Endomorfizmy liniowe

Transkrypt

1 Endomorfizmy liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 8. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 16

2 Endomorfizmy liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 8. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 16

3 Definicja Niech V będzie przestrzenia liniowa. Przekształcenie liniowe ϕ : V V nazywamy endomorfizmem przestrzeni V. Ponadto, jeśli A jest baza V, to macierz M(ϕ) A A nazwiemy macierz a endomorfizmu ϕ w bazie A i oznaczymy M(ϕ) A Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 16

4 Definicja Niech V będzie przestrzenia liniowa. Przekształcenie liniowe ϕ : V V nazywamy endomorfizmem przestrzeni V. Ponadto, jeśli A jest baza V, to macierz M(ϕ) A A nazwiemy macierz a endomorfizmu ϕ w bazie A i oznaczymy M(ϕ) A Przykład 1. Znane z geometrii szkolnej izometrie oraz podobieństwa płaszczyzny, jeśli nie ruszaja punktu (0, 0) sa pewnymi endomorfizmami płaszczyzny jako przestrzeni liniowej R 2. Np. niech s symetria względem osi X, r obrót wokół (0, 0) o kat π/2, k jednokładność w skali 3 względem (0, 0), i niech A baza standardowa, zaś baza B = ((1, 2), (0, 1)) : [ [ M(s) A =, M(s) 0 1 B = 4 1 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 16

5 Przykład [ 0 1 M(r) A = 1 0 M(k) A = [ 2 1, M(r) B = 5 2 [ = M(k) B Ogólnie, macierza jednokładności w skali α, czyli endomorfizmu ϕ : V V zadanego przez ϕ(v) = αv jest, niezależnie od bazy α α, Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 16

6 Przykład [ 0 1 M(r) A = 1 0 M(k) A = [ 2 1, M(r) B = 5 2 [ = M(k) B Ogólnie, macierza jednokładności w skali α, czyli endomorfizmu ϕ : V V zadanego przez ϕ(v) = αv jest, niezależnie od bazy Problem α α Dany endomorfizm ϕ : V V. Jak zmienia się M(ϕ) A przy zmianie bazy A w V?, Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 16

7 Definicja Mówimy, że macierze A, B M n n (R) sa podobne istnieje taka macierz odwracalna C M n n (R), że B = C 1 AC. Twierdzenie Niech ϕ : V V będzie endomorfizmem skończeniewymiarowej przestrzeni V. Wówczas dla dowolnych baz A, B przestrzeni V macierze M(ϕ) A i M(ϕ) B sa podobne. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 16

8 Definicja Mówimy, że macierze A, B M n n (R) sa podobne istnieje taka macierz odwracalna C M n n (R), że B = C 1 AC. Twierdzenie Niech ϕ : V V będzie endomorfizmem skończeniewymiarowej przestrzeni V. Wówczas dla dowolnych baz A, B przestrzeni V macierze M(ϕ) A i M(ϕ) B sa podobne. Dowód: M(ϕ) B B = M(id ϕ id)b B = M(id)B A M(ϕ)A A M(id)A B. Zatem, M(ϕ) B = C 1 M(ϕ) A C, gdzie C = M(id) A B. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 16

9 Przykład Niech ϕ : R 2 R 2, ϕ((x 1, x 2 )) = (2x 1 + 3x 2, x 1 x 2 ), A = st, B = ((1, 1), (1, 0)), ϕ((1, 1)) = (5, 0) = 0(1, 1)+5(1, 0), ϕ((1, 0)) = (2, 1) = 1(1, 1)+1(1, 0) M(ϕ) A = [ [ M(id) B A = C = 1 1 [ [ = Twierdzenie [, C = M(id) A 1 1 B = 1 0 [, C M(ϕ) A C = 1 1 [ = [ , [ = M(ϕ) B Niech V przestrzeń liniowa, dimv = n. Macierze A, B M n n (R) sa podobne istnieje endomorfizm ϕ : V V i takie bazy A, B w V, że A = M(ϕ) A, B = M(ϕ) B Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 16

10 Wektory i wartości własne Definicja niech ϕ : V V będzie endomorfizmem przestrzeni liniowej V. Różny od 0 wektor v V nazywamy wektorem własnym jeśli istnieje liczba α R taka, że ϕ(v) = αv. Sama liczbę α nazywamy wówczas wartościa własna endomorfizmu ϕ (odpowiadajaca wektorowi własnemu v) Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 16

11 Wektory i wartości własne Definicja niech ϕ : V V będzie endomorfizmem przestrzeni liniowej V. Różny od 0 wektor v V nazywamy wektorem własnym jeśli istnieje liczba α R taka, że ϕ(v) = αv. Sama liczbę α nazywamy wówczas wartościa własna endomorfizmu ϕ (odpowiadajaca wektorowi własnemu v) Interpretacja geometryczna Wektor własny v endomorfizmu ϕ wyznacza prosta liniowa postaci lin(v), która ϕ przeprowadza w siebie, tzn. ϕ(lin(v)) lin(v) Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 16

12 Wektory i wartości własne Definicja niech ϕ : V V będzie endomorfizmem przestrzeni liniowej V. Różny od 0 wektor v V nazywamy wektorem własnym jeśli istnieje liczba α R taka, że ϕ(v) = αv. Sama liczbę α nazywamy wówczas wartościa własna endomorfizmu ϕ (odpowiadajaca wektorowi własnemu v) Interpretacja geometryczna Wektor własny v endomorfizmu ϕ wyznacza prosta liniowa postaci lin(v), która ϕ przeprowadza w siebie, tzn. ϕ(lin(v)) lin(v) Uwaga: Niech α R będzie wartościa własna endomorfizmu ϕ : V V przestrzeni V. Zbiór wektorów własnych, którym odpowiada α uzupełniony przez wektor 0 tworzy podprzestrzeń V zwana podprzestrzenia własna dla α i oznaczana V (α). Czyli: V (α) = {v V ϕ(v) = αv}. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 16

13 Przykład oznaczmy jak poprzednio s symetrię R 2 względem osi X, r obrót wokół (0, 0) o π/2, k jednokładność względem (0, 0) w skali 3. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 16

14 Przykład oznaczmy jak poprzednio s symetrię R 2 względem osi X, r obrót wokół (0, 0) o π/2, k jednokładność względem (0, 0) w skali 3. Symetria s ma dwie wartości własne α 1 = 1 oraz α 2 = 1, przy czym V (1) = oś X, V ( 1) = oś Y. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 16

15 Przykład oznaczmy jak poprzednio s symetrię R 2 względem osi X, r obrót wokół (0, 0) o π/2, k jednokładność względem (0, 0) w skali 3. Symetria s ma dwie wartości własne α 1 = 1 oraz α 2 = 1, przy czym V (1) = oś X, V ( 1) = oś Y. Obrót r nie wartości i wektorów własnych. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 16

16 Przykład oznaczmy jak poprzednio s symetrię R 2 względem osi X, r obrót wokół (0, 0) o π/2, k jednokładność względem (0, 0) w skali 3. Symetria s ma dwie wartości własne α 1 = 1 oraz α 2 = 1, przy czym V (1) = oś X, V ( 1) = oś Y. Obrót r nie wartości i wektorów własnych. Jednokładność k ma wartość własna α = 3, i V ( 3) = R 2. Ogólnie dla jednokładności liniowej ϕ : V V w skali α, tzn. ϕ(v) = αv, dla v V liczba α jest jedyna wartościa własna, i V (α) = V Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 16

17 Symetria s ma dwie wartości własne: 1 oraz 1. Przestrzenia własna V (1) jest oś X, przestrzenia własna V ( 1) jest oś Y. Jedynie dla prostych liniowych X i Y mamy s(x) X, s(y ) Y (te zawierania sa równościami) Y l V 1 s l X V 1 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 16

18 Obrót r nie ma wektorów własnych. Obraz r(l) dowolnej prostej liniowej l (tzn. przechodzacej przez 0) nie zawiera się w tej prostej r l Y l X Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 16

19 Problem Jak znajdować wektory i wartości własne? Sprawdzenie, że wektor jest wektorem własnym jest proste, wystarczy obliczyć wartość przekształcenia. Np. φ : R 2 R 2, φ((x 1, x 2 )) = (x 1 + 2x 2, x 1 + 2x 2 ). Niech v = (1, 1). Mamy φ(v) = (3, 3) = 3v, zatem v jest wektorem własnym dla wartości własnej 3. Jak jednak wykrywać wartości i wektory własne? Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 16

20 Problem Jak znajdować wektory i wartości własne? Sprawdzenie, że wektor jest wektorem własnym jest proste, wystarczy obliczyć wartość przekształcenia. Np. φ : R 2 R 2, φ((x 1, x 2 )) = (x 1 + 2x 2, x 1 + 2x 2 ). Niech v = (1, 1). Mamy φ(v) = (3, 3) = 3v, zatem v jest wektorem własnym dla wartości własnej 3. Jak jednak wykrywać wartości i wektory własne? Definicja Niech A M n n (R). Wielomian w(λ) = det(a λi) nazywamy wielomianem charakterystycznym macierzy A. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 16

21 Problem Jak znajdować wektory i wartości własne? Sprawdzenie, że wektor jest wektorem własnym jest proste, wystarczy obliczyć wartość przekształcenia. Np. φ : R 2 R 2, φ((x 1, x 2 )) = (x 1 + 2x 2, x 1 + 2x 2 ). Niech v = (1, 1). Mamy φ(v) = (3, 3) = 3v, zatem v jest wektorem własnym dla wartości własnej 3. Jak jednak wykrywać wartości i wektory własne? Definicja Niech A M n n (R). Wielomian w(λ) = det(a λi) nazywamy wielomianem charakterystycznym macierzy A. Przykład A = [ λ 2 5λ 2 [ 1 λ 2, w(λ) = det 3 4 λ = (1 λ)(4 λ) 6 = Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 16

22 Uwaga: Jeśli macierz kwadratowa jest n n to jej wielomian charakterystyczny jest stopnia n. Macierze podobne maja ten sam wielomian charakterystyczny (wniosek z twierdzenia Cauchy ego o wyznaczniku iloczynu macierzy). Definicja Niech ϕ : V V. Wielomianem charakterystycznym endomorfizmu ϕ nazywamy wielomian charakterystyczny macierzy M(ϕ) A, gdzie A jest baza V (wielomian ten nie zależy od A!) i oznaczamy go w ϕ. Przykład Niech ϕ : R 2 R 2, zadane przez ϕ((x 1, x 2 )) = (x 1 + 2x 2, 3x 1 + 4x 2 ), niech A = st, wtedy [ 1 2 M(ϕ) A = zatem w 3 4 ϕ = (1 λ)(4 λ) 6 = λ 2 5λ 2 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 16

23 Twierdzenie Niech ϕ będzie endomorfizmem przestrzeni liniowej. Wówczas: (i)liczba α R jest wartościa własna endomorfizmu ϕ α jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego w ϕ (ii) Niech A = (v 1,..., v n ) będzie baza V i niech A = M(ϕ) A. Wektor v = x 1 v x n v n jest wektorem własnym z wartościa własna α x 1 0 (A αi). =. x n 0 Dowód: Niech v = x 1 v x n v n. Wtedy ϕ(v) = αv x 1 x 1 x 1 0 A. = α. (*) (A αi). =., x n x n x n 0 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 16

24 cd. dowodu zatem istnieje niezerowy wektor v = x 1 v x n v n spełniajacy (*) istnieja takie liczby x 1,..., x n nie wszystkie = 0, że x 1 0 (A αi). =., x n 0 ale to jak wiemy oznacza, że det(a αi) = 0. Przykład Niech ϕ : R 3 R 3, będzie zadane wzorem ϕ((x 1, x 2, x 3 )) = (x 1 + 2x 2, x 1 + 4x 2, 3x 1 5x 2 + 3x 3 ). Mamy A = M(ϕ) st = , czyli A λi = 1 λ λ λ skad w ϕ = det(a λi) = ((1 λ)(4 λ) + 2)(3 λ) = (λ 2 5λ + 6)(3 λ) = (λ 2)(λ 3)(3 λ) = (λ 2)(λ 3) 2. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 16,

25 Przykład cd. Zatem sa dwie wartości własne:λ 1 = 2, λ 2 = 3. Znajdujemy podprzestrzenie własne rozwiazuj ac układy równań: x 1 0 V (2) : x 2 = x czyli x 1 = 2x 3, x 2 = x 3, zatem V (2) = {( 2x 3, x 3, x 3 ) x 3 R} = lin(( 2, 1, 1)) Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 16

26 Przykład cd. V (3) : x 1 x 2 x = zatem x 1 = 0, x 2 = 0, czyli V (3) = {(0, 0, x 3 ) x 3 R} = lin((0, 0, 1)). Uwaga: jeśli dim V = n i ϕ : V V to stopień wielomianu w ϕ wynosi n. Zatem, kiedy n jest nieparzyste, w ϕ ma pierwiastek, czyli ϕ ma pewna wartość własna i wektory własne.ponadto ( dla dowolnego n ) dimv (α) krotność α jako pierwiastka w ϕ. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 16