POLITECHNIKA POZNAŃSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI PROJEKT NR 1 METODA PRZEMIESZCZEŃ Jakub Kałużny Ryszard Klauza Grupa B3 Semestr IV Rok Akademicki 2013/2014
Dla układu należy: 1. Przyjąć przekroje i z profili dwuteowych (IN,IPE,HEB,HEA); 2. Korzystając z metody przemieszczeń obliczyć siły przekrojowe (M,N,T) od zadanego obciążenia oraz wykonać kontrolę kinematyczną i kontrolę statyczną; 3. Sprawdzić naprężenia w obu grupach przekrojów i, porównując je z wartościami dopuszczalnymi naprężeń (215MPa) i sformułować wnioski; UWAGA!!!!!: Przekrojów nie należy zmieniać. 17kN/m 32kNm 15kN 21kN 40kN 3,5 3,5 2,5 2,5 1,6 2,4 [cm]
1. Przyjęcie przekrojów oraz. Przekrój to profil dwuteowy HEB220 Przekrój to profil dwuteowy IPE260. =8061cm 4 =5790cm 4 E=205 GPa EI=E E =1,39222798E E =205x10 6 x8061x10-8 =16525,05kNm 2 E =205x10 6 x5790x10-8 =11869,5kNm 2 2. 2.1 Wyznaczenie SGN: φ 1 φ 2 Δ 3 SGN = Σφ + ΣΔ SGN = 2 + 1 = 3 2.2 Układ podstawowy (UP) metody przemieszczeń. 17kN/m 32kNm 15kN 21kN 40kN 3,5 3,5 2,5 2,5 1,6 2,4 [cm]
2.3 Układ równań kanonicznych metody przemieszczeń: r 11 φ 1 +r 12 φ 2 +r 12 Δ 3 +r 1P =0 r 21 φ 1 +r 22 φ 2 +r 23 Δ 3 +r 2P =0 r 31 φ 1 +r 23 φ 2 +r 33 Δ 3 +r 3P =0 2.4. Łańcuch kinematyczny zadanej ramy do wyznaczenia Ψ ik : Δ 3 =1,0 0 1 2 3 4 5 pionowo 014: 0 + Ψ 01 x 3,50 + Ψ 41 x 0 = 0 ψ 01 =0,00 poziomo 523 0 + Ψ 25 x 3,50 + Ψ 32 x 0 = 1,00 ψ 25 = 1,00 3,50 = 2 7 pionowo 0125 0 + 0 x 3,50 + Ψ 12 x 5 + Ψ 25 x 1,60 = 0 ψ 12 = 1,60 5,00 ψ 25= 8 25 ( 2 7 )= 16 175 pionowo 0123 0 + 0 x 3,50 + Ψ 12 x 5 + Ψ 23 x 4,00 = 0 ψ 23 = 5,00 4,00 ψ = 5,00 ( 16,0) 12 = 4 175 4 35 poziomo 4123 0 + Ψ 14 x 3,50 + Ψ 12 x 0 + Ψ 23 x 0 = 1,00 ψ 14 = 1,00 3,50 = 2 7 SPRAWDZENIE pionowo 523 0 + Ψ 25 x 1,60 + Ψ 32 x 4 = 0 ψ 32 = 1,60 4,00 ψ 25= 2 5 ψ 25= 4 35
2.5 Stan φ 1 =1,0 1,193338268 EI φ 1 =1,0 0,835336787 EI 0 1 2 3 1,14285714 EI 0,57142857 EI 4 5 2.6 Stan φ 2 =1,0 L=3,84837628 długość pręta ukośnego φ 2 =1,0 0 1 2 3 1,04417098 EI 1,03939940 EI 4 5 2.7 Stan Δ 3 (u 3 )=1,0 0,51969970 EI 0,07637365 EI 0,119333827 EI Δ 3 =1,0 0 1 2 3 0,48979592 EI 0,44545689 EI 0,48979592 EI 4 5 0,44545689 EI
2.8 Stan P φ 1 φ 2 17kN/m 32kNm 15kN Δ 3 21kN 40kN 3,5 3,5 2,5 2,5 1,6 2,4 α 1. 2.8 a) Pręt ukośny: L=3,84837628 długość pręta ukośnego cosα= 1,60 3,50 =0,41575976 sin α= 3,8483763 3,8483763 =0,90947447 q p =q cosα=7,06791592 kn m q r =q sin α=15,46106599 kn m 2 2 5 5
2.8 b) Moment na pręcie ukośnym 25: 2 q p L 25 = 8,722986231 knm 8,722986231 knm 12 2 5 4,361493116 knm 3,8483763m 2.8 c) Moment na pręcie 12: 3 16 P L 25 = 14,0625kNm 1 2 11,71875 knm 5,00m φ 1 φ 2 0 32kNm 15kN A 2 3 1 B 40kN 14,0625kNm C 8,722986317kNm 27,2kN = 17 3,8483763 Δ 3 21kN 3,5 5 4 8,722986317kNm 3,5 2,5 2,5 1,6 2,4
Założono przemieszczenia pod siłami skupionymi zgodnie ze zwrotami sił; praca sił na tak przyjętych przemieszczeniach w równaniu pracy wirtualnej będzie dodatni. Przemieszczenia wyznaczamy z równania łańcucha kinematycznego. pionowo 01B 0 + 5 ( 16 175 )= δ B - pod siłą 40kN δ B = 16 35 pionowo 5C 0 + 4 5 ( 2 7 )=δ C - pod siłą wypadkową na pręcie ukośnym δ C = 8 35 pionowo 01A 0 + 2,5 ( 16 175 )=δ A - pod siłą 15kN δ B = 8 35 2.9 Wyznaczenie macierzy sztywności i wektora kolumnowego od sił zewnętrznych: r 11 = 0,835336787EI + 1,14285714EI + 1,193338268EI = 3,171532195EI r 12 = 0 r 13 =0,07637365EI + (- 0,48979592EI) = -0,41342223EI r 21 = 0 r 22 = 1,04417099EI + 1,03939940EI = 2,08357038EI r 23 = -0,119333827EI + (-0,44545683EI) = -0,5647907EI r 31 x 1 + 0,835336787EI x ( r 31 = -0,41342225EI r 32 x 1 + 1,04417098EI x r 32 = -0,5647907EI r 33 x 1 + (-2 x 0,48979592EI) x 16 175 ) + (1,14285714EI + 0,571428957EI) x 2 7 =0 4 35 + (0,5196997EI + 1,03939940EI) x 2 7 = 0 2 7 + 0,07637365EI x ( 16 175 ) + ( 2 x -0,44545689) x 2 + (-0,119333827EI) x 0,114285714 = 0 7 r 33 = 0,5550510625EI
r 2P r 1P 32kNm 14,0625kNm 8,72298632kNm r 1P = -32-14,0625 = -46,0625kNm r 2P = -8,72298632kNm r 3P 1+21 ( 1) 14,0625 ( 16 175 )+(8,72298 8,72298) ( 2 7 )+40 δ B+15 δ A +27,2 δ C =0 r 3P 1+21 ( 1) 14,0625 ( 16 175 )+(8,72298 8,72298) ( 2 7 )+40 16 8 8 +15 +27,2 35 35 35 =0 r 3P = 21-9 7-24 7-128 7 + 6,217142857 = -1,360000kNm [ 3,171532195 0 0,4134223 0 2,08357039 0,56479072 0,4134224 0,56479071 0,5550510625] EI [ ϕ1 ϕ 2 ] [ 0 0] = 0 1,360000 8,7729863 Δ 3] + [ 46,0625 2.10 Rzeczywiste wartości obrotów węzłów oraz przemieszczenia poziomego: φ 1 = 18,17244177/EI = 0,000153101999 rad φ 2 = 11,7975996/EI = 0,0009939727837 rad Δ 3 = 27,99071203/EI = 0,002358204813 m
2.11 Wyznaczenie momentów: M n ik =M (1) ik ϕ 1 +M (2) ik ϕ 2 +M (3) (P ) ik Δ 3 +M ik M 01 = OkNm M 10 = 1,193338268EI x 18,17244177/EI = 21,68587kNm M 12 = 0835336789EI x 18,17244177/EI + 0,07637365EI x 27,99071203/EI 14,0625 M 12 = 3,2553609kNm M 21 = OkNm M 23 = 1,044170985EI x 11,7975996/EI 0,119333827EI x 27,99071203/EI M 23 = 8,9784724kNm M 32 = OkNm M 14 = 1,14285714EI x 18,17244177/EI -0,48979592EI x 27,99071203/EI M 14 = 7,05876811kNm M 41 = 0,571428957EI x 18,17244177/EI -0,48979592EI x 27,99071203/EI M 41 = 3,32548kNm M 25 =-0,445456886EI x27,99071203/ei + 1,03939940EI x11,7975996/ei -8,7229632 M 25 =-8,9292001kNm M 52 = -0,445456886EI x27,99071203/ei + 0,5196997EI x11,7975996/ei + 8,722632 M 52 = 2,385517kNm SPR węzła 1: 32kNm 3,258995kNm 1 21,68600kNm 7,058767kNm ΣM w1 = 32-21,68600 7,05876811 3,258995 = 0,000376kNm = OkNm
SPRAWDZDENIE KINEMATYCZNE: wykres momentów 0 1 21,68587 2 8,9789 7,058768 3,2589 20,3201k 8,9784 3,32548 7,65013 4 n M 5 P [knm] 2,35301 3.5 0 1 2 3.5 1.0 3.5 0 4 M P 5 SPRAWDZENIE KINEMATYCZNE 1 v 0 = M n p M EI ds v 0 = (1/3,84837628 EI) x (0,5 x 3,5 x 0,6666667 x 3,5 x 21,68587) + (1/EI) x (3,5 x 3,5 x 0,5 x (7,058768 + 3,332548) = 0,0007259/EI v 0 < 1/EI
WYZNACZENIE TNĄCYCH I NORMALNYCH: 1. TNĄCE: *pręt 25 q p =7,06791592 kn m 8,9789kNm 17,0 kn m 8,9789kNm q r =15,46106599 kn m N 25 N 25 2 2 T 25 T 25 2,35301kNm α α 5 5 N 52 T 52 T 52 N 52 2,35301kNm ΣM 2 = -8,92885 +2,35331+ T 52 x 3,8483763 + 7,0679159 x 3,848376 2 x 0,5 = 0 T 52 = -11,8996 kn ΣM 1 = -8,92885 +2,35331 + T 52 x 3,8483763-7,0679159 x 3,848376 2 x 0,5 = 0 T 25 = 15,30865 kn Wyznaczenie wartości ekstremalnego momentu zginającego pod obciążeniem: ΣY = T 52 + T 7,067916 X -----> X = 1,6836m M EXT = -2,35301 -T 53 X + 7,067916 X 2 x 0,5 = 7,65013 knm
*pręt 23 8,92895kNm 2 3 ΣM 2 = 8,97837 + T3 2 x 4= 0 T 25 =T 52 = -2,24459 kn T 23 T 32 *pręt 01 21,68587kNm 0 1 T 01 T 10 ΣM 1 =21,68587 + T 01 x 4= 0 T 10 = T 10 = -6,19596 kn *pręt 12 15,0kNm 1 2 3,25536kNm T 12 T 21 ΣM 2 =3,25536 + T 12 x 5 15 x 2,5= 0 T 12 = 6,848928kN ΣM 1 = 3,25536 + T 21 x 5 + 15 x 2,5= 0 T 21 = -8,151072kN Wyznaczenie wartości momentu pod siłą skupioną: ΣM A = T 12 x 2,5 + M 12 = 6,848928 x 2,5 + 3,25536 = 20,3201kNm
*pręt 14 7,05817kNm 1 T 14 4 T 41 3,25536kNm ΣM 4 =-3,25536 +7,058168 + T 12 x 5 15 x 2,5= 0 T 14 =T 41 = - 1,0867kN 2.NORMALNE *podpora 0 N 01 0 N 01 = 0,0kN *węzeł 1 6,196kN 6,8689kN 0,0kN 1 N 12 1,0867kN N 14
ΣX=N 12-1,0867 = 0 N 12 = 1,0867kN ΣY= -N 12 6,196-6,8689= 0 N 14 = -13,0499kN *węzeł 2 8,15107kN 21,0kN 1,08668kN 2 2,24459kN 40,0kN 15,30865kN ΣX= -1,08668 21,0-15,30865 x sin(a) + N 25 x cos(a) = 0 N 25 = 74,045kN Wyznaczenie N 25 z równowagi pręta 2-5 ΣY= -8,15107 +2,24459 + 40,0 + 15,30865 x cos(a) 74,045 x sin(a) = 0,00015 = 0 N 25 Wyznaczenie reakcji *podpora 4 13,0499kN 1,08668kN 4 T 4 N 4 3,32548kNm
ΣX= -1,08668 + T 4 = 0 T 4 =1,08668 kn ΣY= -13,0499 + N 4 = 0 N 4 = 13,0499kN Projekt nr I METODA PRZEMIESZCZEŃ *podpora 5 14,545kN 11,89135kN 2,35301kN α 5 19,913kN 6,898125kN 2,35301kN ΣX= -14,545 x cos (a) 11,89135 x sin(a) + 19,913 = 0,000032 = 0 ΣY= 14,545 x sin(α) + 11,89135 x cos(α) 6,898125 = -0,000067 = 0 *podpora 3 2,24459kN 3 N 32 21kN N 32 = -21,0kN 2,24459kN
*wykres sił tnących: 6,1959 6,84893 0 1 2 2,24459 8,151072-1,0869 15,30865 4 T [kn] 11,89135 *wykres sił normalnych: 21,0 0,0 0 1 1,0869 2 13,0649 74,045 4 5 N [kn] 14,545
*reakcje rzeczywiste w podporach oraz sprawdzenie statyczne: 17kN/m 32kNm 15kN 21kN 40kN 6,1959kN 2,24459kN 1,0867kN 3,32548kNm 19,913kN 2,35301kNm [cm] 13,0449kN 6,898125kN ΣX= -21,0 + 19,913 + 1,0867= -0,0003 0,0kN ΣY= -15,0 + 40,0 17,0 x 1,6 6,19596 + 13,0499-6,89813 + 2,24459 = 0,000405 0,0kN ΣM 2 = 19,913 x 3,5 +2,24459 x 4,0 +2,35301-6,898125 x 1,6-17 x 1,6 x 0,8-15 x 2,5 + 32-6,1959 x 8,5-3,32548 + 13,0499-1,0867 x 3,5 = 0,0025 0,0kNm 3.0 Sprawdzenie naprężeń normalnych wywołanych momentami zginającymi: dla prętów o σ MAX = M max W σ =215MPa dop σ 1 = 2168,57 =84,1MPa<σ 258 dop =215MPa dla prętów o σ 2 = 898,97 441 =20,4 MPa<σ dop=215mpa Wnioski: Przekroje spełniają warunek wytrzymałościowy. Ze względu na niskie wykorzystanie przekrojów można by je zmniejszyć. Zmiana przekrojów oznacza zmianę współczynnika n=, należało by zatem przeprowadzić obliczenia ponownie; wyznaczyć ponownie rozkład momentów zginających M p n i ponownie sprawdzić naprężenia dla obydwu grup prętów: i.