Metoda Newtoa i rówaie z = 1 Załóżmy, że fucja f :C C ma ciągłą pochodą. Dla (prawie) ażdej liczby zespoloej z 0 tworzymy ciąg (1) (z ) 0, z 1 = z f ( z ), ciąg te f ' (z ) będziemy azywać orbitą liczby z 0 i ozaczać symbolem O( z 0 ). W dalszym ciągu rozpatrywać będziemy tylo taie liczby z 0, tórych orbita jest ciągiem iesończoym, tz. 0 f ' ( z ) 0. Stwierdzeie 1. Jeśli orbita liczby z 0 ma graicę ~ z, to liczba ~ z jest rozwiązaiem rówaia f (z) = 0. f '. (z) Fucja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z ) 0, z 1 = h(z ) jest dobrze oreśloy, tz. 0 f ' ( z ) 0 oraz zbieży: lim z = ~ z. Z ciągłości fucji h wyia, że lim h( z ) = h( ~ z ). Ciąg h( z ) 0 jest przesuiętym o jede wyraz ciągiem (z ) 0, zatem lim h(z ) = ~ z. Poieważ ciąg może mieć tylo jedą graicę, to h( ~ z ) = ~ z f ( ~ z ) = 0. Dowód. Niech D = { z C : f ' (z) 0}, h : D C, h(z) = z f ( z) Zastosujemy metodę Newtoa do fucji f (z) = z 1, N 2. Pierwiastami rówaia z = 1 są liczby m w m = e 2π i, m = 0,1,, 1. Problem jest astępujący: wybieramy liczbę z 0, do tórej z liczb w m zbieża jest orbita liczby z 0 (jeśli w ogóle jest zbieża)? Aalitycze rozwiązaie tego problemu ie jest chyba możliwe. Dla fucji f (z) = z 1 wzór (1) przybiera postać: z 1 = 1 Stosowae dalej ozaczeia: α m = { r e m 2 2πi : r > 0}, m = 0,1,,2 1 - półprosta o ońcu w początu uładu, jeśli m jest parzyste, to półprosta α m pierwiastów rówaia z = 1, z 1 z 1. zawiera jede z β m = α m α m { 0}, m = 0,1,,2 1 - prosta przechodząca przez począte uładu (symbol ozacza sumę modulo ), B m = { z 0 C: O( z 0 ) w m }, m = 0,1,, 1, zbiór B m azywać będziemy baseem liczby w m, ϕ :R {0} R, ϕ( x) = ( 1 x ψ :R {0} R, ψ( x) = ( 1 1 x 1 ), N 2, x 1 x 1 ), N 2.
Jeśli liczba jest ieparzysta, to ażda prosta β m pierwiaste rówaia z = 1. zawiera doładie jede Jeśli liczba jest parzysta, to proste β m, m 2N zawierają dwa pierwiasti rówaia z = 1, a proste β m, m N 2 N ie zawierają pierwiastów tego rówaia. Orbity zaczyające się a prostych β m zachowują się astępująco: Jeśli prosta β m ie zawiera pierwiastów rówaia z = 1, to orbita ie jest zbieża (wiose 1). Jeśli prosta β m zawiera jede pierwiaste rówaia z = 1, to orbita jest zbieża do tego pierwiasta (wiose 2). Jeśli prosta β m zawiera dwa pierwiasti rówaia z = 1, to orbita O( z 0 ) jest zbieża do tego pierwiasta rówaia z = 1, tóry leży a tej samej półprostej α co liczba z 0 (stwierdzeie 2).
Wyresy fucji ϕ wyglądają ta: dla parzystych dla ieparzystych Wyres fucji ϕ 4
Wyresy fucji ψ wyglądają ta: dla parzystych Wyres fucji ϕ 3
dla ieparzystych Wyres fucji ψ 4 Wyres fucji ψ 3
Stwierdzeie 2. Jeśli liczba m jest parzysta oraz z 0 α m, to orbita O( z 0 ) α m, poadto orbita O( z 0 ) jest zbieża. Dowód. Załóżmy, że z α m, tz. z = r e ϕi, r > 0 ϕ = m 2π. Wtedy 2 z 1 = 1 r e ϕi 1 = 1 r r 1 e ( 1)ϕi e ϕi 1 1 r e(2π ( 1)ϕ)i. Poieważ (2) 2 π ( 1)ϕ = 2 π m π ϕ, to e (2π ( 1)ϕ)i = e ϕi. Zatem (3) z 1 = ( 1 1 r r )e ϕi α 1 m. Aby udowodić zbieżość orbity wystarczy wyazać, że 2 r > 0 ciąg liczbowy a 0 = r, a 1 = ( 1 1 a a ) 1 jest zbieży. Dla 1 a 1, poadto a 1 a = 1 a 1 a 1 a = 1 a ( 1 a 1) 0.Ciąg (a ) N jest zatem malejący oraz ograiczoy z dołu, zatem zbieży. Stwierdzeie 3. Jeśli liczba m jest ieparzysta oraz z 0 α m, to orbita O( z 0 ) β m. Dowód. Ze wzoru (2) wyia, że e (2π ( 1)ϕ)i = e ϕi. Zatem (3') z 1 = 1 r 1 1 r e i m. Wiose 1. Jeśli liczba jest parzysta, liczba m jest ieparzysta oraz z 0 α m, to orbita O( z 0 ) ie jest zbieża. ~ Dowód. (Nie wprost). z = lim z. Zbiór β m jest domięty oraz (stwierdzeie 3) z β m, zatem ~ z β m. Ze stwierdzeia 1 wyia, że liczba ~ z spełia rówaie ~ z = 1. Żade pierwiaste rówaia z = 1 ie leży a prostej β m. Otrzymaa sprzeczość dowodzi, że ciąg (z ) 0 ie ma graicy. Wiose 2. Jeśli obie liczby m, są ieparzyste oraz z 0 α m, to orbita O( z 0 ) jest zbieża. Dowód. Wystarczy wyazać, że 3 r > 0 ciąg liczbowy a 0 = r, a 1 = ( 1 istieje 0 N taie, że dla 0 0 1 a 1. a 1 a 1 ) = ψ (a ) jest zbieży. Łatwo zobaczyć, że a < 0. W osewecji, dla Zatem (dla 0 1 ) a 1 a = 1 (a 1 a 1 ) 0. Ciąg (a ) N więc rosący (od wyrazu 0 1 ) i ograiczoy z góry, a więc jest zbieży. jest
Dla miłośiów oretów: Stwierdzeie 4. Jeśli = 4 oraz z 0 α 1, to orbita O( z 1 ) ie jest zbieża. Dowód. Dla fucji f (z) = z 4 1 wzór z 1 = z f ( z ) f ' przyjmuje postać: ( z ) z 1 = z z 1 z 3 4 = 3 4 z 1 3 4 z. W dalszych rachuach będę orzystał z postaci wyładiczej liczb zespoloych. Poieważ π 4 z 0 = 1 i = 2e, to z 1 = 3 2 π 4 e 4 i 1 8 2 e 3 π = 3 2 π 4 i 4 e 4 i 1 π 8 2 e5 4 i = ( 3 2 4 1 π 8 2 )e 4 i. Aalogiczie dowodzimy astępującego fatu: Jeśli liczba zespoloa z leży a prostej o rówaiu R(z) = I(z) (tz. y = x ), to liczba z 1 rówież leży a tej prostej. Gdyby ciąg (z ) 0 był zbieży, to jego graica ~ z też leżałaby tej prostej, poadto (put 1) liczba ~ z spełiałaby rówaie z 4 = 1 Żade rozwiązaie tego rówaia ie leży a prostej R(z) = I(z). Otrzymaa sprzeczość dowodzi, że ciąg (z ) 0 ie jest zbieży.