Prawdopodobieństwo i statystyka

Podobne dokumenty
ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE

Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja

1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki

Niezależność zmiennych, funkcje i charakterystyki wektora losowego, centralne twierdzenia graniczne

Prawdopodobieństwo i statystyka

STATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II

Zdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe

Twierdzenia graniczne:

Lista 5. Odp. 1. xf(x)dx = xdx = 1 2 E [X] = 1. Pr(X > 3/4) E [X] 3/4 = 2 3. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym

Wykład 8: Zbieżność według rozkładu. Centralne twierdzenie graniczne.

Wykład 13: Zbieżność według rozkładu. Centralne twierdzenie graniczne.

WYKŁAD 1. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady

Lista 6. Estymacja punktowa

40:5. 40:5 = υ5 5p 40, 40:5 = p 40.

Analiza numeryczna Kurs INP002009W. Wykład 1 Narzędzia matematyczne. Karol Tarnowski A-1 p.223

Zadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.

θx θ 1, dla 0 < x < 1, 0, poza tym,

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi

X i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.

Rozkłady statystyk z próby Twierdzenia graniczne

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Komputerowa analiza danych doświadczalnych

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK

3. Funkcje elementarne

Podstawowe rozkłady zmiennych losowych typu dyskretnego

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.

Kurs Prawdopodobieństwo Wzory

P ( i I A i) = i I P (A i) dla parami rozłącznych zbiorów A i. F ( ) = lim t F (t) = 0, F (+ ) = lim t + F (t) = 1.

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu jednostajnego na przedziale ( 0,

16 Przedziały ufności

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +

Rozkład normalny (Gaussa)

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej

Statystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11

z przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X

ZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R

Fraktale - ciąg g dalszy

Funkcja generująca rozkład (p-two)

1 Przedziały ufności. ). Obliczamy. gdzie S pochodzi z rozkładu B(n, 1 2. P(2 S n 2) = 1 P(S 2) P(S n 2) = 1 2( 2 n +n2 n +2 n ) = 1 (n 2 +n+2)2 n.

Rekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Wzór Taylora. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. WYKŁAD 0 (powt. wiadomości z r. p-stwa)

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

Wokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych

1 Dwuwymiarowa zmienna losowa

Dwumian Newtona. Agnieszka Dąbrowska i Maciej Nieszporski 8 stycznia 2011

Trzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

Prawdopodobieństwo i statystyka

Ciągi liczbowe wykład 3

ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA

Zadania z rachunku prawdopodobieństwa I* Siedmiu pasażerów przydzielono losowo do trzech wagonów. Jakie jest prawdopodobieństwo

Komputerowa analiza danych doświadczalnych

Statystyka Matematyczna. Skrypt. Spis treści. SKN Matematyki Stosowanej. s k n. m s 23 kwietnia Oznaczenia i definicje 3

Trochę zadań kombinatorycznych. 1. na ile sposobów można siedmiu stojących na peronie pasażerów umieścić w trzech wagonach?

I kolokwium z Analizy Matematycznej

Estymacja przedziałowa

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

Komputerowa analiza danych doświadczalnych

Komputerowa analiza danych doświadczalnych

3. Tworzenie próby, błąd przypadkowy (próbkowania) 5. Błąd standardowy średniej arytmetycznej

Wykład 11. a, b G a b = b a,

Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji

Statystyka Matematyczna. Skrypt. Spis treści. SKN Matematyki Stosowanej. s k n. m s 11 czerwca Oznaczenia i definicje 4

Funkcja wykładnicza i logarytm

Wykład 11 ( ). Przedziały ufności dla średniej

Wykład z Rachunku Prawdopodobieństwa II

są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie Poissona z wartością oczekiwaną λ równą 10. Obliczyć v = var( X

Twierdzenia o funkcjach ciągłych

Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).

Szeregi liczbowe. 15 stycznia 2012

Zmienna losowa N ma rozkład ujemny dwumianowy z parametrami (, q) = 7,

Wykład 1 Pojęcie funkcji, nieskończone ciągi liczbowe, dziedzina funkcji, wykres funkcji, funkcje elementarne, funkcje złożone, funkcje odwrotne.

Statystyka i eksploracja danych

Ćwiczenie nr 14. Porównanie doświadczalnego rozkładu liczby zliczeń w zadanym przedziale czasu z rozkładem Poissona

CAŁKA NIEOZNACZONA. F (x) = f(x) dx.

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU

1 Układy równań liniowych

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

Metody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych

Prawdopodobieństwo i statystyka

Komputerowa analiza danych doświadczalnych

Analiza matematyczna. Robert Rałowski

Plan wykładu. Analiza danych Wykład 1: Statystyka opisowa. Literatura. Podstawowe pojęcia

Komputerowa analiza danych doświadczalnych

Wykład 7. Przestrzenie metryczne zwarte. x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe

Wektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

Model ciągły wyceny opcji Blacka Scholesa - Mertona. Wzór Blacka - Scholesa na wycenę opcji europejskiej.

Transkrypt:

Wykład VI: Metoda Mote Carlo 17 listopada 2014

Zastosowaie: przybliżoe całkowaie Prosta metoda Mote Carlo Przybliżoe obliczaie całki ozaczoej Rozważmy całkowalą fukcję f : [0, 1] R. Chcemy zaleźć przybliżoą wartość liczbową całki 1 f (x) dx. 0 Jede ze sposobów może wyglądać astępująco. Niech U 1, U 2, U 3,... będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o jedakowym rozkładzie U(0, 1) (jedostajym a odciku [0, 1]). Rozważmy ciąg średich f (U 1 ) +... + f (U ). (1) Z mocego prawa wielkich liczb wyika, że P-prawie wszędzie, f (U 1 ) +... + f (U ) Ef (U 1 ) = 1 0 f (x) dx.

Prosta metoda Mote Carlo Zastosowaie: przybliżoe całkowaie Prosta metoda Mote Carlo Twierdzeie Niech f : [0, 1] k R 1 będzie fukcja całkowalą. Niech U 1,..., U k, U k+1,..., U 2k, U 2k+1,..., U 3k, U 3k+1,..., U k,..., będą iezależymi zmieymi losowymi o jedakowym rozkładzie U(0, 1). Wtedy f (U 1,..., U k ) + f (U k+1,..., U 2k ) +... + f (U ( 1)k+1,..., U k ) f ( x) d x P-prawie wszędzie. [0,1] k Uwaga: W powyższym wzorze [0,1] k f ( x) d x = 1 0 dx 1 1 0 1 dx 2... dx k f (x 1, x 2,..., x k ). 0

Dwa waże pytaia Prawo iterowaego logarytmu Cetrale twierdzeie graicze PYTANIE 1: Jak duże ależy wybrać, aby uzyskać odpowiedią dokładość przybliżeia. Iymi słowy: Jakie jest tempo zbieżości w prawie wielkich liczb? W praktyce metod Mote Carlo, do obliczeń wykorzystujemy ciąg liczbowy u 1, u 2,..., u,... uzyskay z geeratora liczb losowych, który a ogół fukcjouje w oparciu o algorytm determiistyczy. Taki ciąg jedyie aśladuje kokretą realizację X 1 (ω), X 2 (ω),..., X (ω),... ciągu iezależych zmieych losowych.

Dwa waże pytaia Prawo iterowaego logarytmu Cetrale twierdzeie graicze PYTANIE 2: Jakie własości powiie mieć geeroway ciąg, aby moża było uzać, że dobrze aśladuje ciąg iezależych zmieych losowych? Podamy dwie takie własości, stosukowo często iespełiae przez geeratory liczb losowych: Prawo iterowaego logarytmu. Cetrale twierdzeie graicze.

Prawo iterowaego logarytmu Prawo iterowaego logarytmu Cetrale twierdzeie graicze Twierdzeie (Hartma-Witer) Niech X 1, X 2,..., będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o jedakowym rozkładzie. Jeśli EX1 2 < +, to lim sup lim if X 1 + X 2 +... + X EX 1 2 log log =D(X 1 ), P-prawie wszędzie, X 1 + X 2 +... + X EX 1 2 log log = D(X 1 ), P-prawie wszędzie. Iymi słowy, P-prawie wszędzie, lim sup 2 log log lim if 2 log log ( X1 + X 2 +... + X ) EX 1 =D(X 1 ), ( X1 + X 2 +... + X ) EX 1 = D(X 1 ).

Cetrale twierdzeie graicze Prawo iterowaego logarytmu Cetrale twierdzeie graicze Twierdzeie (P. Lévy) Niech X 1, X 2,..., będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o jedakowym rozkładzie. Jeśli EX 2 1 < + oraz D2 (X 1 ) > 0, to dla wszystkich a < b ( P a < X 1 + X 2 +... + X EX 1 D 2 (X 1 ) W szczególości, dla każdego b > 0 ) < b Φ(b) Φ(a). ( X 1 + X 2 +... + X EX ) 1 P < b 2 ( ) Φ(b) 1/2. D 2 (X 1 )

Cetrale twierdzeie graicze Prawo iterowaego logarytmu Cetrale twierdzeie graicze Uwaga Zauważmy, że a mocy cetralego twierdzeia graiczego prawdopodobieństwo zdarzeia { X 1 + X 2 +... + X EX 1 D 2 (X 1 ) } < b = { X 1 + X 2 +... + X D = EX 2 (X 1 )} 1 < b ma dla dużych wartość bliską 2 ( Φ(b) 1/2 ).

Postawieie zagadieia Motywacje Rozkład wykładiczy Odwracaie ciągłych dystrybuat Motywacja Zamy rozkład ν zmieej losowej X, ale ie potrafimy aalityczie obliczyć Ef (X ) dla pewej fukcji f. Wtedy symulujemy ciąg X 1, X 2,..., iezależych zmieych losowych o rozkładzie ν i badamy asymptotykę ciągu f (X 1 ) + f (X 2 ) +... + f (X ), o którym wiemy, z mocego prawa wielkich liczb, że zmierza do Ef (X 1 ). Motywacja Budujemy model systemu obsługi masowej. Aby oceić wybraą charakterystykę liczbową modelu potrzeby jest strumień daych o zadaym rozkładzie.

Przykład - rozkład wykładiczy Motywacje Rozkład wykładiczy Odwracaie ciągłych dystrybuat Niech F (x) = 1 e x, x > 0 (dystrybuata rozkładu wykładiczego). Jest to fukcja ciągła i ściśle rosąca a R +. Istieje więc F 1 : [0, 1) R +. Z relacji F ( F 1 (t) ) = t otrzymujemy a więc 1 t = e F 1 (t), F 1 (t) = log(1 t). Jaki jest rozkład fukcji F 1 : ( [0, 1], B [0,1), l ) R 1? Mamy {t [0, 1) ; F 1 (t) x } = { t [0, 1) ; t F (x) }. Stąd l { t [0, 1) ; F 1 (t) x } = F (x), x > 0.

Ciągłe dystrybuaty Motywacje Rozkład wykładiczy Odwracaie ciągłych dystrybuat Uwaga: Jeśli więc U U(0, 1), to F 1 (U) = log(1 U) ma rozkład wykładiczy. Zauważmy, że log(1 U) log(u), a więc rówież log U ma rozkład wykładiczy. Wiosek Jeżeli U 1, U 2,... jest ciągiem zmieych z geeratora U(0, 1), to jest ciągiem z geeratora Ex(1). Wiosek log U 1, log U 2, log U 3,... Jeżeli dystrybuata F : R 1 [0, 1] jest ściśle rosąca i ciągła a R 1, to ciąg F 1 (U 1 ), F 1 (U 2 ),... jest z geeratora rozkładu o dystrybuacie F.

Kometarze Prosta metoda Mote Carlo Motywacje Rozkład wykładiczy Odwracaie ciągłych dystrybuat Jak pokazuje przykład rozkładu wykładiczego, wzór F 1 (U) zadaje zmieą losową o rozkładzie F, jeśli tylko dystrybuata F jest ściśle rosąca i ciągła a zbiorze (F, F ), gdzie F = if{x R 1 ; F (x) > 0}, F = sup{x R 1 ; F (x) < 1}. W oparciu o tę metodę łatwo geerujemy zmiee losowe z rozkładów Pareto, logistyczego itp. Nie potrafimy podać zwartego wzoru a fukcję odwrotą do Φ (dystrybuaty rozkładu ormalego). W tej sytuacji zaskakująco użytecze bywają aproksymacje za pomocą fukcji wymierych (ilorazów wielomiaów). Dobrym źródłem wiedzy w tym zakresie jest książka R. Wieczorkowski i R. Zieliński, Komputerowe geeratory liczb losowych, Wydawictwo Naukowo- Techicze, Warszawa 1997

Metoda odwróceia dystrybuaty Metoda odwróceia dystrybuaty Symulacja rozkładów dyskretych Twierdzeie Niech X ma rozkład o dystrybuacie F. Defiiujemy lewostroie ciągłą odwrotą do F wzorem F (u) = if{x ; F (x) u}. Jeżeli U 1, U 2, U 3,... jest ciągiem zmieych z geeratora rozkładu U(0, 1), to F (U 1 ), F (U 2 ), F (U 3 ),... jest ciągiem z geeratora rozkładu o dystrybuacie F.

Metoda odwróceia dystrybuaty Symulacja rozkładów dyskretych Przykład - symulacja rozkładów dyskretych Niech X ma rozkład dyskrety skończoy, tz. istieją liczby p i > 0, x i R 1, i = 1, 2,..., m, takie, że m i=1 p i = 1, x i x j dla i j, oraz P ( X = x i ) = pi, i = 1, 2,..., m. Załóżmy dla ustaleia uwagi, że = x 0 < x 1 < x 2 <... < x m < x m+1 = +. Wtedy Dlatego F (x) = k p i = p i, jeśli x k x < x k+1. {i ; x i x} i=1 m 1 F (u) = x k+1 1I Ak+1 (u), k=0 gdzie A k+1 = ( k i=1 p i, k+1 i=1 p i].

Symulacja rozkładów dyskretych Metoda odwróceia dystrybuaty Symulacja rozkładów dyskretych Kometarz Powyższa metoda symulacji rozkładów dyskretych jest aiwa. Moża ją stosować w przypadku iewielkich m, rzędu kilkuset - kilkuastu tysięcy. W przypadku m rzędu 10 100 taka metoda jest praktyczie iewykoala.