Statystyka i eksploracja danych
|
|
|
- Wojciech Janik
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014
2 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II
3 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej rozkładu
4 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej rozkładu Zmienną losową na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) nazywamy funkcję X : Ω R 1 dla której określone są prawdopodobieństwa P(X > u) = P ({ω ; X (ω) > u}), u R 1.
5 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej rozkładu Zmienną losową na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) nazywamy funkcję X : Ω R 1 dla której określone są prawdopodobieństwa P(X > u) = P ({ω ; X (ω) > u}), u R 1. Rozkładem zmiennej losowej X nazywamy prawdopodobieństwo P X na R 1 zadane na odcinkach wzorem P X ((a, b]) := P(a < X b) = P ({ω ; X (ω) (a, b]}).
6 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej rozkładu Zmienną losową na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) nazywamy funkcję X : Ω R 1 dla której określone są prawdopodobieństwa P(X > u) = P ({ω ; X (ω) > u}), u R 1. Rozkładem zmiennej losowej X nazywamy prawdopodobieństwo P X na R 1 zadane na odcinkach wzorem P X ((a, b]) := P(a < X b) = P ({ω ; X (ω) (a, b]}). Uwaga: P X ((a, + )) = P(X (a, + )), P X ((, a]) = P(X (, a]).
7 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II, cd.
8 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II, cd. Definicja wartości oczekiwanej zmiennej losowej
9 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II, cd. Definicja wartości oczekiwanej zmiennej losowej Wartością oczekiwaną nieujemnej zmiennej losowej X nazywamy całkę EX := + 0 P(X > u) du [0, + ].
10 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II, cd. Definicja wartości oczekiwanej zmiennej losowej Wartością oczekiwaną nieujemnej zmiennej losowej X nazywamy całkę EX := + 0 P(X > u) du [0, + ]. Niech f będzie funkcją o wartościach rzeczywistych. Częścią dodatnią f + (ujemną f ) funkcji f nazywamy złożenie tej funkcji z funkcją h + (x) = 0 x (z funkcją h (x) = 0 ( x)).
11 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II, cd. Definicja wartości oczekiwanej zmiennej losowej Wartością oczekiwaną nieujemnej zmiennej losowej X nazywamy całkę EX := + 0 P(X > u) du [0, + ]. Niech f będzie funkcją o wartościach rzeczywistych. Częścią dodatnią f + (ujemną f ) funkcji f nazywamy złożenie tej funkcji z funkcją h + (x) = 0 x (z funkcją h (x) = 0 ( x)). Niech X będzie zmienna losową i niech EX + < + i EX < +. Wartością oczekiwaną zmiennej losowej X nazywamy całkę EX := EX + EX (, + ).
12 Interpretacja formalizmu Wartość oczekiwana Dystrybuanty
13 Interpretacja formalizmu Wartość oczekiwana Dystrybuanty Wartość zmiennej losowej X (ω) to liczbowa (na ogół niepełna) charakterystyka wyniku eksperymentu losowego ω Ω.
14 Interpretacja formalizmu Wartość oczekiwana Dystrybuanty Wartość zmiennej losowej X (ω) to liczbowa (na ogół niepełna) charakterystyka wyniku eksperymentu losowego ω Ω. Rozkład zmiennej losowej określa wartości oczekiwane Ef (X ) (w szczególności prawdopodobieństwa zdarzeń P(X A)).
15 Interpretacja formalizmu Wartość oczekiwana Dystrybuanty Wartość zmiennej losowej X (ω) to liczbowa (na ogół niepełna) charakterystyka wyniku eksperymentu losowego ω Ω. Rozkład zmiennej losowej określa wartości oczekiwane Ef (X ) (w szczególności prawdopodobieństwa zdarzeń P(X A)). Dzięki prawom wielkich liczb i innym rezultatom teoretycznym możemy przyjąć, że potrafimy obliczać Ef (X ).
16 Interpretacja formalizmu Wartość oczekiwana Dystrybuanty Wartość zmiennej losowej X (ω) to liczbowa (na ogół niepełna) charakterystyka wyniku eksperymentu losowego ω Ω. Rozkład zmiennej losowej określa wartości oczekiwane Ef (X ) (w szczególności prawdopodobieństwa zdarzeń P(X A)). Dzięki prawom wielkich liczb i innym rezultatom teoretycznym możemy przyjąć, że potrafimy obliczać Ef (X ). Wynika stąd, że w ramach eksperymentów losowych potrafimy badać własności rozkładów zmiennych losowych.
17 Własności wartości oczekiwanej Wartość oczekiwana Dystrybuanty Uwaga: zmienna losowa X ma skończoną wartość oczekiwaną dokładnie wtedy, gdy E X < +. Mówimy również, że zmienna X jest całkowalna i piszemy X L 1 (P).
18 Własności wartości oczekiwanej Wartość oczekiwana Dystrybuanty Uwaga: zmienna losowa X ma skończoną wartość oczekiwaną dokładnie wtedy, gdy E X < +. Mówimy również, że zmienna X jest całkowalna i piszemy X L 1 (P). Twierdzenie (Własności wartości oczekiwanej)
19 Własności wartości oczekiwanej Wartość oczekiwana Dystrybuanty Uwaga: zmienna losowa X ma skończoną wartość oczekiwaną dokładnie wtedy, gdy E X < +. Mówimy również, że zmienna X jest całkowalna i piszemy X L 1 (P). Twierdzenie (Własności wartości oczekiwanej) 1 Jeżeli X 0, to EX 0. Jeżeli X 0 i EX = 0, to P(X = 0) = 1.
20 Własności wartości oczekiwanej Wartość oczekiwana Dystrybuanty Uwaga: zmienna losowa X ma skończoną wartość oczekiwaną dokładnie wtedy, gdy E X < +. Mówimy również, że zmienna X jest całkowalna i piszemy X L 1 (P). Twierdzenie (Własności wartości oczekiwanej) 1 Jeżeli X 0, to EX 0. Jeżeli X 0 i EX = 0, to P(X = 0) = 1. 2 EX E X.
21 Własności wartości oczekiwanej Wartość oczekiwana Dystrybuanty Uwaga: zmienna losowa X ma skończoną wartość oczekiwaną dokładnie wtedy, gdy E X < +. Mówimy również, że zmienna X jest całkowalna i piszemy X L 1 (P). Twierdzenie (Własności wartości oczekiwanej) 1 Jeżeli X 0, to EX 0. Jeżeli X 0 i EX = 0, to P(X = 0) = 1. 2 EX E X. 3 Jeżeli E X < + i E Y < +, to dla dowolnych liczb α, β R 1 funkcja αx + βy jest zmienna losową i ma miejsce równość: E (αx + βy ) = αex + βey.
22 Własności wartości oczekiwanej Wartość oczekiwana Dystrybuanty Uwaga: zmienna losowa X ma skończoną wartość oczekiwaną dokładnie wtedy, gdy E X < +. Mówimy również, że zmienna X jest całkowalna i piszemy X L 1 (P). Twierdzenie (Własności wartości oczekiwanej) 1 Jeżeli X 0, to EX 0. Jeżeli X 0 i EX = 0, to P(X = 0) = 1. 2 EX E X. 3 Jeżeli E X < + i E Y < +, to dla dowolnych liczb α, β R 1 funkcja αx + βy jest zmienna losową i ma miejsce równość: E (αx + βy ) = αex + βey. 4 Jeżeli Y X, to EY EX pod warunkiem, że wartości oczekiwane istnieją.
23 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II, cd.
24 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II, cd. Definicja dystrybuanty zmiennej losowej
25 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II, cd. Definicja dystrybuanty zmiennej losowej Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F X : R 1 [0, 1] określoną wzorem F X (u) = P(X u) ( = P X ((, u]) ).
26 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II, cd. Definicja dystrybuanty zmiennej losowej Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F X : R 1 [0, 1] określoną wzorem F X (u) = P(X u) ( = P X ((, u]) ). Wniosek: rozkład P X zmiennej losowej jest znany dokładnie wtedy gdy znana jest dystrybuanta F X tej zmiennej.
27 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II, cd. Definicja dystrybuanty zmiennej losowej Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F X : R 1 [0, 1] określoną wzorem F X (u) = P(X u) ( = P X ((, u]) ). Wniosek: rozkład P X zmiennej losowej jest znany dokładnie wtedy gdy znana jest dystrybuanta F X tej zmiennej. Wniosek: jeśli X 0, to EX = + 0 (1 F X (u)) du.
28 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II, cd. Definicja dystrybuanty zmiennej losowej Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F X : R 1 [0, 1] określoną wzorem F X (u) = P(X u) ( = P X ((, u]) ). Wniosek: rozkład P X zmiennej losowej jest znany dokładnie wtedy gdy znana jest dystrybuanta F X tej zmiennej. Wniosek: jeśli X 0, to EX = + 0 (1 F X (u)) du. Wniosek: Wartość oczekiwana jest funkcją rozkładu (dystrybuanty) zmiennej losowej, a nie samej zmiennej. W ten sposób prawdopodobieństwa na (R 1, B 1 ) pełnią szczególną rolę. Nazywamy je rozkładami prawdopodobieństwa.
29 Własności dystrybuanty Wartość oczekiwana Dystrybuanty
30 Własności dystrybuanty Wartość oczekiwana Dystrybuanty Twierdzenie (Własności dystrybuanty zmiennej losowej)
31 Własności dystrybuanty Wartość oczekiwana Dystrybuanty Twierdzenie (Własności dystrybuanty zmiennej losowej) 1 Jeżeli u v, to F X (u) F X (v) (monotoniczność).
32 Własności dystrybuanty Wartość oczekiwana Dystrybuanty Twierdzenie (Własności dystrybuanty zmiennej losowej) 1 Jeżeli u v, to F X (u) F X (v) (monotoniczność). 2 F X jest funkcją prawostronnie ciągłą.
33 Własności dystrybuanty Wartość oczekiwana Dystrybuanty Twierdzenie (Własności dystrybuanty zmiennej losowej) 1 Jeżeli u v, to F X (u) F X (v) (monotoniczność). 2 F X jest funkcją prawostronnie ciągłą. 3 lim F X (u) = 0, u lim F X (u) = 1. u +
34 Własności dystrybuanty Wartość oczekiwana Dystrybuanty Twierdzenie (Własności dystrybuanty zmiennej losowej) 1 Jeżeli u v, to F X (u) F X (v) (monotoniczność). 2 F X jest funkcją prawostronnie ciągłą. 3 lim F X (u) = 0, u lim F X (u) = 1. u + Twierdzenie (O dystrybuantach) Jeżeli funkcja F : R 1 [0, 1] spełnia warunki 1-3 z powyższego twierdzenia, to istnieje zmienna losowa X taka, że F = F X.
35 Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe
36 Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe Rozkłady dyskretne Zmienna losowa X ma rozkład dyskretny, jeśli istnieją liczby x 1, x 2,... R 1 i prawdopodobieństwa p 1, p 2,... 0, j=1 p j = 1, takie, że P(X = x j ) = p j, j = 1, 2,....
37 Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe Rozkłady dyskretne Zmienna losowa X ma rozkład dyskretny, jeśli istnieją liczby x 1, x 2,... R 1 i prawdopodobieństwa p 1, p 2,... 0, j=1 p j = 1, takie, że P(X = x j ) = p j, j = 1, 2,.... Rozkłady absolutnie ciągłe Zmienna losowa X ma rozkład absolutnie ciągły o gęstości p(x), jeśli dla każdych a < b P(a < X b) = b a p(x) dx. (Wtedy p(x) 0 i p(x) dx = 1). Gęstość rozkładu absolutnie ciągłego jest wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do równości l-prawie wszędzie (gdzie l jest miarą Lebesgue a).
38 Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe cd. P X {x} = P(X = x) > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dystrybuanta F X ma skok w punkcie x i F X (x) F X (x ) = P(X = x).
39 Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe cd. P X {x} = P(X = x) > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dystrybuanta F X ma skok w punkcie x i F X (x) F X (x ) = P(X = x). Gęstość a pochodna dystrybuanty
40 Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe cd. P X {x} = P(X = x) > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dystrybuanta F X ma skok w punkcie x i F X (x) F X (x ) = P(X = x). Gęstość a pochodna dystrybuanty Można pokazać, że każda dystrybuanta F jest l-prawie wszędzie różniczkowalna i pochodna F (określona l-prawie wszędzie) spełnia warunek F (x) F (x) dx. (,x] Może się więc zdarzyć, że R 1 F (x) dx < 1.
41 Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe cd. P X {x} = P(X = x) > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dystrybuanta F X ma skok w punkcie x i F X (x) F X (x ) = P(X = x). Gęstość a pochodna dystrybuanty Można pokazać, że każda dystrybuanta F jest l-prawie wszędzie różniczkowalna i pochodna F (określona l-prawie wszędzie) spełnia warunek F (x) F (x) dx. (,x] Może się więc zdarzyć, że R 1 F (x) dx < 1. Jeżeli R 1 F (x) dx = 1, to rozkład odpowiadający dystrybuancie F jest absolutnie ciągły z gęstością p(x) = F (x).
42 Jak liczyć EX? Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe Jeżeli X ma rozkład dyskretny,
43 Jak liczyć EX? Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe Jeżeli X ma rozkład dyskretny, to dla dowolnej funkcji f : R 1 R 1 Ef (X ) = f (x i )P(X = x i ) = f (x i )p i, i=1 i=1
44 Jak liczyć EX? Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe Jeżeli X ma rozkład dyskretny, to dla dowolnej funkcji f : R 1 R 1 Ef (X ) = f (x i )P(X = x i ) = f (x i )p i, i=1 i=1 przy czym Ef (X ) istnieje dokładnie wtedy, gdy f (x i ) p i < +. i=1
45 Jak liczyć EX? cd. Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe Jeżeli X ma rozkład absolutnie ciągły o gęstości p(x),
46 Jak liczyć EX? cd. Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe Jeżeli X ma rozkład absolutnie ciągły o gęstości p(x), to dla dowolnej funkcji (borelowskiej) f : R 1 R 1 Ef (X ) = + f (x)p(x) dx,
47 Jak liczyć EX? cd. Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe Jeżeli X ma rozkład absolutnie ciągły o gęstości p(x), to dla dowolnej funkcji (borelowskiej) f : R 1 R 1 Ef (X ) = + f (x)p(x) dx, przy czym Ef (X ) istnieje dokładnie wtedy, gdy f (x) p(x) dx < +. +
48 Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. III
49 Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. III Definicje Momentem absolutnym rzędu q > 0 zmiennej losowej nazywamy liczbę m p = m p (X ) = E X p.
50 Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. III Definicje Momentem absolutnym rzędu q > 0 zmiennej losowej nazywamy liczbę m p = m p (X ) = E X p. Wariancją całkowalnej z kwadratem zmiennej losowej X nazywamy liczbę D 2 (X ) = VarX := E(X EX ) 2 = EX 2 (EX ) 2.
51 Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. III Definicje Momentem absolutnym rzędu q > 0 zmiennej losowej nazywamy liczbę m p = m p (X ) = E X p. Wariancją całkowalnej z kwadratem zmiennej losowej X nazywamy liczbę D 2 (X ) = VarX := E(X EX ) 2 = EX 2 (EX ) 2. Odchyleniem standardowym całkowalnej z kwadratem zmiennej losowej X nazywamy liczbę D(X ) := VarX = E(X EX ) 2.
52 Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. III, cd.
53 Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. III, cd. Definicje Medianą zmiennej losowej X (właściwie: rozkładu zmiennej losowej) nazywamy taką liczbę x 1/2, że P(X x 1/2 ) 1/2, P(X x 1/2 ) 1/2.
54 Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. III, cd. Definicje Medianą zmiennej losowej X (właściwie: rozkładu zmiennej losowej) nazywamy taką liczbę x 1/2, że P(X x 1/2 ) 1/2, P(X x 1/2 ) 1/2. Kwantylem rzędu p, p (0, 1), rozkładu zmiennej losowej X nazywamy taką liczbę x p, że P(X x p ) p, P(X x p ) 1 p.
55 Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. III, cd. Definicje Medianą zmiennej losowej X (właściwie: rozkładu zmiennej losowej) nazywamy taką liczbę x 1/2, że P(X x 1/2 ) 1/2, P(X x 1/2 ) 1/2. Kwantylem rzędu p, p (0, 1), rozkładu zmiennej losowej X nazywamy taką liczbę x p, że P(X x p ) p, P(X x p ) 1 p. Zadanie: Przypuśćmy, że znamy dystrybuantę F X zmiennej losowej X. Jak znaleźć medianę i kwantyle tej zmiennej?
56 Przestrzeń statystyczna Dwa ważne przykłady Słowniczek statystyki matematycznej, cz. I
57 Przestrzeń statystyczna Dwa ważne przykłady Słowniczek statystyki matematycznej, cz. I Definicja przestrzeni statystycznej Przestrzenią statystyczną (lub modelem statystycznym ) nazywamy trójkę (X, B, {P θ } θ Θ ), gdzie dla każdego θ Θ trójka (X, B, P θ ) jest przestrzenią probabilistyczną.
58 Przestrzeń statystyczna Dwa ważne przykłady Słowniczek statystyki matematycznej, cz. I Definicja przestrzeni statystycznej Przestrzenią statystyczną (lub modelem statystycznym ) nazywamy trójkę (X, B, {P θ } θ Θ ), gdzie dla każdego θ Θ trójka (X, B, P θ ) jest przestrzenią probabilistyczną. Zbiór X nazywamy przestrzenią próbek lub zbiorem prób losowych.
59 Przestrzeń statystyczna Dwa ważne przykłady Słowniczek statystyki matematycznej, cz. I Definicja przestrzeni statystycznej Przestrzenią statystyczną (lub modelem statystycznym ) nazywamy trójkę (X, B, {P θ } θ Θ ), gdzie dla każdego θ Θ trójka (X, B, P θ ) jest przestrzenią probabilistyczną. Zbiór X nazywamy przestrzenią próbek lub zbiorem prób losowych. Definicja statystyki Statystyką nazywamy funkcję Y : (X, B) R 1 (lub R d ), która dla każdego θ Θ jest zmienną losową na (X, B, P θ ).
60 Przestrzeń statystyczna Dwa ważne przykłady Przykład. n-krotny pomiar jednym przyrządem
61 Przestrzeń statystyczna Dwa ważne przykłady Przykład. n-krotny pomiar jednym przyrządem Rozważmy ciąg pomiarów postaci X k = m + ε k, gdzie m - rzeczywista wartość pomiaru, a ε k - błąd k-tego pomiaru.
62 Przestrzeń statystyczna Dwa ważne przykłady Przykład. n-krotny pomiar jednym przyrządem Rozważmy ciąg pomiarów postaci X k = m + ε k, gdzie m - rzeczywista wartość pomiaru, a ε k - błąd k-tego pomiaru. Co przyjąć za wynik pomiaru? X n = X 1 + X X n. n Dlaczego? Bo prawo wielkich liczb stwierdza, że ε 1 + ε ε n n Eε 1, gdzie Eε 1 = 0 dla przyrządu poprawnie skalibrowanego ( brak błędu systematycznego ).
63 Przestrzeń statystyczna Dwa ważne przykłady Przykład. n-krotny pomiar jednym przyrządem Rozważmy ciąg pomiarów postaci X k = m + ε k, gdzie m - rzeczywista wartość pomiaru, a ε k - błąd k-tego pomiaru. Co przyjąć za wynik pomiaru? X n = X 1 + X X n. n Dlaczego? Bo prawo wielkich liczb stwierdza, że ε 1 + ε ε n n Eε 1, gdzie Eε 1 = 0 dla przyrządu poprawnie skalibrowanego ( brak błędu systematycznego ). Powyżej korzystamy z modelu błędu pomiaru w postaci ciągu niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie, z wartością oczekiwaną zero.
64 Przestrzeń statystyczna Dwa ważne przykłady Przykład. Losowanie ze zwracaniem
65 Przestrzeń statystyczna Dwa ważne przykłady Przykład. Losowanie ze zwracaniem Badamy rozkład danej cechy U w populacji Ω.
66 Przestrzeń statystyczna Dwa ważne przykłady Przykład. Losowanie ze zwracaniem Badamy rozkład danej cechy U w populacji Ω. Losujemy (ze zwracaniem) N osobników ω 1, ω 2,..., ω N i badamy wartości cechy U(ω 1 ), U(ω 2 ),..., U(ω N ).
67 Przestrzeń statystyczna Dwa ważne przykłady Przykład. Losowanie ze zwracaniem Badamy rozkład danej cechy U w populacji Ω. Losujemy (ze zwracaniem) N osobników ω 1, ω 2,..., ω N i badamy wartości cechy U(ω 1 ), U(ω 2 ),..., U(ω N ). Jak określić odpowiednią przestrzeń statystyczną (X, B, {P θ } θ Θ )?
68 Przestrzeń statystyczna Dwa ważne przykłady Przykład. Losowanie ze zwracaniem Badamy rozkład danej cechy U w populacji Ω. Losujemy (ze zwracaniem) N osobników ω 1, ω 2,..., ω N i badamy wartości cechy U(ω 1 ), U(ω 2 ),..., U(ω N ). Jak określić odpowiednią przestrzeń statystyczną (X, B, {P θ } θ Θ )? Niech X 0 = {U(ω) : ω Ω} R d. Kładziemy: X = (X 0 ) N ; B =? (jak wynika z kontekstu); Θ = P(X 0 ) (zbiór wszystkich rozkładów prawdopodobieństwa na X 0 ); P θ = θ θ... θ. }{{} N razy
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VIII: Przestrzenie statystyczne. Estymatory 1 grudnia 2014 Wprowadzenie Przykład: pomiar z błędem Współczynnik korelacji r(x, Z) = 0, 986 Wprowadzenie Przykład: pomiar z błędem Współczynnik korelacji
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład V: Zmienne losowe i ich wartości oczekiwane 25 października 2017 Definicja zmiennej losowej Definicja Zmienne losowa to charakterystyka liczbowa wyniku eksperymentu losowego. Zmienne losowa na przestrzeni
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną
Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Rozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,
Wykład 4. Rozkłady i ich dystrybuanty 6 marca 2007 Jak opisać cały rozkład jedną funkcją? Aby znać rozkład zmiennej X, musimy umieć obliczyć P (a < X < b) dla dowolnych a < b. W tym celu wystarczy znać
Statystyka i eksploracja danych
Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Statystyka i eksploracja
Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu
Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F
Wykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap
Wykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap Magdalena Frąszczak Wrocław, 21.02.2018r Tematyka Wykładów: Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody
Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.
Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej
Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału
Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Magdalena Frąszczak Wrocław, 22.02.2017r Zasady oceniania Ćwiczenia 2 kolokwia (20 punktów każde) 05.04.2017 oraz 31.05.2017 2 kartkówki
Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XIV: Metody Monte Carlo 19 stycznia 2016 Przybliżone obliczanie całki oznaczonej Rozważmy całkowalną funkcję f : [0, 1] R. Chcemy znaleźć przybliżoną wartość liczbową całki 1 f (x) dx. 0 Jeden ze
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 6 Ciągłe zmienne losowe ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Zmienna losowa ciągła jest
Rozkłady statystyk z próby
Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny
Zmienne losowe. dr Mariusz Grzadziel. rok akademicki 2016/2017 semestr letni. Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu
Zmienne losowe dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu rok akademicki 2016/2017 semestr letni Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Zmienna losowa i jej
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna
Zmienne losowe. dr Mariusz Grządziel Wykład 12; 20 maja 2014
Zmienne losowe dr Mariusz Grządziel Wykład 2; 20 maja 204 Definicja. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje
Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015
Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20
Jednowymiarowa zmienna losowa
1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),
STATYSTYKA
Wykład 1 20.02.2008r. 1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1.1 Rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy, 0 1 Uwaga: 1, rozkład zero jedynkowy. 1 ; 1,2,, Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Rozważmy eksperymenty 1 gra Bolka w ruletkę w kasynie;
Statystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa
Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności
STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa
STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem
Zmienne losowe. Statystyka w 3
Zmienne losowe Statystyka w Zmienna losowa Zmienna losowa jest funkcją, w której każdej wartości R odpowiada pewien podzbiór zbioru będący zdarzeniem losowym. Zmienna losowa powstaje poprzez przyporządkowanie
Statystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego
Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Zmienna losowa i jej rozkład Mając daną przestrzeń probabilistyczną, czyli parę (&, P) stanowiącą model pewnego doświadczenia losowego (gdzie
Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn
Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem
Statystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 2013/2014 Wykład 3 Zmienna losowa i jej rozkłady Zdarzenia losowe Pojęcie prawdopodobieństwa
Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego
Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego Matematyka Finansowa sem. letni 2011/2012 Spis treści Zajęcia 1 3 1.1 Przestrzeń probabilistyczna................................. 3 1.2 Prawdopodobieństwo warunkowe..............................
Wykład 6 Estymatory efektywne. Własności asymptotyczne estym. estymatorów
Wykład 6 Estymatory efektywne. Własności asymptotyczne estymatorów Wrocław, 30 listopada 2016r Powtórzenie z rachunku prawdopodobieństwa Zbieżność Definicja 6.1 Niech ciąg {X } n ma rozkład o dystrybuancie
Na A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n)
MODELE STATYSTYCZNE Punktem wyjścia w rozumowaniu statystycznym jest zmienna losowa (cecha) X i jej obserwacje opisujące wyniki doświadczeń bądź pomiarów. Zbiór wartości zmiennej losowej X (zbiór wartości
WYKŁAD 6. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki
WYKŁAD 6 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Własności Wariancji Przypomnijmy, że VarX = E(X EX) 2 = EX 2 (EX) 2. Własności
W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)
W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie) Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Marek Woda www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Rachunek prawdopodobieństwa - przypomnienie 1. Zdarzenia 2. Prawdopodobieństwo
Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski
Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y
WSTĘP. Tematy: Regresja liniowa: model regresji liniowej, estymacja nieznanych parametrów. Wykład:30godz., ćwiczenia:15godz., laboratorium:30godz.
Tematy: WSTĘP 1. Wprowadzenie do przedmiotu. Próbkowe odpowiedniki wielkości populacyjnych. Modele statystyczne i przykładowe zadania wnioskowania statystycznego. Statystyki i ich rozkłady. 2. Estymacja
4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)
4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie
Statystyka i eksploracja danych
Wykład I: Formalizm statystyki matematycznej 17 lutego 2014 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura
Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa
Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład
Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej
Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej c Copyright by Ireneusz Krech ikrech@ap.krakow.pl Instytut Matematyki Uniwersytet Pedagogiczny im. KEN w Krakowie
Dyskretne zmienne losowe
Dyskretne zmienne losowe dr Mariusz Grządziel 16 marca 2009 Definicja 1. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.4. Momenty zmiennych losowych Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Przykład 1 Rzucamy raz kostką Ile wynosi średnia liczba oczek, jaka
WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena
Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych
Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkład dwumianowy Rozkład normalny Marta Zalewska Zmienna losowa dyskretna (skokowa) jest to zmienna, której zbór wartości jest skończony lub przeliczalny.
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład I: Formalizm teorii prawdopodonieństwa 6 października 2014 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Dostępność treści wykładów 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin dwuczęściowy:
Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji
Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe
Statystyka i opracowanie danych W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny wykres funkcji gęstości
Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej
Statystyka i opracowanie danych Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne losowe Zmienna
Ważne rozkłady i twierdzenia
Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne
ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1.
Opracowała: Joanna Kisielińska ZMIENNE LOSOWE Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R tzn. X: R. Realizacją zmiennej losowej
W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:
W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe
Przestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty
Statystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 5 Magdalena Alama-Bućko 1 kwietnia 2019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 1 kwietnia 2019 1 / 19 Rozkład Poissona Po(λ), λ > 0 - parametr tzw. rozkład zdarzeń
Wynik pomiaru jako zmienna losowa
Wynik pomiaru jako zmienna losowa Wynik pomiaru jako zmienna losowa Zmienne ciągłe i dyskretne Funkcja gęstości i dystrybuanta Wartość oczekiwana Momenty rozkładów Odchylenie standardowe Estymator zmiennej
1 Elementy kombinatoryki i teorii prawdopodobieństwa
1 Elementy kombinatoryki i teorii prawdopodobieństwa 1.1 Elementy kombinatoryki W rozwiązywaniu pewnych problemów związanych z obliczaniem prawdopodobieństwa o skończonej liczbie zdażeń elementarnych bardzo
Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014
Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu
Statystyka. Magdalena Jakubek. kwiecień 2017
Statystyka Magdalena Jakubek kwiecień 2017 1 Nauka nie stara się wyjaśniać, a nawet niemal nie stara się interpretować, zajmuje się ona głównie budową modeli. Model rozumiany jest jako matematyczny twór,
Wykład 3 Momenty zmiennych losowych.
Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 19 października 2016r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną
Wykład 3 Momenty zmiennych losowych.
Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 18 października 2017r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną
Matematyka dla biologów Zajęcia nr 13.
Matematyka dla biologów Zajęcia nr 13. Dariusz Wrzosek 16 stycznia 2019 Matematyka dla biologów Zajęcia 13. 16 stycznia 2019 1 / 34 Plan: 1 Rachunek prawdopodobienstwa-zmienne losowe o rozkładzie ciagłym
Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa
Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa Rozdział 06: Zmienne losowe. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016 Wprowadzenie Przykład 6.1 Adam, Bolek i Czesiu wstąpili do kasyna. Postanowili
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2016/2017 Wprowadzenie Przykład 1 Bolek, Lolek i Tola
Zmienne losowe. Powtórzenie. Dariusz Uciński. Wykład 1. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski
Powtórzenie Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 1 Podręcznik podstawowy Jacek Koronacki, Jan Mielniczuk: Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodnicznych,
Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju
Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji -go i 2-go rodzaju Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 7 i 8 1 / 9 EFEKTYWNOŚĆ ESTYMATORÓW, próba
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD grudnia 2009
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 10 14 grudnia 2009 PARAMETRY POŁOŻENIA Przypomnienie: Model statystyczny pomiaru: wynik pomiaru X = µ + ε 1. ε jest zmienną losową 2. E(ε) = 0 pomiar nieobciążony, pomiar
Wykład 5 Estymatory nieobciążone z jednostajnie minimalną war
Wykład 5 Estymatory nieobciążone z jednostajnie minimalną wariancją Wrocław, 25 października 2017r Statystyki próbkowe - Przypomnienie Niech X = (X 1, X 2,... X n ) będzie n elementowym wektorem losowym.
Rozkład zmiennej losowej Polega na przyporządkowaniu każdej wartości zmiennej losowej prawdopodobieństwo jej wystąpienia.
Rozkład zmiennej losowej Polega na przyporządkowaniu każdej wartości zmiennej losowej prawdopodobieństwo jej wystąpienia. D A R I U S Z P I W C Z Y Ń S K I 2 2 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ Polega na przyporządkowaniu
Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
29 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
31 marca 2014 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 4 - zagadnienie estymacji, metody wyznaczania estymatorów
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 4 - zagadnienie estymacji, metody wyznaczania estymatorów Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 4 1 / 23 ZAGADNIENIE ESTYMACJI Zagadnienie
Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
22 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 6
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 6 Zmienne losowe dyskretne. Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych dyskretnych dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet Humanistyczno-Przyrodniczy
Statystyka i eksploracja danych
Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Statystyka i eksploracja
Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: Własności dystrybuanty zmiennej losowej:
Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: F (t) P (X t) < t < Własności dystrybuanty zmiennej losowej: jest niemalejąca: 0 F (t) jest prawostronnie
Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.
Rachunek prawdopodobieństwa MAT1332 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Warunkowa
Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl
Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Zmienne losowe Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag oraz Biostatystyka p.
6. Zmienne losowe typu ciagłego ( ) Pole trapezu krzywoliniowego
6. Zmienne losowe typu ciagłego (2.04.2007) Pole trapezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ograniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją ciągłą; proste x = a, x = b, a < b, oś OX
Kwantyle. Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p. , że. Możemy go obliczyć z dystrybuanty: P(X x p.
Kwantyle Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p, że P(X x p ) p P(X x p ) 1 p Możemy go obliczyć z dystrybuanty: Jeżeli F(x p ) = p, to x p jest kwantylem rzędu p Jeżeli F(x p )
Statystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 6 Magdalena Alama-Bućko 8 kwietnia 019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8 kwietnia 019 1 / 1 Rozkłady ciagłe Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8
Weryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XIII: Prognoza. 26 stycznia 2015 Wykład XIII: Prognoza. Prognoza (predykcja) Przypuśćmy, że mamy dany ciąg liczb x 1, x 2,..., x n, stanowiących wyniki pomiaru pewnej zmiennej w czasie wielkości