Wbane agadnienia Mechaniki Płnów Wbane agadnienia Mechaniki Płnów Wojciech Sobieski Uniwestet Wamińsko-Maski Wdiał Nak Technicnch Kateda Mechaniki i Podstaw Konstkcji Masn 0-957 Olstn, l. M. Ocaowskiego. tel.: (89) 5-3-3-40 fa: (89) 5-3-3-55 wojciech.sobieski@wm.ed.l Niniejs dokment moŝe bć dowolnie koiowan, dostęnian oowadan w wesji oginalnej. Ato nie ewala na mianę teści dokment ani na jego modfikacje. Olstn 00 /3
Wbane agadnienia Mechaniki Płnów S P I S T R E Ś C I. PODSTAWOWE WIADOMOŚCI O PŁYNACH... 3. PODSTAWOWE WŁAŚCIWOŚCI PŁYNÓW... 6 3. NAPÓR HYDROSTATYCZNY... 8 4. PŁYWANIE CIAŁ... 0 5. PRAWO EULERA... 6. PRAWO PASCALA... 7. RÓWNANIE EULERA W HYDROSTATYCE... 3 8. KINEMATYCZNY WARUNEK CIĄGŁOŚCI RUCHU PŁYNU ŚCIŚLIWEGO W PRZEPŁYWACH NIEUSTALONYCH... 5 9. RÓWNANIE BERNOULIEGO... 8 0. RÓWNANIE NAIERA-STOCKES A... 9. RUCH ELEMENTU PŁYNU... 7. GRADIENT SKALARA... 3 /3
Wbane agadnienia Mechaniki Płnów. PODSTAWOWE WIADOMOŚCI O PŁYNACH Dwóm stanom mateii ciecom i gaom - moŝna isać cech łnności i ciągłości. JeŜeli w okeślonch wankach cech te są moŝliwe do aakcetowania, to aówno ciec jak i ga będiem nawali łnami. Z nkt widenia moleklanej teoii bdow mateii aówno ciec jak i ga jest bioowiskiem chaotcnie osającch się molekł, omięd ciecą a gaem istnieją jednak ewne óŝnice (s..). Rs.. Rch molekł w ciec ( lewej) i w gaie ( awej). Ciec ch molekł jest chem dgającm dookoła śedniego ołoŝenia oa chem eskok molekł w coa to nowe miejsce Ŝcia osiadłego 0. Pjmijm, Ŝe śednia doga eskok wnosi l 0. Ga ch molekł jest chem chaotcnm, be moŝliwości Ŝcia osiadłego. W ch chaotcnm molekł deają się, mieniając w ten sosób swoją ędkość. Dogi omięd kolejnmi deeniami są óŝne jednak śednia doga l 0 omięd kolejnmi deeniami jest nacnie dłŝsa od śedniej dogi eskok w stanie ciekłm. Chaaktestcne wmia liniowe odnosące się do molekł moŝna definiować nastęjąco: dla stan ciekłego wmia chaaktejąc wielkość molekł śednia odległość międ molekłami śednia amlitda dgań śednia doga eskok Inne cech achowje kstałt nacnia mało ściśliw dla stan gaowego wmia chaaktejąc wielkość molekł śednia odległość międ molekłami śednia doga swobodna nie achowje kstałt bado ściśliw 3/3
Wbane agadnienia Mechaniki Płnów Płnność. Gd cas diałania t sił odkstałcającej jest bado dłgi w oównani casem Ŝcia osiadłego 0, wted odkstałcenie jest moŝliwe dięki wmsonej e tę siłę mianie kład molekł w esteni. MoŜna się sodiewać oocjonalności międ diałającą siłą a odkstałceniem nawet mała siła odkstałcająca wwołje skońconą ędkość odkstałcenia. JeŜeli cas diałania sił jest oównwaln bądź teŝ kóts od Ŝcia osiadłego molekł, nie dąŝą się one dostosować do sił defomjącch (jawisko takie achodi n. odcas sbkiego odkstałcania smoł - 0 s lega ona wówcas ękani, jak ciało stałe). Poocjonalność omięd ędkością odkstałcenia (łnięciem) a siłą odkstałcającą jest cechą okeśloną jako łnność. Z owŝsego omowania wnika oganicenie tej cech. JeŜeli t 0 >>, to ciecom moŝna isać cechę łnności. JeŜeli aś t 0 <, to mam stację odobną do tej, jaka anje w ciele stałm. Jest ecą ocwistą, Ŝe w gaach, dla któch 0 0, cecha łnności nie lega oganiceniom. Ciągłość. Jest to cecha onacająca moŝliwość taktowania mateii jako ośodka wełniającego esteń w sosób ciągł. Jest to moŝliwe tlko wted, gd wmia liniowe L ciał ołwanch ciecą lb gaem są nacnie więkse od l 0. Tak więc i t ojawia się oganicenie tej cech. JeŜeli L >>, l 0 to ciecom i gaom moŝna isać cechę ciągłości. JeŜeli aś L <, l 0 to ałoŝenie ciągłości nie stanowi dobego model ficnego. 4/3
Wbane agadnienia Mechaniki Płnów PoniewaŜ watość l 0 jest nacnie więksa dla gaów, moŝna ocekiwać nasenia tej cech ede wsstkim w gaach. Istotnie, ga oedone dla wmiaów ciał oównwalnch l 0 nie mogą bć oatwane jako ośodek ciągł. Licba Kndsena. Ab ocenić stoień godności jętego model łn (ciągł - nieciągł) wowadono aamet wan licbą Kndsena l0 Kn. L Dla licb Kndsena < 0,0 jmje się model ośodka ciągłego. Płn doskonał (idealn) łn, któ jest nieściśliw, nieleki, nie lega osealności temicnej, nie oddaje się ociągani, ściskani, ścinani. Płn ecwist owŝse ałoŝenia nie obowiąją. Modele łnów. W aleŝności od wiąków omięd ędkością defomacji a naęŝeniami stcnmi, jmje się óŝne modele łnów ecwistch: łn Newtona łn, w któm naęŝenie stcne jest oocjonalne do ędkości defomacji (woda. owiete, olej, benna, it) łn Binghama łn, w któm naęŝenie stcne jest niejednoodną fnkcją defomacji (ast, aaw) łn sedolastcn łn, w któm naęŝenie stcne maleje wa ędkością defomacji (ciekł kack, otwo mdlane) łn tiksotoow łn, w któm stałej ędkości defomacji, naęŝenia stcne maleją w casie (fab, lakie) łn Hooke a łn, któ lega tlko odkstałceni objętościowem (???) łn amięcią??? (fama emlsjna) 5/3
Wbane agadnienia Mechaniki Płnów. PODSTAWOWE WŁAŚCIWOŚCI PŁYNÓW. Ciśnienie. P lim A 0 A dp da N m. Gęstość. m lim 0 dm d kg 3 m m 3. CięŜa właściw. γ G lim 0 dg d N m 3 γ G γ g 4. Objętość właściwa. m 3 v kg 5. Rosealność objętościowa. d α dt K T 0 α T ( α T ) T α 6. Ściśliwość. d m B d N 0 B ( B ) B 7. Lekość dnamicna. d dt ±. da dn kg g m s P cm s 8. Lekość kinematcna. m cm ν υ St s s 9. Równanie stan (tlko dla gaów idealnch). mrt lb RT 6/3
Wbane agadnienia Mechaniki Płnów Onacenia smboli: P siła G - cięŝa m - masa - objętość (ędkość w nkcie 7) v - objętość właściwa - dnamicn wsółcnnik lekości (casami onaca się η) ν wsółcnnik lekości kinematcnej P - Poise jednostka lekości ( jednostka mniejsa cp P. 0 - ) St Stockes - jednostka lekości ( jednostka mniejsa cst St. 0 - ) B - wsółcnnik ściśliwości (B/E) E - modł Yonga R - indwidalna stała gaowa 7/3
Wbane agadnienia Mechaniki Płnów 3. NAPÓR HYDROSTATYCZNY Siła nao hdostatcnego, wwieanego e ciec na łaską ścianę o dowolnm konte wnosi WaŜenie P g da. ( ) da A jest momentem statcnm, atem A da s A, A gdie s onaca głębokość anenia śodka geometcnego ścian o ol owiechni ównm A. Wobec tego naó ciec na dowolną figę łaską moŝna waić nastęjącm woem: P g s A γ s A. ( ) JeŜeli na ciec diała dodatkowo ciśnienie., to P ( γ s ) A ( 3 ) Wsółędne ołoŝenia śodka nao, tj. nkt C, w któm łoŝon jest wekto sił nao, diałającej na oatwan wcinek ścian o ol owiechni ównm A, wnacam nastęjącch aleŝności: c I A s c I A s s I 0 A s ( 4 ) c s I 0 A s sin α s, s - wsółędne śodka cięŝkości, I - moment bewładności wględem osi, I - moment dewiacjn wględem osi i, I o - moment bewładności wględem osi 0 echodącej e śodek cięŝkości S. 8/3
Wbane agadnienia Mechaniki Płnów P dp α c s da s c s c s c A 0 Dla ścian ostoadłej do wieciadła ciec α 90 c s I 0 A s Ze woów ( 4 ) i ( 5 ) wnika, Ŝe śodek nao najdje się awse oniŝej śodka cięŝkości. Pnkt C i S okwają się tlko wówcas, gd A jest wcinkiem ścian łaskiej, ównoległej do wieciadła ciec. ( 5 ) Wadkow naó hdostatcn ciec na ściankę akwioną P P P Składowa oioma P ówna jest aci wwieanem na t owiechni akwionej na łascnę ostoadłą do oatwanego kienk. Linia diałania składowej oiomej echodi e śodek nao t owaŝanej owiechni. Składowa ionowa nao P ównowaŝona jest cięŝaem bł ciekłej oganiconej oatwaną owiechnią akwioną i twoącmi ionowmi, któe łącą jej kont e wieciadłem ciec. Kienek diałania nao ionowego echodi e śodek cięŝkości oatwanej bł. NatęŜenie składowej ionowej P nie aleŝ tm od tego, c nad ścianą akwioną wnosi się aŝ do wieciadła ealn sł ciec, c teŝ nie. 9/3
Wbane agadnienia Mechaniki Płnów 4. PŁYWANIE CIAŁ Statecność okeśla się na odstawie tw. wsokości metacentcnej nastęjącch aleŝności: gdie m m I a - statecność wględem osi, ± I a - statecność wględem osi. ± - objętość anona, I, I - moment bewładności ola ekoj łwania wględem osi i, a - odległość międ śodkiem cięŝkości ciała i śodkiem wo (jemna watość a wstęje wówcas, gd śodek cięŝkości najdje się owŝej śodka wo). Do badania statecności biee się ten kienek, dla któego watość moment bewładności jest mniejsa. m > 0 - statecność stała, m < 0 - statecność chwiejna, m 0 - statecność obojętna. 0/3
Wbane agadnienia Mechaniki Płnów 5. PRAWO EULERA Pawo Elea - watość ciśnienia nie aleŝ od oientacji (ołoŝenia) element owiechniowego, do któego wekto ciśnienia jest ostoadł. d da da γ α P d β d. da Ab kład bł w stanie ównowagi:. da -. da. cosα 0. da -. da. cosβ 0 (). da -. da. cosγ 0 oniewaŝ da. cosα da da. cosβ da da. cosγ da ównanie () otma ostać. da -. da 0. da -. da 0 (). da -. da 0 o osceni aś (3 ) cli. (4) /3
Wbane agadnienia Mechaniki Płnów 6. PRAWO PASCALA Pawo Pascala - jeŝeli na łn diałają tlko sił owiechniowe, to ciśnienie w kaŝdm nkcie łn jest takie samo. α P da P da α da Ab kład bł w stanie ównowagi: Pi 0 cli cos cos 0 da α da α () oniewaŝ da da więc cosα da cosα da da da 0 ( ) 0 Ogólnie aś K. (3) n Pawo to nie wględnia ciśnienia sła ciec. /3
Wbane agadnienia Mechaniki Płnów 7. RÓWNANIE EULERA W HYDROSTATYCE Pełna ostać ównania Elea: t t t X - d Y - d Z - d () JeŜeli element łn jest w stanie socnk, to w ównani Elea nie ma cłon ędkości, jmie ono ostać X - d 0 Y - d 0 () Z - d 0 Lb we wsółędnch clindcnch q - 0 q ϑ - 0 (3) ϑ q - 0 Zais wektoow ównania (. ) ma ostać F gad (4) Równanie (. ) moŝna ekstałcić do innej ostaci X d Y d / d / d 3/3
Wbane agadnienia Mechaniki Płnów Z d X d d d / d Y d d (5) d Z d d d Dodając stonami ównania (.4 ) otmam gdie P f(,, ) więc X d Y d Z d ( d d d d d d) d d d d d d d X d Y d Z d d (6) Równanie (.4 ) stanowi dgą ostać ównania hdodnamiki Elea. Dla owiechni ekwiotencjalnej d 0 wówcas X d Y d Z d 0 (7) Równanie (.4 ) moŝna aisać w kładie wsółędnch clindcnch q d q ϑ dϑ q d d (8) Równanie owiechni ekwiotencjalnej we wsółędnch clindcnch q d q ϑ dϑ q d 0. (9) 4/3
Wbane agadnienia Mechaniki Płnów 8. KINEMATYCZNY WARUNEK CIĄGŁOŚCI RUCHU PŁYNU ŚCIŚLIWEGO W PRZEPŁYWACH NIEUSTALONYCH Pjmijm kontolną objętość d. d. d w kładie katejańskim, e któą ełwa stmień łn ściśliwego o gęstości. W adk ch stalonego, stmień mas włwając do objętości (godnie wankiem stałości ilości mateii) msi bć ówn stmieniowi włwającem, oatwanem w tej samej jednostce cas (eow ost mas). W kładie nie mogą wstęować chwilowe lokalne agęscenia lb oedenia mas (lokalne komesje i eksansje) jawisko takie stanowi właściwość ełwów niestalonch. d d ( ) d d Rs.. Stmienie włwając i włwając do objętości d. d. d w kienk (w cel więksenia ctelności snk stmienie na kienkach i nie są oisane). W adk ch stalonego całkowit ost mas łn ełwającego e owiechnie oganicające objętość kontolną d. d. d moŝna aisać jako dd dd dd Po osceni otmam ( ) ( ) ( ) ddd d dd ddd 0 ( ) ( ) ( ) ddd ddd 5/3. () ddd 0, ()
Wbane agadnienia Mechaniki Płnów W adk ełw niestalonego, w obsae objętości kontolnej, w casie, mogą ojawić się mian gęstości wwołane ściśliwością łn. Konsekwencją tego będie nieeowa watość ost mas w obsae oatwanej objętości kontolnej. Ustalając, Ŝe stmień mas włwającej objętości ma nak dodatni (odcas eksansji), aś włwającej nak jemn (odcas komesji), ost ten będie ówn - ddd. Fomła () jmie wówcas ostać t ( ) ( ) ( ) ddd ddd W odniesieni do jednostki objętości i cas otmam ( ) ( ) ( ) 6/3 ddd ddd. (3) t, (4) t Lewa stona owŝsego waŝenia stanowi dwegencję stmienia mas ównanie (4) moŝna więc aisać wektoowo div t ( ) 0 lb w ogólnej ostaci katejańskiej jako t i ( ) 0 Rowijając dalej ównanie (5) otmam Wobec tego, iŝ i, (5), gdie i,,. (6) div( ) gad div t t. (7) v w v w t, t v, t w, (8) t s, iewse cte cłon ównania stanowią ochodną ełną (sbstancjonalną) gęstości wględem cas, a sma ochodnch cąstkowch w nawiasie dwegencję wektoa ędkości, otmam d div 0. (9) Jest to inna foma ównania ciągłości w najogólniejsm adk ch niestalonego łn ściśliwego.
Wbane agadnienia Mechaniki Płnów Padki ównania ciągłości: - ch niestalon łn ściśliwego div t ( ) 0 ; (0) - ch stalon łn ściśliwego div ; () ( ) 0 - ch stalon łn nieściśliwego div 0. () Wato wócić wagę, iŝ wanek () onaca niemienność objętości. Równanie ciągłości obowiąje aówno dla łnów nielekich jak i lekich. 7/3
Wbane agadnienia Mechaniki Płnów 9. RÓWNANIE BERNOULIEGO RowaŜm ełw e kanał o miennm ekoj element łn o stałej masie m i objętości. Pe c onacm ędkość śednią element łn. h h c c Całkowita enegia awata w łnie nie moŝe lec mianie, mam więc E E E cakowita const. () W kładie jak na snk mam t odaje enegii: mc - enegię kinetcną ; - enegię otencjalną mgh ; - enegię ciśnienia. Dla ołoŝeń i moŝem więc aisać mc mc mgh mgh. () Równanie () moŝna ekstałcić do ostaci c c gh gh m m a nastęnie c c h h. (3) g m g m g g m Uwględniając, Ŝe a g γ otmam c c h h (4) g γ g γ lb ogólnie c h const. (5) g γ Wó (5) stanowi najbadiej naną ostać ównania Benoliego. 8/3
Wbane agadnienia Mechaniki Płnów 0. RÓWNANIE NAIERA-STOCKES A Pjmijm kontolną objętość d. d. d w kładie katejańskim, e któą ełwa stmień łn ściśliwego o gęstości i lekości. B F B P P P d P P P d F P P d P F B Na element łn diałają nastęjące sił:. Sił wwołane ciśnieniem P P P ddd ddd ddd ddd () ddd ddd. Sił masowe F Xdm Xddd F F Ydm Yddd () Zdm Zddd 3. Sił bewładności ałoŝeni, Ŝe element osa się godnie kienkami osi B B kład, watość sił bewładności będą miał nak jemn d d dm ddd d d dm ddd (3) d B dm d ddd 9/3
Wbane agadnienia Mechaniki Płnów 4. Sił stcne w nakowani iews smbol onaca oś, do któej jest ostoadł dan element owiechni, dgi aś kienek składowej naęŝeń ddd d dd ddd d dd d dd d dd (4) ddd d dd ddd o osceni ddd ddd (5) ddd Ab element łn bł w ównowade Pi P F B 0 Pi P F B 0 (6) Pi P F B 0 więc d ddd Xddd - ddd ddd 0 d ddd Yddd - ddd ddd 0 (7) d ddd Zddd - ddd ddd 0,,, t, to kaŝda e składowch wektoa teŝ jest fnkcją tch PoniewaŜ wekto ( ) samch miennch: (,, t), (,, t), (,, t),, (8), 0/3
Wbane agadnienia Mechaniki Płnów Fnkcje te są ciągłe i óŝnickowalne, moŝna więc óŝnickę ełną edstawić w ostaci sm óŝnicek cąstkowch: d t d d d d d d d (9) t d t d d d lb (o odieleni e ) d t d d d d d d d (9) t d t PoniewaŜ d d d więc d d, t d d, (0) d () t d t Wó () edstawia tw. ochodne ełne (sbstancjonalne) eleowskiej metod anali lokalnej, składające się dw cęści: ochodnej lokalnej eeentjącej mian, jakie achodą łwem cas w danm nkcie ola ędkości (w ełwach stalonch ochodna ta jest ówna e) oa ochodnej konwekcjnej, obającej mian, jakie achodą esnięci w casie element łn nkt,, do nieskońcenie blisko ołoŝonego nkt d, d, d. /3
Wbane agadnienia Mechaniki Płnów /3 ZaleŜność () odstawiam do ównania (7) ddd ddd X t ddd ddd 0 ddd ddd Y t ddd ddd 0 ddd ddd Z t ddd ddd 0 Po odniesieni do jednostki objętości (dieląc e ddd) otmam X t 0 Y t 0 (3) Z t 0 lb ekstałcając (enosąc i dieląc e ( )) t X t Y (4) t Z Dla łn ściśliwego gęstość nie jest stałe, msi więc wejść od nak óŝnicki ( ) ( ) ( ) ( ) t X
Wbane agadnienia Mechaniki Płnów ( ) ( ) ( ) ( ) t Y (5) ( ) ( ) ( ) ( ) t Z Pjmjąc odowiednio, Ŝe X b, Y b, Z b (6) oa,, (7) owŝse ównania moŝna aisać smbolicnie w ostaci skóconej c ( i ) ( i j δ ij ) ( ij ) bi (8) t j j gdie i, j,, (dla jednego ównania i jest stałe, aś j jmje watości,, ). W ostaci wektoowej ównanie (6) jmie ostać t t cakowite ( ) div( I) div( ) b. (9) t MoŜna wkaać, Ŝe w istocie stan naięcia w kaŝdm nkcie esteni wełnionej łnem lekim okeślon jest licbową watością, nie diewięci, a seści naęŝeń. Równanie momentów wględem osi ma nastęjącą ostać (kienek dodatni od osi do ) dd d d dd d dd d ddd d dd d dd d d ddd ddd d dd d 0 d ddd Po osceni i ominięci małch cwatego ęd skąd ( ) ddd 0 d 0. () (0) 3/3
Wbane agadnienia Mechaniki Płnów Podobnie 0, 0. Tak więc naęŝenia stcne bieŝne na tej samej kawędi są sobie ówne (istnieje smetia naęŝeń stcnch). Podstawowm ałoŝeniem, owalającm wiąać ilościowo stan naęŝeń owiechniowch olem ędkości, jest ałoŝenie oocjonalności tch naęŝeń do odkstałceń. Wó odan e Newtona na naęŝenie stcne w adk ełw łaskiego stanowi najostse sfomłowanie tego ałoŝenia. () n Wsółcnnik oocjonalności wskaje, jak dŝ będie ost ędkości na kienk n, w jednostce cas, w wastwach łn oddalonch od siebie o odległość dn (s..). dn n n dn n d n s ds Rs.. Odkstałcenie kątowe element łn. Watość n stanowi ędkość odkstałcenia kątowego element dnds. NaęŜenia owiechniowe stcne mogą wstąić tlko w adk odkstałceń kątowch element łn. 4/3
Wbane agadnienia Mechaniki Płnów 5/3 Rs.. Odkstałcenia element łn w kładie katejańskim na ściance dd. W kładie katejańskim aleŝności te jmą nastęjącą fomę (s. ):, (3) wedłg któej moŝna oblicć ochodne cąstkowe oscególnch składowch naęŝeń,. (4) Do dalsch owaŝań wkostane będie ównanie (4) wględnieniem wank (7) d β d α d d d d α β
Wbane agadnienia Mechaniki Płnów 6/3 Z t Y t X t (5) lb kócej jako Z d Y d X d (6) Po odstawieni odowiednich óŝnicek cąstkowch wg aleŝności (4) otmam Z d Y d X d Po ekstałceniach Z d Y d X d
Wbane agadnienia Mechaniki Płnów. RUCH ELEMENTU PŁYNU Roatm element łn oostając w ch, jak oglądowo okaje to snek. Stacja okaana jest w chwili stalonej t 0. Stąd wewnąt element odległości od nkt 0 (dowolnie oban nkt) onacone będą smbolem. Pnkt 0 nawiem biegnem. Pnkt A jest dowolnm nktem wewnąt element, óŝnm od biegna. t 0 A A 0 0 A 0 0 Mam więc elację: A 0. () JeŜeli owŝs wiąek óŝnickjem wględem cas, to otmam d A Relację tę moŝna aisać A ( ) d0 d () ( ) d 0 (3) Z dgiej ston, wekto ędkości w nkcie A moŝe bć aisan jako A Stąd wnika, iŝ d 0. (4) ( ). (5) Zwiąek międ wektoami i moŝna aisać jako. (6) Podstawiając owŝsą aleŝność do wo (4) otmam A 0 (7) 7/3
Wbane agadnienia Mechaniki Płnów 8/3 Tenso / moŝna edstawić w ostaci dwóch tensoów smetcnego D i niesmetcnego A - oe nastęjące ekstałcenie: gad gad (8) lb D A (9) gdie gad A (0) gad D () PoniewaŜ k j i, () k j i. mam więc (3) Gadient moŝna otmać jako wnik ilocn diadcnego gadient i wektoa : ( ) k j i k j i gad, (4) skąd o wkonani diałań otmam gad. (5)
Wbane agadnienia Mechaniki Płnów 9/3 Na odstawie woów () i (5) moŝna oblicć składowe tensoów A i D: 0 0 0 A (6) D (7) Po wględnieni obicia tensoa / wó (7) otma ostatecną ostać D A A 0 0 0 (8) gdie wsstkie ochodne w tensoach A i D są wnacane dla nkt 0, co ostało onacone indeksami A 0 i D 0. Wó (8) stanowi ais iewsego twiedeni Helmholta, któe mówi, Ŝe ędkość dowolnego nkt element łn składa się tech ędkości: - ędkości ostęowej nkt obanego a biegn 0 ; - ędkości obotowej dookoła osi echodącej e biegn ędkością kątową ω 0, któej wekto wnaca oś obot; - ędkości defomacji element łn D 0.
Wbane agadnienia Mechaniki Płnów 30/3 Składowe tensoa A stanowią watości ędkości kątowch ω wględem osi,, 0 0 0 A ϖ ϖ ϖ ω ω ϖ Tenso defomacji D moŝna ołoŝć na dwa tenso tenso defomacji liniowch oa tenso defomacji kątowch: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 D
Wbane agadnienia Mechaniki Płnów. GRADIENT SKALARA W ol skalanm L F(,,,t), w ałoŝeni, Ŝe fnkcja F jest ciągła i mająca ochodną we wsstkich nktach ola, istnieją awse ewne owiechnie (dla ola stalonego awse te same, dla ola niestalonego w danej chwili t) okeślone ównaniem L F(,,) const, na któch watość danego skalaa jest stała. Mogą to bć owiechnie ównch ciśnień, temeat, gęstości, itd. Istnieje ewna wielkość stanowiąca nowe ole, aleŝne od danego ola skalanego, chaaktejąca mienność skalaa ejści od jednej owiechni stałej jego watości L C do sąsiedniej L C. L C dn B β C L C A ds Najkótsą dogą ejścia od ewnego nkt A owiechni L C do owiechni L C jest odcinek nomalnej n, oowadonej w nkcie A, awat międ tmi dwiema owiechniami. WaŜenie C C dl lim () AB dn AB ) okeśla wielkość waną gadientem skalaa. Gadient skalaa jest wektoem, któego kienek w kaŝdm nkcie okeśla oientację element owiechni L const obejmjącego dan nkt. Wekto ten jest skieowan godnie nomalną odowiedniego element owiechni L const. Dodatni wot gadient skalaa jmje się awcaj w stonę osnącch watości skalaa. 3/3
Wbane agadnienia Mechaniki Płnów Now wekto onacm liteą G dl df G gadl n gadf(,, ) n () dn dn dl df Watość ochodnej stanowi ttaj modł gadient G. dn dn W ol stalonm lb w danej chwili t w ol niestalonm F F F dl df d d d. (3) JeŜeli d, d, d onacają składowe dowolnego esnięcia ds danej owiechni L C do owiechni L C (na kład od nkt A do C, jeŝeli AC 0), to skąd dl dl G (4) dn ds cos β dl G cos β, (5) ds dl Gds cos β. (6) Wo (4-6) dowodą, Ŝe óŝnica watości omięd dwiema owiechniami o stałej watości ola L, nie aleŝ od ołoŝenia nktów na tch owiechniach, a tlko od odległości tch owiechni. 3/3