RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

Marian Gewer Zbigniew Skoczlas RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Teoria, przkład, zadania Wdanie pięnase zmienione GiS Oficna Wdawnicza GiS Wrocław 2016

Marian Gewer Wdział Maemaki Poliechnika Wrocławska marian.gewer@ pwr.edu.pl Zbigniew Skoczlas Wdział Maemaki Poliechnika Wrocławska zbigniew.skoczlas@ pwr.edu.pl Projek okładki IMPRESJA Sudio Grafiki Reklamowej Coprigh c 1996 2016 b Oficna Wdawnicza GiS Uwór w całości ani we fragmenach nie może bć powielan ani rozpowszechnian za pomocą urządzeń elekronicznch, mechanicznch, kopiującch, nagrwającch i innch. Ponado uwór nie może bć umieszczan ani rozpowszechnian w posaci cfrowej zarówno w Inernecie, jak i w sieciach lokalnch, bez pisemnej zgod posiadacza praw auorskich. Skład wkonano w ssemie L A TEX. ISBN 978 83 62780 32 7 Wdanie XV zmienione, Wrocław 2016. Oficna Wdawnicza GiS, s.c., www.gis.wroc.pl Druk i oprawa: Oficna Wdawnicza ATUT 4

Spis reści Wsęp 7 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu 9 1.1 Przkład i pojęcia wsępne........................ 9 1.2 Równania różniczkowe o zmiennch rozdzielonch............ 16 1.3 Równania różniczkowe jednorodne.................... 21 1.4 Równania różniczkowe liniowe....................... 26 1.5 Równanie różniczkowe Bernoulliego.................... 32 1.6 Równania różniczkowe zupełne. Cznnik całkując........... 35 1.7 Zagadnienia prowadzące do równań różniczkowch........... 41 1.8 Pojęcia wsępne dla równań różniczkowch drugiego rzędu....... 52 1.9 Równania różniczkowe drugiego rzędu sprowadzalne do równań pierwszego rzędu................................. 54 Zadania...................................... 60 2 Równania różniczkowe liniowe drugiego rzędu 65 2.1 Przkład i pojęcia wsępne........................ 65 2.2 Równania różniczkowe liniowe jednorodne................ 68 2.3 Równania różniczkowe liniowe o sałch współcznnikach....... 73 2.4 Równania różniczkowe liniowe niejednorodne.............. 80 2.5 Meoda uzmienniania sałch....................... 82 2.6 Meoda współcznników nieoznaczonch................. 85 Zadania...................................... 97 3 Układ równań różniczkowch 101 3.1 Przkład i pojęcia wsępne........................ 101 3.2 Układ równań różniczkowch liniowch................. 109 3.3 Układ jednorodne równań różniczkowch liniowch.......... 116 3.4 Układ równań różniczkowch liniowch o sałch współcznnikach.. 119 3.5 Układ niejednorodne równań różniczkowch liniowch......... 135 3.6 Meoda uzmienniania sałch....................... 137 3.7 Sabilność punków równowagi układów auonomicznch........ 142 Zadania...................................... 159 5

4 Elemen rachunku operaorowego 165 4.1 Przekszałcenie Laplace a......................... 165 4.2 Meoda operaorowa rozwiązwania równań różniczkowch...... 169 4.3 Własności przekszałcenia Laplace a................... 174 4.4 Splo funkcji................................ 176 Zadania...................................... 178 Odpowiedzi 181 Lieraura 189 Skorowidz 190 6

1 Wsęp Książka jes przeznaczona dla sudenów poliechnik. Omówiono w niej równania różniczkowe zwczajne w zakresie programu uczelni echnicznch. Podręcznik składa się ze wsępu, czerech rozdziałów podzielonch na podrozdział, odpowiedzi do zadań, spisu lieraur oraz skorowidza. W pierwszm rozdziale omówiono podsawowe p równań różniczkowch zwczajnch pierwszego rzędu. Ponado omówiono równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego. Rozdział drugi poświęcon jes równaniom liniowm rzędu drugiego. Kolejn rozdział rakuje o układach liniowch równań różniczkowch rzędu pierwszego oraz o sabilności punków równowagi układów auonomicznch. Osani rozdział jes poświęcon przekszałceniu Laplace a i jego wkorzsaniu do rozwiązwania równań różniczkowch liniowch. W każdm rozdziale przedsawiono przkład z pełnmi rozwiązaniami. Mogą one służć jako wzorzec prz samodzielnm rozwiązwaniu zadań podanch na końcu rozdziału. Zadania są z reguł rachunkowe, jednak ich samodzielne rozwiązanie gwaranuje lepsze opanowanie maeriału. Meod rozwiązwania równań różniczkowch są ak przedsawione, ab suden, kór zna analizę (pochodne, całki) oraz algebrę (pierwiaski wielomianów, układ równań liniowch), bez rudności je zrozumiał. W obecnm wdaniu zmieniono układ maeriału oraz przeredagowano rozwiązania niekórch zadań. Ponado poprawiono zauważone błęd i userki. Dziękujem Koleżankom i Kolegom z Wdziału Maemaki Poliechniki Wrocławskiej za uwagi o poprzednich wdaniach. Marian Gewer Zbigniew Skoczlas 7

1 Równaniaróżniczkowe pierwszego rzędu 1 1.1 Przkład i pojęcia wsępne Przkład 1. Prędkość rozpadu pierwiaska promieniowórczego jes ujemna i proporcjonalna do mas subsancji, kóra w danej chwili jeszcze się nie rozpadła. Współcznnik proporcjonalności k > 0, będąc wielkością charakersczną dla danej subsancji, jes sał. Wznaczć zależność mas pierwiaska od czasu. Rozwiązanie. Jeżeli przez m() oznaczm ilość subsancji w chwili, o powższe prawo można zapisać w posaci m ()= km(). Związek wrażając zależność międz funkcjąm(), jej pochodnąm () oraz zmienną niezależną, nazwam równaniem różniczkowm rzędu pierwszego. Ławo sprawdzić, że każda funkcja posaci m()=ce k, gdzie C R, spełnia orzmane równanie, czli jes jego rozwiązaniem. Wkres rozwiązania równania nazwam jego krzwą całkową (rs.). Oczwiście z fizcznego punku widzenia rozwiązania dlac<0 nie mają sensu masa nie może bć ujemna. Pomijając en aspek nasuwa się panie, cz isnieją również inne funkcje będące rozwiązaniami rozważanego równania. Odpowiedź jes negawna. Powższ wzór określa wszskie możliwe rozwiązania rozważanego równania. m m()=ce k,c>0 m()=ce k,c<0 9

10 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Na funkcję m() możem nałożć pewne dodakowe warunki, zw. warunki począkowe. W naszm przpadku będzie o ilośćm 0 subsancji w pewnej chwili 0, co zapisujem m( 0 )=m 0. Zaem podsawiając w orzmanm wzorze= 0 i wkorzsując warunekm( 0 )=m 0 mam m 0 =Ce k0. Sąd C=m 0 e k0. Tak więc zależność pomiędz masą subsancji a czasem określona jes wzorem m()=m 0 e k( 0). Wkres rozwiązania przedsawiono na rsunku poniżej. Zauważm, że m() 0, gd. Oznacza o, iż z upłwem czasu ilość pierwiaska promieniowórczego maleje do zera niezależnie od jego mas począkowej. m 0 m m()=m 0 e k( 0) Przkład2. Okres połowicznego rozpadu promieniowórczego węgla C-14 wnosi 5 730 la. Obliczć, jaki procen mas wjściowej pierwiaska pozosanie po 10 000 la. Rozwiązanie. Jak wnika z poprzedniego przkładu zależność pomiędz masą subsancji promieniowórczejmaczasem(uaj liczonm w laach) ma posać m()=m 0 e k( 0), gdziem 0 oznacza masę subsancji w chwili począkowej 0, ak współcznnik proporcjonalności (zależn od czasu połowicznego zaniku). Przjmując 0 =0 orzmam m()=m 0 e k. Wkorzsując fak, że okres połowicznego zaniku węgla C-14 wnosi 5 730 la mam Sąd k = ln 2/5730. Tak więc m(5730)=m 0 e k5730 = m 0 2. m()=m 0 exp ( ln2 ) 5730. Zaem po 10 000 laach węgiel C-14 będzie miał masę ( m(10000)=m 0 exp ln2 ) 5730 10000. Czas, po upłwie kórego rozpada się połowa mas pierwiaska. 0

Przkład i pojęcia wsępne 11 Sąd procen mas wjściowej pierwiaska, kór pozosanie po 10 000 la, wnosi ( m(10000) 100%=exp ln2 ) m 0 5730 10000 100% 29.83%. Przkład3. Znaleźć krzwą przechodzącą przez punk( 0, 0 )( 0 >0) aką, że odcinek scznej zawar międz osiami układu współrzędnch dzieli się na równe części w punkcie sczności (rs.). Rozwiązanie. Niech = () (>0) będzie szukaną krzwą. Wed 2() 2 =gα. Z inerpreacji geomercznej pochodnej wnika równość ()=g(π α)= gα. 2() () Zaem funkcja() spełnia równanie różniczkowe =. α 2 =() Ławo sprawdzić, że dla dowolnej sałej rzeczwisejc funkcja określona wzorem ()= C jes rozwiązaniem orzmanego równania (rs.). Jeżeli w rozwiązaniu wkorzsam warunek( 0 )= 0, o orzmam 0 =C/ 0. SądC= 0 0. Szukaną krzwą jes zaem hiperbola równoosiowa ()= 0 0. = C,C>0 0 0 = 0 0 = C,C<0

12 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Definicja1.1. (równanie różniczkowe zwczajne pierwszego rzędu) Równanie (R) =f(,). nazwam równaniem różniczkowm zwczajnm pierwszego rzędu w posaci normalnej. Uwaga. Ogólną formą równania różniczkowego rzędu pierwszego nazwam równanie posaci F(,, )=0. Inaczej mówiąc, równanie różniczkowe rzędu pierwszego wiąże zmienną niezależną, zmienną zależną i jej pochodną. Będziem się posługiwali również formą różniczkową równania różniczkowego, czli równaniem posaci P(,)d+Q(,)d=0. Definicja1.2. (rozwiązanie równania różniczkowego ikrzwa całkowa) Funkcję () nazwam rozwiązaniem na przedziale(a, b) równania różniczkowego (R), jeżeli na m przedziale jes różniczkowalna i zamienia równanie w ożsamość () f(,()). Wkres rozwiązania równania różniczkowego nazwam krzwą całkową (rs. 1.1). =() a b Rs. 1.1. Krzwa całkowa Uwaga. Analogicznie określam rozwiązania równania różniczkowego na przedziałach: [a,b),(a,b],[a,b],(,b],[a, ). Rozwiązanie równania różniczkowego zadane w posaci uwikłanej Φ(, ) = 0 nazwam całką równania. Ponieważ każde rozwiązanie jes całką (niekoniecznie odwronie), więc częso w odniesieniu do rozwiązań użwa się akże erminu całka. Sąd mówim zwczajowo scałkować równanie różniczkowe. Przkład 4. Sprawdzić, że podana funkcja (funkcja uwikłana) jes rozwiązaniem (całką) wskazanego równania różniczkowego na zadanm przedziale: (a)()= ln ( 1 e ), =e +, (,0); (b)e =1, = 2 1+, (0, ).

Przkład i pojęcia wsępne 13 Rozwiązanie. (a) Funkcja()= ln ( 1 e ) określona na przedziale(,0) jes na nim różniczkowalna oraz ()= e 1 e. Z drugiej sron dla (,0) mam e +() =e ln(1 e ) =e e ln(1 e ) = e 1 e. Zaem ()=e +() dla (,0). To oznacza, że funkcja() jes rozwiązaniem równania =e + na przedziale(,0). (b) Niech() będzie funkcją uwikłaną określoną na(0, ) równanieme =1. Zaem()e () =1 dla (0, ). Różniczkując obusronnie ę równość orzmam Sąd po prosch przekszałceniach mam ()e () +()e () (()+ ())=0. ()= 2 () 1+(). To oznacza, że funkcja uwikłana () jes na przedziale(0, ) całką wskazanego równania. Definicja 1.3. (zagadnienie począkowe) Równanie różniczkowe (R) oraz warunek (W) ( 0 )= 0 nazwam zagadnieniem począkowm lub zagadnieniem Cauch ego. Uwaga. Zagadnienie począkowe będziem zapiswali w posaci (RW) =f(,), ( 0 )= 0. Liczb 0 i 0 nazwam warościami począkowmi, a (W) warunkiem począkowm. Definicja 1.4. (rozwiązanie zagadnienia począkowego) Funkcję () nazwam rozwiązaniem zagadnienia począkowego (RW), jeżeli jes rozwiązaniem równania (R) na pewnm przedziale zawierającm punk 0 i spełnia warunek (W). Uwaga. W inerpreacji geomercznej, rozwiązanie zagadnienia począkowego polega na wbraniu spośród krzwch całkowch równania (R) ej, kóra przechodzi przez punk( 0, 0 ) (rs.1.2). Augusin Louis Cauch (1789-1857), maemak francuski.

14 Równania różniczkowe pierwszego rzędu 0 =() krzwe całkowe 0 Rs. 1.2. Zgadnienie począkowe może mieć więcej niż jedno rozwiązanie. Dla przkładu zagadnienie =2, (0)=0 ma nieskończenie wiele rozwiązań. Rzeczwiście, ławo sprawdzić, że () 0 jes jego rozwiązaniem. Ponado rozwiązaniami są funkcje określone wzorem { 0 dla C, C ()= ( C) 2 dla >C, gdziec 0 (rs.). = C () C Przkład5. Sprawdzić, że dla każdego rzeczwisegoc funkcja()= 2( C 4 1 ) C 4 +1 jes na R rozwiązaniem równania różniczkowego + 2 =4. Nasępnie znaleźć rozwiązania ego równania spełniające warunek począkow (1) = 1. Rozwiązanie. Niech C będzie dowolną liczbą rzeczwisą. Różniczkując funkcję () względem zmiennejorzmam ()= 8C3( C 4 +1 ) 8C 3( C 4 1 ) (C 4 +1) 2 = 16C3 (C 4 +1) 2. Zaem dla R mam ( ( ()+ 2 16C 3 2 C 4 1 ) ) 2 ()= (C 4 +1) 2+ C 4 +1 = 16C4 +4 ( C 4 1 ) 2 (C 4 +1) 2 = 4 ( C 4 +1 ) 2 (C 4 +1) 2 =4.

Przkład i pojęcia wsępne 15 To oznacza, że dla każdego rzeczwisego C funkcja () jes rozwiązaniem na R równania + 2 =4. Wkorzsując warunek począkow mam 1=(1)= 2(C 1) C+1. Sąd C = 3. Zaem rozwiązanie zagadnienia począkowego dane jes wzorem ()= 2( 3 4 1 ) 3 4 ( R). +1 TWIERDZENIE1.1. (isnienie i jednoznacznaczność rozwiązań równania (R)) Jeżeli funkcjaf(,) oraz jej pochodna cząskowa( f/ )(,) są ciągłe na obszarze D R 2, o dla każdego punku( 0, 0 ) D zagadnienie począkowe ma lko jedno rozwiązanie. =f(,), ( 0 )= 0 Uwaga. Inaczej mówiąc, dla dowolnego punku( 0, 0 ) z obszaru D isnieje rozwiązanie zagadnienia począkowego (RW). Co więcej, jeżeli dane są dwa rozwiązania o ch samch warościach począkowch (W), określone na wspólnm przedziale, o pokrwają się one. Badanie isnienia rozwiązań zagadnień począkowch oraz ich jednoznaczności jes jednm z problemów eorii równań różniczkowch zwczajnch. Inerpreacja geomerczna równania różniczkowego rzędu pierwszego Niech w równaniu (R) funkcjaf(,) będzie ciągła na obszarzed R 2. W każdm punkcie( 0, 0 ) ego obszaru narsujem odcinek o długości 1 o środku w m punkcie, leżąc na prosej, kórej współcznnik kierunkow jes równf( 0, 0 ) (rs.1.3). Odcinki e nazwam kierunkami równania różniczkowego (R). Równanie różniczkowe określa na obszarzed pole kierunków (rs. 1.4 a). Niech=() będzie krzwą całkową równania różniczkowego (R). Gd krzwa a przechodzi przez punk( 0, 0 ) D, o oczwiście 0 =( 0 ) oraz ( 0 )=f( 0,( 0 ))=f( 0, 0 ). 0 =() α 0 Rs. 1.3. gα=f( 0, 0 )

16 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Krzwa całkowa jes więc w punkcie( 0, 0 ) sczna do kierunku równania. Na odwró, jeżeli krzwa=() leż w obszarzed i w każdm jej punkcie(,) jes sczna do kierunku równania (R), o ()=f(,()), a więc=() jes krzwą całkową. Zaem scałkować równanie różniczkowe (R) na obszarze D znacz znaleźć w m obszarze wszskie krzwe, kóre w każdm punkcie będą sczne do kierunku równania (rs. 1.4 b). (a) (b) Rs.1.4. (a) Pole kierunków, (b) krzwe całkowe 1.2 Równania różniczkowe o zmiennch rozdzielonch Definicja1.5. (równanie różniczkowe o zmiennch rozdzielonch) Równanie różniczkowe, kóre można sprowadzić do posaci (S) =g()h(), nazwam równaniem o zmiennch rozdzielonch. Uwaga. Jeżelih( 0 )=0dla pewnego 0, o funkcja sała() 0 jes jednm z rozwiązań równania(s). FAKT1.1. (całka równania o zmiennch rozdzielonch) Jeżeli funkcjeg() ih() są ciągłe, prz czmh() 0dla każdego, o całka równania różniczkowego o zmiennch rozdzielonch(s) dana jes wzorem d h() = g()d+c, gdziec jes dowolną sałą rzeczwisą.

Równania różniczkowe o zmiennch rozdzielonch 17 Uwaga. Całki w powższm wzorze rozumiane są jako usalone funkcje pierwone. W niekórch przpadkach wgodniej jes do dalszch rozważań wbrać sałą całkowania w zw. posaci logarmicznej, j.ln C, gdziec R\{0}. Przkład 1. Scałkować równania różniczkowe o zmiennch rozdzielonch: (a) d d =2(+1); (b) = ; (c) = 1 2 ; (d)(1+)d+(1 )d=0. Rozwiązanie. (a) Równanied/d=2(+1) jes równaniem o zmiennch rozdzielonch(s), gdzieg()=2(+1) orazh()=. Po sprowadzeniu do form różniczkowej i rozdzieleniu zmiennch orzmam d =2(+1)d. Całkując obusronnie dosaniem d = Zaem całka równania ma posać 2(+1)d. ln =(+1) 2 +ln C, gdzie sałac jes dowolną liczbą rzeczwisą różną od zera. Sąd czli = C e (1+)2, ()= C e (+1)2 lub ()= C e (+1)2, co wobec dowolności sałejc można ująć jednm wzorem ()=Ce (+1)2. Zauważm, że h() =, więc () 0 jes również rozwiązaniem równania. Rozwiązanie o można orzmać z rozwiązania zawierającego sałą C, jeżeli dopuścim równość C=0. (b) Równanie = / jes równaniem o rozdzielonch zmiennch(s), w kórm g() =, h() = 1/, gdzie 0. Po przekszałceniu do form różniczkowej i rozdzieleniu zmiennch mam d= d. Całkując obusronnie orzmam Sąd całka równania ma posać d= d. 1 2 2 = 1 2 2 +C, czli 2 + 2 =C 1,

18 Równania różniczkowe pierwszego rzędu gdziec 1 =2C jes dowolną sałą dodanią. (c) Równanie = 1 2 jes równaniem o zmiennch rozdzielonch(s), w kórmg() 1orazh()= 1 2, gdzie ( 1,1). Po przekszałceniu do form różniczkowej i rozdzieleniu zmiennch mam d 1 2 =d. Całkując obusronnie orzmam d = 1 2 d. Sąd całka równania ma posać arcsin=+c, gdziec jes dowolną sałą rzeczwisą. Z całki ej możem orzmać rozwiązanie ()=sin(+c), gdzie π 2 C<<π 2 C. Zauważm, że równanieh()= 1 2 =0ma dwa rozwiązania=1i= 1. Zaem mam jeszcze rozwiązania() 1i() 1. Rozwiązań ch nie można orzmać z rozwiązania zawierającego sałą C. (d) Rozdzielając zmienne w równaniu (1 + ) d + (1 )d = 0, orzmam 1 Skąd po obusronnm scałkowaniu mam d= 1+ d. ln =ln ++C, gdzie C jes dowolną sałą rzeczwisą. Powższe równanie określa rozwiązanie w formie uwikłanej, zaem jes całką równania. Zauważm, że równanie (1 + ) d + (1 )d = 0 po prosch przekszałceniach można sprowadzić do posaci(s), w kórmg()=(+1)/,h()=/( 1), gdzie 1. To oznacza, że funkcja () 0 jes również rozwiązaniem. Rozwiązania ego nie da się orzmać z całki ln =ln ++C dla żadnej warościc. TWIERDZENIE1.2. (isnienie i jednoznaczność rozwiązań równania (S)) Jeżeli funkcjeg() ih() są ciągłe odpowiednio na przedziałach(a,b) i(c,d), prz czmh() 0dla (c,d), o dla dowolnch punków 0 (a,b), 0 (c,d) zagadnienie począkowe =g()h(), ( 0 )= 0, ma lko jedno rozwiązanie.

Równania różniczkowe o zmiennch rozdzielonch 19 Uwaga. Inaczej mówiąc, przez każd punk( 0, 0 ) prosokąa(a,b) (c,d) przechodzi lko jedna krzwa całkowa (rs. 1.5) równania =g()h(). d =() 0 c a 0 b Rs. 1.5. Prz czm krzwa a nie zawsze jes określona na całm przedziale(a, b). Ilusruje o poniższ przkład. Przkład 2. Wznaczć rozwiązanie równania różniczkowego o zmiennch rozdzielonch + 2 sin=3() 2 z warunkami począkowmi (a) (0) = 1; (b) (0) = 1. Podać przedział, na kórch rozwiązania są jednoznaczne. Rozwiązanie. Równanie + 2 sin=3() 2 jes równaniem o zmiennch rozdzielonch(s), gdzieg()=3 2 sin orazh()= 2. Funkcjag() jes ciągła na R, a funkcjah() jes ciągła i różna od zera na każdm z przedziałów(,0),(0, ). Rozdzielając zmienneimożem równanie zapisać w formie różniczkowej Skąd po obusronnm scałkowaniu mam Rozwiązanie ma zaem posać gdziec jes dowolną sałą rzeczwisą. d 2=(32 sin)d. 1 =3 +cos+c. 1 ()= 3 +cos+c, (a) Dla warunku począkowego(0)=1 założenia wierdzenia o isnieniu i jednoznaczności są spełnione odpowiednio na R i(0, ). Ponieważ 1=(0)= 1, więc C= 2. 1+C

20 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Zaem jednm rozwiązaniem zagadnienia począkowego + 2 sin=3() 2,(0)= 1 jes funkcja 1 ()= 3 +cos 2. Rozwiązanie o określone jes na przedziale(, b), gdzie b oznacza pierwiasek równaniab 3 +cosb=2. (b) Dla warunku począkowego(0)= 1, założenia wierdzenia o isnieniu i jednoznaczności są spełnione odpowiednio na R i(,0). Ponieważ 1=(0)= 1, więc C=0. 1+C Zaem jednm rozwiązaniem zagadnienia począkowego + 2 sin=3() 2,(0)= 1 jes funkcja 1 ()= 3 +cos. Rozwiązanie o określone jes na przedziale(a, ), gdzieaoznacza pierwiasek równaniaa 3 +cosa=0. Przkład 3. Rozwiązać zagadnienia począkowe dla równań różniczkowch o rozdzielonch zmiennch: (a) = e ++1, (0)= 1; (b) 2 + 2 =0, (1)=1. Rozwiązanie. (a) Równanie = e ++1 jes równaniem o rozdzielonch zmiennch(s), w kórmh()=e >0. Zaem nie ma ono rozwiązań dodakowch. Przekszałcając o równanie do posaci różniczkowej i rozdzielając zmienne mam Całkując obusronnie orzmam e d= e +1 d. e = e +1 +C, gdzie C jes dowolną sałą rzeczwisą. Sąd po prosch przekszałceniach dosaniem ()= ln ( e +1 C ). Wkorzsując warunek począkow mam 1=(0)= ln(e C). SądC=0. Tak więc rozwiązaniem zagadnienia począkowego jes funkcja określona dla R. ()= (+1)

Równania różniczkowe jednorodne 21 (b) Równanie 2 + 2 =0jes równaniem o rozdzielonch zmiennch(s), w kórmh()= 2. Ponieważh()= 2 =0dla=0, więc funkcja() 0jes jednm z rozwiązań. Oczwiście nie jes o rozwiązanie spełniające zadan warunek począkow. Rozdzielając w równaniu zmienne orzmam Sąd po scałkowaniu obu sron mam d 2= d 2. 1 =1 +C, gdzie C jes dowolną sałą rzeczwisą. Po prosch przekszałceniach orzmam rozwiązanie ()= 1+C. Wkorzsując warunek począkow mam 1=(1)= 1 C+1. Sąd C = 2. Zaem rozwiązaniem zagadnienia począkowego jes funkcja określona dla > 1/2. ()= 2 1 1.3 Równania różniczkowe jednorodne Definicja1.6. (równanie różniczkowe jednorodne) Równanie różniczkowe, kóre można zapisać w posaci (J) =f(u), gdzieu=, nazwam równaniem jednorodnm. FAKT1.2. (zamiana zmiennch w równaniu jednorodnm) Równanie jednorodne (J) przez zamianę zmiennch = u sprowadza się do równania o zmiennch rozdzielonch posaci u = 1 (f(u) u). Uwaga. Jeżelif(u 0 )=u 0 dla pewnegou 0, o jednm z rozwiązań równania (J) jes ()=u 0.

22 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Przkład 1. Scałkować równania różniczkowe jednorodne: (a) = + ; (b) d d = 2 2 2. Rozwiązanie. (a) Ponieważ + =1+, więc rozważane równanie jes równaniem jednorodnm(j), gdzief(u)=1+u u. Sosując podsawienie=u, mam =u+u, a równanie przjmuje posać Obusronnie całkując orzmam u +u=1+u, czliu = 1. u()=ln +ln C, gdzie sałą całkowania wbraliśm w posaci logarmicznej. Wracając do zmiennej mam ()=ln C, gdziec jes dowolną sałą różną od zera. (b) Ponieważ 2 2 2 2= ( 2, 1 ) więc równanie jes jednorodne posaci (J), gdzief(u)=2u/ ( 1 u 2). Podsawm = u, sąd d/d = u + du/d. Wed równanie przjmuje posać u+ du d = 2u 1 u2, czli du d =u+u3 1 u 2. Po rozdzieleniu zmiennch i rozkładzie na ułamki prose mam ( 1 u 2u ) 1+u 2 du= d. Sąd po obusronnm scałkowaniu orzmam ln u ln ( 1+u 2) =ln ln C, gdzie sałą całkowania wbraliśm w posaci logarmicznej. A dalej po prosch przekszałceniach mam ( u 2 1 ) = C u

Równania różniczkowe jednorodne 23 Zaem ( u 2 +1 ) ( u 2 +1 ) = C lub = C, u u co wobec dowolności sałejc można ująć jednm wzorem ( u 2 +1 ) =C. u Powracając do zmiennej, po przekszałceniach orzmam 2 + 2 =C, gdzie C jes dowolną różną od zera sałą. Wzór en określa rodzinę okręgów o środku w punkcie(0, C/2) i promieniu C /2, a więc scznch do osi O w począku układu współrzędnch. Zauważm, że skoro równanief(u)=2u/ ( 1 u 2) =u ma rozwiązanieu 0 =0, więc akże funkcja()=u 0 0 jes rozwiązaniem równania różniczkowego. TWIERDZENIE1.3. (isnienie i jednoznaczność rozwiązań równania (J)) Jeżeli funkcjaf(u) jes ciągła na przedziale(a,b) i spełnia am warunekf(u) u, o dla dowolnch punków( 0, 0 ) akich, żea< 0 / 0 <b zagadnienie począkowe ( =f, ( 0 )= 0, ) ma lko jedno rozwiązanie. Uwaga. Inaczej mówiąc, przez każd punk( 0, 0 ) obszaru{(,):a</<b} przechodzi lko jedna krzwa całkowa równania (J) (rs. 1.6). Prz czm krzwa a określona jes na pewnm przedzialei (0, ), gd 0 >0, a nai (,0), gd 0 <0. =a =() =b 0 0 Rs. 1.6. Przkład 2. Rozwiązać zagadnienia począkowe dla równań różniczkowch jednorodnch: (a) d + 2 d =2, (1)= 1; (b) = 2 2 2 2, (1)=2. Wznaczć przedział, na kórch rozwiązania są jednoznaczne.

24 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Rozwiązanie. (a) Ponieważ 2 + 2 = ( 1, + = ) + więc rozważane równanie jes równaniem jednorodnm(j), gdzief(u)=u+1/u. Funkcjaf(u) jes ciągła na każdm z przedziałów(0, ),(,0), a równanief(u)= u nie ma rozwiązań. Ze względu na warości począkowe 0 =1, 0 = 1 przjmujem, że (0, ) oraz (,0). Podsawiając=u i w konsekwencji =u+u równanie można przekszałcić do posaci Całkując obusronnie mam udu= d. u 2 =2(ln+C), gdzie C jes dowolną sałą rzeczwisą. Wracając do zmiennej orzmam całkę równania 2 =2 2 (ln+c). Uwzględniając fak, że < 0 oraz > 0 mam rozwiązanie ()= 2(ln+C). Uwzględniając warunek począkow (1) = 1 orzmam C = 1/2, a w konsekwencji rozwiązanie zagadnienia począkowego w posaci ( ()= 2 ln+ 1 ). 2 Rozwiązanie określone jes dla ch warości zmiennej, dla kórch spełniona jes nierównośćln+1/2>0. Zaem rozwiązanie jes określone na przedziale ( 1/ e, ). Z wierdzenia o isnieniu i jednoznaczności dla równań jednorodnch wnika, że rozwiązanie jes jedne. (b) Mam 2 2 2 2 2= 2. Równanie jes więc równaniem jednorodnm (J), gdzie f(u)= 2 u 2 1 u = (2 u)u 2u 1. Funkcjaf(u) jes ciągła na każdm z przedziałów(,1/2),(1/2, ). Ponado równanief(u)=unie ma rozwiązań w ch przedziałach. Ze względu na warości

Równania różniczkowe jednorodne 25 począkowe 0 =1, 0 =2 przjmujem, że (0, ) oraz (1/2, ). Dokonując podsawienia=u mam =u+u. W konsekwencji równanie wjściowe można przekszałcić na równanie różniczkowe o zmiennch rozdzielonch posaci u +u= (2 u)u 2u 1. Po prosch przekszałceniach i rozdzieleniu zmiennch orzmam 2u 1 u(1 u) du=3d. Rozkładając lewą sroną równania na ułamki prose ( ) 2u 1 1 u(1 u) du= 1 u 1 u i całkując obusronnie mam du ln 1 u ln u =3ln ln C, gdziec jes dowolną różną od zera sałą rzeczwisą. Sąd Zaem u(1 u) = C 3. u(1 u)= C 3 lub u(1 u)= C 3, co wobec dowolności sałejc można ująć jednm wzorem u(1 u)= C 3. Wracając do zmiennej, po prosch przekszałceniach, orzmam całkę posaci 2 + C =0. Z warunku(1)=2mam,c= 2. Zaem całka równania spełniająca warunek począkow ma posać 2 2 =0. Sąd wznaczając, prz uwzględnieniu, że (1/2, ), orzmam rozwiązanie zagadnienia począkowego ( ) ()= 1 2 + 2 + 8. Rozwiązanie o określone jes na przedziale(0, ). Z wierdzenia o isnieniu i jednoznaczności dla równań jednorodnch wnika, że rozwiązanie jes jedne.