MAP1146 ANALIZA MATEMATYCZNA 2.4 A Listy zadań

Transkrypt

1 MAP46 ANALIZA MATEMATYCZNA.4 A List zadań Lista.. Przjmując w definicji całki oznaczonej podział równomiern obliczć podane całki oznaczone i podać ich interpretację geometrczną: ); b) ; c) e. Wskazówka.Ad.b).Zastosowaćwzor++...+n= nn+), n = nn+)n+) ; 6 Ad.c).Zastosowaćwzórnasumęciągugeometrcznegoa+aq+...+aq n =a qn q orazwkorzstaćrówność e h lim =; h h.. Korzstając z twierdzenia Newtona-Leibniza obliczć całki: ) ; b) ; c) + +9 ; ; e) e e ln; f) sin cos. *.. Korzstając z definicji całki oznaczonej uzasadnić równości: [ π lim tg π )] n 4n 4n +tgπ 4n +...+tgnπ =ln ; 4n n b) lim n n 4 = 4 ; c) lim n [ ln+n) +n)... n+n) n n n ] =ln4..4. Obliczć całki oznaczone dokonując wskazanch podstawień: ln 4 e +e,t=e ; b) 4 ),=t ; e) sine cos,t=cos; c) 9,=sint; f).5. Metodą całkowania przez części obliczć całki oznaczone: e ; b) ln; e) π 4 sin; c) arcsin; f) e +cos); e ln. +,+=t ; 4,= t.

2 Lista.. Narsować funkcje podcałkowe i obliczć całki oznaczone: ; b) e ; c) sgn ) ;... Obliczć wartości średnie podanch funkcji na wskazanch przedziałach i podać ich interpretacje geometrczną: f)= +4, [,]; b)f)=sin, [,π]; c)f)=arctg, [, ] ; f)= +, [,]... Wkorzstując własności całek z funkcji parzstch, nieparzstch lub okresowch uzasadnić równości: c) e e =; b) + ln +sin =; sin π 5 sin +cos = )=5.4. Obliczć pola obszarów ograniczonch krzwmi: sin +cos ; ). =,+=; b)=,=, ); c)=,=,=; 4=,= 8 +4 ; e) =,=,=8; f) 4 =,=,=6..5. Obliczć długości krzwch: =, gdzie ; b)=ch, gdzie ; c)=, gdzie ; =lncos, gdzie π Obliczć objętości brł powstałch z obrotu podanch figur T wokół wskazanch osi: T:,,O; c)t: 5, +4,O; b)t: π 4, tg,o; T:,,O..7. Obliczć pola powierzchni powstałch z obrotu wkresów podanch funkcji wokół wskazanch osi: f)= 4+, 4,O; b)f)=cos, π,o; c)f)=ln,,o; f)= +,,O..8.Punktmaterialnrozpocząłruchprostoliniowzprędkościąpoczątkowąv =m/siprzspieszeniem a =m/s.poczasiet =spunktzacząłporuszaćsięzopóźnieniema = m/s.znaleźćjegopołożenie poczasiet =s. b)wiecząstkiaibpołożonewodległościd=6zacznajązbliżaćsiędosiebiezprędkościamiodpowiednio v A t)=t+t,v B t)=6t,gdziet.pojakimczasienastąpiichzderzenie? Lista.. Korzstając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwch pierwszego rodzaju: +) ; b) )e ; e) +5 ; c) +4 ; f) π sin; 4+.

3 .. Korzstając z krterium porównawczego zbadać zbieżność całek niewłaściwch pierwszego rodzaju: 4 +) ; b) + ) ; e) π ; c) +sin) ; f) +) 4 ++ ; +cos )... Korzstając z krterium ilorazowego zbadać zbieżność całek niewłaściwch pierwszego rodzaju: +) ; b) +) 5 ; c) +) ; sin ; 5 e) sin ; f) e + ) e..4.obliczćpoleobszaruograniczonegokrzwą= +4 orazosiąo. b)obliczćobjętośćbrłpowstałejzobrotuwokółosioobszaru= {,) R :, e }. c)uzasadnić,żepolepowierzchnipowstałejzobrotuwkresufunkcji= dla wokółosioma skończoną wartość. Lista Znaleźć sum częściowe podanch szeregów i następnie zbadać ich zbieżność: n= ) n 5 ; b) 6 n= n ; c) n! n Uwaga.Wprzkładzieb)przjąć,żeS n= k= n )n+) ; a k,gdzien. 4.. Korzstając z krterium całkowego zbadać zbieżność szeregów: n +n ; b) n n +4 ; c) n= lnn n ; 4.. Korzstając z krterium ilorazowego zbadać zbieżność szeregów: n n+. n++ n. n +n+ n ; b) n+ n + ; c) n n ; sin π n sin π. n 4.4. Korzstając z krterium porównawczego zbadać zbieżność szeregów: n + ; b) n+ n + ; c) sin π n; n= n +sinn! n ; e) cosn n ; f) n + n n + n Korzstając z krterium d Alemberta zbadać zbieżność szeregów: n ; b) n sin π n! n; c) n! n n; n!) n)! ; e) n n n n! ; f) n + n 5 +.

4 Lista Korzstając z krterium Cauch ego zbadać zbieżność szeregów: n+) n n +) n ; b) n + n n +4 n; c) n n n ; n+) n arccos n n. 5.. Wkazać zbieżność odpowiedniego szeregu i następnie na podstawie warunku koniecznego zbieżności szeregów uzasadnić podane równości: 7 n lim n n 5=; n n b) lim n n!) =; 5.. Zbadać zbieżność szeregów naprzemiennch: ) nn n +5 ; b) ) n n n+) n; c) ) n+ lnn nlnlnn ; ) [e n+ n= n! c) lim n n n=; + n ) n ] Zbadać zbieżność oraz zbieżność bezwzględną szeregów: ) n+ n + ; b) ) n n n + ; c) ) n n ; n+5 ) n ) n ; e) n= n= n= ) n n + ; f*) n= ) n n+. n)!4n)! d*) lim n 5n)!n)! =. Lista Wznaczć przedział zbieżności szeregów potęgowch: n= n n n; b) n ) n ; c) n n + n; e) n n + +)n ; f*) +) n n ; n! n n n. 6.. Znaleźć szeregi Maclaurina podanch funkcji i określić przedział ich zbieżności: ; b)cos ; c)e ; 9+ ; e)sh; f*)sin Korzstając z rozwinięć Maclaurina funkcji elementarnch obliczć pochodne: f 5) ), gdzief)=sin; b)f 6) ), gdzief)= e ; c)f ) ), gdzief)= + ; f) ), gdzief)=sin. Lista Scałkować podane równania różniczkowe o zmiennch rozdzielonch: +4t=; b)d=t dt; c)t ) dt+ t ) d=; t = ; e) =+t++t; f) +4= e t +4 ). 7.. Rozwiązać podane zagadnienia początkowe dla równań różniczkowch o rozdzielonch zmiennch: π sint=ln, =e; b)t ) dt+ t d=, )=; c)t+) =, e)=; costdt + ) d=, )=; e) = +t ), )= ; f)e )=, )=. 4

5 7.. Rozwiązać podane równania różniczkowe liniowe niejednorodne: +=sint; b) +t=e t ; c)t =t cost; t =4t 4 ; e)t+e t t =; f)t+) =4t Wznaczć rozwiązania podanch zagadnień początkowch dla równań liniowch niejednorodnch: =,)=; b) =+)sint,t )= ; π c)t +=t+,)=; sintcost=+sin t, =. 4) *7.5. Znaleźć równanie krzwej przechodzącej przez punkt,), dla której pole trójkąta OSTrsunek) utworzonego przezośot,stcznąiwektorwodzącpunktustcznościjeststałeirównasię. S O T =t) t Lista Sprawdzić, że podane funkcje tworzą na zadanch przedziałach układ fundamentalne wskazanch równań różniczkowch. Znaleźć rozwiązania tch równań z zadanmi warunkami początkowmi: t)=e t, t)=e t,,), =, )=, )= 5; b) t)=lnt, t)=t,,e), t lnt) +t =, )=, )=; c) t)=t, t)=e t,,), t ) t +=, )=, )=; t)=t, t)=t,,), t t +=, )=, )=. 8..Wznaczćrównaniaróżniczkoweliniowejednorodnepostaci +pt) +qt)=,którchukład fundamentalne składają się z podanch funkcji: t)=sht, =cht,gdziet R; b) t)=t, t)=t,gdziet,). 8.. Napisać równania charakterstczne równań różniczkowch: +=; b) =; c)4 + =; +4=; e) =; f) = Wznaczćrównaniaróżniczkoweliniowejednorodneostałchwspółcznnikachpostaci +p +q=, jeżeli pierwiastkami ich wielomianów charakterstcznch są: λ =,λ =; b)λ =,λ =; c)λ =λ = ; λ =i; e)λ =+ i; f)λ = i Rozwiązać równania różniczkowe liniowe o stałch współcznnikach: 6 5 +=; b) =; c)4 4+=; =; e) 4 +5=; f) +5=; g) +6 +8=; h)7 +4 =; i) 6 +9= Wznaczć rozwiązanie zagadnienia początkowego: π + 6=, )=, )=; b) +9=, ) c) +=, )=, )=; =, π ) =; 7 +=, )=, )=. 5

6 Lista Wznaczć rozwiązania ogólne podanch równań liniowch niejednorodnch, jeżeli znane są układ fundamentalne odpowiadając im równań jednorodnch: 7 +=e t, t)=e t, t)=e 5t ; b) t+t ) 6+t) +6=6, t)=t, t)=t+; c)t ) t +=t ) e t, t)=t, t)=e t ; t+) +t) =e t, t)=, t)=te t. 9.. Korzstając z metod uzmienniania stałch rozwiązać równania różniczkowe: +4 +4=e t ; b) +4= cost ; c) = 4t + t ; t tgt=; e) + += +e t; f) + +=cos e t). 9.. Korzstając z metod współcznników nieoznaczonchmetoda przewidwani rozwiązać równania różniczkowe liniowe niejednorodne: + += ; b) 4 +4=t ; c) +4 +4=8e t ; + =te t ; e) +5 +6= t)e t ; f) +4 4=8sint; g) +9=sint+cost; h) +α =cosαt,gdzieα Rozwiązać zagadnienia początkowe: += t), )=, )= ; b) 6 +9=9t t+, )=, )=; c) +6 +9=sint, )=, )=; + =e t, )=, )=. Lista.. Wznaczć i narsować dziedzin naturalne funkcji: f,)= 5 ; b)f,)=sin + ) + ; c)f,)= + 5 ; f,)=ln ; e)f,,z)= + + z ; f)f,,z)=arcsin + +z )... Wkresrs. c)) połączć z odpowiadającmi im poziomicamirs. A) C)) wkonanmi dla h =,,,,: z b) z c) z z= + z= 4 + ) z= + ) 6

7 A) B) C).. Naszkicować wkres funkcji: f,)= + ; b)f,)= + ; c)f,)= + ++; f,)=sin; e)f,)= ; f)f,)=..4. Uzasadnić, że nie istnieją granice funkcji: lim,),) 4 +4; b) lim,),).5. Obliczć granice funkcji: sin 4 +; c) lim,) π,) ; lim,),) cos + ) lim,),) + ) ; b) lim,),) + ; tg ) lim,),) Lista 4 +4 ; e) lim +,),) c) lim,),) ; ; f) lim + ) sin,),)... Korzstając z definicji obliczć pochodne cząstkowe rzędu pierwszego funkcji we wskazanch punktach: f,)= +,,); b)f,)= +,,); + dla,),) c)f,)= +,,); dla,)=,) f,,z)=,,,); e)f,,z)= z z,,,)... Obliczć wszstkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji: f,)= + f,,z)= + z +z ; ; b)f,)=arctg + ; c)f,)=esin ; e)f,,z)= + +z ;.. Sprawdzić cz podana funkcja spełnia wskazane równanie: f)f,,z)=sincossinz)). f,)=ln ++ ), f + f =; b)f,)= sin, f + f =f..4. Obliczć wszstkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu podanch funkcji i sprawdzić, cz pochodne cząstkowe mieszane są równe: f,)=sin + ) ; b)f,)=e ; c)f,)=+ ; f,)=ln; e)f,,z)= + +z ; f)f,,z)=ln + 4 +z 6 + )..5. Obliczć wskazane pochodne cząstkowe funkcji: f, f,)=sin; b) 4 f, f,)=+ ; f c) z, f,,z)= ; z 5 f z, f,,z)=e+z. 7

8 .6. Sprawdzić, że funkcje: z=arctg ; b)z=+ ; c)z=+ln + ) ; z=+ spełniają warunek z z z + + =, gdzie,>..7. Napisać równania płaszczzn stcznch do wkresów podanch funkcji we wskazanch punktach wkresu: z= +,,,z )=,,z ); b)z=e +,,,z )=,,z ); c)z= arcsin arccos,,,z )= ),,z ; z=,,,z )=,4,z )..8.Nawkresiefunkcjiz=arctg wskazaćpunkt,wktórchpłaszczznastcznajestrównoległado płaszczzn+ z=5. b)wznaczćrównaniepłaszczznstcznejdowkresufunkcjiz=arcctg +,którajestprostopadłado prostej= t,=t,z=t,gdziet R. Lista.. Znaleźć ekstrema funkcji: f,)= ) +4+) ; b)f,)= + ; c)f,)= + 5 4; f,)=e + +) ; e)f,)= ), gdzie,>; f)f,)= 8 + +; gdzie,>... Znaleźć najmniejsze i największe wartości podanch funkcji na wskazanch zbiorach: f,)= +4 +, = {,) R : 4 } ; b)f,)= + 6+4, = {,) R :+ 4,+ 6,, } ; c)f,)= +, = {, R : + } ; f,)= +4 4, = {,) R :, } ; e)f,)= 4 + 4, = {,) R : + 9 } ; ) ) f*)f,)= + +),= R...WtrójkącieowierzchołkachA=,5),B=,4),C=, )znaleźćpunktm=, ),dla którego suma kwadratów jego odległości od wierzchołków jest najmniejsza. b) Jakie powinn bć długość a, szerokość b i wsokość h prostopadłościennej otwartej wann o pojemności V, ab ilość blach zużtej do jej zrobienia bła najmniejsza? c) Znaleźć odległość międz prostmi skośnmi: k: { + =, z+ =, l: { + =, z =. ProstopadłościennmagaznmamiećobjętośćV=6m.obudowścianmagaznuużwanesąpłt wceniezł/m,dobudowpodłogiwcenie4zł/m,asufituwceniezł/m.znaleźćdługośća,szerokość b i wsokość c magaznu, którego koszt budow będzie najmniejsz. f)firmaprodukujei4calowetelewizorplazmowewcenachzbtuodpowiednio4ei6ezasztukę. Koszt wprodukowania sztuk telewizorów calowch i 4 calowch wnoszą K,)= ++ e. Ile sztuk telewizorów i 4 calowch powinna wprodukować firma ab osiągnąć jak największ zsk? 8

9 Lista.. Obliczć całki podwójne po wskazanch prostokątach: R R d ++),gdzier=[,] [,]; b) R c) e d,gdzier=[,] [,]. sind,gdzier=[,] [π,π];.. Całkę podwójną f, ) d zamienić na całki iterowane, jeżeli obszar ograniczon jest krzwmi o równaniach: +=, = ; b) + =4, =, =, ); c) =; =, + =<)... Obliczć całki iterowane: 4 d; b) 4 Narsować obszar całkowania. d; c) 4 + ) d; d.4. Narsować obszar całkowania, a następnie zmienić kolejność całkowania w całkach: f,)d; b) f,)d; c) 4 4 f,)d; +6. d f,); e) sin f,)d; f) e f,)d. π cos ln.5. Obliczć podane całki po obszarach normalnch ograniczonch wskazanmi krzwmi: d, :=,= ; b) d, :=,=,= ; c) +)d, :=,=,= ); +4 ) d, :=+,= ++; e) +)d, :=,=π,=,=sin; f) e d, :=,=,=; g) e d, :=,=,= ln; h) e d, :=,=,=. Opracowanie: dr Marian Gewert, doc. Zbigniew Skoczlas 9