WYZNACZANIE PRĘDKOŚCI KĄTOWYCH CIAŁ NA PODSTAWIE TWIERDZENIA O POCHODNEJ KRĘTU

Transkrypt

1 5.. el ćiczenia Ćiczenie 5 WYZNAZANIE PRĘDŚI ĄTWYH IAŁ NA PDSTAWIE TWIERDZENIA PHDNE RĘTU elem ćiczenia jest dośiadczalna eyfikacja zależności teoetycznych ynikających z tiedzenia o pochodnej zględem czasu kętu układu. 5.. Wpoadzenie Analiza ielu zagadnień dynamiki układó mateialnych poadzona jest pzy ykozystaniu tiedzenia o pochodnej zględem czasu kętu układu zględem nieuchomego punktu. Wynika z niego, że zmiana kętu układu jest możlia tylko na skutek działania takich sił zenętznych, któych moment zględem obanego punktu jest óżny od zea. znacza to, że siły enętzne układu nie mogą dopoadzić do zmiany jego kętu. onsekencją tiedzenia o pochodnej kętu jest zasada zachoania kętu, któa oznacza, że pzypadku, gdy suma momentó sił zenętznych zględem nieuchomego punktu jest óna zeu, to kęt układu yznaczony zględem tego samego punktu jest stały. eśli zatem uch jednego z ciał należących do ozpatyanego układu jest ymuszony pzez siły działające enątz a nie spoza układu, to spooduje to uch innych ciał tego układu, tak by całkoity kęt układu nie uległ zmianie. Tego odzaju ekspeyment myśloy tudno jest zealizoać paktyce, ponieaż nie można uniknąć oddziałyania otoczenia. Pzygotoane stanoisko badacze, któym zadbano o to, by zminimalizoać opoy uchu a te, któe istnieją uzględnić obliczeniach pozala na dośiadczalną eyfikację tiedzenia o pochodnej kętu. Głónymi elementami stanoiska badaczego są tacza i umieszczony na niej silnik elektyczny. Względny uch obotoy inika silnika yołuje uch całego układu. Zaejestoane pędkości obotoe i yznaczone na dodze ekspeymentalnej momenty sił zenętznych poinny być zgodne z ezultatami otzymanymi z zależności teoetycznych pzyost kętu układu poinien być óny impulsoi momentó od sił zenętznych. Mateialy dydaktyczne 5.3. Podstaoe zależności teoetyczne Analiza dotyczy modelu układu ys. 5.. ateda Dynamiki Maszyn Rys. 5.. Model fizyczny analizoanego układu Auto ćiczenia B. Mianoski, ysunki B. Mianoski, edakcja:. anuszkieicz,. Gabski

2 Ćiczenie n 5 Składa się on z dóch podukładó: jeden z nich PU pousza się uchem obotoym okół nieuchomej pionoej osi o kieunku osi ζ, a dugi PU zamocoany jest na pieszym taki sposób, że może obacać się okół uchomej pionoej osi ζ Zależności ogólne W tym ćiczeniu ykozystyane jest tiedzenie: pochodna zględem czasu kętu układu zględem doolnego nieuchomego punktu jest óna sumie momentó sił zenętznych zględem tegoż punktu. Matematyczny zapis tego tiedzenia ma postać i n d Mi, 5. dt i któej i oznacza kęt układu zględem nieuchomego punktu, a n M i jest sumą momentó sił zenętznych działających na ozpatyany układ zględem punktu. i ałkując obie stony ónania 5. ganicach od tt 0 do t otzymuje się zależność t i n t t M dt, 5. któa okeśla pzyost ektoa kętu układu. Z tego ónania ynika, że pzyost kętu jest óny impulsoi momentó sił zenętznych zględem punktu. Pzy yznaczaniu kętu jest ykozystyane ónanie mv +, 5.3 któe pozala na okeślenie kętu zględem nieuchomego punktu na podstaie kętu yznaczonego zględem śodka masy punktu układu. Symbole V, oznaczają odpoiednio ektoy: położenia punktu zględem oaz pędkość śodka masy. W uchu kulistym ciała ekto kętu 0 t i 0 ygodnie jest okeślać układzie spółzędnych ζ sztyno ziązanych z ciałem postaci sumy składoych o kieunkach tych osi i + j + k ζ, 5.4 gdzie i, j, k są esoami osi ζ, a,, oznaczają zuty ektoa kętu na te osie, pzy czym: Symbolami a Mateialy dydaktyczne i, 5.5, ,, zostały oznaczone momenty bezładności zględem osi sztyno ziązanych z ciałem,,, są momentami deiacyjnymi zględem tych osi Wyznaczenie kętu analizoanego układu ęt układu jest yznaczany jako suma dóch składnikó. Pieszy to kęt podukładu unoszenia PU na ysunku 5. pouszającego się z pędkością kątoą okół osi ζ. Dugim składnikiem jest kęt podukładu PU pouszającego się z pędkością zględną dokoła uchomej osi ζ. Bezzględna pędkość kątoa podukładu PU jest óna sumie pędkości unoszenia u i pędkości zględnej ateda Dynamiki Maszyn

3 Wyznaczanie pędkości kątoych ciał na podstaie tiedzenia o pochodnej kętu u ęt podukładu unoszenia PU Podukład PU ys. 5. jest symetyczny zględem płaszczyzny ζ. Wobec tego jego momenty deiacyjne, są óne zeu 0. Bak symetii zględem płaszczyzn i ζ pooduje, że moment deiacyjny podukładu PU nie jest óny zeu 0. Więzy nałożone na układ dopuszczają uch obotoy podukładu PU okół pionoej osi o kieunku osi ζ oaz uch obotoy podukładu PU zględem PU okół uchomej osi ζ. znacza to, że zuty ektoa pędkości kątoej na osie i są óne zeu 0. W ozpatyanym pzypadku zoy okeślające zuty ektoa kętu spoadzają się do: 0,,. 5.9 ęt podukładu pouszającego się uchem zględnym PU ałkoita pędkość kątoa podukładu PU jest okeślona zoem 5.8, to znaczy +, 5.0 a jej zuty na osie ζ są óne: +. Został tu ykozystany fakt, że pędkość jest óna k ma kieunek osi ζ. ęt podukładu PU zględem nieuchomego bieguna może być okeślony na podstaie zależności 5.3 0, 0,. m V Ponieaż momenty deiacyjne podukładu PU zględem osi ζ pzechodzących pzez śodek masy tego podukładu są óne zeu 0, to zuty składoej ektoa kętu na osie ζ pzyjmują postać: a zuty kętu są óne: 0,, 5.3 0, 5.4 e m e +, 5.5 gdzie e odległość osi ζ od osi ζ. Po podstaieniu pędkości zgodnie z zależnością 5. otzymuje się m e Ponieaż moment bezładności podukładu PU zględem osi ζ jest óny można zapisać jako Mateialy dydaktyczne m e +, to zó 5.6 ateda Dynamiki Maszyn

4 ałkoity kęt układu Ćiczenie n 5 Rzuty ektoa kętu całego układu doolnej chili t są sumą zutó yznaczonych dla każdego z podukładó zoy 5.9, 5.4 i 5.7, a zatem: + 0, 5.8 Ponieaż moment deiacyjny +, jest óżny od zea, to zut kętu na oś istnieje i jest zmienny. Stąd ynika, że łożyskach taczy- pojaią się dodatkoe eakcje dynamiczne. znaczając moment bezładności całego układu zględem osi ζ jako pzy czym +, a pędkość kątoą jako k skąd otzymuje się zut kętu całego układu na oś ζ postaci W czasie uchu układu zasze ystępują opoy łożyskach i opoy poietza. Pzez zastosoanie osłony pokazanej na ysunku 5. opoy poietza są zminimalizoane. Moment zenętzny opoó poietza ynika boiem tylko z uchu podukładu PU z małą pędkością około 5 ob/min Wyznaczanie zależności pędkości kątoej funkcji pędkości zględnej i czasu t W chili początkoej oba podukłady PU i PU są spoczynku. Uuchomienie silnika chodzącego skład podukładu PU pooduje uch obotoy podukładu PU. Na układ na oba podukłady łącznie działa moment tacia, któego ekto ma kieunek osi ζ M k, 5. któy pooduje zmianę kętu układu zględem osi ζ. T M T Mateialy dydaktyczne Pzepoadzany ekspeyment można podzielić na da etapy. Etap I obejmuje okes od chili łączenia zasilania silnika do chili zatzymania się taczy-; chili początkoej etapu I t 0 pędkości kątoe obu tacz są óne zeu: t 0, 0, 0 0 t t 0 chili końcoej etapu I t t pędkości kątoe tacz są odpoiednio: t t, 0. max t t tt Wykozystując poyższe aunki zależnościach 5. i 5. dla doolnej chili etapu I otzymuje się + M TI t, 0 < t < t, 5.3 gdzie M TI oznacza stały moment sił tacia zględem osi ζ, pzyjęty dla etapu I. Etap II - obejmuje okes od chili zatzymania się taczy- i yłączenia zasilania silnika do chili pononego zatzymania się taczy-; chili początkoej etapu II t t pędkości kątoe inika i taczy mają atości: t t, 0, max t t tt chili, gdy inik zatzymuje się uchu zględnym tt : t t, 0 tt ateda Dynamiki Maszyn chili końcoej etapu II tt 3 pędkości kątoe inika i taczy są óne zeo: t t, t>t tt3 4

5 Wyznaczanie pędkości kątoych ciał na podstaie tiedzenia o pochodnej kętu Analogicznie jak etapie I, po ykozystaniu podanych aunkó zależnościach 5. i 5. dla doolnej chili etapu II otzymuje się: + M t M t t TI + TII, t t, 5.4 t3 pzy czym M jest stałym momentem sił tacia zględem osi ζ yznaczonym dla etapu II. TII Wzoy 5.3 i 5.4 pozalają na obliczenie pędkości kątoej dla każdej chili t, o ile znane są atości pędkości zględnej oaz momenty pochodzące od sił zenętznych momenty M TI i M TII yołane siłami tacia. Po łączeniu silnika pędkość kątoa inika szybko zasta, aż do osiągnięcia maksymalnej pędkości max. W tym czasie pędkość taczy- ośnie, a po ustaleniu się pędkości zaczyna maleć. Moment tacia M T I, pzeciny do będzie działał do chili zatzymania się taczy-. W tym momencie yłączane jest zasilanie silnika, a yniku tacia enętznego układu zacznie się hamoanie inika. Z tiedzenia o pochodnej kętu układu ynika, że tacza- ozpocznie uch pzeciną stonę. Moment tacia zmieni zot na pzeciny niż pieszym etapie uchu. Ten moment tacia M TII będzie działał do chili ostatecznego zatzymania się taczy- t t pis stanoiska badaczego gólny idok badanego układu jest pokazany na ys. 5.. Mateialy dydaktyczne Rys. 5.. Widok stanoiska badaczego Podukłady PU i PU są pzedstaione na ysunku 5.3 ateda Dynamiki Maszyn 5

6 Rys Podział na podukłady PU i PU Ćiczenie n 5 Podukład PU stanoi tacza- osadzona na pionoym ale i mogąca obacać się sobodnie okół osi ζ. Do taczy- jest zamocoany uchyt 3, któym znajduje się silnik elektyczny 4. słona 5 ykonana ze szkła oganicznego ziązana z podukładem PU pooduje, że opoy poietza działające na taczę- stają się siłami enętznymi układu. W skład dugiego podukładu PU chodzą inik 7 silnika oaz sztyno z nim połączona tacza- 8. Winik silnika i tacza- mogą obacać się uchem zględnym okół osi ζ oś łasna inika. Silnik 4 jest zasilany pądem stałym o napięciu V popzez szczotki i pieścienie 9. Pędkość obotoa taczy-, na obodzie, któej zostało yieconych 00 otoó, miezona jest za pomocą czujnika optycznego 0. Impulsy z czujnika są pzekazyane na da mieniki, któe umożliiają odczyt czasu /00 obotu taczy. eden mienik ejestuje atość początkoą, a dugi podaje odczyty co ~ 3 s. Pędkość obotoa zględem osi ζ taczy- o 60 otoach na obodzie miezona jest za pomocą czujnika optycznego 6. Impulsy z tego czujnika są pzekazyane pzez szczotki i pieścienie 9 do mienika obotó pis apaatuy pomiaoej ako mienik pędkości obotoej taczy- został zastosoany mienik częstotliości typ M-3T spółpacujący z czujnikiem optycznym 6 na ys.5.. Do pomiau pędkości obotoej taczy- są użyane da mieniki uniesalne typu Z-05 spółpacujące z czujnikiem optycznym 0. Pzystosoano je do pomiau czasu tania impulsó pochodzących od otoó Mateialy dydaktyczne yieconych pobliżu bzegu taczy. Pieszy mienik skazuje atość początkoą, dugi zaś chiloą. Watość początkoa podaana jest po każdoazoym pzyciśnięciu pzycisku P. Do zliczania czasu tania dośiadczenia zastosoano tzeci mienik Z-05. Pzyciśnięcie pzycisku P zeuje ten mienik, a otacie linii optycznej czujnika 0 pzez pieszy zbliżający się otó taczy- ozpoczyna zliczanie czasu. Sygnał z czujnika 0 po pzetozeniu podaany jest dodatkoo na ejestato XY, któy ykonuje ykes pędkości kątoej funkcji czasu. Należy spomnieć, że układ pomiau i ejestacji pędkości kątoej nie odóżnia kieunku obotó Pzebieg ćiczenia Pzepoadzane są da ekspeymenty. elem pieszego z nich jest yznaczenie momentó pochodzących od sił opou działających na układ M TI oaz M TII. Dugi ekspeyment polega na pomiaze pędkości kątoych obu tacz i czasu tania poszczególnych etapó uchu Wyznaczanie momentó opoó układu uchu obotoym. Włączyć: licznik uniesalny Z-05 do pomiau pędkości początkoej n 0 taczy-, licznik uniesalny Z-05 do pomiau czasu t, częstotliościomiez M-3B do pomiau pędkości n inika, zasilacz silnika. ateda Dynamiki Maszyn. Pzełącznik P ustaić pozycji. 6

7 Wyznaczanie pędkości kątoych ciał na podstaie tiedzenia o pochodnej kętu 3. Pokęcając potencjometem znajduje się na foncie stołu ustaić szybkość inika na około 600 ob/min. 4. Taczę- zakęcić leo kieunek zgodny z nalepioną stzałką taktoany będzie jako dodatni. 5. Nacisnąć i zolnić pzycisk P żółty białej obudoie. 6. Zanotoać odpoiednich kolumnach tabeli 5. skazania obydu licznikó Z-05. Uaga! Pomiay należy pzepoadzić pzy skazaniach mienika pędkości początkoej taczy mieszczących się zakesie od 5 ms do 30 ms. 7. Wykonać poyższy pomiay tzykotnie dla obotó taczy- leo, a następnie pao. 8. Pzełącznik P pzestaić pozycję 0. ieunek obotu taczy leo pao Założenie stałych momentó tacia Tabela 5.. Wyznaczanie momentu opoó Pędkość początkoa taczy Watość Nume zas uchu Moment skazanie pędkość śednia pomiau taczy opoó mienika Z-05 kątoa momentu i n 0 0 t M Ti M T -- ms ad/s s N mm N mm M pzy całkoaniu ónania 5. jest ónoażne z pzyjęciem stałego ujemnego pzyspieszenia kątoego. Stąd otzymuje się T i M T i 0i. 5.5 t Mateialy dydaktyczne Wyznaczanie pędkości ioania taczy- funkcji czasu i pędkości inika. Wyłączyć mienik pędkości początkoej n 0 taczy-.. Włączyć dodatkoo licznik uniesalny Z-05 do pomiau pędkości chiloej n taczy. 3. Pzygotoać tzy tabele pomocnicze ozcinając odpoiednio katkę, na któej są one ydukoane. 4. Spadzić, czy tacza oaz inik są nieuchome. 5. Nacisnąć i zolnić pzycisk P - spadzić, czy mienik czasu nie ozpoczął liczenia. eśli ozpoczął, to minimalnie obócić taczę- i pononie nacisnąć i zolnić pzycisk P. 6. Pzełącznik P ustaić położeniu. 7. o 0 sekund odczytyać skazania zapisując je tabelach pomocniczych: mienika pędkości taczy, mienika pędkości inika. W chilę po zatzymaniu się taczy- pzełącznik P pzestaić położenie 0 i dalej poadzić odczyty mienikó, aż do pononego zatzymania się taczy. 8. W takcie pomiaó należy obseoać badany układ; zapamiętać kieunki obacania się taczy i inika poszczególnych fazach uchu oaz zanotoać jednej z tabeli pomocniczych: ateda Dynamiki Maszyn czas t jaki upłynął od początku uchu do chili zatzymania się taczy, czas t do zatzymania się inika jego uchu zględnym, 0i 7

8 czas t 3 do pononego zatzymania się taczy. Ćiczenie n 5 9. Włożyć papie do ejestatoa XY, łączyć go i pzepoadzić opisane poyżej czynności od 3 do 8 pononie. 0. Wyłączyć ejestato XY, yjąć papie z naysoanym ykesem.. Wyłączyć szystkie mieniki oaz zasilacz silnika. Po zakończeniu ekspeymentu posimy nie zapomnieć o upoządkoaniu stanoiska Tabele pomocnicze zas Wskazania mienika Z-05 Wskazania mienika M-3T zas pędkości taczy pędkości inika t n t n s ms s ob/min Pomia Pomia Pomia 3 Pomia Pomia Pomia Wskazania mienika Z-05 zas czasu uchu taczy t, t 3 i inika t s Pomia Pomia Pomia 3 t t t pacoanie ynikó pomiaó i spaozdanie Mateialy dydaktyczne bliczenia pomocnicze Po zakończeniu pomiaó należy pzepisać do tabeli 5. yniki zebane tabelach pomocniczych z tej seii pomiaó, kiedy ykonyany był ykes na ejestatoze. Następnie poadzić dane do pogamu komputeoego, a uzyskane yniki zapisać odpoiednich ubykach tabeli 5. i 5. oaz ydukoać bądź naszkicoać ykes obazujący zależność pędkości kątoej taczy- od czasu. Należy także opacoać ykes uzyskany z ejestatoa XY nanosząc i opisując osie spółzędnych oaz yóżnić każdy z tzech etapó uchu i zaznaczyć czasy t, t, t 3. Skala osi X czas ejestatoa ynosi 5,0 s / cm, natomiast skala osi Y szybkość ioania taczy ynosi 0,30 ad / s / cm. Poszę ónież naysoać na uzyskanym ykesie padopodobną kzyą obazującą zmianę szybkości inika funkcji czasu. Dane liczboe są następujące: ζ 7, kg m - moment bezładności podukładu PU zględem osi ζ, ζ 0, kg m - moment bezładności podukładu PU zględem osi ζ, ζ 0, kg m - moment bezładności podukładu PU zględem osi ζ, ζ 8, 0 - kg m - moment bezładności całego układu łącznie z osłoną, e,5 mm - odległość między osiami ζ i ζ. Wymiay osłony ze szkła oganicznego: śednica 300 mm, ysokość 0 mm, gubość ścianki 5,0 mm. Gęstość mateiału: 600 kg/m 3. ateda Dynamiki Maszyn 8

9 Wyznaczanie pędkości kątoych ciał na podstaie tiedzenia o pochodnej kętu Etap uchu zasy odczytu Tabela 5.. Pędkość taczy zależności od pędkości inika i czasu zasy uchu taczy oaz inika Wskazanie mienikó pędkości Pędkości kątoe ekspeymentalne Pędkość teoetyczna taczy zas teoetyczny ostatecznego zatzymania się taczy inika taczy inika taczy t t, t, t 3 n n t 3 s s ob/min m s ad/s ad/s ad/s s Spaozdanie Spaozdanie, któe należy spoządzić sposób staanny i oddać na zakończenie zajęć ma zaieać: a temat i cel ćiczenia, b ypełnione tabele5. oaz 5., c ykesy uzyskane z obliczeń komputeoych i z ejestatoa XY, d obseacje i nioski Pytania spadzające. Podać sfomułoanie tiedzenia o pochodnej kętu układu mateialnego.. Składanie uchó obotoych ciała sztynego zględem osi ónoległych. 3. o to jest masoy moment deiacyjny odśodkoy; jakich pzypadkach jest on óny zeo? 4. o oznaczają poszczególne symbole e zoze mv +? Mateialy dydaktyczne ateda Dynamiki Maszyn 9