Ćwiczenie 7 WYZNACZANIE PRĘDKŚCI PRECESJI ŻYRSKPU. BADANIE DELU STABILIZATRA ŻYRSKPWEG 7.. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest poznanie zjawisk zachodzących w układach wyposażonych w żyoskop. Pzepowadzane pomiay (stanowisko 7A) mają na celu doświadczalne potwiedzenie zależności pomiędzy momentem sił zewnętznych działających na żyoskop, a jeo pędkością kątową pecesji. Natomiast obsewacje pzepowadzane na modelu stabilizatoa okętoweo (stanowisko 7B) pozwalają zozumieć zasadę jeo działania. 7.. Wpowadzenie Żyoskopem (albo ioskopem) nazywa się układ złożony z winika wykonująceo uch obotowy wokół swojej osi z dużą szybkością oaz odpowiednieo układu zawieszenia. Zwieszenie ma umożliwić uch kulisty winika, pzy czym śodek uchu kulisteo znajduje się na osi winika. Chaakteystycznym zjawiskiem dla żyoskopów z pozou paadoksalnym jest efekt żyoskopowy. Zaskakujący sens fizyczny efektu żyoskopoweo polea na tym, że do obócenia wiująceo ciała wokół wybanej osi tzeba pzyłożyć obciążenie, dla któeo wekto momentu ma kieunek postopadły do osi zamiezoneo obotu oaz do osi wiowania. Podstawowe cechy uchu żyoskopów to: - pecesja żyoskopu wywołana działaniem momentu pochodząceo od sił zewnętznych czynnych, - zdolność zachowania niezmiennej oientacji pzestzennej osi winika. W zastosowaniach technicznych są używane żyoskopy o winikach wykonujących od 0 do 50 tysięcy obotów na minutę. Występowanie wzlędnie dużeo momentu żyoskopoweo jest wykozystywane szeoko w wielu uządzeniach - na pzykład żyokompasy i stabilizatoy okętowe. Jednak nie zawsze istnienie teo momentu jest mile widziane i musi być on bany pod uwaę pzy pojektowaniu łożysk podpieających wiujące wały, na pzykład winik silnika lotniczeo. W ćwiczeniu wykozystywane są dwa stanowiska doświadczalne: - układ żyoskopowy służący do badania wpływu momentu pzyłożonych sił zewnętznych na pędkość kątową pecesji układu (stanowisko 7A), - wahadło wyposażone w stabilizato żyoskopowy (stanowisko 7B). ateialy dydaktyczne 7.. Teoetyczny opis zjawiska Rozpatywany jest układ (ys.7.-a) złożony z pionowej osi () i zamocowanym na niej pęcie (), na któeo jednym z końców jest osadzona obudowa silnika (), a na duim umieszczane są obciążniki (4). Pęt () jest połączony z pionową osią za pomocą łożysk, któe umożliwiają obót pęta wokół osi (ξ) - poziomej i jednocześnie postopadłej do osi (z). Zasadniczym elementem układu jest winik (5) silnika. Ruch układu odbywa się w taki sposób, że winik obaca się wokół osi ζ (ys.7.-b). ś ta ma swobodę obotu wokół pionowej osi z, jak ównież wokół poziomej osi ξ. Kateda Dynamiki aszyn Auto ćwiczenia B. ianowski, ysunki: B. ianowski, edakcja: K. Januszkiewicz, J.Gabski
Wyznaczanie pędkości pecesji żyoskopu Rys. 7.. znaczenia elementów (a); układy współzędnych: nieuchomy (xyz) i uchomy (xhz) oaz wektoy pędkości kątowych (b) Pędkość kątowa obotu własneo winika analizowaneo modelu ma watość o kilka zędów większą od watości pędkości kątowej, z jaką cały układ wiuje wokół pionowej osi z. Analoiczna elacja zachodzi pomiędzy pędkością a pędkością, z jaką obudowa silnika może obacać się wokół poziomej osi ξ. Ruch winika jest uchem złożonym z tzech uchów obotowych, zatem jeo całkowita pędkość kątowa ( ) jest sumą wektoów pędkości składowych = + +. (7.) Należy nadmienić, że dokładna analiza uchu takieo ciała jest zaadnieniem skomplikowanym. W pzybliżonej teoii zjawisk żyoskopowych, któa w zadowalający sposób wyjaśnia szee zjawisk chaakteystycznych dla układów wyposażonych w żyoskopy, zakłada się, że całkowita pędkość kątowa winika ( ) óżni się nieznacznie od pędkości obotu własneo winika ( ), to znaczy. (7.) ateialy dydaktyczne Kolejne założenie dotyczące badaneo modelu odnosi się do watości pędkości kątowej obotu własneo pzyjmuje się, że = const. (7.) W analizie uchu modelu żyoskopu wykozystuje się twiedzenie o pochodnej wzlędem czasu wektoa kętu K (okeśloneo wzlędem nieuchomeo bieuna ) d K =. (7.4) Pochodną dowolneo wektoa (na pzykład a (t) ), zmieniająceo w czasie swoją dłuość (moduł) i kieunek, wyznacza się z zależności d a d a = + a a. d a We powyższym wzoze piewszy składnik jest pochodną lokalną, któa okeśla szybkość zmiany dłuości wektoa a, natomiast dui składnik ( a a ) wynika ze zmiany kieunku wektoa a - opisanej pędkością obotu ( a ) teo wektoa. Kateda Dynamiki aszyn Do teo celu moą być ównież użyte ównania Eulea.
Ćwiczenie n 7 W pzypadku wektoa a (t), któeo dłuość nie ulea zmianie (a(t)=const) pochodna lokalna jest ówny zeu i powyższa zależność pzyjmuje postać d a = a a (dla a(t)=const). Pzy analizie uchu modelu żyoskopu badaneo na stanowisku doświadczalnym założono, że kęt całeo układu tylko nieznacznie óżni się od kętu sameo winika żyoskopu. Ponadto pzyjmuje się, że spełniony jest waunek (7.). znacza to, że kęt analizowaneo układu można okeślić na podstawie pzybliżoneo wzou jako K = J, K = J, (7.5) pzy czym [ad/s] oznacza watość pędkości kątowej obotu własneo, a J [km ] jest łównym momentem bezwładności winika żyoskopu wzlędem jeo osi obotu własneo (ζ). Pzy tak pzyjętych założeniach wekto kętu układu ( K ) leży na osi ζ i ma stałą watość. Jeo pochodna jest okeślona zależnością d K = K K (dla K const = ), (7.6) dzie K oznacza pędkość kątową, z jaką obaca się wekto kętu układu. W dalszej części ozważane są tzy pzypadki: wyznaczanie położenia ównowai osi żyoskopu pzy nieobacającym się winiku (ys.7.), uch układu pod działaniem momentu sił zewnętznych o wektoze skieowanym wzdłuż osi z (ys. 7.), uch układu pod działaniem momentu sił zewnętznych o kieunku osi ξ (ys. 7.4). 7... Układ z nieuchomym winikiem położenie ównowai W badanym modelu istotne jest położenie ównowai układu w sytuacji, dy winik nie obaca się wokół własnej osi. Położenie ównowai pzy poziomym kieunku osi własnej winika (ys. 7.) uzyskuje się wtedy, dy suma momentów sił ciężkości wzlędem osi ξ jest ówna zeu m a m a 0. (7.7) ateialy dydaktyczne : s s = ξ Użyte zostały następujące oznaczenia: m s masa silnika (waz z masą pęta, na któym jest on osadzony), a s odlełość śodka masy silnika (waz z pętem) od punktu, m masa obciążnika (tulei zakładanej na część pęta znajdującą się po pzeciwnej stonie silnika), a odlełość śodka masy obciążnika od punktu, pzyspieszenie ziemskie. Rys. 7.. Poziome położenie ównowai pęta Wpowadzając oznaczenie = m a, łatwo stwiedzić, że w położeniu ównowai s s s s = m. (7.8) Położenie (a ) obciążnika o masie m, któe zapewnia poziome położenie ównowai układu (pzy nieuchomym winiku) jest wyznaczane doświadczalnie. Kateda Dynamiki aszyn a
Wyznaczanie pędkości pecesji żyoskopu 7... Zjawiska zachodzące w żyoskopie pod działaniem momentu zewnętzneo wzlędem osi pionowej (z) Rozważa się pzypadek, dy winik kęci się wokół poziomej osi i zostanie pzyłożona do układu paa sił P, - P jak pokazano na ys.7.. Rys. 7.. oment zewnętzny ( z ) działające na żyoskop oaz wektoy: pędkości kątowych, kętu i jeo pochodnej Wekto momentu pay jest skieowany wzdłuż osi z, to znaczy = k z i wekto kętu K, zodnie z pawem (7.4), musi doznać pzyostu. tzymuje się zatem następująca zależność d K = k. z (7.9) Kieunek i zwot wektoa momentu = k okeśla kieunek i zwot wektoa pzyostu kętu. znacza to, że ateialy dydaktyczne z pzyost (i pochodna) wektoa kętu będzie wektoem o kieunku i zwocie wesoa k osi z. Wynika stąd, że pojawi się pędkość kątowa wokół osi ξ ( ξ = ). Ruch żyoskopu wokół osi ξ jest nazywany nutacją, a pędkość z jaką się on odbywa - pędkością nutacji ( ). ξ Pochodna wektoa kętu jest okeślona zależnością (7.6), w któej w miejsce K należy wstawić, to znaczy d K = K = J = J. (7.0) Poównując watość pochodnej kętu z watością momentu sił zewnętznych otzymuje się ównanie π J sin = Z. na podstawie któeo watość liczbowa pędkości kątowej nutacji wyniesie Z (7.) =. (7.) J Kateda Dynamiki aszyn 4
Ćwiczenie n 7 + Jeśli ównanie (7.4) zostanie pzedstawione w fomie d K (7.) = 0 d K i zastosuje się oznaczenie =, to będzie można powiedzieć, że wpowadzony w ten sposób moment żyoskopowy ( ) jest miaą bezwładności układu (a ównanie pzybiea fomę = 0 ). ożna o okeślić jako d K = = J = J. (7.4) pó, jaki stawia układ pzy póbie obotu wokół osi, z wyjaśnia występowanie momentu żyoskopoweo. 7... Zjawiska zachodzące w modelu pod działaniem momentu zewnętzneo wzlędem osi poziomej x Pzez założenie dodatkoweo pzeciwciężau (ys. 7.4 lewa stona) albo zdjęcie wszystkich pzeciwciężaów (ys. 7.4 pawa stona) powstaje niezównoważony moment sił zewnętznych wzlędem osi ξ. znacza to, że w takim pzypadku na układ działa moment (wywołany siłami ciężkości) o kieunku osi ξ i watości = s mi ai. ateialy dydaktyczne Rys. 7.4. Schemat obliczeniowy pzy obciążeniu momentem wzlędem osi x i (7.5) Szybkość zmian wektoa kętu, zodnie z zależnością (7.4) musi być ówny momentowi, to znaczy, że d K wekto będzie mieć ten sam kieunek i zwot, co (w tym pzypadku zodny z osią ξ). Wekto kętu K może doznać pzyostu jedynie w wyniku obotu całeo układu dokoła pionowej osi z. Pędkość kątowa teo obotu jest nazywana pędkością pecesji. Pochodna wektoa kętu może być wyznaczona z zależności (7.6), po wstawieniu w miejsce wektoa K d K = K = J = J. (7.6) Pzez poównanie watości tej pochodnej z momentem otzymuje się zależność Kateda Dynamiki aszyn =. (7.7) J 5
Wyznaczanie pędkości pecesji żyoskopu oment żyoskopowy ( 7.4. pis stanowisk badawczych ) w tym pzypadku jest ówny d K = = J = J. (7.8) 7.4.. Stanowiska do pomiau pędkości kątowej pecesji żyoskopu 7A Na ys. 7.5 pzedstawiony jest widok stanowiska z układem żyoskopowym o tzech stopniach swobody. ateialy dydaktyczne Rys. 7.5. Elementy stanowiska pomiaoweo 7A Silnik żyoskopowy (), któeo winik wykonuje ok. 6 tysięcy obotów na minutę jest sztywno związany z pętem (), będącym pzedłużeniem osi własnej winika. Pęt ten może obacać się wokół osi poziomej () i pionowej osi (4) umieszczonej w łożyskach ostoi. Statyczne zównoważenie układu (poziome położenie pęta () pzy nieuchomym winiku) umożliwiają pzesuwne pzeciwciężay (5). Silnik jest zasilany z pzetwonicy napięcia pzez szczotki i pieścienie (6). Pzetwonica zasila silnik żyoskopu pądem tójfazowym o napięciu 6 V i częstotliwości około 400 Hz. Do pomiau watości pędkości kątowej pecesji ( ) to znaczy obotu wokół osi pionowej (4) został zastosowany czujnik optyczny (7) i tacza (8) o 00 otwoach na obwodzie. Pomia watości pędkości kątowej obotów własnych ( ) winika żyoskopu odbywa się w ten sposób, że po wyłączeniu zasilania silnika - pzycisk (9) WYCIŚNIĘTY - pacuje on jako pądnica. Zmiany napięcia pądu eneowaneo pzez pądnicę są zliczane pzez mienik. Ponieważ stojan silnika jest dwubieunowy, to mienik ejestuje jeden impuls na jeden obót winika. Do pomiau szybkości pecesji i obotu własneo służy ten sam mienik (licznik uniwesalny). 7.4.. odel stabilizatoa żyoskopoweo - opis stanowiska 7B Rozpatywany układ (ys. 7.6) jest wahadłem wyposażonym w stabilizato żyoskopowy. Kateda Dynamiki aszyn 6
Rys. 7.6. Wahadło stabilizowane żyoskopem - widok stanowiska badawczeo 7B Ćwiczenie n 7 W amie () są osadzone łożyska wałka (). Do wałka jest pzymocowana amka () nazywana amką zewnętzną. W amce zewnętznej jest umieszczona amka wewnętzna (4) z osadzonym w niej silnikiem żyoskopowym (5). Ramka wewnętzna waz z osią własną silnika (winika) może zmieniać położenie o około ±90 0 wzlędem amki zewnętznej. Zasilanie silnika jest takie samo, jak w stoisku 7A. W sytuacji, dy winik nie obaca się wokół własnej osi, zachowanie układu (to jest położenia ównowai, uch) jest takie jak zwykłeo wahadła fizyczneo. Jeśli winik obaca się ze znaczną szybkością wokół własnej osi, to uch ten działa stabilizująco na wahadło (na pzykład umożliwia ustawienie o w niestatecznym ónym położeniu ównowai). 7.5. Sposób pzepowadzenia ekspeymentów W piewszej kolejności dokonywane są pomiay szybkości pecesji na stanowisku 7A. Następnie badane jest zachowanie się stabilizatoa żyoskopoweo na stanowisku 7B. Wyniki pomiaów i obliczeń ejestowane są w tabeli 7. i na ysunku 7.7. ateialy dydaktyczne 7.5.. Pomiay szybkości pecesji. Zównoważyć oś winika (ys.7.) w jej położeniu poziomym za pomocą pzeciwciężau. Zmiezyć odlełość śodka pzeciwciężau od osi pionowej obotu (a ) i zanotować ją oaz masę pzeciwciężau (m ) - podana jest na obciążnikach - w tabeli 7... Włączyć do sieci mienik (częstościomiez) i wcisnąć klawisz podstawy czasu s.. Włączyć postownik, ustawić pzełącznika na zasilanie stoiska 7A i włączyć silnik - pzycisk (9) WCIŚNIĘTY. 4. dczekać około minuty, aby żyoskop osiąnął oboty nominalne i ustawić pęt z umocowanym do nieo silnikiem poziomo. Pzyłożyć palce do obzeża bązowej taczy i póbować obacać ją w jedną i duą stonę (staać się obacać pzez wywacie nacisku, ale bez wywołania widoczneo obotu). Zaobsewować kieunek wychylania się pęta (osi winika) w zależności od kieunku działania momentu. 5. Utzymując pęt z silnikiem (oś ζ) poziomo założyć na pęt dodatkowy ciężaek (lub pzesunąć w stonę końca pęta ten ciężaek, któy już był założony), jak to pokazują schematy w tabeli 7.. 6. Zmiezyć odlełość a i ; zanotować zmiezoną watość jak i odczytaną masę (m i ) w tabeli 7.. 7. Ustawić pęt poziomo, pozostawić układ samemu sobie i obsewować jeo uch. 8. dczytać wskazanie mienika pędkości kątowej pecesji i zapisać je w tabeli 7.. Naysować na odpowiednich schematach umieszczonych w tabeli 7. wektoy: momentu, pędkości kątowych i. Uwaa: W czasie pomiau oś winika powinna pozostawać w położeniu bliskim poziomemu. Pędkość kątową pecesji miezyć pzy nastawie podstawy czasu 0 s (uzyskuje się wtedy większą dokładność). Kateda Dynamiki aszyn 7
Wyznaczanie pędkości pecesji żyoskopu 9. Wykonać pomia pędkości obotowej winika żyoskopu. W tym celu należy WYCISNĄĆ na chwilę pzycisk (9); zapisać wskazanie mienika w tabeli 7.. Uwaa: W czasie pomiau oś winika powinna pozostawać w położeniu bliskim poziomemu. Pędkość obotu winika miezyć pzy nastawie podstawy czasu s. Włączenie pomiau pędkości winika powoduje wyłączenie zasilanie silnika, a więc jeo oboty maleją w czasie pomiau. Zatem najwyższy odczyt (zwykle piewszy) uznajemy za najdokładniejszy. 0. Pzyciskiem (9) włączyć ponownie zasilanie silnika i pzestawić podstawę czasu licznika na 0 s.. Powtózyć pomiay (punkty 5 0) dla óżnych watości momentu, w schematów z tabeli 7... Wyłączyć zasilanie pzetwonicy i mienik pędkości. 7.5.. Badanie modelu stabilizatoa żyoskopoweo. Pzy nieuchomym winiku silnika wpawić w uch wahadłowy amkę zewnętzną i wewnętzną w celu spawdzenia, że opoy łożysk i komutatoów są minimalne.. Zatzymać wahadło w położeniu ównowai twałej (patz ys.7.6 po lewej).. Włączyć zasilanie pzetwonicy, ustawić pzełącznik na zasilanie stoiska 7B i odczekać ok. minut. 4. Ustawić oś winika pionowo, wykonać łaodne póby obócenia amki zewnętznej w jedną i duą stonę. bsewować uchy obu amek. Zwócić uwaę na wielkość opou, jaki stawia amka zewnętzna pzy póbnie jej pouszenia. Zanotować kieunek momentu pzyłożoneo do amki zewnętznej i kieunek powstałej pecesji amki wewnętznej (obudowa silnika). 5. Pzestawić łaodnie wahadło w óne położenie pionowe (tzn. w położenie ównowai nietwałej zwykłeo wahadła); ustawić oś winika żyoskopu pionowo. 6. Wykonać póby odchylenia wahadła od pionu w obu kieunkach. Zwócić uwaę na wielkość opou, jaki stawia amka zewnętzna pzy póbnie jej pouszenia. 7. Wykonać póby odchylenia amki wewnętznej (obudowy silnika) od pionu w obu kieunkach. Zanotować kieunek powstałeo obotu amki zewnętznej (wahadła); nanieść to na schemacie układu (ys.7.7 b). ateialy dydaktyczne 8. puścić wahadło, wyłączyć postownik oaz upoządkować stoisko. 7.6. pacowanie wyników pomiaów i spawozdanie 7.6.. bliczenia pomocnicze Po zakończeniu pomiaów i obsewacji należy pzystąpić do wykonania obliczeń niezbędnych do wypełnienia pozostałych ubyk tabeli 7.. Pzy obliczaniu momentu zewnętzneo należy pzyjąć = 9,8 m/s. Natomiast w obliczeniach momentu żyoskopoweo pzyjąć watość moment bezwładności winika J Z = 0,86 0-4 k m. 7.6.. Spawozdanie z ćwiczenia W spawozdaniu należy zamieścić: a) temat i cel ćwiczenia, b) wyniki pomiaów, obsewacji i obliczeń zestawione w tabeli 7., c) szkice z objaśnieniami zjawisk występujących w ćwiczeniu, d) obsewacje i wnioski. 7.7. Pytania spawdzające. Co to jest żyoskop?. Co to jest efekt żyoskopowy?. Na czym polea uposzczenie pzyjmowane w pzybliżonej teoii żyoskopu? 4. Pzytoczyć sfomułowanie twiedzenia o pochodnej kętu. 5. Podać kilka pzykładów kozystneo i niekozystneo działania efektu żyoskopoweo. Kateda Dynamiki aszyn 8
N Tabela 7. Wyniki pomiaów i obliczeń Waianty obciążenia Wektoy momentu sił zewnętznych. Wektoy obydwu pędkości kątowych asa obciążników dlełość od osi pionowej omenty sił ciężkości obciążników oment zewnętzny m i a i i = m i a i Szybkość pecesji dczyt z π n mienika = n 00 Szybkość wiowania dczyt z mienika n Ćwiczenie n 7 oment żyoskopowy = π n =J k mm Nm Nm imp/s ad/s ob/s ad/s Nm 4 5 6 7 8 9 0 m = a = = 0,47 0,00 4 m = a = = = m = m = a = a = = = + = = a) b) ateialy dydaktyczne Rys. 7.7. Schemat stabilizatoa żyoskopoweo Kateda Dynamiki aszyn 9