Przykład.9. Wyznaczanie obciąŝenia granicznego metodą kinematyczną Anaizując równowagę układu w stanie granicznym wyznaczyć obciąŝenie graniczne da zadanych wartości przekrojów prętów A [m ] i napręŝeń pastycznych σ p [N/m ]. P gr A,σ p A,σ p A,σ p A,σ p Rozwiązanie Otrzymany po uwonieniu od więzów układ sił przedstawia poniŝszy rysunek P S S S 3 S 4 Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczany, co da powstania mechanizmu o jednym stopniu swobody oznacza konieczność upastycznienia dwóch prętów. Jest 6 moŝiwości wyboru dwu spośród czterech prętów (jest to iość kombinacji -eementowych bez powtórzeń ze zbior-eementowego). Da ułatwienia moŝemy te przypadki zapisać w tabece: pręt pręt pręt 3 pręt 4 I * * II * * III * * IV * * V * * VI * * RozwaŜymy koejne schematy zniszczenia. W kaŝdym schemacie ustaimy rodzaj mechanizmu, jaki powstał po upastycznieniu prętów, kierunki wywołanych obciąŝeniem przemieszczeń i wynikające z tego zwroty sił (siła skierowana jest przeciwnie do przemieszczenia końca pręta).
I schemat zniszczenia upastycznienie prętów i P I gr S p u= S p u Jedyny dopuszczany ruch wynika z obrotrętów 3 i 4 wokół ich punktów podparcia. Powoduje to przesunięcie równoegłe tarczy w wektor u. Zapisujemy zasadę pracy wirtuanej I Pgr u Sp u Spu i po podstawieniu nośności prętów S p = A σ p, S p = A σ p obiczamy, Ŝe da u 0 ( + ) p.44 p I P gr = =. II schemat zniszczenia upastycznienie prętów i 3 x / / P II gr u S p S 3p u 3 y u x 3/ / K u u y K / K - środek obrotu / 3/ W powstałym mechanizmie tarcza obraca się wokół chwiowego środka obrotu w punkcie K. Równanie pracy wirtuanej II Pgr upy Sp uy S3pu3 po podstawieniu zaeŝności S p = A σ p, S 3p = A σ p 3 upy = uy = u3 = sprowadza się do równania II 3 Pgr p p,
z którego obiczamy da 0 + II 3 P gr = p =.66 III schemat zniszczenia upastycznienie prętów i 4 p P III gr u S p K 3 - środek obrotu S 4p Kinematycznie dopuszczany obrót powoduje ściskanie pręta 4. Zatem upastycznienie tego pręta nastąpi na skutek ściskania (na rysunku zaznaczono to da zwrócenia uwagi koorem czerwonym). Zasada pracy wirtuanej III Pgr up Sp u S4pu4 po podstawieniu zaeŝności S p = A σ p, S 4p = A σ p up = u = u4 = daje równanie III Pgr Sp S4p, z którego obiczamy graniczne obciąŝenie da tego schematu III P gr = + p.84 p. 4 IV schemat zniszczenia upastycznienie prętów i 4 P IV gr S p u S 4p K 4 - środek obrotu 3
Równanie pracy sił na wirtuanych przemieszczeniach ma postać IV Pgr Spu S4pu 4, która po podstawieniu S p = A σ p, S 4p = A σ p up = u = u4 = pozwaa obiczyć obciąŝenie graniczne IV 3 P gr = p =. p. V schemat zniszczenia upastycznienie prętów i 3 u = P V gr S p S 3p u u y = u x = K - środek obrotu K 4 Po ustaeniu dopuszczanych przemieszczeń zapisujemy równanie pracy wirtuanej V Pgr Sp u x + u y S3p u x u y, które po podstawieniu związków S p = A σ p, S 3p = A σ p up = u = u x = u = u y = u = daje równanie V Pgr p + p, z którego wynika, Ŝe V P gr = p = 3.36 VI schemat zniszczenia upastycznienie prętów 3 i 4 p 4
K 6 - środek obrotu P VI gr S 3p K 6 v u 3 = S 4p y = x = Zasada pracy wirtuanej VI Pgr up S3pu3 S4p u4x + u4y po podstawieniu S 3p = A σ p, S 4p = A σ p up = u3 = u4 = przyjmuje postać VI Pgr p p +. Wartość obciąŝenia granicznego wynosi zatem VI 7 P gr = p = 4.90 p Po rozpatrzeniu wszystkich moŝiwych mechanizmów o stopniu swobody moŝemy okreśić nośność graniczną układu. ObciąŜenie graniczne da rozwaŝanego układu to wartość najmniejsza z uzyskanych da koejnych moŝiwych schematów zniszczenia P gr = min(p I gr, P II gr, P III gr, P IV gr, P V gr, P VI gr ) = P III gr.84 p. Oznacza to jednocześnie, Ŝe zniszczenia układu nastąpi wg III anaizowanego mechanizmu. Uwaga Przedstawione pełne rozwiązanie zadania metodą kinematyczną miało na ceokazanie agorytmu tej metody. Rozwiązanie zadania okazało się dość Ŝmudne, z uwagi na duŝą iczbę moŝiwych mechanizmów zniszczenia. Drogę do ceu znacznie skróciłoby sprawdzanie warunkastyczności da prętów nieupastycznionych po kaŝdym wyznaczeniu wartości P gr. co w tym zadaniozwoiłoby zakończyć zadanie juŝ po anaizie III schematu zniszczenia.