MAP1149 ANALIZA MATEMATYCZNA 2.3 A MAP1150 ANALIZA MATEMATYCZNA 2.3 B Listy zadań

Transkrypt

1 MAP49 ANALIZA MATEMATYCZNA.3 A MAP5 ANALIZA MATEMATYCZNA.3 B Lis zadań Lisa.. Wznaczć i narsować dziedzin nauralne funkcji: f,)= 3 5 ; b)f,)=sin + ) + ; c)f,)= + 5 ; f,)=ln ; e)f,,z)= + + z ; f)f,,z)=arcsin + +z )... Wkresrs. c)) połączć z odpowiadającmi im poziomicamirs. A) C)) wkonanmi dla h =, 3,,,: z b) z c) z z= + z= 4 + ) z= + ) A) B) C).3. Naszkicować wkres funkcji: f,)= + ; b)f,)= 3+ ; c)f,)= + ++3; f,)=sin; e)f,)= ; f)f,)=..4. zasadnić, że nie isnieją granice funkcji: lim,),) 4 +4; b) lim,),).5. Obliczć granice funkcji: sin 4 +; c) lim,),) ; lim,),) cos + ) lim,),) + ) ; b) lim,),) + ; g 3 3) lim,),) 4 +4 ; e) lim +,),) c) lim,),) ; ; f) lim + ) sin,),).

2 .6. Korzsając z definicji obliczć pochodne cząskowe rzędu pierwszego funkcji we wskazanch punkach: f,)= +,,); b)f,)= +,,); dla,),) c)f,)= +,,); dla,)=,) f,,z)=,,,); e)f,,z)= z z,,,)..7. Obliczć wszskie pochodne cząskowe pierwszego rzędu funkcji: f,)= + f,,z)= + z +z3 ; ; b)f,)=arcg + ; c)f,)=esin ; e)f,,z)= + +z ;.8. Sprawdzić cz podana funkcja spełnia wskazane równanie: f,)=ln ++ ), f + f =; b)f,)= sin, f + f =f. Lisa f)f,,z)=sincossinz))... Obliczć wszskie pochodne cząskowe drugiego rzędu podanch funkcji i sprawdzić, cz pochodne cząskowe mieszane są równe: f,)=sin + ) ; b)f,)=e ; c)f,)=+ ; f,)=ln; e)f,,z)= + +z ; f)f,,z)=ln + 4 +z 6 + )... Obliczć wskazane pochodne cząskowe funkcji: 3 f, f,)=sin; b) 4 f, f,)=+ ; 3 f c) z, 3 f,,z)= ; z 5 f z, f,,z)=e+z..3. Sprawdzić, że funkcje: z=arcg ; b)z=+ ; c)z=+ln + ) ; z=+ spełniają warunek z z z + + =, gdzie,>..4. Napisać równania płaszczzn scznch do wkresów podanch funkcji we wskazanch punkach wkresu: z= +,,,z )=,3,z ); b)z=e +,,,z )=,,z ); c)z= arcsin arccos,,,z )= ) 3,,z ; z=,,,z )=,4,z )..5.Nawkresiefunkcjiz=arcg wskazaćpunk,wkórchpłaszczznascznajesrównoległado płaszczzn+ z=5. b)wznaczćrównaniepłaszczznscznejdowkresufunkcjiz=arccg +,kórajesprosopadłado prosej=,=,z=,gdzie R.

3 .6. Korzsając z definicji obliczć pochodne kierunkowe podanch funkcji we wskazanch punkach i kierunkach: ) f,)= +,, )=,), v=, ; ) b)f,)= 3 3,, )=,), v=, ; ) 3 c)f,,z)= +z,,,z )=,,), v= 3,4 3, Obliczć pochodne kierunkowe podanch funkcji we wskazanch punkach i kierunkach: ) f,)= +,, )= 3,4), v= 3,5 ; 3 b)f,)= ) 3 +,, )=,), v= 5, 4 ; 5 ) c)f,,z)=a e z 3,,,z )=,, ), v=, 3 4, ; 4 ) f,,z)=sinz+cosz sincos),,,z )=,,), v= 3, 3,. 3.8.Obliczćpochodnąkierunkowąfunkcjif,)= +ln).wpunkcie ), wkierunku wersora vworzącegokąαzdodanimzwroemosio.lajakiegokąaα,pochodnaamawarość,adla jakiego przjmuje warość największą? b)wznaczćwersor v,wkierunkukórchfunkcjaf,)= e + ) wpunkcie,)mapochodną kierunkową równą. Lisa Znaleźć eksrema funkcji: f,)=3 ) +4+) ; b)f,)= ; c)f,)= ; f,)=e + +) ; e)f,)= ), gdzie,>; f)f,)= 8 + +; gdzie,>. 3.. Wznaczć eksrema podanch funkcji, kórch argumen spełniają wskazane warunki: f,)= +,3+=6; b)f,)= + 8+, +=; c)f,)= ln,8+3=; f,)=+3, + = Znaleźć najmniejsze i największe warości podanch funkcji na wskazanch zbiorach: f,)= , =,) R : 4 } ; b)f,)= + 6+4, =,) R :+ 4,+ 6,, } ; c)f,)= +, =, R : + } ; f,)= +4 4, =,) R : 3 3, 3 } ; e)f,)= 4 + 4, =,) R : + 9 } ; ) ) f*)f,)= + +),= R. 3.4.WrójkącieowierzchołkachA=,5),B=,4),C=, 3)znaleźćpunkM=, ),dla kórego suma kwadraów jego odległości od wierzchołków jes najmniejsza. b) Jakie powinn bć długość a, szerokość b i wsokość h prosopadłościennej owarej wann o pojemności V, ab ilość blach zużej do jej zrobienia bła najmniejsza? 3

4 c) Znaleźć odległość międz prosmi skośnmi: + =, k: z+ =, l: +3 =, z =. ProsopadłościennmagaznmamiećobjęośćV=6m 3.obudowścianmagaznuużwanesąpł wcenie3zł/m,dobudowpodłogiwcenie4zł/m,asufiuwceniezł/m.znaleźćdługośća,szerokość b i wsokość c magaznu, kórego kosz budow będzie najmniejsz. f)firmaprodukuje3i4caloweelewizorplazmowewcenachzbuodpowiednio4ei6ezaszukę. Kosz wprodukowania szuk elewizorów 3 calowch i 4 calowch wnoszą K,)= ++ e. Ile szuk elewizorów 3 i 4 calowch powinna wprodukować firma ab osiągnąć jak największ zsk? Lisa Obliczć całki podwójne po wskazanch prosokąach: + ) dd,gdzier=[,] [,]; b) R R R R dd ++) 3,gdzieR=[,] [,]; c) sindd,gdzier=[,] [,]; e dd,gdzier=[,] [,]. 4.. Całkę podwójną f, ) dd zamienić na całki ierowane, jeżeli obszar ograniczon jes krzwmi o równaniach: +=, 3 = ; b) + =4, =, =, ); c) =; 4.3. Obliczć całki ierowane: =, + =3<). 4 d d; b) 4 d Narsować obszar całkowania. d; c) d ) d; 3 d 4.4. Narsować obszar całkowania, a nasępnie zmienić kolejność całkowania w całkach: d f,)d; b) d f,)d; e) d f,)d; c) d sin cos f,)d; f) 4 e d d 4 ln f,)d; f,)d. +6d Obliczć podane całki po obszarach normalnch ograniczonch wskazanmi krzwmi: dd, :=,= ; b) dd, :=,=,= ; c) +)dd, :=,=,=3 ); +4 ) dd, :=+3,= +3+3; e) 3+)dd, :=,=,=,=sin; f) e dd, :=,=,=; g) e dd, :=,=,= ln3; h) e dd, :=,=,=. 4

5 Lisa 5 * 5.. Obliczć podane całki podwójne po wskazanch obszarach: min,)dd,gdzie=[,] [,]; b) + dd,gdzie=[,] [,]; c) dd,gdzie=,) R :, 3 } ; sgn + ) dd,gdzie=,) R : + 4 }. waga. Smbol mina, b) oznacza mniejszą spośród liczb a, b, z kolei u oznacza część całkowią liczb u. 5.. Obliczć warości średnie podanch funkcji na wskazanch obszarach: [ f,)=sincos,gdzie=[,], ] ; b)f,)=+,gdzie:, sin Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczć podane całki podwójne po wskazanch obszarach: dd,gdzie:, + ; b) e + dd,gdzie:,, + ; c) dd,gdzie: + ; dd,gdzie: + ; e) + ) dd,gdzie:, + ; f*) + dd,gdzie:, + ) 4 ). Obszar naszkicować we współrzędnch karezjańskich i biegunowch. Lisa Obliczć podane całki porójne po wskazanch prosopadłościanach: dddz,gdzie=[,] [,e] [,e]; z b) ++z)dddz,gdzie=[,] [,3] [3,4]; c) sinsin+)sin++z)dddz,gdzie=[,] [,] [,]; +)e +z dddz,gdzie=[,] [,] [,]. 6.. Całkę porójną f,,z)dddzzamienićnacałkiierowane,jeżeliobszarjesograniczonpowierzchniami o podanch równaniach: 5

6 z= +, z=6; b) + +z =5,z=4,z 4); c)z= +, z= W podanch całkach ierowanch zmienić kolejność całkowaniarozważć wszskie przpadki): d d f,,z)dz; b) d 4 d 4 4 f,,z)dz; c) 3 dz z z d z z f,,z)d; d d + f,,z)dz Obliczć całki porójne z danch funkcji po wskazanch obszarach: f,,z)=e ++z, gdzie:,, z ; b)f,,z)= 3++z+) 4, gdzie:,, z ; c)f,,z)= +, gdzie: + 4, z ; f,,z)=, gdzie: z Wprowadzając współrzędne walcowe obliczć podane całki po wskazanch obszarach: + +z ) dddz, gdzie: + 4, z ; b) zdddz, gdzie: + z ; c) + ) dddz, gdzie: + +z R, + +z Rz; ++z)dddz, gdzie: +, z Wprowadzając współrzędne sferczne obliczć podane całki po wskazanch obszarach: dddz + +z, gdzie:4 + +z 9; b) + ) dddz, gdzie: + z ; c) z dddz, gdzie: + +z R) R R>); dddz, gdzie: + +z 4. Lisa Obliczć pola obszarów ograniczonch krzwmi: =4, +=3, = ); c)+=4, +=8, 3=, 3=5; b) + =, + 4=; + =, = Korzsając z całki podwójnej, obliczć objęości brł ograniczonch powierzchniami: + =, z= +, z=; b) + +z z=; c*) ) + ) =, z=, z=; d*)z= +, +z= Obliczć pola płaów: z= +, + ; 6

7 b) + +z =R, + R, z ; c) z= +, z Korzsając z całki porójnej, obliczć objęości obszarów ograniczonch podanmi powierzchniami: + =9, ++z=, ++z=5; b)=, =, z=4, z=+ ; c)z= + +, z=, + =; + +z =, = ) Obliczć mas podanch obszarów o wskazanch gęsościach: =,) R :, sin },gdzieσ,)=; b)=,) R : + 4, },gdzieσ,)= ; c)=[,a] [,b] [,c],gdzieγ,,z)=++zoraza,b,c>; : + +z 9,gdzieγ,,z)= + +z Znaleźć położenia środków mas obszarów jednorodnch: rójkąrównoramiennopodsawieaiwsokościh; b)=,) R :, sin } ; c)=,) R : } ; =,) R :, e } ; e):,, z ; g): + z Obliczć momen bezwładności podanch obszarów względem wskazanch osi: kwadrajednorodnobokua,przekąnakwadrau,przjąćσ,)=; b)=,) R : + R, },ośo,przjąćσ,)= + ; c)=,) R : },ośsmeriiobszaru,przjąćσ,)= ; =,) R :, sin },ośo,przjąćσ,)=. f)sożekopromieniupodsawriwsokościh; 7.8. Obliczć momen bezwładności względem wskazanch osi podanch obszarów jednorodnch o masie M: walecopromieniupodsawriwsokościh,względemosiwalca; b) sożek o promieniu podsaw R i wsokości H, względem osi sożka; c) walec o promieniu podsaw R i wsokości H, względem średnic podsaw. Lisa Znaleźć sum częściowe podanch szeregów i nasępnie zbadać ich zbieżność: n= ) n 5 ; b) 6 n= n ; c) n! n waga.wprzkładzieb)przjąć,żes n= k= n )n+) ; a k,gdzien. 8.. Korzsając z krerium całkowego zbadać zbieżność szeregów: n +n ; b) n n +4 ; c) n= lnn n ; 8.3. Korzsając z krerium ilorazowego zbadać zbieżność szeregów: n +n+ n 3 ; b) n+ n3 + ; c) n n+. n 3 n ; sin 3 n sin. n 8.4. Korzsając z krerium porównawczego zbadać zbieżność szeregów: 3 n + ; b) n+ n + ; c) sin n; n= n +sinn! 3 n ; e) 3 cosn n ; f) 7 3 n + n3 n + n. n++ n.

8 8.5. Korzsając z krerium d Alembera zbadać zbieżność szeregów: n ; b) n sin n! n; c) n! n n; n!) n)! ; Lisa 9 e) n n 3 n n! ; f) n + n Korzsając z krerium Cauch ego zbadać zbieżność szeregów: n+) n n +) n ; b) n +3 n 3 n +4 n; c) 3 n n n ; n+) n arccos n n. 9.. Wkazać zbieżność odpowiedniego szeregu i nasępnie na podsawie warunku koniecznego zbieżności szeregów uzasadnić podane równości: 7 n lim n n 5=; n n b) lim n n!) =; n! c) lim n n n=; 3n)!4n)! d*) lim n 5n)!n)! = Zbadać zbieżność szeregów naprzemiennch: ) nn n +5 ; b) ) n n n+3) n; c) ) n+ lnn nlnlnn ; ) [e n+ n=3 + n ) n ] Obliczć sum przbliżone podanch szeregów ze wskazaną dokładnością: ) n+ n n, δ= 6 ; b) ) n n+)!, δ= Zbadać zbieżność oraz zbieżność bezwzględną szeregów: ) n+ n + ; b) ) n n n + ; c) ) n n ; 3n+5 ) n ) n 3 ; e) n= Lisa n= n= n= ) n 3 n + ; f*).. Wznaczć przedział zbieżności szeregów poęgowch: n= n n n; b) n ) n ; c) n n +3 n; e) n n + +)n ; f*) n= ) n n+. +3) n n 3 ; n! n n n... Znaleźć szeregi Maclaurina podanch funkcji i określić przedział ich zbieżności: 3 ; b)cos ; c)e ; 9+ ; e)sh; f*)sin4..3. Korzsając z rozwinięć Maclaurina funkcji elemenarnch obliczć pochodne: f 5) ), gdzief)=sin; b)f 6) ), gdzief)= e ; c)f ) ), gdzief)= 3 + ; f) ), gdzief)=sin 3. 8

9 .4.Wznaczćszeregipoęgowefunkcjif )oraz f)= ; b)f)= +. n= f) d, jeżeli funkcja f określona jes wzorem:.5. Sosując wierdzenia o różniczkowaniu i/lub całkowaniu szeregów poęgowch obliczć sum szeregów: n+) n; b) n nn+) 3 n ; c) 4 n. n=.6. Obliczć podane całki oznaczone ze wskazaną dokładnością: e d, δ=.; Lisa sin d, δ=.... Na przedziale[, ] wznaczć szeregi Fouriera funkcji: f)=; b)f)= ; c)f)=e ; f)=cos 3 ; e)f)=sin; f)f)=sin3 ; g)f)= dla <, dla ; h)f)= dla <, dla ; i)f)= dla <, sindla...funkcjęf)= rozwiąćwszeregfouriera: cosinusów naprzedziale, ); b) sinusów na przedziale, ); c) na przedziale, ). Korzsając z orzmanch rozwinięć wznaczć sum szeregów liczbowch: i) n ; ii) ) n+ n ; iii) n )..3. Rozwinąć w szereg Fouriera sinusów funkcje: f)=adla [,],gdziea ; b)f)= )dla [,]..4. Rozwinąć w szereg Fouriera cosinusów funkcje: f)= dla [,]; b)f)= )dla [,]..5. Rozwinąć w szereg Fouriera funkcje okresowe: b) c) = cos WznaczćwspółcznnikiFourierafunkcjif+),jeżelia n,b n,gdzien=,,,...sąwspółcznnikami Fouriera funkcji f o okresie..7. Przedsawić za pomocą wzoru całkowego Fouriera funkcje: dla <, f)= dla >; sin dla, c)f)= dla >; sgn dla <, b)f)= dla >; cos dla f)=, dla >. 9

10 Lisa.. Korzsając z definicji wznaczć ransforma Fouriera funkcji: sin dla, cos dla, dla, f)= b)f)= dla >; dla > c)f)= ; dla >; dla, f)= e)f)=e ; f*)f)=e a,gdziea. dla >; Wskazówka. f*) Wkorzsać równość e a d= a...niechc,h Rorazδ>.WznaczćransformaęFourierafunkcji h c c δ c+ δ.3.pokazać,żejeżeliff)}=ˆfω),o: Ff)cosα}= [ˆfω α)+ˆfω+α) ] ; b)ff)sinα}= i [ˆfω α) ˆfω+α) ]..4. Korzsając z własności ransforma Fouriera oraz z wników poprzednich zadań obliczć ransforma funkcji: f)=e 3 ; b)f)=e ; c)f)=e 4 4 ; cos dla, cos dla, f)= e)f)= f)f)=[) 4)] ; dla >; dla >; g)f)=) e cos; h)f)=e cos ; i)f)=e sin. dla <, waga. ) = funkcja Heaviside a. dla.5. Korzsając z zadania. oraz ransforma Fouriera pochodnej wznaczć ransforma funkcji: b).6. W obwodzie RLC, napięcie ) jes sgnałem wejściowm, a napięcie ) sgnałem wjściowmrs.). + ) R L C ) + Wznaczć rnsformaę Fouriera sgnału wjściowego )..7.ObliczćransformaęFourierafunkcji f )+f ),jeżeliˆfω)=.8. Wznaczć funkcje, kórch ransforma Fouriera mają posać: +iω ; b) 4+ω ; c) e iω +iω ; e)sinωcosω ω ; f) +ω )4+ω ) ; +ω.

11 .9. Obliczć splo podanch par funkcji i ich ransforma Fouriera: f)=g)=) ), b)f)=) ),g)=+) ), c)f)=) e,g)=) e, f)=g)=e. Lisa Korzsając z definicji obliczć ransforma Laplace a funkcji: ; b)sin; c) ; e ; e)e cos; f)sh; g) h) i) =f) =g) =h) 3.. Wznaczć funkcje ciągłe, kórch ransforma Laplace a mają posać: s+ ; b) s s +4s+5 ; c) s 4s+3 ; s+ s+)s )s +4) ; e) s + s s ) ; f) s+9 s +6s+3 ; g) s+3 s 3 +4s +5s ; h) 3s e s s 3 ; i) ) s Meodą operaorową rozwiązać zagadnienia począkowe dla równań różniczkowch liniowch o sałch współcznnikach: =, )=; c) + =, )=, )=; b) =sin, )=; +3 =e 3, )=, )= ; e) +=sin, )=, )=; f) +=+, )=, )=; g) +4 +4=, )=, )=; h) +4 +3=e, )=, )= Korzsając z własności przekszałcenia Laplace a obliczć ransforma funkcji: sin 4 ; b)cos4cos; c) cos; sh3; e)e cos; f)e 3 sin ; g) )sin ); h) )e Obliczć splo par funkcji: f)=e, g)=e ; c)f)=), g)=sin; b)f)=cos3, g)=cos; f)=e, g)= Korzsając ze wzoru Borela wznaczć funkcje, kórch ransforma dane są wzorami: s+)s+) ; b) s ) s+) ; c) s s +) ; s s +). I Opracowanie: dr Marian Gewer, doc. Zbigniew Skoczlas