Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa

Statystyka i rachuek prawdopodobieństwa Filip A. Wudarski 22 maja 2013 1 Wstęp Defiicja 1. Statystyka matematycza opisuje i aalizuje zjawiska masowe przy użyciu metod rachuku prawdopodobieństwa. Defiicja 2. Populacja (zbiorowość) geerala - zbiór Z elemetów podlegających badaiu ze względu a jedą lub więcej cech. Elemety tego zbioru mają przyajmiej jedą cechę wspólą i jedą cechę, która je różi od siebie. Defiicja 3. Próbka - skończoy podzbiór Z 1 zbioru Z (Z 1 Z), który badamy ze względu a iteresującą as cechę. Próbka powia staowić reprezetację populacji Z, tz. częstość występowaia w próbce badaych cech ie powia w zaczym stopiu różić się od częstości występowaia tych cech w populacji geeralej. W celu osiągięcia tego elemety próbki zwykle losujemy spośród elemetów zbioru Z. Otrzymujemy w te sposób zbiór azywamy próbką losową. Próbka losowa prosta -elemetowa - jest to próbka wylosowaa z populacji w taki sposób, że przed jej pobraiem każdy podzbiór składający się z elemetów populacji geeralej ma takie same szase (to samo prawdopodobieństwo) wylosowaia. Defiicja 4. Statystyka opisowa zajmuje się wstępym opracowywaiem próbki bez posługiwaia się rachukiem prawdopodobieństwa. 2 Szereg rozdzielczy, histogram, łamaa częstości Niech będzie -elemetową próbką losową. x 1,..., x (2.1) Defiicja 5. Rozstęp badaej cechy X w próbce (??) azywamy różicę R = x max x mi, (2.2) gdzie x max, x mi ozaczają ajwiększą i ajmiejszą liczbę ciągu (??). 1

Defiicja 6. Klasa - Przedziały (ajczęściej jedakowej długości), w których zakłada się, że wszystkie wartości posiadają tę samą wartość. W klasy grupujemy wyrazy dla próbek o większej ilości elemetów (powyżej 30). Klasy ustalmy zwykle a podstawie wzorów: k 5 l, k = 1 + 3.322 l, k =. Moża korzystać z tabeli Liczba pomiarów Liczba klas k 30-60 6-8 60-100 7-10 100-200 9-12 200-500 11-17 500-1500 16-25 Długość klasy określamy wzorem b R k, (2.3) tak aby br k (przybliżamy ją z admiarem). Pukty graicze klas ustalmy z dokładością do 1 α, gdzie α ozacza dokładość z jaką wyzaczoa jest wartość w próbce. 2 Liczebość (liczość) i-tej próbki - liczba wartości próbki w i-tej klasie, ozaczamy i. Wiadomo, że k = i (2.4) Jeżeli liczość próbki kwalifikuje ją do podziału a klasy to otrzymujemy szereg rozdzielczy, który staowią pary liczb: środki klas x i oraz ich liczość i. Zadaie 1. Z pewej populacji wybrao próbkę = 50-elemetową i przebadao ze względu a pewą cechę X. Otrzymae wyiki: 3.6, 5.0, 4.0, 4.7, 5.2, 5.9, 4.5, 5.3, 5.5, 3.9, 5.6, 3.5, 5.4, 5.2, 4.1, 5.0, 3.1, 5.8, 4.8, 4.4, 4.6, 5.1, 4.7, 3.0, 5.5, 6.1, 3.8, 4.9, 5.6, 6.1, 5.9, 4.2, 6.4, 5.3, 4.5, 4.9, 4.0, 5.2, 3.3, 5.4, 4.7, 6.4, 5.1, 3.4, 5.2, 6.2, 4.4, 4.3, 5.8, 3.7 Sporządź histogram i szereg rozdzielczy. Rozwiązaie: Przyjmujemy, że liczba klas wyosi k = 7 (z tabeli). Liczba elemetów = 50, x max = 6.4, x mi = 3.0, stąd rozstęp R = x max x mi = 6.4 3.0 = 3.4 (2.5) R 0.49 0.5 = b (2.6) k dokładość w tym przypadku wyosi α = 0.1, więc dola graica wyosi x mi 0.05 = 2.95. 2

Nr klasy i Klasy Grupowaie wartości próbki środki klas x i Liczebość klas i 1 2.95-3.45 IIII 3.2 4 2 3.45-3.95 IIIII 3.7 5 3 3.95-4.45 IIIII II 4.2 7 4 4.45-4.95 IIIII IIII 4.7 9 5 4.95-5.45 IIIII IIIII II 5.2 12 6 5.45-5.95 IIIII III 5.7 8 7 5.95-6.45 IIIII 6.2 5 Histogram w zeszycie (z odłożoymi liczością i, częstością (frekwecją) w i = i (wyrażoe w procetach), lub w v i = w i (pole rówe 1)). b Łącząc pukty o współrzędych ( x 1 b, 0), ( x i, v i ), (i = 1, 2,..., k), ( x k + b, 0) otrzymujemy tzw. łamaą częstości, pole rówież jest rówe 1. 3 Mediaa i moda Defiicja 7. Mediaa (wartość środkowa) m e próbki x 1,..., x - środkowa liczba w uporządkowaej iemalejąco próbce. m e = { 1 2 x (1) x (2)... x () (3.1) ( x (+1)/2 ) dla ieparzystego (3.2) x( 2 ) + x ( 2 +1) dla parzystego Defiicja 8. Moda (wartość modala, domiata) m 0 próbki x 1,..., x o powtarzających się wartościach (ajczęściej powtarzające się wartości, o ile istieje) ie będąca x mi ai x max. 4 Średie klasycze Defiicja 9. Średia arytmetycza x liczb x 1,..., x Defiicja 10. Średia arytmetycza ważoa x = 1 x i (4.1) x = 1 k x i i (4.2) (w próbce wyik pomiaru x i wystąpił i razy, gdzie i = 1, 2,..., k i k i i = ). Iterpretacja: współrzęde środka masy puktów materialych o masach i. 3

Defiicja 11. Średia geometrycza ḡ liczb x 1,..., x 0 ḡ = x i (4.3) Jeśli wszystkie liczby x i > 0, to log ḡ = 1 log x i (4.4) Defiicja 12. Średia geometrycza ważoa ḡ = x 1 1... x k k, = Defiicja 13. Średia harmoicza h liczb x 1,..., x 0 k i (4.5) h = ( 1 1 x i ) 1 Defiicja 14. Średia harmoicza ważoa, 1 x i 0 (4.6) h = ( 1 k i x i ) 1 (4.7) Defiicja 15. Średia potęgowa rzędu r dodatich liczba x 1,..., x, którą ozaczamy p (r), azywamy p (r) = 1 r x r i (4.8) Między średimi x, ḡ, h, p (r) dodatich liczb x 1,..., x zachodzą astępujące związki: p ( 1) = h, p (1) = x, lim r 0 p (r) = ḡ (4.9) Średie dla szeregu rozdzielczego oblicza się, stosując odpowiedie wzory a średie ważoe. 5 Miary rozproszeia Miary rozproszeia (rozrzutu, rozsiaia) próbki x 1,..., x. (Najprostrza to rozrzut). 4

Defiicja 16. Wariacja (dyspersja) s 2 próbki x 1,..., x azywamy średią arytmetyczą kwadratów odchyleia poszczególych wartości x i od średiej arytmetyczej x próbki lub (rówoważie) s 2 = 1 x 2 i x 2 lub s 2 = 1 s 2 = 1 (x i x) 2 (5.1) (x i a) 2 ( x a) 2 (5.2) przy dowolym a. Jeżeli w próbce x i występuje i razy (i = 1, 2,..., k) k i = to mamy s 2 = 1 k i x) (x 2 i = 1 k i x 2 i x 2 (5.3) taka wariacja określa am momet bezwładości układu mas puktowych względem środka masy tego układu. Defiicja 17. Odchyleie stadardowe pierwiastek z wariacji s = s 2 = 1 (x i x) 2 (5.4) Defiicja 18. Odchyleie przecięte d 1 od wartości średiej x próbki x 1,..., x d 1 = 1 x i x (5.5) Defiicja 19. Odchyleie przecięte d 2 od mediay m e próbki x 1,..., x d 2 = 1 x i m e (5.6) Defiicja 20. Niech x (1) x (2)... x () ozacza uporządkowaą próbkę x 1, x 2,..., x. Wartości w uporządkowaej próbce dzielimy a dwie grupy: do pierwszej zaliczamy wszystkie wartości miejsze od mediay i mediaę, do drugiej wszystkie wartości większe od mediay. Kwartyle Q 1 próbki x 1,..., x azywamy mediaę pierwszej grupy, a kwartylem górym Q 3 mediaę drugiej próbki. Odchyleie ćwiartkowe jest zdefiiowae jako połowa różic między górym i dolym kwartylem: Q = Q 3 Q 1 2 5 (5.7)

Mamy jakąś próbkę, z której pobieramy r próbek, dla których moża wyzaczyć odpowiedie charakterystyki. Jeżeli mamy dae N i, x i, s 2 i dla i = 1, 2,..., r, gdzie N i liczość i-tej próbki, x i średia próbki i-tej i s 2 i wariacja i-tej próbki. Wtedy wariacja s 2, średia arytmetycza x połączoych r próbek wyosi. gdzie N = r N i. x = 1 r x i N i N (5.8) s 2 = 1 r s 2 i N i + 1 r ( x i x) 2 N i N N }{{}}{{} (5.9) war. wew. war. zew. 6 Momety i ie charakterystyki Defiicja 21. Momet zwykły m l rzędu l próbki x 1,..., x azywamy średią arytmetyczą l-tych potęg wartości x i m l = 1 x l i, l Defiicja 22. Momet cetraly M l rzędu l próbki x 1,..., x azywamy średią arytmetyczą l-tych potęg odchyleń wartości x i od średiej arytmetyczej x próbki M l = 1 (x i x) l, l Pierwszy momet cetraly jest dla każdej próbki rówy zero. Defiicja 23. Momet absoluty zwykły rzędu l próbki x 1,..., x wyraża się wzorem Defiicja 24. Momet absoluty cetraly b l rzędu l a l = 1 x i l (6.1) b l = 1 x i x l (6.2) Jeżeli wartości próbki pogrupowae są w k klasach o środkach x i i liczościach i, i = 1,..., k, to momety wyrażają się wzorami: momet zwykły rzędu l (grupowy) m l = 1 k x l i i (6.3) 6

momet cetraly rzędu l (grupowy) M l = 1 k ( x i x) l i (6.4) absoluty momet zwykły rzędu l (grupowy) a l = 1 k x i l i (6.5) absoluty momet cetraly rzędu l (grupowy) b l = 1 k x i x l i (6.6) Dla rozkładów symetryczych wszystkie momety rzędów ieparzystych są rówe zero. Defiicja 25. Skośość (współczyik asymetrii zdefiiowy jest jako gdzie s jest odchyleiem stadardowym. g 1 = M 3 s 3 (6.7) Defiicja 26. Współczyik kocetracji (skupieia) (kurtoza) Defiicja 27. Zmieość (współczyik zmieości) K = M 4 s 4 (6.8) v = s x 100% (6.9) Noerówomierość (współczyik ierówomierości) d 1 - odchyleie przecięte od średiej. H = d 1 x 100% (6.10) 7

7 Zdarzeia losowe Ω - przestrzeń zdarzeń elemetarych Defiicja 28. Zdarzeie elemetare ω Ω - poszczególe wyiki doświadczeia losowego. Defiicja 29. Doświadczeie losowe - realizacja określoego zespołu waruków, wraz z góry określoym zbiorem wyików Defiicja 30. Przeliczalie addytywym ciałem zdarzeń (σ - ciałem zdarzeń) przestrzei Ω azywamy iepustą klasę Z jej podzbiorów spełiających: i) Ω Z : cała przestrzeń zdarzeń elemetarych ależy do tej klasy ii) A Z A A c Z : dopełieie dowolego zbioru A (czyli A = Ω \ A) ależącego do klasy Z jest elemetem tej klasy. iii) A 1,..., A,... Z (A 1... A...) Z. Suma co ajwyżej przeliczalej liczby zbiorów ależących do klasy Z rówież ależy do tej klasy. Rzucamy kostką: zdarzeiami losowymi mogą być: 1, 2, 3, 4, 5, 6 liczby parzyste liczby ieparzyste itd. Ω = { {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} } (7.1) Defiicja 31. Zdarzeie losowe (zdarzeie) to każdy zbiór ależący do addytywego ciała Z. Zdarzeie pewe to cały zbiór Ω, zdarzeie iemożliwe to. A to zdarzeie przeciwe do zdarzeia A. 7.1 Działaie a zdarzeiach Działaia a zdarzeiach jest aalogicze do działań a zbiorach. Defiicja 32. Koiukcja (iloczy) dwóch zdarzeń A, B Z azywamy zdarzeie A B (ozaczae krócej AB), składające się z tych zdarzeń elemetarych, które ależą zarówo do zdarzeia A jak i do zdarzeia B. Dla przeliczalie wielu zdarzeń i T A i, jest to zdarzeie ależące do każdego zdarzeie A i. 8

Defiicja 33. Alteratywa (suma) zdarzeń A, B Z azywamy zdarzeie A B, składające się ze zdarzeń elemetarych ω, które ależą co ajmiej do jedego ze zdarzeń A, B. Dla przeliczalie wielu zdarzeń i T A i to zdarzeie, które ależy do co ajmiej jedego zdarzeia A i. Defiicja 34. Różica A \ B (ozaczaa A B) zdarzeń A, B Z azywamy zdarzeie składające się z tych zdarzeń elemetarych ω, które ależą do zdarzeia A, ale ie ależą do zdarzeia B. W szczególości różica Ω \ A jest zdarzeiem przeciwym do A. Defiicja 35. Mówimy, że zdarzeie A pociąga zdarzeie B (albo, zdarzeie B jest astępstwem zdarzeia A), co zapisujemy A B, jeśli każde zdarzeie elemetare ω ależące do zdarzeia A - rówież ależy do zdarzeia B. Jeżeli A B i B A, to mówimy, że zdarzeia są rówe i zapisujemy A = B. Defiicja 36. Mówimy, że zdarzeia A, B Z wykluczają się (albo: wyłączają się), jeśli ie mają wspólych zdarzeń elemetarych, tj. gdy ich koiukcja jest zdarzeiem iemożliwym AB =. Mówimy, że zdarzeia A 1,..., A,... wykluczają się parami, jeśli każde dwa spośród ich wykluczają się, czyli A i A j =, gdy i j. Własości działań a zdarzeiach: a) A B = B A przemieość koiukcji zdarzeń b) A B = B A przemieość alteratywy zdarzeń c) A (B C) = (A B) C łączość koiukcji zdarzeń d) A (B C) = (A B) C) łączość alteratywy zdarzeń e) A (B C) = A B A C A ( i T A i ) = i T (A A i ) rozdzielość koiukcji zdarzeń względem alteratywy zdarzeń f) A (B C) = (A B) (A C) A ( i T A i ) = i T (A A t ) rozdzielość alteratywy zdarzeń względem koiukcji zdarzeń g) (A B) = A B ( i T A i ) = i t A i (A B) = A B ( i T A i ) = i T A i Prawa De Morgaa 9

8 Kombiatoryka Defiicja 37. Permutacje bez powtórzeń. A dowoly zbiór złożoy z -elemetów A = {a 1, a 2,..., a } (8.1) Permutacją bez powtórzeń elemetowego zbioru A (permutacja bez powtórzeń różyych elemetów) - azywamy każdy wyrazowy ciąg, w którym każdy elemet zbioru A występuje dokładie raz. (Jest to po prostu uporządkowaie elemetów daego zbioru wg jakiegoś kryterium) P =! (8.2) Liczba możliwych permutacji. Defiicja 38. Permutacje z powtórzeiami. A zbiór k-różych elemetów: A = {a 1,..., a k }. Permutacją elemetową z powtórzeiami, w której elemet a 1 powtarza się 1 razy,..., elemet a k powtarza się k razy oraz 1 +... + k =, azywamy -wyrazowy ciąg, w którym poszczególe elemety zbioru A powtarzają się wskazaą liczbę razy. P 1,..., k =! 1!... k! (8.3) Defiicja 39. Wariacja bez powtórzeń. Niech A będzie zbiorem różych elemetów. Każdy k wyrazowy ciąg k różych elemetów tego zbioru (k ) azywamy k-wyrazową wariacją bez powtórzeń z -elemetowego zbioru A. V k = ( 1)( 2)... ( k + 1) [k], k (8.4) Defiicja 40. Wariacja z powtórzeiami. A zbiór elemetowy. Każdy k-wyrazowy ciąg (mogących się powtarzać) elemetów tego zbioru, k, azywamy k-wyrazową wariacją z powtórzeiami z -elemetowego zbioru A. V k = k (8.5) Defiicja 41. Kombiacje z powtórzeiami. A zbiór elemetowy (róże). Każdy k- elemetowy (k ) podzbiór zbioru A azywamy k-elemetową kombiacją bez powtórzeń -elemetowego zbioru A (lub kombiacją z elemetów po k elemetów). Np. {a, c} {a, b, c, d} jest 2-elemetową kombiacją 4-elemetowego zbioru (kolejość ie jest istota). C k = ( ) = k! k!( k)! = [k] k! (8.6) 10

Defiicja 42. Kombiacje z powtórzeiami. Mamy elemety różych rodzajów. Elemety tego samego rodzaju traktujemy jako idetycze. Każdy zbiór (zestaw) składający się z k elemetów (k ), gdy każdy elemet ależy do jedego z tych rodzajów, azywamy k-elemetową kombiacją z powtórzeiami z rodzajów elemetów. Np. Z elemetów 3 radzajów (=3) (ozaczmy je jako a, b, c) moża utworzyć astępujące 2-elemetowe kombiacje 9 Prawdopodobieństwo {a, a}, {b, b}, {c, c}, {a, b}, {a, c}, {b, c} (8.7) ( ) + k 1 C k = C+k 1 k = = k ( + k 1)! k!( 1)! Defiicja 43. Aksjomatycza defiicja prawdopodobieństwa. Ω przestrzeń zdarzeń elemetarych doświadczeia losowego D Z zbiór zdarzeń elemeatrych Prawdopodobieństwo fukcja P przyporządkowującą każdemu zdarzeiu A Z liczbę P (A) spełiającą 1. P (A) 0 dla każdego zdarzeia A Z 2. P (Ω) = 1, (uormowaie) (8.8) 3. Jeżeli A 1,..., A,... jest dowolym ciągiem parami rozłączych zdarzeń ze zbioru Z, to P (A 1 A 2... A...) = P (A 1 ) + P (A 2 ) +... + P (A ) +... (przeliczala addytywość) Własości 1. P ( ) = 0 2. Jeżeli A pociąg zdarzeie B, A B P (A) P (B) oraz P (B \ A) = P (B) P (A) 3. P (A) 1, A dowole 4. P (A) + P (A ) = 1 5. prawdopodobieństwo alteratywy dwóch dowolych zdarzeń (czyli prawdopodobieństwo zajścia co ajmiej jedego z tych zdarzeń) jest rówe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń zmiejszoej o prawdopodobieństwo ich koiukcji, czyli P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) 11

6. Klasycza defiicja prawdopodobieństwa. Przestrzeń Ω składa się z zdarzeń elemetarych, czyli (Ω) = zdarzeia jedoelemetowa {ω i } są jedakowo prawdopodobe, czyli P ({ω 1 }) = P ({ω 2 }) =... = P ({ω }) = 1 Defiicja 44. Prawdopodobieństwo warukowe P (A B) = P (A B) P (B) P (B) > 0 jest to prawdopodobieństwo zdarzeia A obliczoe przy założeiu, że zaszło zdarzeie B. Stąd wyika wzór a prawdopodobieństwo koiukcji (łączego zajścia) zdarzeń P (AB) = P (A)P (B A) P (A) > 0 (9.1) P (AB) = P (B)P (A B) P (B) > 0 (9.2) Defiicja 45. Prawdopodobieństwo koiukcji zdarzeń. Dla = 3 jest dae wzorem dla zdarzeń P (ABC) = P (A)P (B A)P (C AB) P (AB) > 0 P (A 1 A 2... A ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 )P (A 3 A 2 A 1 )... P (A A 1 A 2... A 1 ) gdy P (A 1 A 2... A 1 ) > 0 Defiicja 46. Niezależość dwóch zdarzeń. Mówimy, że zdarzeia A, B Z są iezależe, gdy P (AB) = P (A)P (B) rówość ta ie wyklucza sytuacji, gdy P (A) = 0 lub P (B) = 0. Gdy oba są róże od zera wtedy P (A B) = P (A) P (B A) = P (B) 10 Prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa Twierdzeie 47 (O prawdopodobieństwie całkowitym). B - dowole zdarzeie, zdarzeia A 1,..., A spełiają waruki 1. wykluczają się parami A i A j = dla i j 2. ich alteratywa jest zdarzeiem pewym, czyli A 1 A 2... A = Ω 12

3. moją dodatie prawdopodobieństwa P (A i ) > 0 dla i = 1,..., to prawdopodobieństwo zdarzeia B wyraża się rówością P (B) = P (A 1 )P (B A 1 ) +... + P (A )P (B A ) (10.1) zwaą wzorem a prawdopodobieństwo całkowite (zupełe) Twierdzeie 48 (Bayesa). Jeżeli B jest dowolym zdarzeiem o dodatim prawdopodobieństwie P (B) > 0, zdarzeia A 1,..., A zaś spełiają waruki 1,2,3 twierdzeia o prawdopodobieństwie całkowitym, to prawdopodobieństwa warukowe P (A k B) zdarzeń A k przy waruku B, k = 1,..., wyrażają się rówościami P (A k B) = P (A k)p (B A k ), k = 1,..., (10.2) P (A i )P (B A i ) 11 Zmiea losowa - jedowymiarowa Defiicja 49. Zmiea losowa. Ujęcie ituicyje. Zmiea losowa - przyjmuje wartość liczbową zależą od przypadku, a więc ie dającą się ustalić przed przeprowadzeiem doświadczeia. Ujęcie matematycze. (Ω, Z, P ) - przestrzeń probabilistycza. Zmiea losowa - dowola fukcja X, określoa a przestrzei zdarzeń elemetarych Ω o wartościach ze zbioru R mająca własości: dla dowolej, ustaloej liczby rzeczywistej x zbiór zdarzeń elemetarych ω, dla których spełioa jest ierówość X(ω) < x, jest zdarzeiem, czyli {ω : X(ω) < x} Z x R (11.1) Defiicja 50. Prawdopodobieństwo P (X A) przyjęcia przez zmieą losową X wartości ze zbioru A, A R, określamy rówością P (X A) = P ( {ω : X(ω) A} ) (11.2) gdzie A jest dowolym zbiorem a prostej, p.: A = {x 0 }, A = [a, b], A = (x 0, + ) itd. Dla A = [a, b) mamy P (X A) = P (a X < b) = P ( {ω : a X(ω) < b} ) (11.3) Defiicja 51. Dystrybuata zmieej losowej F (x) (lub F X (x)) F X (x) = P (X < x) x R (11.4) Dystrybuatą zmieej losowej X azywamy fukcję F X określoą a całym R. Dystrybuata F dowolej zmieej losowej ma własości 13

1. 0 F (x) 1 dla każdego x R 2. lim x F (x) F ( ) = 0 oraz lim x F (x) F ( ) = 1 3. F jest iemalejąca 4. jest fukcją (co ajmiej) lewostroie ciągłą, czyli lim x x 0 F (x) = F (x 0) 5. prawdopodobieństwo P (a X < b) przyjęcia przez zmieą losową X wartości z przedziału [a, b) jest rówe przyrostowi dystrybuaty F między puktami a, b, czyli P (a X < b) = F (b) F (a) 6. prawdopodobieństwo P (X = x 0 ) przyjęcia przez zmieą losową X dowolej, ustaloej wartości x wyraża się za pomocą dystrybuaty F rówością: P (X = x 0 ) = lim x x + F (x) 0 F (x 0 ) 7. Jeżeli G jest dowolą fukcją o wartościach rzeczywistych mającą własości 2,3,4, to fukcja G jest dystrybuatą zmieej losowej. 11.1 Zmiea losowa typu skokowego Defiicja 52. Zmiea losowa X jest typu skokowego (dyskretego) jeżeli istieje skończoy albo przeliczaly zbiór W x = {x 1,..., x,...} jej wartości x 1,..., x,... taki, że P (X = x i ) = p 1 > 0 i p i = 1 Defiicja 53. Fukcja rozkładu prawdopodobieństwa. Fukcję p określoą a zbiorze W x rówością p(x i ) = P (X = x i ) p i x i W x (11.5) lub przedstawioe przy pomocy dwuwierszowej tablicy x i x 1 x 2... x... p i p 1 p 2... p... spełiającą waruek uormowaia ( i p i = 1) azywamy fukcją rozkładu prawdopodobieństwa (lub fukcją prawdopodobieństwa) zmieej losowej X Defiicja 54. Dystrybuata zmieej losowej typu skokowego: prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmiea losową X wartości ze zbioru A P (X A) = x i A p i w szczególości P (a < X < b) = a<x i <b p i gdy a = możemy wyzaczyć dystrybuatę F skokowej zmieej losowej X: F (x) = P (X < x) = <x i <x p i 14

11.2 Zmiea losowa typu ciągłego Defiicja 55. Zmiea losowa X przyjmująca wszystkie wartości z pewego przedziału (albo przedziałów), dla której istieje ieujema fukcja f taka, że dystrybuatę F zmieej losowej X moża przedstawić w postaci: F (x) = x f(t)dt x R (11.6) azywamy zmieą losową absolutie ciągłą (zmieą losową ciągłą, typu ciągłego), a fukcję f jej gęstością. Pole obszaru ograiczoego wykresem gęstości f i osią Ox jest rówe 1. Jeżeli gęstość zmieej losowej X f(t) 0 tylko w (a, b) to rozkład jest skocetroway a przedziale (a, b). Własości zmieej losowej typu ciągłego: jeżeli x jest puktem ciągłości gęstości f, to F (x) = f(x), + f(t)dt = 1 P (a x < b) = b a f(x)dx 15