. Pierwsza pochodna - definicja i własności.. Definicja pochodnej Definicja Niech f : a, b) R oraz niech 0 a, b). Mówimy, że funkcja f ma pochodna w punkcie 0, którą oznaczamy f 0 ), jeśli istnieje granica skończona) f f 0 + h) f 0 ) 0 )..) h 0 h Jeśli f ma pochodną w punkcie 0, to mówimy również, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie 0. Wyrażenie.) nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie 0. Podstawiając 0 + h, pochodną funkcji f w punkcie 0 możemy wyrazić następująco f f) f 0 ) 0 ). 0 0 Uwaga Często pochodną f 0 ), głównie w literaturze fizycznej i technicznej, oznacza się również symbolem df d 0). Mówiąc nieprecyzyjnie, symbole df i d oznaczają odpowiednio nieskończenie mały przyrost wartości funkcji f i argumentu. Przykład Niech f : R R będzie funkcją postaci f) oraz niech 0 3. Pokażemy, że funkcja f ma pochodną f 3) 6. Istotnie, mamy f3 + h) f3) 3 + h) 9 6h + h 6 + h) 6, h 0 h h 0 h h 0 h h 0 tzn. f 3) 6. Przykład Zbadać czy istnieje pochodna f ), gdzie f) { 3 + 5 dla, ) 3 + 3 dla [, ).
Obliczymy granicę lewostronną i prawostronną ilorazu różnicowego funkcji f w punkcie 0, gdyż w lewostronnym i prawostronnym sąsiedztwie punktu 0 funkcja f jest określona różnymi wzorami. Mamy + h) 3 + 5 ) + 5) f + h) f) h 0 h 3 + 3h + h ) 3 h 0 oraz 3h + 3h + h 3 f + h) f) 3 + h) + 3) 3 + 3) 3h h 0 + h h 0 + h h 0 + h 3 3. h 0 + Ponieważ istnieją granice jednostronne i są równe, więc istnieje granica tzn. f ) 3. f + h) f) 3, h 0 h W powyższym ćwiczeniu aby sprawdzić, czy istnieje pochodna w danym punkcie obliczyliśmy granicę lewostronną i prawostronną ilorazu różnicowego funkcji f w punkcie 0. Każdą z tych granic o ile istnieje) nazywamy, odpowiednio, pochodna lewostronna oraz pochodna prawostronna funkcji f w punkcie 0 i oznaczamy, odpowiednio, przez f 0 ) i f + 0 ), tzn. f f 0 + h) f 0 ) 0 ), f + f 0 + h) f 0 ) 0 ). h 0 + h Każdą z powyższych pochodnych nazywamy pochodna jednostronna funkcji f w punkcie 0. Własność Pochodna f 0 ) funkcji f w punkcie 0 istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją pochodna lewostronna f 0 ) i pochodna prawostronna f + 0 ) i są równe. Pokazać, że funkcja f) nie posiada pochodnej w punkcie 0 0. Mamy oraz f0 + h) f0) h h h 0 h f0 + h) f0) h h 0 + h h 0 + h h h 0+ h.
Istnieje więc pochodna lewostronna i jest równa f 0) oraz istnieje pochodna prawostronna i jest równa f +0). Ponieważ pochodne jednostronne są różne, więc, na mocy własności, funkcja f) nie posiada pochodnej w punkcie 0 0. Własność Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie 0, to jest w tym punkcie ciągła. Jeśli funkcja f : a, b) R ma pochodną f ) w każdym punkcie a, b), to przyporządkowanie punktowi pochodnej f ) w tym punkcie definiuje funkcję f : a, b) R określoną również na przedziale a, b). Nazywamy ją pochodna funkcji f. Mówimy wtedy, że funkcja f jest różniczkowalna lub różniczkowalna na zbiorze a, b)). Własność 3 i) Funkcje elementarne są różniczkowalne na swoich dziedzinach. ii) Jeśli funkcja f jest różniczkowalna, to jest ciągła. Przykład 3 Pokazać, że pochodną funkcji f), R \ {0}, jest funkcja f ), 0. Dla dowolnego 0 mamy f + h) f) h 0 h h 0 A zatem f ) dla każdego 0. +h h h 0 + h). h 0 + h) + h)h Przykład 4 Wyznaczyć pochodną funkcji f) sin, R. Niech R. Korzystając ze wzoru dostajemy sin y sin z sin y z sin + h) sin h 0 h cos y + z h 0 sin +h sin h h 0 h cos cos +h+ h + h cos + 0) cos. ) 3
Ostatecznie pochodną funkcji f) sin jest funkcja f ) cos. Pochodne funkcji elementarnych: f) const f ) 0 f) α f) sin f ) α α f ) cos f) cos f ) sin f) tg f ) cos f) ctg f ) sin f) e f ) e f) a a > 0) f ) a ln a f) ln f ) f) log a a > 0, a ) f ) ln a f) arc sin f ) f) arc cos f ) f) arc tg f ) + f) arc ctg f ) + f) sinh f ) cosh f) cosh f ) sinh f) tgh f ) cosh f) ctgh f ) sinh Uwaga Często będziemy pisać nieformalnie f) zamiast f ) jeśli funkcja f jest dana konkretnym wzorem. Na przykład, będziemy pisać 3 ) 3 lub sin ) cos zamiast f ) 3, gdzie f) 3 lub sin ) cos. 4
.. Podstawowe własności pochodnej Własność 4 Niech funkcje f i g posiadają pochodne f ) i g ). Wówczas i) c f) ) c f ), c R, ii) f + g) ) f ) + g ), iii) f g) ) f ) g ), iv) f g) ) f )g) + f)g ), v) ) f ) f )g) f)g ) g g), o ile g) 0. Przykład 5 Wyznaczyć o ile istnieje) wartość parametru a tak, aby funkcja była różniczkowalna. { f) e dla 0 3 a + dla > 0 Funkcja f jest oczywiście różniczkowalna w przedziałach, 0) i 0, ). Należy sprawdzić różniczkowalność funkcji f w punkcie 0. Obliczymy pochodne jednostronne. Ponieważ, patrz wzór??), oraz więc fh) f0) e h fh) f0) h 3 ah + e 0 a h 0 + h h 0 + h f 0) oraz f +0) a. Pochodne jednostronne są równe wtedy i tylko wtedy, gdy a. Wówczas istnieje pochodna f 0) i jest równa. Przykład 6 Wyznaczyć o ile istnieją) wartości parametrów a i b tak, aby funkcja była różniczkowalna. { f) a sin dla < π cos + b dla π 5
Funkcja f jest oczywiście różniczkowalna w przedziałach ), π i π, ). Należy sprawdzić różniczkowalność funkcji f w punkcie 0 π. Na mocy własności, jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie 0, to jest w tym punkcie ciągła. Ponieważ π ) f cos π + b b oraz f) a sin π π a, więc a b. Obliczmy pochodne jednostronne. Mamy f π + h) f ) π a sin π + h) cos π + b) a sin π + h) a sin π a + h) sin π a + h) sin π a cos π 0, gdyż ostatnia granica jest równa pochodnej funkcji sinus w punkcie 0 π. Ponadto f π + h) f ) π cos π + h) + b cos π + b) h 0 + h sin h h 0 + h Mamy więc f π ) π ) 0 oraz f +. Ponieważ pochodne jednostronne są różne, więc nie istnieją liczby rzeczywiste a i b takie, że f π ) istnieje...3 Pochodna złożenia funkcji Własność 5 Niech g : a, b) c, d) i f : c, d) R. Jeśli istnieją pochodna funkcji g w punkcie 0 a, b) i pochodna funkcji f w punkcie g 0 ) c, d), to istnieje pochodna funkcji f g w punkcie 0 i jest równa f g) 0 ) f g 0 ))g 0 )..) Zauważmy, że dla złożenia trzech funkcji, wzór.) przyjmuje postać f g h) 0 ) f gh 0 ))g h 0 ))h 0 )..3) Ogólnie, aby obliczyć pochodną złożenia kilku funkcji, najpierw obliczamy pochodną funkcji zewnętrznej przepisując argument tej funkcji, obliczoną pochodną mnożymy przez pochodną następnej funkcji ze złożenia przepisując jej argument, tak 6
długo, aż obliczymy pochodną funkcji ostatniej wewnętrznej ). Dokładniej obliczanie pochodnej złożenia funkcji jest zilustrowane w poniższych przykładach. Przykład 7 Obliczyć pochodną funkcji f w punkcie 0, gdzie ) f) 4 +, 0, ) f) ln + 3), 0, 3) f) sin 5, 0, 4) f) tg e 5, 0 0. W każdym z punktów wyznaczymy funkcje składowe funkcji f. ) Zauważmy, że funkcja f jest złożeniem funkcji g) i h) 4 +, gdyż g h)) gh)) g 4 + ) 4 + f). Ponieważ g ) oraz h ) 4 3, więc korzystając ze wzoru.) dostajemy f ) g h) ) g h))h ) h) 43 3 4 +. A zatem f 0 ) f ) 3 4 +. ) Zauważmy, że funkcja f jest złożeniem funkcji g) ln i h) +3, gdyż g h)) gh)) g + 3) ln + 3) f). Ponieważ g ) oraz h ), więc korzystając ze wzoru.) dostajemy f ) g h) ) g h))h ) h) + 3. A zatem f 0 ) f ) + 3. 3) Funkcja f jest złożeniem funkcji g) 5, h) sin oraz k), gdyż g h k)) ghk))) gh )) gsin )) sin )) 5 f). 7
Ponieważ g ) 5 4, h ) cos oraz k ), więc korzystając ze wzoru.3) dostajemy A zatem f ) g h k) ) g hk)))h k))k ) 5hk))) 4 cosk)) 5sin ) 4 cos 0 sin 4 cos. f 0 ) f ) 0 sin 4 ) cos ) 0 sin 4 cos. 4) Funkcja f jest złożeniem funkcji g) tg, h) e oraz k) 5, gdyż g h k)) ghk))) gh 5 )) ge 5 ) tg e 5 f). Ponieważ g ) cos, h ) e oraz k ) 5 4 4, więc korzystając ze wzoru.3) dostajemy f ) g hk 0 ))h k 0 ))k 0 ) cos hk)) ek) 5 4 ) e 5 5 4 4). cos e 5 A zatem f 0) e 0 5 0 5 0 4 4 0) 0. cos e 05 0 Niech f : a, b) R będzie dowolną funkcją. Przypinamy, że funkcja f posiada funkcję odwrotną f wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja f jest różnowartościowa. Podamy teraz zależność między pochodną funkcji f a pochodną funkcji odwrotnej f. Własność 6 Niech f : a, b) R będzie funkcją ciągłą i różnowartościową. Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie 0 a, b) oraz f 0 ) 0, to funkcja f jest różniczkowalna w punkcie y 0 f 0 ) oraz f ) y0 ) f 0 )..4) Równoważnie f ) y0 ) f f y 0 )). 8
Obliczyć pochodną f ) y0 ) o ile istnieje), gdzie ) f) 3 +, y 0 5, ) f) sin, y 0. ) Funkcja f jako różnowartościowa posiada funkcję odwrotną. Ponieważ f ) 3 dla każdego R, więc na mocy wzoru.4) dostajemy f ) y) 3 dla każdego y R. W szczególności f ) 5) 3. Zauważmy jeszcze, że funkcją odwrotną do funkcji f jest funkcja liniowa postaci f y) 3 y 3, skąd bezpośrednio dostajemy f ) 5) 3. ) Funkcją odwrotną do funkcji sinus na przedziale π, ) π jest funkcja arc sin. Ponieważ funkcja sinus przyjmuje wartość dla argumentu 0 π 6 π, ) π oraz f 0 ) cos 0 cos π 6 3, więc na mocy wzoru.4) dostajemy Przykład 8 Pokazać, że f ) ) f 0 ) 3. ) log a ) ln a wiedząc, że a ) a ln a, ) arc tg ) + wiedząc, że tg ) cos. ) Funkcja f ) log a jest funkcją odwrotną do funkcji f) a. Kładąc y f) a, na mocy wzoru.4) na pochodną funkcji odwrotnej, mamy log a y) a ) a ln a y ln a. Zastępując zmienną y przez zmienną otrzymujemy żądany wzór. ) Funkcja f ) tg jest funkcją odwrotną do funkcji f) arc tg. Przyjmując y f) arc tg, na mocy wzoru.4) na pochodną funkcji odwrotnej, mamy arc tg y) tg ) cos cos cos cos +sin cos cos + tg + y. cos cos + sin Zastępując zmienną y przez zmienną otrzymujemy żądany wzór. 9
. Zadania.. Na podstawie definicji znaleźć pochodną funkcji f) w punkcie 0... Obliczyć z definicji pochodną funkcji w punkcie 0. f) + +.3. Obliczyć z definicji pochodną funkcji w punkcie 0. f) 3.4. Obliczyć z definicji pochodną funkcji f w punkcie 0, gdzie ) f) C, C R ) f) sin 3) f) cos 4) f) tg 5) f) 6) f) n, n N 7) f) a.5. Obliczyć z definicji pochodną funkcji w punkcie 0 0. f).6. Obliczyć z definicji pochodną funkcji w punkcie 0 0. f).7. Zbadać na podstawie definicji, czy podane funkcje są różniczkowalne we wskazanych punktach: ) ) f), 0 0 { 3 + dla, f) dla >. 0.8. Znaleźć pochodne funkcji podstawowe wzory): 0
) f) 5 3 4 + 7 ) f) sin + 4e 3) f) 3 + + e 4) f) 3 4 3 f) 3 3 ) 5) 5 + 43 6) f) 6 + 4 7) f) + 3 4 + 3 5 8) f) π 9) f) 4 3 5 + 6 0) f) 4 3 3 + 3 + 3 ) f) tg ctg ) f) 3 ln + 3) f) + ) 4) f) 5 + 6)4 3) + e 5) f) +.9. Znaleźć pochodne funkcji pochodna iloczynu): ) f) ln ) f) cos 3) f) sin 4) f) 3 5 5) f) e f) ln 6) 3 + ln 7) f) 6 ln 8) f) e cos 9) f) + 4)e + 3 0) f) e tg + 4 3 ) f) ln e ) f) sin ln + cos.0. Znaleźć pochodne funkcji pochodna ilorazu): f) + + ) 3 ) f) 3) f) 5 4) f) 3 + 3 5) f) 6) f) cos ln 7) f) 4e 8) f) 3 3 + + f) ) 9) 0) f) cos sin ) f) 3.. Znaleźć pochodne funkcji:
e ) f) 3 ) f) ln + 3) f) e 4) f) sin cos e f) 3 ln 5) e f) sin 6) sin ln f) + e 7) f) 3 e ln 8) 3 + sin sin.. Znaleźć pochodne funkcji: ) f) ln cos ) f) + 3) 5 3) f) 3 3 3 5 sin5 4) f) + 3 5) f) ln 6) f) sin3 ) 7) f) 3 + 5 8) f) 3 + 3) 3 9) f) sin 7 0) f) cos 3 ) f) sin 6 ) f) + 5) 4 3) f) 3 3 + 6) 5 4) f) + 5) f) 3 + 6) f) ln + 5) 7) f) 3 ) 4 8) f) e 3 sin 3 9) f) ln ln 0) f) e 5 ) f) 5 cos 4 ) f) 3) f) ln ) 4) f) ln 5) f) sin 6) f) 7) f) ln ) sin.3. Znaleźć pochodne funkcji: +cos 4 5 ) f) + e f) sin ) π + π 4 + e ) 3) f) tg ) sin + e π 4) f) +sin 5 3 + e πe f) cos ) 5) π + π 8 + sin + 6) f) e sin + cos ) 4 ) 3 sin 4 cos 4 7) f) sin4 cos +e 4 )+sin 3 8) f) 9) f) tg ) cos + ln + 0) f) cosln ) ) f) sin 4 lnsin ) f) +sin3 ) cos 3) f) ln ) tg 3 cos ) 4) f) tglncos 3 + ))) 5) f) ln cos ) + cos3 sin ) 6) f) ln e sin +) + e πe4 7) f) sin 5 3 ) 4 + π 8) f) cos 5 lntg 3 ))+sin ) 3
f) +sinln )) cos ) 9) 3 + ln f) sin ln 4 cos + ) 0) e cos3 tg 4 +sin cos)))) )).3 Zastosowanie pochodnej funkcji jednej zmiennej..4. Znaleźć równanie stycznej do krzywej f) cos w punkcie 0 π 6..5. Obliczyć, jaki kąt z osią O tworzy styczna do paraboli w punkcie 0. f) 3 + 8.6. Obliczyć, w jakim punkcie styczna do krzywej jest równoległa do osi O. f) 3 3 9 +.7. Obliczyć, w jakim punkcie styczna do krzywej jest równoległa do prostej y. f) e.8. Znaleźć równanie stycznej do krzywej y f) w punkcie o odciętej 0, jeżeli: ) f) 3 4 3 + 6 +, 0, ) f) sin, 0 0 3) f) ln, 0 e.9. Stosując twierdzenie de l Hospitala wyznaczyć następujące granice: e ) e ) ln cos 3) 4) 0 cos ln 5) 6) 0 sin 0 ctg sin ln + ) 7) 8) 0 tg 0 9) ln cos 0) 0 ln 0 + 3
0 ) ) ln ) ).0. Wyznaczyć przedziały monotoniczności następujących funkcji: ) f) 3 + 4 ) f) 9 3) f) 5 + 6 4) f) + ) 5) f) 4 3 3 + e 6) f) 3 3 + 4, 5 4 5 7) f) 3 3 + 5 8) f) sin, [0, π] 9) f) e 0) f) 3 f) ) ) f) ln.. Znaleźć ekstrema następujących funkcji: ) f) 3 + + 36 e ) f) 4 3 3 + e 3) f) 3 ) 4) f) + 4 5) f) cos, [0, π] 6) f) + 7) f) + f) 3 8) 4 + 9) f) ln 0) f) ln + ) ) f) e + e.. Wyznaczyć przedziały wklęsłości i wypukłości następujących funkcji: ) f) ) f) 3 + + 36 e 3) f) 4 3 3 + e 4) f) + 5) f) ln 6) f) ln 7) f) + 8) f) 9) f) f) 5 + 6 0) +.3. Wyznaczyć punkty przegięcia następujących funkcji: 4 ) f) + 6 ) f) 3 + 3 9 + 9 3) f) 3 6 5 + 4) f) 4 4 3 + 4 5) f) 4 3 + 48 + 6) f) sin, [0, π] 7) f) 8) f) ln 9) f) e 0) f) e
.4. Wyznaczyć asymptoty następujących funkcji: ) f) e ) f) 3) f) 4) f) 3 + + 5) f) 4 3 f) + 6) 7) 3 f) 8) f) 3 9) f) 4 0) f) + ) f) e ) f) e.5. Zbadać przebieg zmienności następujących funkcji: ) f) 5 + 3 ) f) 3 3) f) 3 + + 36 0 4) f) ) 5) f) 6 3 + 6) f) 3 7) f) + 8) f) + 9) f) f) + 0) ) f) e Niektóre odpowiedzi:.8. ) f ) 5 8 ) f ) 4 cos + 4e 3) f ) 3 3 4) f ) 3 5) f ) 9 4 5 3 + 4 5 6) f ) 6 7) f ) 4 3 4 3 + 3 0 3 6 8) f ) + 9) f ) 4 3 3 5 3 0) f ) 4 3 + 5 3 ) f ) cos + sin ) f ) 3 3) f ) 5 3 + 4) f ) 36+9 5) f ) +.9. ) f ) ln + ) f ) cos sin ) 3) f ) sin + cos ) 4) f ) 5 3 + ln 5) 5) f ) e + ) 6) f ) 3+ln ln + ) 7) f ) 6 ln +) 8) f ) e cos sin ) 9) f ) e +)+ 3 0) f ) e tg + e cos + ) f ) ln + ) + e ) ) f ) cos ln + 3 )+sin 3 ).0. ) f ) 4 4 3 3 3 ) ) f ) ) 3) f ) 3 3 ) 4) f ) +3) 5) f cos sin ) cos ) 6) f ) ln ln 7) f ) e 4 ++) 3+) 8) f ) 4 +3 +) 9) f ) ) ) 0) f ) sin ) f ) 3 +3 ).. ) f ) tg ) f ) 5 + 3) 4 3) f ) 7 3 5 3 sin 4 cos 4) f ) ) 5) f ) 6 ) cos3 ) 6) f ) 5 3 4 + 5 ) 3 7) f ) 36+3)3 +3) 5
8) f ) 7 6 cos 7 9) f ) 3 sin cos 0) f ) 6 cos 6 ) f ) 0 + 5) 3 ) f ) 45 3 3 + 6) 4 3) f ) + ) 4) f ) 3 + ) 3 5) f ) +5 6) f ) 4 3 ) 3 7) f ) 3e 3 sin 3 + cos 3) 8) f ) ln 9) f ) 5e 5 0) f ) 0 sin 4 ) f ) e ln ln + ) ) f ) e ln ln ln ln + ln ) 3) f ) e ln ln 4) f ) e sin ln cos ln + sin ) 5) f ) e ln ln ) 6) f ) e sin ln ln cos ln ln + sin ln ) 6