2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

Transkrypt

1 2. Równania o rozdzielonych zmiennych Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie różniczkowe postaci (RRZ) x = p(t) q(x). 2.1 Zagadnienie początkowe dla równania różniczkowego o rozdzielonych zmiennych Twierdzenie 2.1(Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania zagadnienia początkowego dla równania różniczkowego o rozdzielonych zmiennych).załóżmy,żep:(a,b) Riq:(c,d) R\{0}sąfunkcjami ciągłymi.niecht 0 (a,b)ix 0 (c,d).wówczasistniejerozwiązanie ϕ:(α,β) (c,d),(α,β) (a,b),zagadnieniapoczątkowego x = p(t) (RRZ-ZP) q(x) x(t 0 )=x 0. Rozwiązanie to jest jednoznaczne w następującym sensie: jeżeli ϕ 1 :(α 1,β 1 ) (c,d)iϕ 2 :(α 2,β 2 ) (c,d)sąrozwiązaniamizagadnienia (RRZ-ZP),toϕ 1 (t)=ϕ 2 (t)dlawszystkicht (α 1,β 1 ) (α 2,β 2 ). Dowód.Załóżmy,żeϕ:(α,β) Rjestrozwiązaniemzagadnienia (RRZ-ZP). Zachodzi wtedy ϕ (t)= p(t) q(ϕ(t)),czylip(t)=q(ϕ(t))ϕ (t) t (α,β). Całkującpowyższąrównośćodt 0 dototrzymujemy (2.1) t t 0 p(s)ds= t t 0 q(ϕ(s))ϕ (s)ds= ϕ(t) x 0 q(ξ)dξ (w ostatniej równości wykorzystaliśmy wzór na całkowanie przez podstawienie). Oznaczmy P(t):= Q(x):= t t 0 p(s)ds, t (a,b), x x 0 q(ξ)dξ, x (c,d).

2 2 2 Skompilował Janusz Mierczyński W powyższych oznaczeniach równość(2.1) można zapisać jako Q(ϕ(t))=P(t), t (α,β). Powyższą równość można formalnie zapisać w postaci ϕ(t)=(q 1 P)(t), t (α,β). FunkcjaQ:(c,d) RjestfunkcjąklasyC 1 oniezerowejpochodnej,zatem jest ściśle monotoniczna, i obraz Q((c, d)) jest przedziałem otwartym(γ, ζ). Dalej, Q przeprowadza przedział(c, d) na przedział(γ, ζ) w sposób różnowartościowy.zatemfunkcjaodwrotnaq 1 przeprowadzaprzedział (γ, ζ) na przedział(c, d) w sposób różnowartościowy. Ponadto, z twierdzenia opochodnejfunkcjiodwrotnejwynika,żeq 1 jestklasyc 1. FunkcjaPjestciągłaorazP(t 0 )=0=Q(x 0 ).Niechε:=min{ γ,ζ}.z ciągłościfunkcjipwynika,żeistniejeδ>0takie,żejeśli t t 0 <δi t (a,b),top(t) ( ε,ε) (γ,ζ).dziedzinafunkcjizłożonejq 1 P zawierazatemprzedziałotwarty(t 0 δ,t 0 +δ). Przechodzimyterazdodowodujednoznaczności.Niechϕ 1 :(α 1,β 1 ) (c,d) iϕ 2 :(α 2,β 2 ) (c,d)będąrozwiązaniamizagadnieniapoczątkowego (RRZ-ZP). Załóżmy nie wprost, że zbiór Θ:={t (α 1,β 1 ) (α 2,β 2 ):ϕ 1 (t) ϕ 2 (t)}jestniepusty.dlaustalenia uwagizałóżmyteż,żeθ (t 0,b).Niecht 1 :=inf(θ (t 0,b))).Zczęści pierwszejtwierdzeniawynikaistnienieδ>0takiego,żet 1 >t 0 +δ.jakoże ϕ 1 (t)=ϕ 2 (t)dlawszystkicht [t 0,t 1 ),ciągłośćgwarantujenam,że ϕ 1 (t 1 )=ϕ 2 (t 1 )=:x 1.Leczzagadnieniepoczątkowe x = p(t) q(x) x(t 1 )=x 1 ma jednoznaczne rozwiązanie na pewnym przedziale otwartym zawierającymt 1,coprzeczynaszemuwyborowit 1. Przykład. Znaleźć rozwiązanie zagadnienia początkowego x =x 2 (2.2) x(0)=1 Mamytutajp(t) 1,(a,b)=(, ),q(x)=1/x 2,(c,d)=(0, ), P(t)=t,Q(x)=1 1/x,(γ,ζ)=(,1).Wzór(2.1)przyjmujepostać t 0 ds= ϕ(t) 1 dξ ξ 2,

3 2. Równania o rozdzielonych zmiennych 2 3 czyli co daje ostatecznie (tutaj(α,β)=(,1)). t=1 1 ϕ(t), ϕ(t)= 1 1 t Powyższy przykład pokazuje, że w odróżnieniu od rozpatrywanego wcześniej zagadnienia początkowego dla równania różniczkowego zwyczajnego liniowego(patrz Wykład nr 1), w przypadku równania o rozdzielonych zmiennych może się zdarzyć, że dziedzina rozwiązania jest właściwym podzbiorem czasowego czynnika dziedziny prawej strony równania. 2.2 Całka ogólna i rozwiązanie ogólne równania o rozdzielonych zmiennych W praktyce, podobnie jak w przypadku równań różniczkowych liniowych, równania o rozdzielonych zmiennych rozwiązuje się nieco inaczej. Mianowicie, w równaniu (RRZ) x = dx dt =p(t) q(x) (bez warunków początkowych!) formalnie rozdzielamy zmienne: q(x)dx=p(t)dt, i nakładamy na obie strony całkę nieoznaczoną: q(x)dx= p(t) dt. Ustalmy teraz funkcję pierwotną Q funkcji q, i funkcję pierwotną P funkcji p. Powyższą równość możemy zapisać jako (2.3) Q(x)=P(t)+C, gdzie C jest dowolną stałą rzeczywistą. Wyrażenie takie nazywane jest niekiedy całką ogólną równania różniczkowego o rozdzielonych zmiennych (RRZ).

4 2 4 Skompilował Janusz Mierczyński Całkę ogólną możemy traktować jako rodzinę rozwiązań równania(rrz) będących funkcjami uwikłanymi. Istotnie, różniczkując równość(2.3) po t (pamiętamy, że x = x(t)!), otrzymujemy x (t)q (x(t))=p (t), czyli x = p(t) q(x). Jeżeli całka ogólna da się rozwikłać względem x, tzn. zapisać w postaci (2.4) x=φ(t;c), powyższe wyrażenie będziemy nazywać rozwiązaniem ogólnym równania (RRZ). Przykład. Rozwiązać równanie różniczkowe Mamy czyli codasięrozwikłaćjako x =1+x 2. dx 1+x 2= dt, arctgx=t+c, x=tg(t+c), gdzie C jest stałą dowolną. Z Twierdzenia 2.1 wynika, że otrzymany wzór wyczerpuje wszystkie możliwe rozwiązania równania. Istotnie, niech ϕ:(α, β) R będzie rozwiązaniem.ustalmyt 0 (α,β),ipołóżmyx 0 :=ϕ(t 0 ).Oczywiście funkcja ϕ jest rozwiązaniem zagadnienia początkowego x =1+x 2 x(t 0 )=x 0. NiechCbędzieliczbąrzeczywistątaką,żex 0 =tg(t 0 +C)(wistocie,takie C jest określone z dokładnością do dodania całkowitej wielokrotności π). Zatem, na podstawie jednoznaczności rozwiązania zagadnienia początkowego,ϕ(t)=tg(t+c)dlakażdegot (α,β). Metodę rozdzielania zmiennych można bezpiecznie stosować do równań w tymobszarze,gdzieqjestróżneodzera.pozatymobszaremmogączasami pojawiać się rozwiązania, których nie da się wyrazić poprzez rozwiązanie ogólne, co ilustruje następujący

5 2. Równania o rozdzielonych zmiennych 2 5 Przykład. Rozwiązać równanie różniczkowe Mamy co daje Zatem rozwiązanie ogólne to x =3x 2/3. dx 3x 2/3= x 1/3 =t+c. x=(t+c) 3. WeźmyC=0.Funkcjaϕ: R R,ϕ(t)=t 3 jestrozwiązaniemzagadnienia początkowego x =3x 2/3 x(0)=0. Alefunkcjaψ(t) 0teżjestrozwiązaniemtegozagadnienia,aniedasięjej zapisaćwpostaci(t+c) 3 przyżadnymdoborzestałejc.cowięcej, funkcja χ zdefiniowana jako 0 dlat 0 χ(t)= t 3 dlat 0, też spełnia to zagadnienie. 2.3 Autonomiczne równania różniczkowe Ważną klasą równań różniczkowych zwyczajnych są równania różniczkowe (pierwszego rzędu) autonomiczne, tzn. równania postaci dt, (RA) x =f(x). Wnioskiem z twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania zagadnienia początkowego dla równań o rozdzielonych zmiennych(tw. 2.1) jest następujący fakt: Fakt2.2.Załóżmy,żef:(c,d) R\{0}jestfunkcjąciągłą.Niecht 0 R ix 0 (c,d).wówczasistniejerozwiązanieϕ:(α,β) (c,d)zagadnienia początkowego x =f(x) (RA-ZP) x(t 0 )=x 0.

6 2 6 Skompilował Janusz Mierczyński Rozwiązanie to jest jednoznaczne w następującym sensie: jeżeli ϕ 1 :(α 1,β 1 ) (c,d)iϕ 2 :(α 2,β 2 ) (c,d)sąrozwiązaniamizagadnienia (RA-ZP)),toϕ 1 (t)=ϕ 2 (t)dlawszystkicht (α 1,β 1 ) (α 2,β 2 ). Pożyteczną rzeczą jest zastanowienie się nad znaczeniem pewnych całek występujących w dowodzie powyższego faktu. Przypomnijmy, że x = ϕ(t) jest to stan naszego układu(fizycznego, biologicznego, itp.) w chwili t, w szczególnościstanukładuwchwilipoczątkowejt 0 tox 0.Zauważmy,żeϕto funkcja ściśle monotoniczna o niezerowej pierwszej pochodnej. Wybierzmy dwamomentyczasowet 1 <t 2,ioznaczmyodpowiadająceimstany x 1 :=ϕ(t 1 ),x 2 :=ϕ(t 2 ).Całkującrówność 1 ϕ (t) f(ϕ(t)) i stosując wzór na zamianę zmiennych otrzymujemy (2.5) t 2 t 1 = t 2 t 1 ds= x 2 dξ f(ξ), x 1 comożnawyrazićsłowamiwnastępującysposób:całka x 2 x 1 dξ/f(ξ)jest równaczasowipotrzebnemunaprzejścieukładuzestanux 1 dostanux Równania różniczkowe dające się sprowadzić do równań o rozdzielonych zmiennych 1) Równanie różniczkowe postaci x =f(at+bx), gdzieb 0 daje się sprowadzić do równania o rozdzielonych zmiennych przy pomocy podstawienia u=at+bx (u = u(t) jest nową zmienną zależną). 2) Równanie różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu jednorodne, tzn. równanie postaci ( x x =f t) daje się sprowadzić do równania o rozdzielonych zmiennych przy pomocy podstawienia u= x t

7 2. Równania o rozdzielonych zmiennych 2 7 Istotnie,różniczkującrównośćx=utpototrzymujemyx =u t+u,copo podstawieniu do równania i prostych przekształceniach daje u = f(u) u. t