RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

Transkrypt

1 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład Funkcję spełniającą to równanie nazywamy całką (rozwiązaniem) tego równania. Równanie jest spełnione przez dowolną funkcję (z jednoparametrowej rodziny linii/krzywych) postaci,. Jest to całka ogólna. Całkę szczególną otrzymujemy ustalając wartość stałej ; w konkretnym problemie (fizycznym, technicznym, biologicznym, ) stała ta jest ustalana na podstawie warunków brzegowych. Ponieważ w równaniu pierwszego rzędu występuje jedna stała, zatem jest to (z reguły) jeden warunek. Jeżeli warunek brzegowy odnosi się do, to często mówimy o warunku (warunkach) początkowych. W zdecy-dowanej większości przypadków warunek ten dotyczy funkcji, a nie jej pochodnej, gdyż bardzo często nie zależy od. W rozpatrywanym przypadku,, możemy, na przykład, zażądać, aby dla zachodziło. Innymi słowy, krzywa całkowa będąca rozwiązaniem równania przechodziła przez punkt. Musi zatem zachodzić Szukana funkcja (przy ustalonym warunku brzegowym!) ma zatem postać Całka osobliwa to rozwiązanie, którego nie można otrzymać z całki ogólnej. Równanie różniczkowe postaci nazywamy rozwiązanym względem. Dla porządnych funkcji istnieje dokładnie jedna funkcja przechodząca przez punkt. A1. RÓWNANIE O ZMIENNYCH ROZDZIELONYCH Jest to najprostszy typ równania; inne równania staramy się sprowadzić do tej postaci. Równanie o zmiennych rozdzielonych daje się zapisać w postaci Jeżeli funkcja nie jest tożsamościowo równa zeru, to równanie można rozwiązać ze względu na, zatem istnieje rozwiązanie dla każdego warunku brzegowego. Dla porządnych funkcji równania są równoważne. Równania te sprowadzamy do ogólniejszej postaci

2 i rozwiązujemy przez obustronne całkowanie: otrzymując (, są dowolnymi funkcjami pierwotnymi; zwyczajowo jedną stałą całkowania uwzględniamy po prawej stronie otrzymanej równości) Z tego równania próbujemy wyznaczyć, chociaż często pozostawiamy równanie w postaci uwikłanej (por. Przykład 4) lub jako rozwiązanie podajemy funkcję (tzn. uważamy za zmienną zależną; por. Przykład 5). UWAGA Sprowadzając dane równanie do postaci o zmiennych rozdzielonych musimy często dzielić przez, lub ich funkcje. Ponieważ a priori nie możemy wykluczyć przypadku (chyba że dla równanie nie ma sensu, np. ) oraz, zatem musimy zbadać, co się dzieje z danym równaniem w tych przypadkach. Czasami rozwiązanie daje się ująć w całce ogólnej. Przykład 1: Rozwiążmy równanie podane powyżej, tj. Rozdzielając zmienne musimy podzielić przez. Ponieważ po prawej stronie mamy i spokojnie możemy to dzielenie wykonać (otrzymane rozwiązanie funkcja dla ) otrzymując, zatem musi być będzie później badana tylko Teraz chcemy podzielić przez. Ponieważ dla mamy, zatem funkcja spełnia dane równanie różniczkowe (jej dziedzinę ograniczamy do, rzecz jasna). Na końcu sprawdzimy, czy to rozwiązanie jest całką szczególną czy osobliwą. Przy założeniu wykonujemy dzielenie sprowadzając do postaci o rozdzielonych zmiennych: Przechodzimy do postaci o rozdzielonych zmiennych 1 Całka z lewej strony daje nam (na tym etapie stałe całkowania można pominąć) Całkę po prawej stronie wyznaczymy przez oczywiste podstawienie Łącząc te dwa rozwiązania i uwzględniając stałą całkowania mamy Warto pomnożyć przez 2 (podstawiając oraz wykorzystując wzór ) 1 Przypominam, że to tylko wygląda jak mnożenie przez, ale taka operacja formalnie nie jest dozwolona.

3 gdzie skorzystaliśmy z faktu, że dla Stąd mamy (logarytm jest pytaniem o wykładnik, podstawą jest liczba e) Jeżeli przebiega wszystkie liczby rzeczywiste, to przebiega wszystkie dodatnie liczby rzeczywiste i mamy Wyrażenie po prawej jest zawsze dodatnie (no i dobrze, bo ), zatem możemy je spierwiastkować Zastępując przez nową stałą uwzględniamy oba znaki powyższego rozwiązania oraz całkę szczególną. Ponieważ to możemy nasz wynik zapisać także w postaci Niech warunek brzegowy ma postać. Wstawiając te wartości do otrzymanego równania mamy i stąd. Szczególnie przy tak skomplikowanych rachunkach warto sprawdzić uzyskane rozwiązanie. Musimy przed wszystkim wyznaczyć : gdzie skorzystaliśmy ze wzoru. Wstawiając do danego równania otrzymujemy Kilka krzywych z otrzymanej rodziny jest przedstawionych na wykresie. Przykład 2: Rozwiązać Dla mamy zatem funkcja ta jest całką danego równania (jeszcze nie wiemy czy szczególną, czy osobliwą). Jest to jedyne rozwiązanie dla, gdyż rozdzielając zmienne musimy podzielić przez. Nie ma zatem linii całkowych przechodzących przez punkty dla. Po rozdzieleniu zmiennych mamy równanie

4 Po obustronnym całkowaniu Stąd Zastępując przez mamy Włączając przypadek mamy całkę ogólną

5 Aby sprawdzić, wyznaczamy Mamy zatem Przykład 3: Rozwiązać Chcemy podzielić przez, zatem musimy osobno rozpatrzeć przypadek. Wtedy także zatem funkcja ta jest całką danego równania (jeszcze nie wiemy czy szczególną, czy osobliwą). Jest to jedyne rozwiązanie dla, gdyż rozdzielając zmienne musimy podzielić przez. Nie ma zatem linii całkowych przechodzących przez punkty dla. Po rozdzieleniu zmiennych mamy równanie Po obustronnym całkowaniu Stąd Ponieważ, zatem także Oznacza to, że czyli dla danego krzywe mają asymptoty pionowe w punktach. Sprawdzenie: Ponieważ zatem równanie jest w oczywisty sposób spełnione.

6 Rodzina (jednoparametrowa) linii będących całką ogólną równania (*). Każda linia ma asymptoty pionowe dla oraz asymptotę poziomą, która jest całką osobliwą. Przykład 4: Rozwiąż Wyrażenia typu są niezerowe, zatem dzielimy i mamy zmienne rozdzielone Po obu stronach mamy identyczną całkę, którą znajdziemy przez podstawienie: Stąd Wracając do równania mamy (stałą uwzględniamy tylko po jednej stronie; poza tym bierzemy co jest równoważne uwikłanemu równaniu rodziny krzywych

7 lub, równoważnie, Sprawdzenie wymaga umiejętności różniczkowania funkcji uwikłanych, co nie było omawiane podczas wykładu. Dociekliwym polecam odpowiedni rozdział w zbiorze zadań Krysicki/Włodarski. Funkcja występująca podczas rozwiązania tego równania jest, zgodnie z umową, zawsze nieujemna, zatem stała musi być także nieujemna. Poza tym najmniejszą wartością wyrażenia jest 1, zatem musi być, przy czym dla krzywa całkowa redukuje się do punktu. Dla kilku innych wartości krzywe całkowe pokazane są poniżej (wystarczy zbadać I ćwiartkę, gdyż funkcja nie zależy od znaku zmiennych i ). Przykład 5: Rozwiąż równanie Po rozdzieleniu zmiennych mamy czyli Jeżeli chcemy wyznaczyć, to musimy rozpatrywać niezależnie dwie gałęzie: Bezpieczniej jest zatem zostawić równanie w postaci pomiędzy pochodną funkcji i pochodną funkcji odwrotnej:. Do sprawdzenie musimy wziąć pod uwagę związek. Mamy zatem Badając krzywe łatwo zauważyć, że dla danej stałej (albo, albo ) musi zachodzić. Rodzina krzywych jest trywialna do wykreślenia.

8 A2. RÓWNANIE LINIOWE Przykład 2, to równanie liniowe względem oraz, czyli szczególny przypadek równania postaci Jest to RR, gdy nie jest tożsamościowo równa zeru, zatem to RR zapisujemy w postaci A2.1. Równanie liniowe jednorodne Całką RR liniowego i jednorodnego ( ) jest funkcja (rodzina funkcji): Sprawdzenie A2.2. Równanie liniowe niejednorodne (ogólne) Rozwiązanie RR niejednorodnego otrzymujemy uzmienniając stałą, czyli zakładamy rozwiązanie postaci gdzie zastępuje stałą w rozwiązaniu równania jednorodnego. Uwaga. Całka ogólna równania niejednorodnego może być zapisana jako suma całki ogólnej równania jednorodnego i całki szczególnej równania niejednorodnego. Przykład 6. Rozwiązać Odgadujemy rozwiązanie szczegółowe (sprawdzić!) W równaniu jednorodnym mamy, czyli Sumą całek jest zatem Przez uzmiennianie stałej robimy tak. Z rozwiązania równania jednorodnego mamy czyli Wstawiamy do

9 Wstawiamy do i mamy takie rozwiązanie jak uprzednio. Uwaga. Łatwo pokazać, że uzmienniona stała spełnia równanie Przykład 7. Rozwiązać Punkt spełnia to równanie (czyli musi być dla każdej całki tego równania, jeżeli należy do dziedziny funkcji ). Dzielimy przez i mamy równanie liniowe czyli Równanie jednorodne jest równaniem o zmiennych rozdzielonych (przy założeniu ) Otrzymujemy zatem oczywiste rozwiązanie. Uzmienniamy stałą i wstawiamy do oryginalnego równania Ponieważ, zatem Ostatecznie Zauważmy, że jest całką ogólną równania jednorodnego, a całką szczególną równania niejednorodnego. W tym przypadku stałą można także wyznaczyć z warunku brzegowego. Uwaga. Czasami korzystanie z podanych wzorów wcale nie ułatwia rozwiązania (szczególnie, gdy nie pamięta się związków oraz ). Wygodniej jest wtedy rozwiązać równanie przeprowadzając krok po kroku procedurę uzmienniania stałej.

10 ZADANIA Rozwiąż równania różniczkowe B.NAJPROSTSZE RÓWNANIA RZĘDU DRUGIEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego zawiera oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną. Poza tym może zawierać Na przykład Funkcję spełniającą to równanie nazywamy całką (rozwiązaniem) tego równania. Z reguły rozwiązuje się przez dwukrotne całkowanie, co wprowadza dwie stałe (czyli rodzina krzywych może być dwuparametrowa). Do wyznaczenia tych stałych potrzebujemy zatem (co najmniej) dwóch warunków brzegowych, przy czym dość często są one nakładane na oraz na. Stosunkowo łatwo równania drugiego rzędu można sprowadzić do równań rzędu pierwszego w kilku przypadkach. [Podczas wykładu omówiłem dwa, ale jest jeszcze trzeci.] B1. RÓWNANIE RÓŻNIECZKOWE TYPU F(x,y,y )=0 Podstawienie, a zatem, sprowadza to równanie do postaci, czyli równania pierwszego rzędu. Oczywiście po rozwiązaniu tego równania, znalezieniu rodziny krzywych, musimy jeszcze rozwiązać równanie. Przykład 8: Podstawienie daje zatem równanie Prawa strona jest zawsze różna od zera, zatem rozdzielenie zmiennych nie wymaga żadnych założeń, a równanie ma postać a zatem Parametry i rodziny krzywych działają trywialnie, tzn. przesuwają wykres funkcji po całej płaszczyźnie. Ze względu na własności funkcji kosinus i logarytm mamy.

11 Przykład 9: Równanie przepisujemy z wykorzystaniem i Rozdzielenie zmiennych nie wymaga żadnych założeń, zatem mamy a po scałkowaniu Przypomnijmy, że wartości ograniczone są do przedziału. Arcus tangens jest funkcją odwracalną, zatem możemy ją odwrócić (wyznaczyć tangens po obu stronach) i skorzystać ze wzoru na tangens różnicy kątów Ponieważ jest nieokreślony, zatem ten przypadek musimy rozpatrywać osobno. Rozwiązujemy teraz równanie otrzymując (okaże się, że całkę szczególną) W równaniu (**) podstawiamy (wartości funkcji tangens przebiegają cały zbiór liczb rzeczywistych) Przeprowadzona operacja wprowadzała dzielenie przez, zatem ponownie przypadek (specjalny) ( ) musimy zbadać niezależnie. Wtedy Ponieważ w tym przypadku W równaniu (&) zmienimy jeszcze, zatem łatwo sprawdzić, że funkcja ta jest całką (osobliwą) równania. i otrzymamy równanie Całka tego równania jest oczywista (oczywiście ) Dla otrzymujemy całkę szczególną. Ze wzoru (@) mamy i możemy sprawdzić nasze rozwiązanie

12 A oto krzywe całkowe dla. B2. RÓWNANIE RÓŻNIECZKOWE TYPU F(y,y,y )=0 Podstawienie, a zatem, sprowadza to równanie do postaci, czyli równania pierwszego rzędu. Oczywiście po rozwiązaniu tego równania, znalezieniu rodziny krzywych, musimy jeszcze rozwiązać równanie. Przykład 10: Równanie z Przykładu 8 można także rozwiązać tą metodą, gdyż nie zawiera zmiennej. Po odpowiednich podstawieniach mamy i po rozdzieleniu zmiennych mamy i stąd Aby je rozwiązać, musimy wyznaczyć :

13 i ostatecznie (ponieważ, zatem ; dzieląc przez pierwiastek musimy jednak odrzucić przypadek ; musi zatem zachodzić, że dla mamy ) Całka po lewej nie jest trywialna, ale spróbujemy. Pomnóżmy ułamek przez ) otrzymując (pod pierwiastek wprowadzimy Ponieważ, zatem możemy dokonać podstawienia Różniczkując obustronnie mamy otrzymując całkę (w badanym przedziale ) Po prawej stronie mamy i stąd. Wstawiając do równania ($$) i wyznaczając mamy Zastępując w podstawieniu ($$) przez likwidujemy ograniczenie przedziału zmienności i odtwarzamy wcześniej otrzymane równanie. Wartość otrzymamy, gdy, czyli. Natomiast pochodna dana jest jako czyli ma wartość 0 dla, jak żądaliśmy wcześniej.