rzeczywistych W zbiorze tym definiujmy operacje dodawania i mnożenia funkcji w naste cy sposób: (f + g)(x) := f(x) + g(x) (f g)(x) := x 0 f(t)g(x t)dt Wykazać, że dzia lania + i sa la czne i przemienne, oraz że mnożenie jest rozdzielne wzgle dem dodawania + Z wyk ladu wiadomo, że z wyżej zdefiniowanymi dzia laniami rozważany zbiór jest pierścieniem przemiennym bez dzielników zera (bez jedności) Jego cia lo u lamków, to cia lo dystrybucji (funkcji uogólnionych) Jednościa cia la u lamków F (C[0, )) jest tzw funkcja Delta Diraca δ = f Jest to operator o naste f cych w lasnościach: δ(x) = 0, jeśli x 0 oraz δ(x)dx = 1 15 Cia lo F ma charakterystyke 0, jeśli nie istnieje dodatnie ca lkowite n takie, że n 1 = 0 Jeśli takie n istnieje, to charakterystyka cia la F nazywamy najmniejsza liczbe n o tej w lasności Wykazać, co naste puje (a) Charakterystyka cia la jest zawsze liczba pierwsza lub zerem (b) Jeśli charakterystyka cia la F jest liczba pierwsza p, to F zawiera podcia lo izomorficzne z Z p Jeśli cia lo F ma zerowa charakterystyke, to F zawiera podcia lo izomorficzne z cia lem Q

7 3 KRATY 7 16 Niech (A, +,, 0, R,, 1) be dzie algebra la czna nad cia lem liczb rzeczywistych R Na elementach zbioru A określmy dzia lanie binarne w naste cy sposób: [x, y] = xy yx Pokazać, że przestrzeń liniowa (A, +,, 0, R) wraz z tak określona operacja jest algebra Liego Zadania dodatkowe 17 Niech (P, +, ) be dzie pierścieniem i niech x be dzie takim elementem P, że dla pewnego n N, x n = 0 Pokazać, że wówczas element 1 x P jest odwracalny 18 Pokazać, że nieskończony pierścień przemienny z jedynka albo nie ma elementów nieodwracalnych różnych od zera albo ma ich nieskończenie wiele 19 Niech p N be dzie liczba pierwsza Znaleźć przyk lad nieskończonego cia la o charakterystyce p 3 Kraty 1 Narysować diagram kraty wszystkich podzbiorów zbioru 3-elementowego 2 Narysować diagram kraty wszystkich relacji równoważności na zbiorze 3-elementowym 3 Narysować diagram kraty wszystkich podgrup grupy (Z 12, + 12,, 0) 4 Pokazać, że dla dowolnych elementów a, b, c, d kraty (K, +, ) zachodza naste ce zależności: (a) jeśli a b i c d, to a + c b + d i a c b d, (b) jeśli a b, to a + (b c) b (a + c), (c) a + (b c) (a + b) (a + c) 5 Pokazać, że każdy lańcuch jest krata rozdzielna

8 3 KRATY 8 6 Pokazać, że wszystkie podpó lgrupy danej pó lgrupy tworza krate zupe lna 7 Pokazać, że zbiory otwarto-domknie te przestrzeni topologicznej X tworza algebre Boole a ze wzgle du na operacje sumy mnogościowej, przecie cia i dope lnienia zbiorów Zadanie dodatkowe Niech P(A) oznacza zbiór wszystkich podzbiorów zbioru A Odwzorowanie C : P(A) P(A) nazywamy operatorem domknie cia na A, jeśli dla dowolnych X, Y A: X C(X), C 2 (X) = C(X), jeśli X Y, to C(X) C(Y ) Podzbiór X A nazwiemy podzbiorem domknie tym, jeśli C(X) = X Niech (L C, ) oznacza zbiór uporza dkowany domknie tych podzbiorów zbioru A 8 Pokazać, że (L C, ) jest krata zupe lna 9 Pokazać, że każda krata zupe lna jest izomorficzna z pewna krata (L C, )