BLOK I. 3. Korzystając z definicji pochodnej w punkcie, obliczyć pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach:

Transkrypt

1 BLOK I. Rachunek różniczkowy i całkowy. Znaleźć przyrost funkcji f() = przy = zakładając, że przyrost zmiennej niezależnej jest równy: a), ; b), ;, 5.. Znaleźć iloraz różnicowy funkcji y = f() w punkcie odpowiadający przyrostowi argumentu. a) f() = 4, =, = ; b) f() =, =, = ; f() = +, =, =, ; d) f() = log, = 5, = 9 4 ; f() = +, =, =.. Korzystając z definicji pochodnej w punkcie, obliczyć pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach: a) f() = +, = ; b) f() = +, = ; f() = 6 +, = 4; d) f() =, = Korzystając z definicji obliczyć pochodne podanych funkcji: a) f() = + 4 ; b)f() = + ; ; d)f() =.

2 5. Korzystając z odpowiednich wzorów, wyznaczyć pochodną funkcji f(): a) f() = +5 ; b) f() = 4 +; f() = ( )( +); d) f() = ; f() = + g) f() = ( )( + + ; f) f() = ; 4 ; h) f() = cos. 6. Korzystając z reguł obliczania pochodnych, policzyć pochodne podanych funkcji: ( ) a) f() = ( + + 4) + + ; b) f() = ; f() = ; d) f() = sin 5 ; f() = cos ; f) f() = ctg(cos); g) f() = 7. Obliczyć pochodną funkcji: a) f() = e sin ; b) f() = ln( cos); f() = arcsin ; d) f() = ln(tg ); f() = + ln ; f) f() = (ln ) ; g) f() = cos. tg ( 8. Napisać równania stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach: a) f() =, = ; b) f() = + 5, = ; f() = ln +, =. 9. Wykorzystując różniczkę funkcji obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia sin.. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji: a) f() = + + ; b) f() = ; f() =. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji: 6 ; d) f() = e ; f() = ln. a) f() = ( ) ; b) f() = ; f() = e ; d) f() = ; f() = ln +. ).

3 . Jakie wymiary powinna mieć puszka na konserwy w kształcie walca o objętości V = 5πcm, aby na jej wykonanie zużyć jak najmniej materiału?. Powierzchnia zadrukowanej części afisza ogłoszeniowego ma wynosić 56cm, marginesy boczne mają mieć po 4cm, marginesy górny i dolny po 6cm. Jakie powinny być wymiary afisza, aby jego nakład wymagał minimum papieru? 4. Zależność między kosztem K, a wielkością produkcji pewnego dobra określa wzór K() = +. Czy istnieje taka wielkość, przy której koszt K jest najmniejszy? Jeśli tak, to obliczyć jej wielkość. 5. Wydajność pracy pewnego robotnika zmienia się w ciągu ośmiogodzinnego dnia pracy i po upływie t godzin ma wartość W(t) = 5 + 9t t 9 t. Robotnik rozpoczyna pracę o godzinie 7 : i pracuje bez przerwy do godziny 5 :. O której godzinie wydajność pracy jest największa? 6. Droga wyrażona w metrach, przebyta przez ciało będące w ruchu jednostajnie przyspieszonym zależy od czasu zgodnie ze wzorem s = f(t) = t +4t+ (jednostką czasu jest sekunda). Jaka będzie prędkość ciała w piątej sekundzie ruchu? 7. Punkt porusza się po linii prostej tak, że jego odległość s od punktu początkowego po t sekundach wynosi s = f(t) = t t +. Znaleźć prędkość punktu po dziesięciu sekundach. 8. Bieguny ogniwa o sile elektromotorycznej E i oporności wewnętrznej ρ (rysunek) połączono przewodnikiem o oporności R. Zbadać, dla jakiej wartości R moc na tej oporności jest największa, - jak wiadomo z fizyki - moc M na oporności R wyraża się wzorem: M = R 9. Obliczyć całki nieoznaczone: a) ( )d; b) ( E ρ + R ). d; ( cos + + )d; d) 4 + d; ( 5 d; f) + ) + d. 4. Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części obliczyć całki nieoznaczone: a) cos d; b) ln d; e d; d) arcsin d.

4 . Stosując odpowiednie podstawienia obliczyć podane całki nieoznaczone: 4 a) ( + ) 7 ( )d; b) d; 6 d; d) d; f) cos ( + ) e d; d; g) sin cos 5 d.. Obliczyć całki stosując rozkład na ułamki proste: d a) ( + )( + ) ; b) d; d; d) 4 + d ; f). Obliczyć całki oznaczone: + + ( + )( + + ) d; d. 4 6 a) d; b) + π sin d; d; d) e arctg ln d; e d; f) 4. Wykorzystując całki oznaczone obliczyć pole obszaru 4 + 5d. P = {(, y) : y ln }. 5. Obliczyć pole figury ograniczonej łukiem krzywej y = oraz prostą y = Obliczyć pole obszaru ograniczonego parabolą y =, y = i prostą + y =. 7. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi y = e, y = e i prostą =. 8. Obliczyć pole zawarte pomiędzy parabolami y =, = y. 9. Obliczyć pole figury ograniczonej przez krzywe + y = 8 i y =. 4

5 Literatura. L.M. Drużkowski, Analiza matematyczna dla fizyków, cz.i. Podstawy, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków, (995).. M.Gewert,Z.Skoczylas, Analiza matematyczna, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, ().. W.Górniewicz, R.IngardenAnaliza matematyczna dla fizyków. T.-, Wydawnictwo Uniwersytetu Toruńskiego, Toruń, (995). 4. W.Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, cz.i-ii., PWN Warszawa, (99). 5. J.Laszuk, Repetytorium z matematyki, Warszawa, (997). 6. R.Leitner, Zarys matematyki wyższej dla studiów technicznych, cz.i-ii., WNT, Warszawa, (994). 7. A. Sołtysiak, Analiza matematyczna, cz. I, II i III, Wydawnictwo UAM, Poznań, (). 8. T.Supady, Matematyka Nowe Vademecum, Wydawnictwo Tukan Remy, (999). 5