Matematka 2 (Wdziaª Architektur) Lista : Funkcje dwóch zmiennch I Wznacz i narsowa dziedzin funkcji:. z = 3 2 5 2. z = sin(2 + 2 ) 2 + 2 3. z = arcsin(2 + 2 ) 2 + 2 4. z = 5. z = ln 2 2 + 2 4 2 ( ) 2 + 2 4 9 2 2 6. z = ln(2 + 2 ) ln( +) 7. z = arctg() π 4 8. z = 9. z = 3 + log 2 (2 cos + ). z = arcsin. z = ln( 4 2 ) 2. z = sin 3. z = sin II Naszkicowa i opisa we wspóªrz dnch biegunowch obszar:. 2 + 2 4 2. 2 + 2 9 3. 2 + 2 4, 4. 2 + 2 4, 3 5. 2 + 2 2 6. 2 + 2 4, 2 + 2 4 7. 2 + 2 4, 3 3 8. 2 + 2, 9.,. ( 2 + 2 ) 2 2 2 III Naszkicowa powierzchnie o zadanch równaniach. z = 2 + 2 2. z = 2 2 3. z = 2 + 2 4. z = 3 2 + 2 5. 2 + 2 + z 2 = 4 6. z = 4 2 2 7. z = 3 6 2 2 8. z = sin 9. z = arctg. 2 + 2 = 4. 2 + 2 = 2 IV Oblicz wszstkie pochodne cz stkowe pierwszego rz du nast puj cch funkcji:. f(, ) = 2 + 2 + 3; 2. f(, ) = sin( cos ); 3. f(, ) = e sin ; 4. f(, ) = arctg +. V Oblicz wszstkie pochodne cz stkowe drugiego rz du nast puj cch funkcji i sprawdzi, cz pochodne mieszane s rzeczwi±cie równe:. f(, ) = + ; 2. f(, ) = sin( 2 + 2 ); 3. f(, ) = e ; 4. f(, ) = ln().
VI Wznacz wszstkie ekstrema lokalne nast puj cch funkcji. Ustali, które z nich s minimami, a które maksmami:. f(, ) = 3 + 3 2 5 24; 2. f(, ) = 3 + 3 3; 3. f(, ) = 8 + +, (, > ); 4. f(, ) = 2 (2 ), (, > ); 5. f(, ) = (2 + 2 )e ; 6. f(, ) = (cos +cos ) 2 +(sin +sin ) 2. VII Wznacz ekstrema podanch funkcji prz zadanch ograniczeniach na argument:. f(, ) = 2 + 2, 3 + 2 = 6; 2. f(, ) = 2 + 2 8+, 2 + = ; 3. f(, ) = 2 + 3, 2 + 2 =. VIII Znale¹ najmniejsze i najwi ksze warto±ci podanch funkcji na wskazanch zbiorach:. f(, ) = 2 3 + 4 2 + 2 2, = {(, ) R 2 : 2 4}; 2. f(, ) = 2 + 2, = {(, ) R 2 : + 2}; 3. f(, ) = 2 + 4 4, = {(, ) R 2 : 3 3, 3 }; 4. f(, ) = 4 + 4, = {(, ) R 2 : 2 + 2 9}. IX Na pªaszcz¹nie + 2 3z = 6 znale¹ punkt poªo»on najbli»ej pocz tku ukªadu wspóªrz dnch. X W±ród wszstkich prostopadªo±cianów wpisanch w kul o promieniu R znale¹ ten, któr ma najwi ksz obj to±. XI Jakie powinn b wmiar prostopadªo±ciennej otwartej wann o pojemno±ci V, ab ilo± blach zu»tej do jej zrobienia bªa najmniejsza? XII Prostopadªo±cienn magazn ma mie kubatur 26 m 3. o budow ±cian jego ±cian u»te zostan pªt w cenie 3 zª/m 2, podªogi b d kosztowa 4 zª/m 2, a sut 2 zª/m 2. Jakie wmiar powinien mie magazn, ab koszt jego budow bª najmniejsz? XIII Oblicz nast puj ce caªki:. cos d 2. cos d 3. d 4. d 5. e 2 d 6. e 2 d 7. 8. 2 + 2 2 + 2 d d XIV Narsowa obszar caªkowania i oblicz nast puj ce caªki iterowane:. d d; 2. π 4 d sin( + )d; 3. 4 d 2 2 d; 4. 2 2 d 4 2 ( 3 + 3 )d; 5. 3 d 2 + 6d; 6. 4 d 2 2 d.
XV Zapisa caªk f(, )dd jako caªk iterowan, je±li obszar jest ograniczon nast puj - cmi krzwmi:. 2 + = 2, 3 = 2 ; 2. 2 4 + 2 + 6 5 = ; 3. 2 + 2 = 4, = 2 2, = (, ); 4. 2 2 =, 2 + 2 = 3. XVI Zamieni kolejno± caªkowania w nast puj cch caªkach iterowanch:. d f(, )d; 2. d f(, )d; 3. 9 d 3 f(, )d; 4. 3 d 2 3 2 f(, )d; 9 2 5. e d ln f(, )d; 6. π 4 d tg f(, )d. π 4 XVII Oblicz nast puj ce caªki podwójne (je±li obszar jest podan jako zestaw krzwch, chodzi o obszar ograniczon tmi krzwmi):. 2. 2 dd, 2 dd, : =, = 2 2 ; : = 2, =, = ; 3. ( + )dd, : =, =, = 3 2 ( ); 4. ( + 4 2 )dd, : = + 3, = 2 + 3 + 3; 5. (2 3 + 2)dd, : =, = π, =, = sin ; 6. e dd, : =, =, = ; 7. 8. 9... e 2 dd, : =, = 2, = ln 3; 2 e dd, : =, =, = ; sin dd, : =, =, = ; arctg 2 dd, : =, =, =, = ; dd, = { 2, + 2 4}
XVIII Oblicz nast puj ce caªki iterowane, zamieniaj c kolejno± caªkowania.. 2 2 2. d 3. d 4 2 d e (4 2 ) 3 2 d; 3 + d; ( + sin( 4 ))d; 4. π 5. 4 6. π d sin 2 d; 2 d 3 4 d; d 2 + 3 4 d. 2 XIX Korzstaj c ze wspóªrz dnch biegunowch, oblicz nast puj ce caªki podwójne:. 2. 3. 4. 5. 2 dd, = { 2 + 2 4 } ; ln( 2 + 2 ) 2 + 2 dd, = { 2 + 2 4, } ; e 2(2 + 2) dd, = { 2 + 2, } ; 2 + 2 { + 2 + dd, = 2 + 2 4, } 3 ; 2 8 +2 2 e2 dd, = { 2 + 2 ; } ; + 2 6. ( 2 + 2 )dd, = { 2 + 2 } ; 7. 8. 9.. 2 + 2, = {, ( 2 + 2 ) 2 4( 2 2 ) } ; arctg { dd, = 2 + 2 + 4 <,, } 3 ; arctg { } 2 +, = 2 ( 2 + 2 ) 3 2 2 2 ; ( 2 + 2 ) 2, = { 2 + 2 4,, }.
XX Oblicz pola gur ograniczonch krzwmi o równaniach:. 2 + 2 2, ; 2. ( 2 + 2 ) 2 = 2( 2 2 ); 3. ( 2 + 2 ) 2 = 2 3 ; 4. ( 2 + 2 ) = 2, 2 + 2 = 4, =, =. XXI Naszkicowa brª ograniczone nast puj cmi powierzchniami i oblicz ich obj to±ci:. z = 9 2 2, z = 3 + 2 + 2 ; 2. z = 4 2 2, z = 4 + 2 + 2 ; 3. z =, 2 2 + 2 =, z = 2 + 2 ; 4. z = 2 2 + 2, z = ; 5. z = 2 + 2, 2 + 2 =, 2 + 2 = 2, z = ; 6. z = 2 + 2 + 2, z = 2 2 ; 7. 2 + 2 + z 2 = 4, + 2 + 2 2 =. XXII Oblicz pola powierzchni wci tch:. walcem 2 + 2 = 2 z paraboloid hiperbolicznej z = ; 2. walcem 2 + 2 = z walca 2 + z 2 = ; 3. walcem 2 + 2 = 2 ze sfer 2 + 2 + z 2 = 4; 4. walcem 2 + 2 = ze sto»ka 2 + z 2 = 2. XXIII Oblicz mas koªa o promieniu R, w którm g sto± jest wprost proporcjonalna (z wspóªcznnikiem proporcji γ) do:. kwadratu odlegªo±ci od ustalonej ±rednic; 2. kwadratu odlegªo±ci od ustalonego punktu le» cego na brzegu. XXIV Oblicz mas kwadratu o boku a, w którm g sto± jest wprost proporcjonalna (z wspóªcznnikiem proporcji γ) do:. kwadratu odlegªo±ci od ±rodka; 2. kwadratu odlegªo±ci od ustalonego boku; 3. odlegªo±ci od ustalonego boku; 4. kwadratu odlegªo±ci od ustalonego wierzchoªka; 5. kwadratu odlegªo±ci od ustalonej przek tnej; 6. odlegªo±ci od ustalonej przek tnej. XXV Wznacz ±rodki mas nast puj cch gur jednorodnch:. Trójk t równoboczn o boku a. 2. Wcinek koªa o promieniu R i k cie α. XXVI Wznacz ±rodek mas póªkola o promieniu R, je±li jego g sto± jest wprost proporcjonalna (z wspóªcznnikiem γ) do odlegªo±ci od:. ±rodka; 2. podstaw; 3. osi smetrii.