Katogafia matematyczna. ementy teoii powiezchni. Odwzoowanie powiezchni na powiezchnię. 4. ementy teoii powiezchni. Odwzoowanie powiezchni na powiezchnię. 4.. Powiezchnie Powiezchnią w geometii óŝniczowej nazywamy zbió pntów pzestzeni tóych połoŝenie oeśa w sposób jednoznaczny ciągła i dwotnie óŝniczowana w pewnym obszaze D fncja wetoowa dwóch niezaeŝnych od siebie paametów i Równanie: nazywamy wetoowym ównaniem powiezchni. z M S W ładzie otoatezjańsim ównanie powiezchni ma postać: x i y j z x i j Rys. y b inaczej [ x y z ] 3 Równanie wetoowe jest ównowaŝne ładowi tzech ównań saanych: x x y y z z tóe nazywa się ównaniem paametycznym powiezchni. 4 Kzywe na powiezchni oeśone ównaniem postaci const const const 5 const Rys. nazywamy iniami stałego paamet b odpowiednio iniami współzędnych i danego pzetawienia paametycznego powiezchni. inie te twozą na powiezchni tzw. siatę assa ys. b siatę współzędnych assa. 4. Piewsza foma wadatowa powiezchni
Katogafia matematyczna. ementy teoii powiezchni. Odwzoowanie powiezchni na powiezchnię. Weźmy powiezchnię daną ównaniem wetoowym. Na tej powiezchni pzez pnt P powadzimy inie paametyczne const. const. Paametom i iniom paametycznym nadajemy óŝniczi d i. W wyni tego otzymjemy nowe inie paametyczne pzecinające się w pncie P ys. 3. Pnty P i P łączymy łiem o dłgości ; chcemy znaeźć dłgość. P d const d const P const d const Rys. 3 Wyznaczymy w tym ce óŝniczę d wetoa : d d d 6 Pzyjmje się Ŝe Wygodniej jest posłŝyć się wyaŝeniem. d d d 7 d d 8 Wstawiając wyaŝenie 6 do wzo 8 otzymjemy d d 9 d d - I foma wadatowa powiezchni 0 gdzie: WyaŜenie 0 nosi nazwę piewszej fomy wadatowej powiezchni zaś wyaŝenia są jej współczynniami. Do piewszej fomy wadatowej moŝemy ównieŝ dojść ozystając z zaeŝności: dx dy dz 4.3 Kat między zywymi na powiezchni i eementane poe powiezchni
Katogafia matematyczna. ementy teoii powiezchni. Odwzoowanie powiezchni na powiezchnię. Niech na powiezchni będą dane dwie zywe:. Kat miedzy zywymi jest ątem między stycznymi do zywych w pncie pzecięcia. d P Rys. 4 d d Z definicji ioczyn saanego mamy Rys. 4 d d cos d cos 3 d Po wstawieni do 3 wzoów 0 otzymjemy d cos 4 d d Jao szczegóny pzypade wyznaczymy ąt między iniami paametycznymi: Wtedy da inii paametycznej const mamy 0 d 0 da inii paametycznej const mamy 0 0 Po wstawieni do 4 otzymjemy cos θ 5 Stąd wniose Ŝe siata inii paametycznych jest otogonana gdy 0. 3
Katogafia matematyczna. ementy teoii powiezchni. Odwzoowanie powiezchni na powiezchnię. Następnie wyznaczymy ąt między dowoną zywą a inią paametyczną. ZałoŜymy Ŝe inie paametyczne są otogonane czyi Ŝe 0. β const P α const Rys. 5 Najpiew wyznaczymy ąt α ys.5: da dowonej inii mamy: 0 d 0 da inii paametycznej const mamy 0 0 Komentaz [UCI]: t po wstawieni do 4 otzymjemy cos α 6 Teaz obiczymy ąt β: da dowonej inii mamy: 0 d 0 da inii paametycznej const mamy 0 0 co w wyni daje nam wzó d d cos β 7 o o PoniewaŜ wiemy Ŝe α β 90 to sin β cosα β 90 α MoŜemy podać teaz inny wzó na ąt β 8 d gdzie wyaŝenie nazywamy ieniem. d Kąt na powiezchni zaeŝy od współczynniów I fomy wadatowej i od ien. ementane poe powiezchni oganiczone iniami paametycznymi const i dconst oaz const i const ja na ys.3 dp d d 8a sin θ cos 4
Katogafia matematyczna. ementy teoii powiezchni. Odwzoowanie powiezchni na powiezchnię. 4.4 Odwzoowanie powiezchni Rozpatzymy dwie powiezchnie dane ównaniami: S : S : U V P Q S P S Q Rys. 6 JeŜei znajdziemy związi między paametami U U U f b 9 V V V g czyi fncje odwzoowawcze to moŝemy powiedzieć Ŝe odwzoowanie jest oeśone. Wtedy będziemy mieć dwie powiezchnie odniesione do tych samych paametów. Zapiszemy to óto: f : S S f P Q 0 Def. odwzoowania Odwzoowaniem jednej powiezchni na dgą nazywamy aŝdą jednoznaczną i wzajemną odpowiedniość pntową między powiezchnią tóą pzyjmjemy za powiezchnię oyginał a powiezchnią tóą pzyjmjemy za powiezchnię obaz. ncje 9 powinny spełniać dwa wani: - powinny być asy C dwotnie óŝniczowane i ciągłe - jaobian odwzoowania msi być óŝny od zea fncje są wtedy niezaeŝne: U U J 0 V V W odwzoowaniach eganych: obazem pnt jest pnt obazem zywej jest zywa oła jest oło obsza jest obsza. 5
Katogafia matematyczna. ementy teoii powiezchni. Odwzoowanie powiezchni na powiezchnię. 6 4.5 Piewsze twiedzenie Tissota Weźmy odwzoowanie dwóch powiezchni: : S : S : S S f at at Da danego odwzoowania poszjemy pay inii ienów postopadłych tóe odwzoowją się ównieŝ jao paa inii postopadłych. Na potawie 4 da powiezchni S napiszemy : cos s d d d s d cos podobnie da powiezchni S : s d cos 3 Jeśi ieni są postopadłe to mamy: 0 cos 0 cos co powadzi do ównań: 0 0 4 A S Rys. 7 N P A S N P
Katogafia matematyczna. ementy teoii powiezchni. Odwzoowanie powiezchni na powiezchnię. Rozwiązjąc ład ównań 4 otzymjemy wzoy: C C D 5 4 C C D 6 4 C 7 D wyóŝni I fomy 8 I twiedzenie Tissota W dowonym eganym odwzoowani jednej powiezchni na dgą istnieją dwa ieni postopadłe tóe odwzoowją się ównieŝ jao ieni postopadłe. Kieni te nazywamy ienami głównymi Pzy odwzoowani wienoątnym aŝda paa ienów postopadłych odwzoowje się jao paa ienów postopadłych. Twiedzenie to posiada ogóniejszą postać: W dowonym eganym odwzoowani jednej powiezchni na dgą istnieje co najmniej jedna siata otogonana tóa odwzoowje się na siatę otogonaną. Siata ta nazywa się siatą główną. 4.6 Saa odwzoowania Na ob powiezchniach pzyjmiemy siatę inii paametycznych poywających się z siatą główną ieni główne poywają się z ienami inii paametycznych. S const S const const const Rys. 8 f : S S 7
Katogafia matematyczna. ementy teoii powiezchni. Odwzoowanie powiezchni na powiezchnię. Saę odwzoowania definijemy w sposób następjący: m - eementana saa dłgości 9 Wygodniej jest nam posłŝyć się wadatem sai: d d m 30 d d JeŜei pzyjmiemy Ŝe na ob powiezchniach siata inii paametycznych jest siatą główną to sae w ienach głównych będą ówne saom w ienach inii paametycznych. Da inii const. 0: d m a 3 d Da inii const. d0: d m b 3 d Sae w ienach głównych nazywamy saami głównymi ab Weźmy następnie saę w dowonym ien: m d d następnie potawimy wyaŝenia: d d d i wyozystjąc wzoy 3 i 3 otzymamy d m a gdzie ab są saami głównymi. Pzyjmjąc następnie otzymamy a b 33 b cos β a sin β b m cos β x msin β y x a b y Jest to ównanie eipsy Tissota b wsaźnicy Tissota. x a b y Rys. 9 8
Katogafia matematyczna. ementy teoii powiezchni. Odwzoowanie powiezchni na powiezchnię. II twiedzenie Tissota Obazem gaficznym znieształceń dłgości we wszystich ienach wychodzących z jednego pnt powiezchni jest eipsa tóej półosie są ówne znieształceniom w ienach głównych. 4.7 Znieształcenia ątów Na powiezchni S weźmy ąt β i odpowiadający m ąt β na powiezchni S. S const S const β const β const Rys. 0 f : S S β β Znieształcenie ąta definijemy jao óŝnicę ątów β β Do obiczenia tej óŝnicy wyozystamy wzó 8 a następnie wzoy 3 i 3: d d a b 34 Pzeształcając daej otzymamy: a b a b sin β cos β sin β cos β a b sin β cos β sin β cos β a b czyi sin β β a b sin β β a b a b sin β β sin β β a b 35 9
Katogafia matematyczna. ementy teoii powiezchni. Odwzoowanie powiezchni na powiezchnię. Masymana watość óŝnicy β β max będzie wtedy gdy β β a b sin β β a b Masymane znieształcenie oznaczymy pzez ω. Jest ono ówne podwójnej watości β -β max. Wynia to z fat Ŝe ąt β jest ątem pomiędzy inia paametyczną a dowoną inią. JeŜei po dgiej stonie inii paametycznej weźmiemy tai sam ąt to at całowity między dowonymi iniami będący smą dw ątów będzie miał znieształcenie dwa azy więsze β -β max. 90 o β β ω 36 max a b sin ω 37 a b JeŜei ab to wg wzo 37 znieształcenie ąta jest ówne ze czyi odwzoowanie jest wienoątne ównoątne onfoemne 4.8 Znieształcenie poa ementane poe powiezchni dane jest wzoem 8a: dp d d Na powiezchni S biezemy eement poa dp i odpowiadający m na powiezchni S eement dp. dp dp d d Saę poa i znieształcenie poa definijemy w sposób następjący: dp dp f - saa poa f z p - znieształcenie poa f 39 Pzyjmjemy dodatowo Ŝe mamy siatę główną czyi Ŝe 0 i otzymjemy: f a b JeŜei a b to odwzoowanie nazywamy wienopoowym ównopoowym. 40 0
Katogafia matematyczna. ementy teoii powiezchni. Odwzoowanie powiezchni na powiezchnię. 4.9 Płaszczyzna jao powiezchnia obaz w odwzoowani powiezchni i dyby powiezchnia i była powiezchnią ozwijaną to wówczas wystaczyłoby ozciąć ę wzdłŝ jaiejś inii i wypostować na płaszczyźnie. Da i jest to jedna niemoŝiwe poniewaŝ a nie jest ozwijana na płaszczyznę. Datego teŝ biezemy powiezchnie tóą łatwo moŝemy ozwinąć. dy stycznie do i pzyładamy płaszczyznę to mamy odwzoowanie płaszczyznowe zwane ównieŝ odwzoowaniem azymtanym. dy weźmiemy waec styczny do i wzdłŝ dowonego oła wieiego zztjemy pnty z powiezchni i na pobocznicę waca a następnie ozetniemy ją wzdłŝ twozącej to otzymamy odwzoowanie wacowe. MoŜna taŝe Ŝyć jao powiezchnie obaz pobocznicę waca połoŝoną stycznie do powiezchni i wzdłŝ dowonego oła małego a następnie ozciąć ją wzdłŝ twozącej. Będziemy miei wtedy odwzoowanie stoŝowe.