Saysycze aspey emisji, propagacji i deecji promieiowaia jądrowego Rysue 5. przedsawia iedawe wyii esperymeu ATLAS w laboraorium CERN poazujące rozład zw. masy iezmieiczej (m γγ ) dwóch fooów. Puy uładają się dość regularie z iewielim loalym masimum w obszarze mas ooło 5 GeV. Do zależości ej dopasoway zosał wielomia czwarego sopia. W dolej części rysuu poazay jes rozład, w órym od puów pomiarowych zosały odjęe warości dopasowaego wielomiau. Loale masimum sało się lepiej widocze, a poazaa liią ciągłą rzywa opisuje jego szał. Zazaczoe przy puach pomiarowych odcii pioowe poazują iepewości położeia ych puów. Rys. 5.. Rozład masy iezmieiczej (m γγ ) par fooów zarejesrowaych w esperymecie ATLAS przy Wielim Zderzaczu hadroów, LHC, w laboraorium CERN [4] Uzysaie ego wyresu wymagało dwóch la pomiarów (0 i 0) jedego z ajwięszych w świecie esperymeów fizyczych, ATLAS oraz zbudowaia ajwięszego w świecie aceleraora-zderzacza, LHC. W rezulacie swierdzoo isieie poszuiwaej od la cząsi, zw. bozou Higgsa, a Peer Higgs, óry pół wieu emu posulował jej isieie orzymał w 03 rou agrodę Nobla. Dlaczego uzysaie ego wyresu wymagało budowy a ogromej aparaury? Dlaczego pomiary musiały rwać a długo? Czy było o oiecze? Ta było oiecze. Wszysiemu wiie jes saysyczy charaer procesów będących przedmioem aszych badań - od rozpadów jąder aomowych, po producję bozou Higgsa.
Jądro promieiowórcze ma w ażdej chwili czasu dwie możliwości, albo rozpaść się, albo ie. Syuacja jes aa sama ja w rzucie moeą: albo wypadie orzeł, albo resza. Kiedy mamy wiele jąder saowiących źródło promieiowórcze, o a, jabyśmy rzucali całą garść moe i parzyli ile z ich upadło orłem do góry. Proces ai azywamy biarym i opisujemy go rozładem dwumiaowym P d (;, p), gdzie P jes prawdopodobieńswem uzysaia sucesów przy wyoaych próbach, iedy prawdopodobieńswo sucesu w pojedyczej próbie wyosi p. W aszym przypadu, P jes prawdopodobieńswem rozpadu jąder w źródle sładającym się z jąder, iedy prawdopodobieńswo rozpadu pojedyczego jądra wyosi p. Dla rzucaia moe jes o prawdopodobieńswo upadięcia moe orłem do góry, jeśli rzucamy moe, a prawdopodobieńswo upadięcia orłem do góry pojedyczej moey wyosi p. Aalogia ie jes jeda peła, bo jeśli jądro w daej chwili się rozpadło, o już w asępej wypada z gry. Prowadzi o do auralego pyaia, jai jes sosue liczby jąder, óre się rozpadają w daej chwili do wszysich jąder w źródle. Naychmias asuwa się uwaga o zależy ja dużą chwilę rozparujemy i jaie jes prawdopodobieńswo p rozpadu w ej chwili pojedyczego jądra. Jeśli chwila jes a róa, że bardzo mała część jąder się w iej rozpada w sosuu do wszysich jąder w źródle, o możemy uzać, że aalogia jes zachowaa. Jeśli chwila jes porówywala z czasem połowiczego rozpadu, o oczywiście - ie. Mając o a uwadze przyjmijmy, że aalogia jes zachowaa, czyli, że w rozparywaych przez as chwilach liczba jąder rozpadających się jes a mała, że ie zmieia o isoie liczby jąder w źródle. (Pamięając, że liczba jąder w realych źródłach jes jedyie ila rzędów wielości miejsza od liczby Avogadra (o. 6,0 0 3 mol - ), a liczba mierzoych rozpadów w realych przedziałach czasu iech będzie rzędu milioa, czyli 0 6, o i a saowi o miej iż jeda milioowa, milioowej części jąder w źródle.) 5.. Relacje pomiędzy rozładami: dwumiaowym, Poissoa i Gaussa Przypomijmy szał rozładu dwumiaowego: Pd p! ( ;, ) p ( p!( )! ) (5..) gdzie wyrażeie ułamowe po prawej sroie jes zw. czyiiem Newoa wyrażającym liczbę ombiacji -elemeowych w zbiorze o elemeach. Pozosałe symbole zosały już zdefiiowae. Wielości oraz p są paramerami ego rozładu; rozład jes więc dwuparameryczy. Pierwsze dwa momey ego rozładu: warość oczeiwaa i wariacja, czyli wadra odchyleia sadardowego wyoszą: < > p; σ p ( p) (5..)
Zmiaę szału rozładu dwumiaowego wraz ze zmiaą warości jego paramerów, moża prześledzić z pomocą ieraywej apliacji, órą ilusruje rysue poiżej. (Dla uruchomieia apliacji ależy po wciśięciu lawisza crl liąć w polu ilusracji.) Wpisując w zieloe pola liczby rówe wybraym warości paramerów możemy zobaczyć szały czerech rozładów w posaci liczbowej i graficzej. Rys.. Przyładowy wygląd erau apliacji dwumia.xls. Rozłady dwumiaowe dla wpisaych w zieloych polach warości paramerów poazae są w posaci liczbowej i graficzej Waro zwrócić uwagę a charaerysycze cechy rozładów dwumiaowych dla różych warości paramerów:. Dla p0,5 (a eraie ozaczoej jao ppi) rozłady mają posać symeryczą względem warości oczeiwaej.. Warości prawdopodobieńswa oreśloe są ylo dla miejszego lub rówego (diagosya liczba dla warości więszych 3. W przypadu, iedy warość p ie jes rówa 0,5, rozład jes iesymeryczy i ma więszą wariację iż rozład o ej samej warości oczeiwaej, ale o p0,5 (przyłady dla: 0, p0,5 i 40, p05). Kiedy mamy syuację aą, że prawdopodobieńswo p zmierza do zera, a liczba prób do iesończoości ale a, że ich iloczy ma sończoą warość, a więc możemy apisać, że p λ, (5..3)
o rozład dwumiaowy zbiega do rozładu posaci P p λ ( ; λ) e! λ (5..4) gdzie λ jes paramerem (jedyym) ego rozładu. Rozład e osi azwę rozładu Poissoa. Zwróćmy uwagę, że właśie aą syuację mamy w przypadu ypowego źródła promieiowórczego, iedy liczba jąder w źródle,, jes o wiele rzędów wielości więsza od liczby jąder,, rozpadających się w realie mierzoym przedziale czasu. Prawdopodobieńswo rozpadu pojedyczego jądra, p, jes w ym przedziale czasu bardzo małe, więc założeia doyczące rozładu Piossoa są bardzo dobrze spełioe. Warość oczeiwaa i wariacja dla rozładu Poissoa wyoszą λ (5..5) < > ; σ λ czyli σ < > Rówość warości oczeiwaej i wariacji jes iezwyle ważą cechą charaerysyczą rozładu Poissoa. Wyia z ego, że odchyleie sadardowe rówe jes pierwiasowi wadraowemu z warości oczeiwaej, a sosue ych wielości jes odwroie proporcjoaly do pierwiasa z warości oczeiwaej, a więc maleje ze wzrosem ej warości. Związe e ma bardzo duże zaczeie praycze. σ σ λ; λ λ (5..6) Rozład Poissoa może być zapisay rówież w posaci P ( ; < p > ) ( < > ) < >! e (5..7) przy czym pamięajmy, że warość oczeiwaa ego rozładu <> może być liczbą rzeczywisą, aomias warości zmieej losowej zarówo dla rozładu dwumiaowego, ja i dla rozładu Poissoa mogą być ylo liczbami auralych z włączeiem zera. Zauważmy eż, że dla rozładu Poissoa spełioa są zależość: Pp ( ; < > ) Pp ( ) < > (5..8) Wyia z ego, że dla < > P ( ; < > ) P ( ; < > ) p p (5..9) Czyli prawdopodobieńswa uzysaia warości rówej warości średiej jes aie samo ja uzysaia warości o jede miejszej.
Ewolucję szału rozładu Poissoa wraz ze zmiaą jego warości oczeiwaej, moża prześledzić z pomocą ieraywej apliacji, órej przyładowy era ilusruje Rys.. (Dla uruchomieia apliacji ależy po wciśięciu lawisza crl liąć w polu ilusracji.) Wpisując w zieloe pola liczby rówe wybraej warości oczeiwaej możemy zobaczyć szały pięciu rozładów w posaci liczbowej i graficzej. Dla zwróceia uwagi a podaą wyżej zależość warości liczbowe prawdopodobieńswa dla rówego warości oczeiwaej oraz o jede miejszej, zosały ozaczoe czerwoymi obwódami. Nierudo zauważyć, że wraz ze wzrosem parameru lambda rozład saje się coraz bardziej symeryczy. Rys.. Przyładowy wygląd erau apliacji Poisso.xls. Rozłady Poissoa dla wpisaych w zieloych polach warości oczeiwaych, poazae są w posaci liczbowej i graficzej Kiedy rośie warość przecięa w rozładzie Poissoa i szał rozładu saje się coraz bardziej symeryczy, wedy rozład e moża z dobrym przybliżeiem opisać rozładem ormalym (Gaussa). Rozład e oreśloy jes dla zmieej losowej ciągłej x, przyjmującej warości rzeczywise. Rozład ormaly jes rozładem dwuparameryczym, a gęsość prawdopodobieńswa ego rozładu oreśloa jes zależością f ( x a) ( x; a, σ ) e σ σ π (5..0) Paramerami ego rozładu są: warość oczeiwaa a, i odchyleie sadardowe σ. Jeżeli jeda rozład ormaly ma przybliżać omawiae u rozłady: dwumiaowy i Poissoa o
jego paramery powiy spełić warui oreśloe dla paramerów ych rozładów i ich wzajeme relacje. Kszał rozładu gęsości prawdopodobieńswa f(x) oraz dysrybuay F(x) dla zadaych warości paramerów rozładu Gaussa, moża zobaczyć w posaci liczbowej i graficzej z pomocą ieraywej apliacji, órej przyładowy era ilusruje Rys.3. (Dla uruchomieia apliacji ależy, podobie ja w poprzedich przypadach, po wciśięciu lawisza crl liąć w polu ilusracji.) Rys. 3. Przyładowy wygląd erau apliacji Gauss.xls. Rozład gęsości prawdopodobieńswa i dysrybuay dla wybraych warości paramerów. Waro zwrócić uwagę a ila charaerysyczych cech ego rozładu.. Rozład ma szał symeryczy względem warości oczeiwaej, dla órej gęsość prawdopodobieńswa przyjmuje warość masymalą.. Prawdopodobieńswo, wyzaczoe jao cała z gęsości prawdopodobieńswa w przedziale o zadaych graicach, wyosi dla obszaru oreśloego przez graice rówe jedemu odchyleiu sadardowemu względem warości oczeiwaej, czyli a+ σ a σ f ( x; a, σ ) dx 0.687 (5..) 3. Aalogiczie wyzaczoe prawdopodobieńswa dla obszaru w graicach dwóch i rzech odchyleń sadardowych wyoszą, z doładością do czerech miejsc po ropce, odpowiedio: 0.9545, 0.9973.
4. Nieiedy ieresuje a wielość obszaru woół warości oczeiwaej obejmujący zadaą część (p. połowę) pola pod rzywą. Dla przyładu, w przypadu połowy pola mamy, a+ 0.6745σ a 0.6745σ f ( x; a, σ ) dx 0.5 (5..) 5. W ieórych aalizach waża jes zajomość wielości obszaru woół warości oczeiwaej w órym gęsość prawdopodobieńsw jes więsza od 0.5. oreślaa jao szeroość rozładu w połowie masimum. (w ermiologii agielsiej zwaa FWHM, Full Widh a Half Maximum ), FWHM l σ. 3548 σ (5..3) Przeaalizujmy doładiej relacje pomiędzy szałami omawiaych u rozładów dla wybraych, reprezeaywych warości paramerów. Rozłady e poazae są a Rys.4. Rys.4 Rozłady: dwumiaowy, Poissoa, Gaussa, dla wybraych warości paramerów. W przypadu, iedy paramery rozładu dwumiaowego wyoszą 0, p 0.5 czyli p 0 (5..4) o warość oczeiwaa ego rozładu rówa jes aalogiczej warości dla rozładu Poissoa, ale szały obu rozładów bardzo się różią.
. Kiedy jeda 0, p 0.05 czyli p (5..5) szały obu rozładów sają się podobe, co jes rezulaem lepszego spełieia waruu doyczącego małej warości prawdopodobieńswa sucesu w rozładzie dwumiaowym i rozład e swym szałem zbliża się do rozładu Poissoa. 3. Przy paramerów oreśloych warościami (4) rozład ormaly bardzo dobrze odzwierciedla szał rozładu dwumiaowego, aomias zasadiczo odbiega od szału obu rozładów: dwumiaowego i Poissoa dla warości paramerów podaych w (5), wchodząc w zares iedopuszczalych dla ych rozładów warości zmieej iezależej, miejszych od zera. 4. Rrozład ormaly opisujący dobrze rozład dwumiaowy oreśloy wzorami (4) wyreśloy zosał dla warości oczeiwaej i odchyleia sadardowego odpowiadających paramerom rozładu dwumiaowego. a0, σ 5. Podobie rozład ormaly ieźle przybliża rozład Poissoa dla a0, σ 0, a więc dla warości paramerów, zgodych z relacją między imi wyiającą z rozładu Poissoa. Porówaie szałów rozładów dla wybraych przez użyowia warości paramerów moża zobaczyć posługując się apliacją zamieszczoą poiżej. Rys. 5. Przyładowy wygląd erau apliacji rozlady.xls. 5.. Esymacja paramerów rozładów prawdopodobieńswa Kiedy wyoujemy pomiar liczby zliczeń z pomocą deeora promieiowaia joizującego, pobieramy próbę o rozmiarze jede z rozładu Poissoa. Tai pomiar jeda iewiele mówi o
samym rozładzie i jego warości oczeiwaej. Z poazaych wyżej ilusracji widzimy, że z zupełie dużym prawdopodobieńswem wyi pojedyczego pomiaru może zaczie różić się od warości oczeiwaej. Aby uzysać wiarygode oszacowaie warości oczeiwaej wyoujemy wiele pomiarów i wyzaczamy warość średią liczby zliczeń N (5...) i i N gdzie N jes liczbą wyoaych pomiarów. Warość średia jes aże liczbą losową będącą esymaorem warości oczeiwaej, óra jes liczbą paramerem rozładu. Miarą doładości uzysaych wyiów będzie wielość charaeryzująca ich rozrzu względem warości średiej. s ( i < > ) (5...) i Odjęcie jedyi w miaowiu ułama wyia z fau, że rozrzu wyzaczamy ie względem warości oczeiwaej (liczby będącej parameru rozładu) ale względem warości średiej, óra sama zosała wyzaczoa w oparciu o wyoaą serię pomiarów. (Zając wyii - pomiarów oraz warość średią, możemy wyliczyć wyi braującego pomiaru.) Liczba iezależych pomiarów wyosi więc -. Ta wyzaczoa wielość jes esymaorem drugiego momeu rozładu, jego wariacji, przy założeiu, że szał rozładu odpowiada rozładowi ormalemu. Pierwiase wadraowy z esymaora wariacji jes więc esymaorem odchyleia sadardowego wyzaczającego graice, w jaich mieści się o. 68% wyiów pomiarów. Jeśli więc wyoaliśmy pojedyczy pomiar liczby zliczeń orzymując wyi zliczeń i jes o liczba a yle duża, że rozład Poissoa możemy przybliżać rozładem Gaussa, o wiemy, że z prawdopodobieńswem o. 68%, warość a różi się od warości oczeiwaej dla rozładu Poissoa w graicach oreśloych przez, bo aie jes odchyleie sadardowe ego rozładu. Jeśli jeda liczba zliczeń oazała się a mała, że rozładu Poissoa ie możemy przybliżać rozładem Gaussa (zob. Rys. 4) o wówczas przyjmujemy warość +, jao przybliżeie warości średiej pamięając, że prawdopodobieńswa uzysaia warości rówej warości średiej jes aie samo ja uzysaia warości o jede miejszej (wzór (9)). Dla przyładu, iedy w zadaym przedziale czasu ie obserwujemy żadego zliczeia, o za wyi pomiaru podajemy warość ±, a jeśli obserwujemy jedo zliczeie, o wyi zapisujemy w posaci ±.4. Wyorzysując własości rozładu Poissoa widzimy rówież, że waro uzysać więszą liczbę zliczeń, bo wówczas względa iepewość pomiaru będzie miejsza. Wedy bowiem możemy ę iepewość oszacować jao (parz wzór (6))
s s, (5..3.) a więc zmiejsza się ja odwroość pierwiasa wadraowego z liczby zliczeń. Przy 00 iepewość jes rzędu 0%, ale przy 0000, jes o już ylo %. Zawsze jeda ajlepiej jes powórzyć pomiar, j. wyoać serię pomiarów. Niepewość saysyczą uzysaej warości średiej możemy oszacować podobie. Wyoując wiele serii po pomiarów orzymamy aże rozład, órego odchyleie sadardowe będzie s s (5..4.) gdzie s jes oreśloe wzorem (5..). Niepewość warości średiej przy wyoaiu serii pomiarów, w órych uzysiwao liczby zliczeń i, oreślamy więc jao s (5..5.) ( i < > ) i ( ) Zwróćmy uwagę a zasadiczą różicę pomiędzy iepewością pojedyczego pomiaru wyzaczoą a podsawie wzoru (5..) oraz iepewością warości średiej wyzaczoą z pomocą wzoru (0). Zwięszając liczbę pomiarów i wyzaczając warość średią, a asępie iepewość z pomocą wzoru (5..) orzymamy lepsze oszacowaie iepewości pojedyczego pomiaru. Wyzaczaa warość będzie coraz miej fluuować, ale pozosawać a ym samym poziomie. (Moża o rówież ławo zauważyć aalizując posać wzoru (5..), bo zwięszając zwięszamy liczi i miaowi ułama.) Niepewość warości średiej jes malejącą fucją liczby pomiarów (z doładością do fluuacji saysyczych) zgodie ze wzorem (5..4). 5.3. Pomiar liczby zliczeń w obecości ła. Częso przy wyoywaiu pomiarów aężeia promieiowaia pochodzącego od badaego źródła promieiowórczego ie mamy możliwości uwolić się od promieiowaia pochodzącego z ooczeia, czyli zw. ła. Wyoujemy wedy dwa pomiary jede w obecości źródła i jede pomiar bez źródła, czyli pomiar ła. Te drugi pomiar wyouje się zwyle w ciągu zaczie dłuższego czasu. Liczba zliczeń a jedosę czasu, pochodzącą od badaego źródła z, wyzaczamy ze wzoru z (5.3..) Niepewość aiego pomiaru złożoego wyzaczamy orzysając z prawa propagacji iepewości przypadowych
s x f f sx + s x x x +... (5.3..) W aszym przypadu mamy s s + s z (5.3.3.) Biorąc za oszacowaie iepewości pomiaru zależość wyiającą z rozładu Poissoa (wzór (5..3)) orzymujemy s z + + (5.3.4.) 5.4 Pomiar liczby zliczeń z uwzględieiem czasu marwego liczia Saysyczy charaer procesów jądrowych sprawia, że ieiedy odsęp czasu pomiędzy dwoma cząsami padającymi a deeor jes a rói, że po zarejesrowaiu pierwszej cząsi deeor ie może zarejesrować drugiej. Czas e jes charaerysyczy dla daego ypu deeora i zway jes czasem marwym. Zając warość czasu marwego m moża oszacować jego wpływ a zmierzoą liczbę zliczeń i wprowadzić odpowiedią poprawę. Jeśli a deeor w ciągu jedosi czasu pada cząse, a deeor rejesruje cząse, o zaczy, że czas w ciągu órego deeor był zablooway wyosi (5.4..) m Jeśli w ciągu jedosi czasu a deeor pada cząse, o w ciągu czasu pada ich m (5.4..) To właśie aa liczba cząse ie zosała zarejesrowaa w jedosce czasu. Mamy więc m (5.4.3.) Sąd możemy wyzaczyć liczbę cząse padających w jedosce czasu a deeor, jeśli zamy liczbę cząse zarejesrowaych oraz warość czasu marwego m.. m (5.4.4.)
Wyrażeie o moża zapisać prościej, jeśli czas marwy oraz liczba zloczeń są wielościami a yle małymi, że możemy apisać ( + ) ( m ) ( + m m m ) (5.4.5.) W aim przedsawieiu wyrażeie (+ m ) jes współczyiiem oreślającym wpływ czasu marwego a liczbę zliczeń. Czasy marwe dla ypowych deeorów są zae i dla deeorów joizacyjych wyoszą zwyle (0-4 0-6 )s. Czas marwy może eż być wyzaczoy esperymealie. W ym celu wyouje się pomiary z pomocą dwóch źródeł promieiowórczych; oddzielie z ażdym ze źródeł oraz rówocześie z dwoma źródłami. Ze związów pomiędzy liczbami zliczeń w ych rzech pomiarach moża wyzaczyć warość czasu marwego.