Szczególna i ogólna teoria względności (wybrane zagadnienia)
|
|
- Marian Bednarek
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Szczególna i ogólna teoria względności (wybrane zagadnienia) Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 6 M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 6 1 / 12
2 Transfomacja zmiennych w całce Transformacja zmiennych w całce: f(x 1,..., x n )dx 1 dx n = R X = f (x 1 (y 1,..., y n ),..., x n (y 1,..., y n )) (x 1 x n ) R Y (y 1 y n ) dy 1 dy n Uwaga: Jakobian jest równy stosunkowi elementów objętości dx 1 dx n oraz dy 1 dy n. Jeśli zatem uznamy, że jakobian należy do elementu objętości, wówczas g(y 1,..., y n ) f (x 1 (y 1,..., y n ),..., y n (x 1,..., x n )) = f(x 1,..., x n ) Obie funkcje mają to samo znaczenie fizyczne, ponieważ odpowiadają temu samemu elementowi objętości. Często jednak nie chcemy aby obie wielkości odpowiadały temu smemu elementowi objętości, np. f(x 1,..., x n )dx 1 dx n h(y 1,..., y n )dy 1 dy n h(y 1,..., y n ) f(x 1,..., x n ) (x 1 x n ) (y 1 y n ) M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 6 2 / 12
3 Transformacja różniczkowego przekroju czynnego Transformacja z przestrzeni pędów (dp 1 dp 2 dp 3 ) do współrzędnych sferycznych (dω i pęd pomiedzy p i p + dp). Ponieważ 3 S(p 1, p 2, p 3 ) p 1 p 2 p 3 dp 1 dp 2 dp 3 = 3 S(p 1, p 2, p 3 ) p 1 p 2 p 3 (p 1 p 2 p 3 ) (pθϕ) dpdθdϕ (p 1 p 2 p 3 ) (pθϕ) = p 2 sin θ więc dostajemy: 3 S(p 1, p 2, p 3 ) p 2 sin θdpdθdϕ p 1 p 2 p }{{ 3 }{{}} dpdω 2 σ(p,θ,ϕ) p Ω Transformacja pomiędzy lorentzowskimi układami S i S (ruch względem wspólnej osi zz ). E = γ(e βp 3 ), p 1 = p 1, p 2 = p 2, p 3 = γ(p 3 βe) Wprowadzamy współrzędne sferyczne: p 1 = p sin θ cos ϕ p 2 = p sin θ sin ϕ p 3 = p cos θ p cos θ = γ(p cos θ βe) p sin θ = p sin θ ϕ = ϕ E = γ(e βp cos θ) M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 6 3 / 12
4 Transformacja różniczkowego przekroju czynnego Żądamy aby liczba cząstek w kącie bryłowym dω i mających pęd w zakresie p i p + dp była równa liczbie cząstek w kącie bryłowym dω i mających pęd w zakresie p i p + dp : 2 σ(p, θ, ϕ) p Ω dpdω = 2 σ (p, θ, ϕ ) p Ω dp dω Jakobian można zapisać jako złożenie następujących transformacji: Ponieważ (pω) (p Ω ) = (pω) (pθϕ) (pθϕ) (p 1 p 2 p 3 ) (p 1p 2p 3) (p θ ϕ ) (p 1 p 2 p 3 ) (p 1 p 2 p 3 ) (p θ ϕ ) (p Ω ) (p 1 p 2 p 3 ) p 1 p 2 p 3 ) = p 3 p = γ + γβ E 3 p = γ + γβ p 3 3 E = E E, więc (pω) (p Ω ) = sin θ 1 p 2 sin θ E E p 2 sin θ 1 sin θ = Ep 2 E p 2 = E sin2 θ E sin 2 θ A więc przekroje czynne w obu układach związane są relacją: 2 σ(p, θ, ϕ ) p Ω = 2 σ(p, θ, ϕ) p Ω (pω) (p Ω ) = 2 σ(p, θ, ϕ) Ep 2 p Ω E p 2 M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 6 4 / 12
5 Rozkład pędu w CMS i LAB Rozważmy izotropowy rozkład cząstek o ustalonej energii w CMS. Jak wygląda ten rozkład w LAB? p 1 = p 1, p 2 = p 2, p 3 = γ (p 3 + βe ), E = const Spektrum, które w CMS ma kształt sfery, w LAB przyjmuje postać elipsoidy o półosiach, a 1 = p, a 2 = p, a 3 = γp : p 3,max = γ (p + βe ) p 3,min = γ ( p + βe ) p 3,center = γβe Równanie elipsoidy: p p p 3 2 p 2 = p2 1 p 2 + p2 2 p 2 + (p 3 γβe ) 2 p 2 = 1 Elipsoida przechodzi przez punkt (0,0,0) gdy: p 3,min = γ ( p + βe ) = γp [(β/v ) 1] = 0 v = β Dla v > β punkt (0, 0, 0) leży wewnątrz elipsoidy. M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 6 5 / 12
6 Rozkład pędu w CMS i LAB Wartości pędów odpowiadające temu samemu kątowi θ w LAB otrzymujemy wstawiając p 2 = p 3 tg θ do równania elipsoidy (zawsze można wybrać układ tak aby p 1 = 0): p ± 3 = βγe ± β 2 γ 2 E 2 (1 + γ 2 tg 2 θ)(β 2 γ 2 E 2 γ 2 p 2 ) 1 + γ 2 tg 2 θ Maksymalna wartość kąta θ wystepuje dla p + 3 pierwiastka: tg 2 v 2 θ max = γ 2 (β 2 v 2 gdzie v = p ) E = p 3 Jakiemu kątowi θ w CMS odpowiada kąt θ max w LAB? p 2 = p 2, p 3 = γ(p 3 + βe ) (0, 0) LAB (p 2 = 0, p 3 = βe ) Z rysunku odczytujemy: cos θ (θ max ) = p βe cos θ (θ max ) = v β, co oznacza zerowanie się M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 6 6 / 12
7 Opis rozpraszania elastycznego - zmienne niezależne Do opisu rozpraszania elastycznego cząstek bezspinowych w mechanice kwantowej służy amplituda zależna jedynie od czteropędów tych cząstek: T fi = T (p 1, k 1, p 2, k 2 ) Całkowita liczba zmiennych wynosi 16. Jednak: T fi 2 P-two ; nie zależy od układu, a więc tylko niezmienniki: p 2 1, k 2 1, p 2 2, k 2 2, p 1 k 1, p 1 k 2, p 1 p 2, k 1 k 2, k 1 p 2, k 2 p 2 ale p 2 1 = p 2 2 = m 2 i k 2 1 = k 2 2 = µ 2 to parametry, pozostałe 6 zmiennych można użyć do opisu rozpraszania, ale tylko dwie są niezależne ze względu na zachowanie czteropędu p 1 + k 1 + p 2 + k 2 = 0. Zachodzą np. następujące relacje: k 1 p 1 = k 2 p 2, k 1 p 2 = k 2 p 1, µ 2 + k 1 k 2 = m 2 + p 1 p 2, p 1 p 2 = m 2 p 1 k 1 p 1 k 2 Jako zmienne niezależne można np. wybrać: p 1 k 1 i p 1 k 2. Symbolem prime będziemy oznaczać zmienne dotyczące cząstek wychodzących. M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 6 7 / 12
8 Układy wykorzystywane do opisu rozpraszania Układ laboratoryjny (LAB) - jedna z cząstek pierwotnych spoczywa (np. p 1 ): p 1 = (m, 0), p 2 = (E 2, p 2), k 1 = (ω 1, k 1 ), k 2 = (ω 2, k 2) ω 1 = p 1k 1 m, ω 2 = p 1k 2 m E 2 = p 1p 2 m k 1 k 2 = ω 1 ω 2 k 1 k 2 cos θ L Kąt θ L wyrażony poprzez niezmienniki: cos θ L = ω 1 ω 2 k 1 k 2 (ω 2 1 µ 2 )(ω 2 2 µ2 ) = (k 1 p 1 )(k 2p 1 ) m 2 (k 1 k 2) [(k1 p 1 ) 2 m 2 µ 2 ] [(k 2 p 1) 2 m 2 µ 2 ] Układ środka masy (CMS): k1 + p 1 = k 2 + p 2 = 0 k 1 = p 1 = K, k 2 = p 2 = K E 2 CM = (p 1 + k 1 ) 2 = (p 2 + k 2) 2 = = (E 1 + ω 1 ) 2 = (E 2 + ω 2) 2 = ( = K2 + m 2 + ) 2 K 2 + µ 2 = ( = K 2 + m 2 + ) 2 K 2 + µ 2 a więc K = K. M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 6 8 / 12
9 Układy wykorzystywane do opisu rozpraszania Do opisu rozpraszania w CMS używamy energii E 2 CM s. Jako drugą zmienną nie możemy wybrać K ponieważ [ ] [ s (m + µ) K 2 2 s (m µ) 2] = 4s K 2 jest kwadratem pędu każdej z cząstek w CMS przed lub po rozpraszaniu. Zmienna s jest kwadratem energii w układzie CMS: s = (p 1 + k 1 ) 2 = (p 2 + k 2) 2 = (p 1 + k 1 )(p 2 + k 2) ( = K2 + m 2 + ) 2 K 2 + µ 2 Jako drugą zmienną do opisu rozpraszania w CMS stosuje się kąt θ CM : t (k 1 k 2) 2 = 2µ 2 2k 1 k 2 = 2(µ 2 ω 2 + K 2 cos θ CM = = 2K 2 (cos θ CM 1) = [ ] [ s (m + µ) 2 s (m µ) 2] = (cos θ CM 1) 2s gdzie ω 2 = K 2 + µ 2. Stąd: cos θ CM = 1 + t 2K 2 = 1 + 2ts [s (m + µ) 2 ] [s (m µ) 2 ] M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 6 9 / 12
10 Układy wykorzystywane do opisu rozpraszania Układ Breit a (Brick Wall) - obie cząstki odbijają się od ściany, jedna z nich zmienia pęd na przeciwny ( k 1 + k 2 = 0): k 1 = (ω, k), k 2 = (ω, k) p 1 = (E, p 1 ), p 2 = (E, p 2) p 1 = p 2 = p = E 2 m 2 k 1 k 2 = (0, 2 k) = p 2 p 1 = (0, p 2 p 1 ) Jako niezależne zmienne do opisu rozpraszania można wybrać energie: k 1 + k 2 = (2ω, 0) ω 2 B = 1 4 (k 1 + k 2) 2 (p 1 + p 2)(k 1 + k 2) = 4Eω E B = 1 (p 1 + p 2)(k 1 + k 2) 2 (k1 + k 2 )2 Kąt rozproszenia cząstki p : t (k 1 k 2) 2 = (p 1 p 2) 2 = 2p 2 (cos θ B 1) cos θ B = 1 + t 2p 2 M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 6 10 / 12
11 Zmienne s, t, u (Mandelstama) s = (k 1 + p 1 ) 2 = (k 2 + p 2 ) 2 = (k 1 + p 1 )(k 2 + p 2 ) t = (k 1 + k 2 ) 2 = (p 1 + p 2 ) 2 = (k 1 + k 2 )(p 1 + p 2 ) = = 2(µ 2 + k 1 k 2 ) = 2(m 2 + p 1 p 2 ) u = (k 1 + p 2 ) 2 = (p 1 + k 2 ) 2 = (k 1 + p 2 )(p 1 + k 2 ) Znaczenie zmiennych s, t, u: s to kwadrat energii w CMS gdy padającymi cząstkami są k 1, p 1 lub k 2, p 2. t to kwadrat przekazu czteropędu (w układzie Breita redukuje się do kwadratu przekazu trójpędu). u nie ma prostej interpretacji fizycznej w żadnym układzie (ponieważ jest różnicą pędów cząstek o różnych masach). Tylko dwie spośród zmiennych s, t, u są niezależne: s + t + u = 4µ 2 + 2m 2 + 2k 1 (p 1 + p 2 + k 2 ) = 2µ 2 + 2m 2 M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 6 11 / 12
12 Zmienne s, t, u Twierdzenie: Dla dowolnego trójkąta prawdziwa jest relacja: ag a +bg b +cg c = ah a = bh b = ch c = 2F a c g a+ b c g b+g c = h c u+s+t = 2m 2 +2µ 2 a c g a = u, b c g b = s, g c = t, h c = 2m 2 +2µ 2 a = b = c, h = 2m 2 + 2µ 2 b = c = a 2 = h = 2m 2 + 2µ 2 M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 6 12 / 12
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 6 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Bardziej szczegółowoSzczególna i ogólna teoria względności (wybrane zagadnienia)
Szczególna i ogólna teoria względności (wybrane zagadnienia) Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 4 M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności
Bardziej szczegółowoDynamika relatywistyczna
Dynamika relatywistyczna Fizyka I (B+C) Wykład XVIII: Energia relatywistyczna Transformacja Lorenza energii i pędu Masa niezmiennicza Energia relatywistyczna Dla ruchu ciała pod wpływem stałej siły otrzymaliśmy:
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 10 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 9 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Bardziej szczegółowoWstęp do oddziaływań hadronów
Wstęp do oddziaływań hadronów Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 9 M. Przybycień (WFiIS AGH) Wstęp do oddziaływań hadronów Wykład 9 1 / 21 Rozpraszanie
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 8 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Bardziej szczegółowoKalkulator kinematyczny
Kalkulator kinematyczny Marcin Abram WFAIS UJ Kraków POLAND 20 sierpnia 2009 Temat projektu Cel Stworzenie kalkulatora, który obliczałby maksymalny kąt wiązki produktów reakcji A + B C 1 +... + C n. Informacje
Bardziej szczegółowoCząstki elementarne i ich oddziaływania III
Cząstki elementarne i ich oddziaływania III 1. Przekrój czynny. 2. Strumień cząstek. 3. Prawdopodobieństwo procesu. 4. Szybkość reakcji. 5. Złota Reguła Fermiego 1 Oddziaływania w eksperymencie Oddziaływania
Bardziej szczegółowoReakcje jądrowe. kanał wyjściowy
Reakcje jądrowe X 1 + X 2 Y 1 + Y 2 +...+ b 1 + b 2 kanał wejściowy kanał wyjściowy Reakcje wywołane przez nukleony - mechanizm reakcji Wielkości mierzone Reakcje wywołane przez ciężkie jony a) niskie
Bardziej szczegółowoRezonanse, Wykresy Dalitza. Lutosława Mikowska
Rezonanse, Wykresy Dalitza Lutosława Mikowska 19.10.2015 26.10.2015 REZONANSE Analizę fal parcjalnych można zastosować do opisu rozpraszania dwóch cząstek, traktując jedną jako centrum rozpraszające, a
Bardziej szczegółowoReakcje jądrowe. X 1 + X 2 Y 1 + Y b 1 + b 2
Reakcje jądrowe X 1 + X 2 Y 1 + Y 2 +...+ b 1 + b 2 kanał wejściowy kanał wyjściowy Reakcje wywołane przez nukleony - mechanizm reakcji Wielkości mierzone Reakcje wywołane przez ciężkie jony a) niskie
Bardziej szczegółowoObliczanie długości łuku krzywych. Autorzy: Witold Majdak
Obliczanie długości łuku krzywych Autorzy: Witold Majdak 7 Obliczanie długości łuku krzywych Autor: Witold Majdak DEFINICJA Definicja : Długość łuku krzywej zadanej parametrycznie Rozważmy krzywą Γ zadaną
Bardziej szczegółowoVI.5 Zderzenia i rozpraszanie. Przekrój czynny. Wzór Rutherforda i odkrycie jądra atomowego
VI.5 Zderzenia i rozpraszanie. Przekrój czynny. Wzór Rutherforda i odkrycie jądra atomowego Jan Królikowski Fizyka IBC 1 Przekrój czynny Jan Królikowski Fizyka IBC Zderzenia Oddziaływania dwóch (lub więcej)
Bardziej szczegółowoV.6.6 Pęd i energia przy prędkościach bliskich c. Zastosowania
V.6.6 Pęd i energia przy prędkościach bliskich c. Zastosowania 1. Ogólne wyrażenia na aberrację światła. Rozpad cząstki o masie M na dwie cząstki o masach m 1 i m 3. Rozpraszanie fotonów z lasera GaAs
Bardziej szczegółowoRozkłady wielu zmiennych
Rozkłady wielu zmiennych Uogólnienie pojęć na rozkład wielu zmiennych Dystrybuanta, gęstość prawdopodobieństwa, rozkład brzegowy, wartości średnie i odchylenia standardowe, momenty Notacja macierzowa Macierz
Bardziej szczegółowoV.6 Pęd i energia przy prędkościach bliskich c
r. akad. 005/ 006 V.6 Pęd i energia przy prędkościach bliskich c 1. Relatywistyczny pęd. Relatywistyczne równanie ruchu. Relatywistyczna energia kinetyczna 3. Relatywistyczna energia całkowita i energia
Bardziej szczegółowomechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej
mechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej ver-28.06.07 współrzędne uogólnione punkt materialny... wektor wodzący: prędkość: przyspieszenie: liczba
Bardziej szczegółowoREZONANSY : IDENTYFIKACJA WŁAŚCIWOŚCI PRZEZ ANALIZĘ FAL PARCJALNYCH, WYKRESY ARGANDA
REZONANSY : IDENTYFIKACJA WŁAŚCIWOŚCI PRZEZ ANALIZĘ FAL PARCJALNYCH, WYKRESY ARGANDA Opis układu cząsteczek w mechanice kwantowej: 1. Funkcja falowa, 2. Wektora stanu ψ. TRANSFORMACJE UKŁADU CZĄSTEK: 1.
Bardziej szczegółowoWyprowadzenie prawa Gaussa z prawa Coulomba
Wyprowadzenie prawa Gaussa z prawa Coulomba Natężenie pola elektrycznego ładunku punktowego q, umieszczonego w początku układu współrzędnych (czyli prawo Coulomba): E = Otoczmy ten ładunek dowolną powierzchnią
Bardziej szczegółowo3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 1 3. 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora {,,y } (3.1) Za dodatnie
Bardziej szczegółowoKinematyka: opis ruchu
Kinematyka: opis ruchu Fizyka I (B+C) Wykład IV: Ruch jednostajnie przyspieszony Ruch harmoniczny Ruch po okręgu Klasyfikacja ruchów Ze względu na tor wybrane przypadki szczególne prostoliniowy, odbywajacy
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to
Bardziej szczegółowoWielki rozkład kanoniczny
, granica termodynamiczna i przejścia fazowe Instytut Fizyki 2015 Podukład otwarty Podukład otwarty S opisywany układ + rezerwuar R Podukład otwarty S opisywany układ + rezerwuar R układ S + R jest izolowany
Bardziej szczegółowoMechanika kwantowa. Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki?
Mechanika kwantowa Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki? Mechanika kwantowa Elektron fala stojąca wokół jądra Mechanika kwantowa Równanie Schrödingera Ĥ E ψ H ˆψ = Eψ operator różniczkowy
Bardziej szczegółowoOptyka. Wykład V Krzysztof Golec-Biernat. Fale elektromagnetyczne. Uniwersytet Rzeszowski, 8 listopada 2017
Optyka Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Fale elektromagnetyczne Uniwersytet Rzeszowski, 8 listopada 2017 Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Optyka 1 / 17 Plan Swobodne równania Maxwella Fale elektromagnetyczne
Bardziej szczegółowoVI. 6 Rozpraszanie głębokonieelastyczne i kwarki
r. akad. 005/ 006 VI. 6 Rozpraszanie głębokonieelastyczne i kwarki 1. Fale materii. Rozpraszanie cząstek wysokich energii mikroskopią na bardzo małych odległościach.. Akceleratory elektronów i protonów.
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Meody Lagrange a i Hamilona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informayki Sosowanej Akademia Górniczo-Hunicza Wykład 7 M. Przybycień (WFiIS AGH) Meody Lagrange a i Hamilona... Wykład 7 1 /
Bardziej szczegółowoMatematyczne Metody Fizyki II
Matematyczne Metody Fizyki II Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 1 M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 1 1 / 16 Literatura
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1
Bardziej szczegółowoWykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Bardziej szczegółowoDynamika relatywistyczna
Dynamika relatywistyczna Fizyka I (Mechanika) Wykład VIII: relatywistyczna definicja pędu ruch pod wpływem stałej siły relatywistyczna definicja energii, zasady zachowania transformacja Lorentza dla energii
Bardziej szczegółowoZad Sprawdzić, czy dana funkcja jest funkcją własną danego operatora. Jeśli tak, znaleźć wartość własną funkcji.
Zad. 1.1. Sprawdzić, czy dana funkcja jest funkcją własną danego operatora. Jeśli tak, znaleźć wartość własną funkcji. Zad. 1.1.a. Funkcja: ϕ = sin2x Zad. 1.1.b. Funkcja: ϕ = e x 2 2 Operator: f = d2 dx
Bardziej szczegółowoZasady zachowania. Fizyka I (Mechanika) Wykład VI:
Zasady zachowania Fizyka I (Mechanika) Wykład VI: Zasady zachowania energii i pędu Zasada zachowania momentu pędu Zderzenia elastyczne Układ środka masy Zasada zachowania pędu II zasada dynamiki Pęd układu
Bardziej szczegółowoII. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.
II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),
Bardziej szczegółowoMatematyczne Metody Fizyki II
Matematyczne Metody Fizyki II Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 7 M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 7 1 / 11 Reprezentacja
Bardziej szczegółowoRozdział 7 Kinematyka oddziaływań. Wnioski z transformacji Lorentza. Zmienna x Feynmana, pospieszność (rapidity) i pseudopospieszność
Rozdział 7 Kinematyka oddziaływań. Wnioski z transformacji Lorentza. Zmienna x Feynmana, pospieszność (rapidity) i pseudopospieszność (pseudorapidity). Rozpraszanie leptonów na hadronach. Zmienna x Bjorkena.
Bardziej szczegółowoPrędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie
napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.
Bardziej szczegółowoFizyka dla Informatyków Wykład 8 Mechanika cieczy i gazów
Fizyka dla Informatyków Wykład 8 Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2008 Spis treści Spis treści 1 Podstawowe równania hydrodynamiki 2 3 Równanie Bernoulliego 4 Spis treści Spis treści 1 Podstawowe
Bardziej szczegółowoIX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA
IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji
Bardziej szczegółowoStruktura protonu. Elementy fizyki czastek elementarnych. Wykład III
Struktura protonu Elementy fizyki czastek elementarnych Wykład III kinematyka rozpraszania doświadczenie Rutherforda rozpraszanie nieelastyczne partony i kwarki struktura protonu Kinematyka Rozpraszanie
Bardziej szczegółowoPostulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Wykład 6
Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Wykład 6 Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice http://kk.us.edu.pl 19 września 2014 Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki
Bardziej szczegółowoNieskończona jednowymiarowa studnia potencjału
Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,
Bardziej szczegółowo27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i
Bardziej szczegółowoWykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie
Wykład 14 i 15 Równania różniczkowe Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (1) gdzie: y = y(x) niewiadoma funkcja zmiennej rzeczywistej
Bardziej szczegółowoVII.1 Pojęcia podstawowe.
II.1 Pojęcia podstawowe. Jan Królikowski Fizyka IBC 1 Model matematyczny ciała sztywnego Zbiór punktów materialnych takich, że r r = const; i, j= 1,... N i j Ciało sztywne nie ulega odkształceniom w wyniku
Bardziej szczegółowoZASADY DYNAMIKI. Przedmiotem dynamiki jest badanie przyczyn i sposobów zmiany ruchu ciał.
ZASADY DYNAMIKI Przedmiotem dynamiki jest badanie przyczyn i sposobów zmiany ruchu ciał Dynamika klasyczna zbudowana jest na trzech zasadach podanych przez Newtona w 1687 roku I zasada dynamiki Istnieją
Bardziej szczegółowoWykorzystanie symetrii przy pomiarze rozkładu kąta rozproszenia w procesie pp pp
Wykorzystanie symetrii przy pomiarze rozkładu kąta rozproszenia w procesie pp pp M. Barej 1 K. Wójcik 2 1 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie 2 Uniwersytet Śląski w Katowicach 16 września 2016 M. Barej,
Bardziej szczegółowoWykład 9. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011
Wykład 9. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/2012 4 listopada 2011 W trakcie poprzedniego wykładu zdefiniowaliśmy pojęcie k-kowektora na przestrzeni wektorowej. Wprowadziliśmy także iloczyn zewnętrzny wielokowektorów
Bardziej szczegółowoPODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Skalar Definicja Skalar wielkość fizyczna (lub geometryczna)
Bardziej szczegółowoPole magnetyczne magnesu w kształcie kuli
napisał Michał Wierzbicki Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli Rozważmy kulę o promieniu R, wykonaną z materiału ferromagnetycznego o stałej magnetyzacji M = const, skierowanej wzdłuż osi z. Gęstość
Bardziej szczegółowoMechanika relatywistyczna Wykład 15
Mechanika relatywistyczna Wykład 15 Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice http://kk.us.edu.pl Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 1/40 Czterowektory kontrawariantne
Bardziej szczegółowoI.4 Promieniowanie rentgenowskie. Efekt Comptona. Otrzymywanie promieniowania X Pochłanianie X przez materię Efekt Comptona
r. akad. 004/005 I.4 Promieniowanie rentgenowskie. Efekt Comptona Otrzymywanie promieniowania X Pochłanianie X przez materię Efekt Comptona Jan Królikowski Fizyka IVBC 1 r. akad. 004/005 0.01 nm=0.1 A
Bardziej szczegółowoCZAS I PRZESTRZEŃ EINSTEINA. Szczególna teoria względności. Spotkanie II ( marzec/kwiecień, 2013)
CZAS I PRZESTRZEŃ EINSTEINA Szczególna teoria względności Spotkanie II ( marzec/kwiecień, 013) u Masa w szczególnej teorii względności u Określenie relatywistycznego pędu u Wyprowadzenie wzoru Einsteina
Bardziej szczegółowoTydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Bardziej szczegółowoZasady zachowania, równanie Naviera-Stokesa. Mariusz Adamski
Zasady zachowania, równanie Naviera-Stokesa Mariusz Adamski 1. Zasady zachowania. Znaczna część fizyki, a w szczególności fizyki klasycznej, opiera się na sformułowaniach wypływających z zasad zachowania.
Bardziej szczegółowoCałka podwójna po prostokącie
Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i
Bardziej szczegółowoZderzenia. Fizyka I (B+C) Wykład XVI: Układ środka masy Oddziaływanie dwóch ciał Zderzenia Doświadczenie Rutherforda
Zderzenia Fizyka I (B+C) Wykład XVI: Układ środka masy Oddziaływanie dwóch ciał Zderzenia Doświadczenie Rutherforda Układ środka masy Układ izolowany Izolowany układ wielu ciał: m p m 4 CM m VCM p 4 3
Bardziej szczegółowoMiBM sem. III Zakres materiału wykładu z fizyki
MiBM sem. III Zakres materiału wykładu z fizyki 1. Dynamika układów punktów materialnych 2. Elementy mechaniki relatywistycznej 3. Podstawowe prawa elektrodynamiki i magnetyzmu 4. Zasady optyki geometrycznej
Bardziej szczegółowoSekantooptyki owali i ich własności
Sekantooptyki owali i ich własności Magdalena Skrzypiec Wydział Matematyki, Fizyki i Informatyki Uniwersytet Marii Curie-Skłodowskiej 19 października 2009r. Informacje wstępne Definicja Owalem nazywamy
Bardziej szczegółowoCo ma piekarz do matematyki?
Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wrocławska Dolnośląski Festiwal Nauki Wrzesień 2009 x x (x 1, x 2 ) x (x 1, x 2 ) (x 1, x 2, x 3 ) x (x 1, x 2 ) (x 1, x 2, x 3 ) (x 1, x 2, x 3, x 4 ). x
Bardziej szczegółowo5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu
5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie
Bardziej szczegółowoZasada zachowania energii
Zasada zachowania energii Fizyka I (Mechanika) Wykład VI: Praca, siły zachowawcze i energia potencjalna Energia kinetyczna i zasada zachowania energii Zderzenia elastyczne Układ środka masy Praca i energia
Bardziej szczegółowoWykład 2 - zagadnienie dwóch ciał (od praw Keplera do prawa powszechnego ciążenia i z powrotem..)
Wykład 2 - zagadnienie dwóch ciał (od praw Keplera do prawa powszechnego ciążenia i z powrotem..) 24.02.2014 Prawa Keplera Na podstawie obserwacji zgromadzonych przez Tycho Brahe (głównie obserwacji Marsa)
Bardziej szczegółowoFIZYKA III MEL Fizyka jądrowa i cząstek elementarnych
FIZYKA III MEL Fizyka jądrowa i cząstek elementarnych Wykład 9 Reakcje jądrowe Reakcje jądrowe Historyczne reakcje jądrowe 1919 E.Rutherford 4 He + 14 7N 17 8O + p (Q = -1.19 MeV) powietrze błyski na ekranie
Bardziej szczegółowoDynamika relatywistyczna
Dynamika relatywistyczna Fizyka I (Mechanika) Wykład XII: masa niezmiennicza i układ środka masy zderzenia elastyczne czastki elementarne rozpady czastek rozpraszanie nieelastyczne Dynamika relatywistyczna
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoMechanika relatywistyczna Wykład 13
Mechanika relatywistyczna Wykład 13 Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice http://kk.us.edu.pl Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 1/32 Czterowektory kontrawariantne
Bardziej szczegółowoJ. Szantyr - Wykład 3 Równowaga płynu
J. Szantyr - Wykład 3 Równowaga płynu Siły wewnętrzne wzajemne oddziaływania elementów mas wydzielonego obszaru płynu, siły o charakterze powierzchniowym, znoszące się parami. Siły zewnętrzne wynik oddziaływania
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 7 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 13 grudnia 2018r. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Bardziej szczegółowoARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA
Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY LISTOPAD 2011 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 180 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 1 V. Ruch obrotowy 1 (!)
Podstawy fizyki sezon 1 V. Ruch obrotowy 1 (!) Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Kinematyka ruchu
Bardziej szczegółowoFALE MATERII. De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 1924 wysunął hipotezę, że
FAL MATRII De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 194 wysunął hipotezę, że cząstki materialne także charakteryzują się dualizmem korpuskularno-falowym. Hipoteza de Broglie a Cząstce materialnej
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 1 IV. Pęd, zasada zachowania pędu
Podstawy fizyki sezon 1 IV. Pęd, zasada zachowania pędu Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Pęd Rozważamy
Bardziej szczegółowoMatematyka rozszerzona matura 2017
Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:
Bardziej szczegółowoWażną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y)
Wykład 6 Funkcje harmoniczne Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. e f i n i c j a Funkcję u (x 1, x 2,..., x n ) nazywamy harmoniczną w obszarze R n wtedy i
Bardziej szczegółowoLista 6. Kamil Matuszewski 13 kwietnia D n =
Lista 6 Kamil Matuszewski 3 kwietnia 6 3 4 5 6 7 8 9 Zadanie Mamy Pokaż, że det(d n ) = n.... D n =.... Dowód. Okej. Dla n =, n = trywialne. Załóżmy, że dla n jest ok, sprawdzę dla n. Aby to zrobić skorzystam
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na
Bardziej szczegółowokwantowanie: Wskazówka do wyprowadzenia (plus p. Gaussa) ds ds Wykład VII: Schrodinger Klein Gordon, J. Gluza
kwantowanie: Wskazówka do wyprowadzenia (plus p. Gaussa) ds ds V Erwin Schrodinger Austriak 1926 (4 prace) Nobel (wraz z Dirakiem), 1933 Paradoks kota Banknot 1000 szylingowy Czym jest życie? (o teorii
Bardziej szczegółowoFizyka do przodu w zderzeniach proton-proton
Fizyka do przodu w zderzeniach proton-proton Leszek Adamczyk (KOiDC WFiIS AGH) Seminarium WFiIS March 9, 2018 Fizyka do przodu w oddziaływaniach proton-proton Fizyka do przodu: procesy dla których obszar
Bardziej szczegółowoMatematyczne Metody Fizyki II
Matematyczne Metody Fizyki II Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład / 6 Ortonormalne
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101 MAP1067
1 Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 14 Funkcje wielu zmiennych. Płaszczyzna styczna. Ekstrema Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady do zadania
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................
Bardziej szczegółowoGeometria Struny Kosmicznej
Spis treści 1 Wstęp 2 Struny kosmiczne geneza 3 Czasoprzestrzeń struny kosmicznej 4 Metryka czasoprzestrzeni struny kosmicznej 5 Wyznaczanie geodezyjnych 6 Wykresy geodezyjnych 7 Wnioski 8 Pytania Wstęp
Bardziej szczegółowoCałki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej
Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 1 XI. Mechanika relatywistyczna
Podstawy fizyki sezon 1 XI. Mechanika relatywistyczna Agnieszka Obłąkowska-Mucha AGH, WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Fizyka
Bardziej szczegółowoOCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY
Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) x = x. I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie wzoru funkcji w postaci sumy OCENIANIE
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający
Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Ruch skutkiem działania
Bardziej szczegółowoOddziaływania. Przekrój czynny Zachowanie liczby leptonowej i barionowej Diagramy Feynmana. Elementy kwantowej elektrodynamiki (QED)
Oddziaływania Przekrój czynny Zachowanie liczby leptonowej i barionowej Diagramy Feynmana Elementy kwantowej elektrodynamiki (QED) Teoria Yukawy Zasięg oddziaływań i propagator bozonowy Równanie Diraca
Bardziej szczegółowoFUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006
FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)
Bardziej szczegółowoElementy rachunku różniczkowego i całkowego
Elementy rachunku różniczkowego i całkowego W paragrafie tym podane zostaną elementarne wiadomości na temat rachunku różniczkowego i całkowego oraz przykłady jego zastosowania w fizyce. Małymi literami
Bardziej szczegółowoBryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka
Bryła sztywna Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka Moment bezwładności Prawa ruchu Energia ruchu obrotowego Porównanie ruchu obrotowego z ruchem postępowym Przypomnienie Równowaga bryły
Bardziej szczegółowoEfekt Comptona. Efektem Comptona nazywamy zmianę długości fali elektromagnetycznej w wyniku rozpraszania jej na swobodnych elektronach
Efekt Comptona. Efektem Comptona nazywamy zmianę długości fali elektromagnetycznej w wyniku rozpraszania jej na swobodnych elektronach Efekt Comptona. p f Θ foton elektron p f p e 0 p e Zderzenia fotonów
Bardziej szczegółowoWiadomości wstępne. Krótka historia Przekrój czynny Układ jednostek naturalnych Eksperymenty formacji i produkcji
Wiadomości wstępne Krótka historia Przekrój czynny Układ jednostek naturalnych Eksperymenty formacji i produkcji Historia fizyki cząstek w pigułce 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 000 Bevatron PS AGS
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna
Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 (5.11.07) Funkcja logistyczna Rozważmy funkcję logistyczną y = f 0 (t) = 40 1+5e 0,5t Funkcja f może być wykorzystana np. do modelowania wzrostu masy ziaren kukurydzy (zmienna
Bardziej szczegółowoKomputerowa Analiza Danych Doświadczalnych
Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Prowadząca: dr inż. Hanna Zbroszczyk e-mail: gos@if.pw.edu.pl tel: +48 22 234 58 51 konsultacje: poniedziałek, 10-11; środa: 11-12 www: http://www.if.pw.edu.pl/~gos/students/kadd
Bardziej szczegółowo