Metody Lgrnge i Hmilton w Mechnice Mriusz Przybycień Wydził Fizyki i Informtyki Stosownej Akdemi Górniczo-Hutnicz Wykłd 3 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lgrnge i Hmilton... Wykłd 3 1 / 15
Przestrzeń konfigurcyjn Zbiór współrzędnych uogólnionych q = (q 1, q 2,..., q n ) wygodnie jest trktowć jko punkt w n-wymirowej przestrzeni konfigurcyjnej. Pozycj punktu w przestrzeni konfigurcyjnej w pełni określ konfigurcję ukłdu poprzez relcje: r i = r i ( q), i = 1,..., N Pochodne czsowe q = ( q 1, q 2,..., q n ) nzywmy uogólnionymi prędkościmi ukłdu S. O x P 1 θ θ q Q P 2 x Poniewż r i = r i ( q) orz q = q(t), więc prędkości cząstek ukłdu są liniowymi kombincjmi prędkości uogólnionych: r i = r i q 1 +... + r i r i q n = q j q 1 q n q j Przyspieszeni cząstek ukłdu dne są przez: [ ( ) d ri r i = q j + r ] i q j = dt q j q j j,k=1 2 r i q j q k q j q k + r i q j q j M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lgrnge i Hmilton... Wykłd 3 2 / 15
Energi kinetyczn we współrzędnych uogólnionych Przykłd: Energi kinetyczn ukłdu puktów P 1 i P 2 Poniewż prędkości punktów są odpowiednio równe: v 1 = ẋ i orz v 2 = ẋ i + ( cos θ i + sin θ k) θ więc energi kinetyczn ukłdu wyrż się przez: T = 1 2 m( v 1 v 1 )+ 1 2 m( v 2 v 2 ) = mẋ 2 + 1 2 m2 θ2 +m cos θ ẋ θ O x P 1 θ P 2 Energi kinetyczn ukłdu cząstek jest jednorodną formą kwdrtową w zmiennych q 1,..., q n : ( T = 1 N m i ( v i v i ) = 1 N n ) m i r i q j r i q k = jk ( q) q j q k 2 2 q j q k gdzie jk ( q) = 1 2 N ( ri m i r ) i. q j q k k=1 j,k=1 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lgrnge i Hmilton... Wykłd 3 3 / 15
Zsd D Alembert Równni Newton dl dowolnego ukłdu S: m i vi = F S i + F C i i = 1,..., N gdzie F S to siły przyłożone, F C to więzy. Wirtulnym przesunieciem nzywmy kżde przesuniecie zgodne z nłożonymi więzmi, w ustlonej chwili czsu: r i δ r i = δq j q j Zsd d Alembert: zkłdjąc, że więzy nie wykonują wirtulnej prcy, tzn. N Fi C δ r i = 0 mmy: N ( F i S m i vi ) δ r i = 0 Wirtuln prc wykonn przy przesunięciu δ r i wynosi: N N δw = F i S δ r i = F i S r i δq j = Q j δq j q j N gdzie Q j = F i S r i to tzw. uogólnione siły. q j M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lgrnge i Hmilton... Wykłd 3 4 / 15 P v F C Σ v
Równni Lgrnge Ukłdem stndrdowym nzywmy ukłd który jest holonomiczny i w którym więzy nie wykonują wirtulnej prcy. Możn pokzć, że dl tkiego ukłdu: N N m i vi δ r i = m i vi r ( i d δq j = q j dt T T q j q j ) δq j W ten sposób otrzymujemy równni Lgrnge dl ukłdu stndrdowego opisnego z pomocą współrzędnych uogólnionych q, energii kinetycznej T ( q, q) orz uogólnionych sił {Q j }: d T T = Q j dt q j q j j = 1,..., n W przypdku ukłdów zchowwczych Q j = V i równni Lgrnge q j przyjmują postć, gdzie V ( q) jest energią potencjlną ukłdu: d T T = V dt q j q j q j j = 1,..., n M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lgrnge i Hmilton... Wykłd 3 5 / 15
Zstosowni równń Lgrnge Przykłd: Blok zsuwjący się bez trci po równi, któr tkże może się poruszć bez trci po poziomej powierzchni. Jko współrzędne uogólnione wybiermy x orz y jk n rysunku. Obliczmy energie kinetyczną i potencjlną ukłdu: T = 1 2 Mẋ2 + 1 2 m ( ẋ 2 + ẏ 2 + 2ẋẏ cos α ) V = mgy sin α Obliczmy wielkości potrzebne do równń Lgrnge : T T ẋ T ẏ V V x = 0, = (M + m)ẋ + m cos α ẏ, T y = 0, = m cos α ẋ + mẏ, Równni Lgrnge przyjmują postć: d dt d dt x x = 0. y M = mg sin α. [(M + m)ẋ + m cos α ẏ] 0 = 0 [m cos α ẋ + mẏ] 0 = mg sin α Po zróżniczkowniu i rozwiązniu ukłdu równń otrzymujemy: mg sin α cos α (M + m)g sin α ẍ = M + m sin 2 ÿ = α M + m sin 2 α M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lgrnge i Hmilton... Wykłd 3 6 / 15 y ẋ m α ẏ ẋ
Zstosowni równń Lgrnge Przykłd: Znjdź równni Lgrnge dl ukłdu przedstwionego n rysunku. Punkt P 1 ślizg się bez trci. Brk siły grwitcji. N punkt P 2 dził sił F (t). Jko współrzędne uogólnione wybiermy x orz θ jk n rysunku. Sił zleżn od czsu nie może być przedstwion z pomocą potencjłu. W tej sytucji musimy obliczyć siły uogólnione z definicji. Poniewż F S 1 = 0, F S 2 = F (t) i, r 1 = x i, r 2 = (x + sin θ) i cos θ k więc: Q x = F S 1 r 1 x + F S 2 r 2 x = 0 + F (t) i i = F (t) Q θ = F S 1 r 1 θ + F S 2 r 2 θ = 0 + F (t) i ( cos θ i + sin θ k) = cos θ F (t) Energi kinetyczn ukłdu T = mẋ 2 + (m cos θ)ẋ θ + 1 2 m θ 2 d [ Równni Lgrnge : 2mẋ + (m cos θ) dt θ ] = F (t) d [ (m cos θ)ẋ + m dt θ ] [ (m sin θ)ẋ θ ] = ( cos θ)f (t) M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lgrnge i Hmilton... Wykłd 3 7 / 15 O x m P 1 θ m P 2 F (t)
Ukłdy stndrdowe z ruchomymi więzmi Teorię równń Lgrnge możn rozszerzyć n klsę problemów z więzmi zleżnymi od czsu. Konfigurcj ukłdu określon jest z pomocą relcji: r i = r i ( q, t) Prędkości cząstek dne są przez: r i = i = 1,..., N r i q j + r i q j t Ntomist energi kinetyczn jest niejednorodną formą kwdrtową: T ( q, q, t) = jk ( q, t) q j q k + b j ( q, t) q j + c( q, t) j,k=1 Poniewż ruchome więzy wykonują prcę nd ukłdem, więc cłkowit energi T + V nie jest zchown. Jednk wykonn przez więzy prc wirtuln N więc spełnione są równni Lgrnge. Rozwżmy whdło, którego punkt zwieszeni porusz się w zdny sposób, np. Z(t) = Z 0 cos pt. Wektor wodzący punktu P : r = ( sin θ) i + (Z(t) + cos θ) k F C i ( r i / q j )δq j = 0, z Z(t) M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lgrnge i Hmilton... Wykłd 3 8 / 15 k i A O θ Z(t) P θ
Ukłdy stndrdowe z ruchomymi więzmi Energi kinetyczn i potencjln ukłdu dne są odpowiednio przez: T = 1 ( 2 m 2 θ2 + Ż2 2 θż ) sin θ V = mg(z + cos θ) Równnie Lgrnge dl współrzędnej θ m postć: d dt m( θ Ż sin θ) + m θż cos θ = mg sin θ Wprowdzjąc oznczenie Ω 2 = g/ orz θ/θ 0 przymując Z(t) = Z 0 cos pt dostjemy: 1 θ + (Ω 2 + Z 0p 2 ) cos pt sin θ = 0 W celu znlezieni rozwiązń numerycznych wprowdzmy bezwymirowe prmetry: τ = pt, p/ω orz Z 0 /: d 2 ( θ Ω 2 dτ 2 + p 2 + ( ) ) Z0 cos τ sin θ = 0 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lgrnge i Hmilton... Wykłd 3 9 / 15 θ/2π 1 1 2 25 25 τ /2 π τ/2π
Lgrngin i zsd Hmilton Poniewż dl ukłdów zchowwczych mmy T = T ( q, q) orz V = V ( q), więc równni Lgrnge mozn zpisć w postci: ( ) d T T = d ( ) V V j = 1,..., n dt q j q j dt q j q j Wprowdzjąc tzw. lgrngin L( q, q) = T ( q, q) V ( q), możemy równni Lgrnge zpisć w postci: ( ) d L L = 0 j = 1,..., n dt q j q j W przypdku więzów ruchomych jedyną zminą jest to, ze terz L = L( q, q, t). Zsd Hmilton: Spośród wszystkich możliwych dróg, po których ukłd dynmiczny może przejść z jednego punktu w przestrzeni konfigurcyjnej do innego, w zdnym przedzile czsu, relizown jest t drog, któr odpowid wrtości stcjonrnej dziłni czyli cłki po czsie z lgrnginu ukłdu: t2 δ L( q, q, t)dt t 1 Równni Euler odpowidjące powyższemu problemowi wricyjnemu, są identyczne z równnimi Lgrnge. M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lgrnge i Hmilton... Wykłd 3 10 / 15
Energi potencjln zleżn od prędkości Istnieją ukłdy w których przyłożone siły nie są zchowwcze (tzn. nie istnieje energi potencjln), mimo to możn zpisć równni ruchu z pomocą równń Lgrnge. Jest to możliwe w sytucji kiedy uogólnione siły dje zpisć w postci: Q j = d U U j = 1,..., n dt q j q j gdzie U( q, q, t) jest energią potencjlną zleżną od prędkości. W tej sytucji mozn zbudowć Lgrngin: L( q, q, t) = T ( q, q, t) U( q, q, t) Przykłd: Lgrngin cząstki nłdownej poruszjącej się w sttycznym polu elektrycznym i sttycznym polu mgnetycznym. Możn pokzć, że siłę Lorentz F = e E + e v B dje się wyprowdzić z równń Lgrnge wprowdzjąc energię potencjlną zleżną od prędkości U = eφ( r) e r A( r) gdzie φ i A to tzw. petencjły sklrny i wektorowy, z których mozn skonstruowć pol E = grdφ orz B = rot A. Sm Lgrngin cząstki przyjmuje postć: L = 1 2 m r r eφ( r) + e r A( r) M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lgrnge i Hmilton... Wykłd 3 11 / 15
Równni Lgrnge - przykłd Przykłd: Cząstk o msie m ślizg się po wewnętrznej powierzchni stożk (rysunek). Znjdź równnie ruchy cząstki. Jko współrzędne uogólnione wybiermy współrzędne cylindryczne r, θ orz z. Korzystjąc z równni więzów z = r/tnα możemy wyeliminowć jedną ze współrzędnych. Energi kinetyczn: 1 2 mv2 = 1 2 m(ṙ2 + r 2 θ2 + ż 2 ) = 1 2 m(ṙ2 + r 2 θ2 + ṙ 2 ctg 2 α) = ṙ 2 / sin 2 α + r2 θ 2 Energi potencjln (V (z = 0) = 0): V = mgz = mgr ctg α Lgrngin: L = 1 2 m(ṙ2 / sin 2 α + r 2 θ2 ) mgr ctg α Poniewż L nie zleży bezpośrednio od θ więc mmy: L θ = mr2 θ = const moment pędu wokół osi z. Równnie ruchu dl współrzędnej r: r r θ 2 sin 2 α + g sin α cos α = 0 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lgrnge i Hmilton... Wykłd 3 12 / 15 z θ α r r
Równni Lgrnge - przykłd Przykłd: Znjdź okres młych drgń whdł mtemtycznego umieszczonego w wgonie poruszjącym się z przyspieszeniem w kierunku osi x. Wrunki początkowe: x(0) = 0, ẋ(0) = v 0. Pozycj i prędkość msy m: x = v 0 t + 1 2 t2 + l sin θ ẋ = v 0 + t + l θ sin θ y = l cos θ ẏ = l θ cos θ Lgrngin: L = T V = 1 2 m(v 0 + t + l θ cos θ) 2 + 1 2 m(l θ sin θ) 2 + mgl cos θ Równnie ruchu dl współrzędnej θ: θ = g l sin θ l cos θ Znjdujemy punkt równowgi θ = θ e żądjąc by θ = 0: 0 = g sin θ e + cos θ e tg θ e = g Rozwżmy młe drgni wokół punktu równowgi, tzn. θ = θ e + η gdzie η jest młe: θ = η = g l sin (θ e + η) l cos (θ e + η) () θ e (b) θ m M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lgrnge i Hmilton... Wykłd 3 13 / 15
Równni Lgrnge - przykłd Przykłd: Znjdź okres młych drgń whdł mtemtycznego umieszczonego w wgonie poruszjącym się z przyspeiszeniem w kierunku osi x. Zchowując wiodące wyrzy w rozwinięciu sin η i cos η otrzymujemy równnie: η = 1 l (g cos θ 2 + g e sin θ e )η η = 2 η l l Rozwiązniem tego równi jest ruch hrmoniczny o okresie T = 2π 4 2 + g 2 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lgrnge i Hmilton... Wykłd 3 14 / 15
Funkcj energii h Rozwżmy ukłd opisny z pomocą lgrnżjnu L( q, q, t) Pomnóżmy j-te równnie Lgrnge obustronnie przez q j i wysumujmy po indeksie j: [ ( d L 0 = dt q j = d dt gdzie h = ) L q j ( ) L q j q j ] q j = L + L t = dh dt + L t [ ( ) d L q j L q j L ] q j = dt q j q j q j ( ) L q j L nzywmy funkcją energii ukłdu S, któr jest q j uogólnieniem pojęci energii. Interpretcj funkcji energii h: L = L( q, q, t) orz L/ t 0; h nie jest zchowne orz h T + V L = L( q, q) wtedy L/ t = 0; h jest stłe, S jest stndrdowym ukłdem zchowwczym: h jest zchowne i równe energii cłkowitej ukłdu T + V. M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lgrnge i Hmilton... Wykłd 3 15 / 15