Algebra liniowa z geometrią analityczną

Transkrypt

1 WYKŁAD. Własności zbiorów liczbowych. Podzielność liczb całowitych, relacja przystawania modulo, twierdzenie chińsie o resztach. Liczby całowite Liczby 0,±,±,±3,... nazywamy liczbami całowitymi. Zbiór wszystich liczb o całowitych oznaczamy przez Z. Liczbami naturalnymi nazywamy zbiór liczb całowitych dodatnich:,, 3,..., i oznaczamy przez N. Własnościami liczb całowitych zajmuje się Teoria Liczb - najstarsza, obo Geometrii, dyscyplina matematyczna. Wiele najtrudniejszych, dotąd jeszcze nierozwiązanych problemów matematycznych wywodzi się właśnie z Teorii Liczb. Obecnie przypomnimy i pogłębimy szereg zagadnień dotyczących liczb całowitych, a taże przedstawimy ila najważniejszych problemów, woół tórych oncentruje się atualny nurt badań. Algorytm Eulidesa Pierwszego w historii matematyi algorytm, to właśnie Algorytm Eulidesa. Służy on do znajdowaniu najwięszego wspólnego dzielnia dwóch liczb naturalnych. Definicja Niech d i n będą liczbami naturalnymi. Mówimy, że d dzieli n jeśli istnieje taa liczba naturalna, że n = d. Liczbę d nazywamy wówczas dzielniiem liczby n. Przyład 6 dzieli 4 ponieważ 8 = 6 4. Natomiast 6 nie dzieli 0 ponieważ równanie 0 = 6 nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych. Fat podzielności liczby n przez d zapisujemy jao d n. Uwaga Każda liczba naturalna n ma sończoną liczbę różnych dzielniów. Oznaczamy ją przez τ (n). Na przyład, τ(0) = 6 ponieważ 0 ma sześć różnych dzielniów:,, 4, 5, 0, 0. /6

2 Liczbę dzielniów danej liczby n możemy odczytać z następującego Diagramu Leibniza: Liczba gwiazde widniejących nad n to liczba jej dzielniów τ (n). Twierdzenie. (O dzieleniu z resztą) Dla dowolnych liczb całowitych n i d, przy czym d > 0, istnieje doładnie jedna para liczb całowitych q i r taa, ze n = dq + r, 0 r < d. Liczbę q nazywamy ilorazem, a r resztą z dzielenia n przez d. Przyład. Jeśli n = 5 i d = 7, to q = 3 i r = 4 ponieważ 5 = , 0 4 < 7. Jeśli n = 5 i d = 7, to q = 4 i r = 3, ponieważ 5 = 7 ( 4) + 3, 0 3 < 7. Definicja. Najwięszym wspólnym dzielniiem liczb naturalnych m i n nazywamy najwięszą liczbę naturalną dzielącą jednocześnie m i n. Oznaczamy ją przez (m, n). Na przyład, (00, 770) = 54 ponieważ 54 dzieli zarówno liczbę 00 ja i 770 i jest najwięszą liczbą naturalną o tej własności. Opiszemy teraz zasadę działania Algorytmu Eulidesa, pozwalającego dla zadanych liczb naturalnych m i n znaleźć ich najwięszy wspólny dzielni NWD (m, n). Przypuśćmy, że m n. W pierwszym rou wyonujemy dzielenie m przez n i otrzymujemy, zgodnie z twierdzeniem o dzieleniu z resztą iloraz q i resztę r m q n dla 0 r n. r /6

3 Jeżeli r 0, to możemy wyonać drugie dzielenie n przez r, tóre daje drugi iloraz q i drugą resztę r : m qn r dla 0 r r. Jeżeli ponownie r 0, to dzielimy znowu r przez r i dostajemy iloraz q 3 i resztę r 3 spełniające waruni Jest jasne, że w ońcu otrzymamy r 0 dla pewnego naturalnego, ponieważ ciąg liczb całowitych r r r... jest z malejący i ograniczony z dołu przez 0. 3 Twierdzimy teraz, że jeżeli r 0, to NWD(m, n) = r W istocie, wystarczy zauważyć, że równość m = nq + r pociąga za sobą równość NWD(m, n) = (q, r). Stosując to spostrzeżnie do olejnych równości otrzymamy NWD (m, n) = ( r, r ) r. Przyład Niech m = 00 a n = 770. Powtarzając dzielenie z resztą na olejnych parach dostajemy ciąg równości: 00 = , 770 = , 46 = , 308 = 54. Zatem, NWD(00, 770) = 54. Algorytm Eulidesa pozostaje wciąż jedną z najbardziej efetywnych metod wyznaczania najwięszego wspólnego dzielnia. Algorytm Eulidesa ma zastosowanie w bujnie rozwijającej się ostatnio Kryptografii dziedzinie zajmującej się szyfrowaniem informacji. 3/6

4 Liczby pierwsze Każda liczba naturalna n > posiada, co najmniej dwa różne dzielnii, i n. Definicja Liczbę p > nazywamy liczbą pierwszą, jeżeli i p są jedynymi jej dzielniami. Liczbę naturalną n >, tóra nie jest pierwszą nazywamy liczbą złożoną. Liczby pierwsze możemy rozpoznać w Diagramie Leibniza, jao te, nad tórymi świecą doładnie dwie gwiazdi. Twierdzenie (Eulides) Liczb pierwszych jest niesończenie wiele. Dowód. Przypuśćmy, że p = < p = 3 <... < pr są wszystimi liczbami pierwszymi. Przyjmijmy P = pp...pr + i niech p będzie dzielniiem pierwszym liczby P. Wtedy liczba p nie może być z żadną z liczb pi, gdyz w przeciwnym razie, dzieliłaby różnicę P pp...pr =, co jest niemożliwe. Zatem p, p,..., pr nie są wszystimi liczbami pierwszymi. Twierdzenie Odstępy pomiędzy olejnymi liczbami pierwszymi mogą być dowolnie duże. Proof. W istocie, niech n będzie liczbą naturalną Rozważmy ciąg n olejnych liczb naturalnych n! +, n! + 3,..., n! + n. Ponieważ żadna z nich nie moż być liczbą pierwszą, twierdzenie jest udowodnione. Znacznie trudniej udowodnić prawdziwość następującego twierdzenia, znanego jao Postulat Bertranda. Twierdzenie (Postulat Bertranda) W ażdym przedziale [n, n], n =,,...znajduje się liczba pierwsza. A jeszcze trudniejsze są dowody słynnego Twierdzenia Dirichleta czy Twierdzenia o Liczbach Pierwszych. Twierdzenie 5. (Twierdzenie Dirichleta) Jeżeli (a, b) =, to ciąg arytmetyczny an + b, n = 0,,,... zawiera niesończenie wiele liczb pierwszych. Twierdzenie (Twierdzenie o Liczbach Pierwszych) Niech π(n ) oznacza liczbę liczb pierwszych w przedziale [,N]. Wówczas 4/6

5 Podstawowe Twierdzenie Arytmetyi Twierdzenie Każda liczba całowita n > rozłada się na iloczyn liczb pierwszych n... p p p t, gdzie p p... pt są liczbami pierwszymi Zauważmy, że jeżeli n = ab, to liczby a i b nie mogą być jednocześnie więsze od n. Stąd wynia, że dowolna liczba złożona n posiada dzielni pierwszy nieprzewyższających n. Rozład liczby na iloczyn potęg różnych liczb pierwszych p (.) n p p..., gdzie p p... p i i 0, dla i,,3,..., nazywamy rozładem anonicznym liczby n Twierdzenie (Podstawowe Twierdzenie Arytmetyi) Rozład anoniczny liczby całowitej n > jest jednoznaczny. Na przyład, 00 = 7 3 jest jedynym możliwym rozładem anonicznym liczby 00. Podobnie, 5! = = Funcja Eulera. Niech N będzie liczbą naturalną. Symbolem ϕ(n) oznaczamy liczbę niesracalnych ułamów właściwych o mianowniu N. Na przyład, ϕ(8) = 6, bo istnieje doładnie 6 taich ułamów o mianowniu 8: 5, 8 8 7, 8 Funcja N ϕ(n) nosi nazwę Funcji Eulera. Tabela początowych wartości funcji Eulera: 3 7,,, /6

6 N ϕ(n) Wartość ϕ(n ) zależy od rozładu liczby N na czynnii pierwsze. Na przyład, jeżeli N = p jest liczbą pierwszą, to ϕ(p) = p. Ogólnie, jeśli liczba pierwsza p dzieli N, to należy pominąć wszystie ułami, tórych liczni dzieli się przez p. Ta obserwacja pozwala na znalezienie wzoru na funcję ϕ(n). Twierdzenie Niech N p p... p N na czynnii pierwsze. Wówczas r r ( N) N( )( )...( ). p p p będzie anonicznym rozładem liczby r Wzór powyższy można zapisać w postaci równoważnej. ( N) ( p r r p )( p p )...( pr pr ) Przyład Obliczymy wartość funcji Eulera dla N = 00. Ponieważ 00 = 7 3, więc, na mocy wzoru powyżej mamy ϕ(00) = 6 0 = 70. Wniose. Dla dowolnych liczb całowitych dodatnich M, N taich, że NWD (M, N) = zachodzi wzór ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n ). Funcja Eulera posiada jeszcze wiele innych cieawych własności, tóre poznamy w dalszym ciągu. 6/6