Część 2 7. METODA MIESZANA 1 7. METODA MIESZANA

Transkrypt

1 Część 2 7. METODA MIESZANA METODA MIESZANA Metod mieszn poleg n jednoczesnym wykorzystniu metody sił i metody przemieszczeń przy rozwiązywniu ukłdów sttycznie niewyznczlnych. Nwiązuje on do twierdzeni o wzjemności rekcji i przemieszczeń. Jej celem jest ogrniczenie liczy niewidomych. Ukłd dzieli się n część, którą korzystniej jest rozwiązć metodą sił i część, którą łtwiej rozwiązć metodą przemieszczeń. W celu zorzowni zstosowni metody miesznej rozwiążmy nstępujące zdni: Zdnie Znjdź siły wewnętrzne w prętch rmy sttycznie niewyznczlnej: P q Rys. 7.. Rm sttycznie niewyznczln Zuwżmy, że rozwiązując powyższą rmę klsycznie metodą sił licz ndliczowych niewidomych wynosiły 4, ntomist nlizując dny przykłd w metodzie przemieszczeń licz niewidomych wzrosły do 7 (rys. 7.2). ) P ) P φ u φ q X 4 u 7 φ 4 q u 5 X 2 X Rys Licz niewidomych dl ) metody sił ) dl metody przemieszczeń Dor D., Dzikiewicz Ł., Jmrożek S., Komos M., Mikołjczk E., Przyylsk P., Sysk A., Wdowsk A.

2 Część 2 7. METODA MIESZANA 2 Rozwiąznie powyższego ukłdu zncznie uprości odpowiednie połączenie metody przemieszczeń z metodą sił. W metodzie miesznej njkorzystniejszy ędzie nstępujący ukłd podstwowy: P A q Rys. 7.. Ukłd podstwowy w metodzie miesznej W tk przyjętym schemcie sttyczn zgodność z ukłdem rzeczywistym zchown zostł przez wprowdzenie siły X, le zkłócon przez wprowdzenie wewnętrznego utwierdzeniem. Kinemtyczn zgodność zostł zkłócon odrzuceniem podpory w punkcie A. Ukłdy podstwowy i rzeczywisty ędą identyczne jeśli spełnimy nstępujące wrunki: A = M = Po ich rozpisniu uzyskujemy ukłd równń knonicznych { X 2 2 P = r 2 r 22 2 R 2 P = W metodzie miesznej wżn jest interpretcj niektórych współczynników: 2 jest przemieszczeniem pionowym punktu A wywołnym jednostkowym orotem podpory (o kąt φ2 = ), r 2 jest rekcją (momentem) w punkcie wywołną jednostkową siłą przyłożoną w punkcie A (X = ). Kolejnym etpem jest wykonnie wykresów momentów w poszczególnych stnch. Dor D., Dzikiewicz Ł., Jmrożek S., Komos M., Mikołjczk E., Przyylsk P., Sysk A., Wdowsk A.

3 Część 2 7. METODA MIESZANA Stn dl pierwszej niewidomej, czyli X = M A 2 2 Rys Wykres momentów dl stnu = Stn dl drugiej zmiennej, czyli φ2 = M 2 4 = Rys Wykres momentów dl stnu = Stn P M P [knm] P P q 2 2 q 2 2 Rys. 7.. Wykres momentów dl stnu P Dor D., Dzikiewicz Ł., Jmrożek S., Komos M., Mikołjczk E., Przyylsk P., Sysk A., Wdowsk A.

4 Część 2 7. METODA MIESZANA 4 Oliczmy współczynniki ukłdu równń knonicznych. W celu oliczeni współczynnik δ korzystmy z równni prcy wirtulnej (jk w klsycznej metodzie sił): = s M 2 ds (7.) = [ ] = gdzie l= 2 2 = = 8 2 l 4 2 Do wyznczeni współczynnik r2 potrzen jest głęsz nliz. Moment zginjący w podporze wywołny dziłniem siły = wyznczmy zpisując równnie równowgi dl węzł. 2 = 2 r 2 Rys Moment w podporze wywołny jednostkową siłą r 2 = 2 (7.2) Podonie współczynnik δ 2 trze wyznczyć inczej niż w klsycznej metodzie sił (jest to przemieszczenie wywołne przemieszczeniem). Przemieszczenie po kierunku niewidomej, wywołne orotem węzł o kąt =. = δ 2 = Przyjmując, że tg φ2 φ2 = otrzymujemy: Dor D., Dzikiewicz Ł., Jmrożek S., Komos M., Mikołjczk E., Przyylsk P., Sysk A., Wdowsk A.

5 Część 2 7. METODA MIESZANA =tg 2 2 =2 (7.) W rdziej skomplikownych przypdkch wykorzystujemy równnie prcy wirtulnej stosowne do oliczni przemieszczeń w ukłdch sttycznie wyznczlnych. i = R i i W nszym przypdku 2 = R 2 (7.) = = 2 2 = 2 =2 (7.) Wrto zuwżyć, że zgodnie z twierdzeniem o wzjemności przemieszczeń i rekcji r 2 = δ 2. Rekcję uogólnioną po kierunku niewidomej 2 spowodowną orotem kąt wyznczymy z równni równowgi węzł zgodnie z klsyczną metodą przemieszczeń (stn φ2 = ). 4 r r stąd: r 22 = 4 4 (7.4) Dor D., Dzikiewicz Ł., Jmrożek S., Komos M., Mikołjczk E., Przyylsk P., Sysk A., Wdowsk A.

6 Część 2 7. METODA MIESZANA Przemieszczenie po kierunku niewidomej spowodowne ociążeniem zewnętrznym wyznczymy stosując równnie prcy wirtulnej, mnożąc wykres z rys. 7.4 przez wykres z rys. 7.: P = s M M P o ds= 2 P l 2 2 P 2 = 5 P2 l 2 P 2 (7.5) gdzie l= 2 2 Rekcję po kierunku niewidomej 2 spowodowną dziłniem ociążeni zewnętrznego oliczymy z równni równowgi zpisnego dl węzł w stnie P: P R 2P q 2 2 R 2 P = q2 P (7.) 2 Dlsze oliczeni przeprowdzono przyjmując nstępujące wielkości liczowe: = 4m, = m, l = 5m, q = 8 kn/m, P = kn, [knm 2 ]. Po ich podstwieniu otrzymno nstępujący ukłd równń knonicznych metody przemieszczeń: { = 448 = Rozwiąznie tego ukłdu prowdzi do wrtości ndliczowej rekcji i nieznnego przemieszczeni w węźle : =,99978 [kn] =,275 Ostteczne wykresy sił wewnętrznych uzyskmy ociążjąc ukłd oliczonymi zmiennymi lu z zsdy superpozycji przez zsumownie wykresów jednostkowych przemnożonych przez wrtości zmiennych i. Dor D., Dzikiewicz Ł., Jmrożek S., Komos M., Mikołjczk E., Przyylsk P., Sysk A., Wdowsk A.

7 Część 2 7. METODA MIESZANA 7 M [knm] 5,95 8,7 9,554,22,484, Rys Wykres momentów w ukłdzie niewyznczlnym T [kn],9 + 4,87,9 4,87 5,58 +,742, ,47 Rys. 7.. Wykres sił tnących N [kn],5 2,94,9,99 9,574 +, Rys. 7.. Wykres sił normlnych Dor D., Dzikiewicz Ł., Jmrożek S., Komos M., Mikołjczk E., Przyylsk P., Sysk A., Wdowsk A.

8 Część 2 7. METODA MIESZANA 8 Zdnie 2 Wyznczyć wykres momentów rzeczywistych dl rmy o nstępującym schemcie, ( = const.): kn/m C A = const Rys Schemt rmy Żey rozwiąznie tego ukłdu yło jk njprostsze, górną część rmy wrz z dolnym lewym ryglem nleży rozwiązć metodą sił, ntomist prwy rygiel i słup dolny rozwiązć metodą przemieszczeń. W tym celu górną część zmienimy n ukłd trójprzeguowy przez wprowdzenie przeguu w sztywne nroże rmy przy podporze C. Pociąg to z soą konieczność wprowdzeni niewidomej w postci momentu. Ntomist w miejscu ziegni się trzech prętów wprowdzmy utwierdzenie lokujące orót co wiąże się z potrzeą uwzględnieni niewidomej. (Rys. 7.). kn/m Rys. 7.. Ukłd podstwowy Otrzymliśmy ztem ukłd dwukrotnie niewyznczlny z tym, że jedną niewidomą jest sił, drugą przemieszczenie. Npiszmy ztem ukłd równń knonicznych: { X 2 2 P = r 2 r 22 2 R 2 P = Ay otrzymć odpowiednie przemieszczeni i rekcje nrysujmy wykresy momentów w stnch (7.7) Dor D., Dzikiewicz Ł., Jmrożek S., Komos M., Mikołjczk E., Przyylsk P., Sysk A., Wdowsk A.

9 Część 2 7. METODA MIESZANA 9 jednostkowych poszczególnych niewidomych. C = C A A Rys Stn = Rys Stn = Ay otrzymć wykres od = rozwiążmy njpierw ukłd trójprzeguowy ociążony momentem jednostkowym dziłjącym powyżej przeguu C.,5,5, Rys. 7.. Wykres momentów w sttycznie wyznczlnej części ukłdu podstwowego (ukłd trójprzeguowy) Anlizując dziłnie momentu jednostkowego z drugiej strony przeguu C okzuje się, że ociąż on część rmy sttycznie niewyznczlną. Ay wyznczyć wykres momentów od tego ociążeni rozwiążemy elkę jk n poniższym schemcie. l l Rys elk utwierdzon z jednej strony i podprt przeguowo z drugiej Rozwiążemy kolejne, nowe zdnie metodą sił dltego dl odróżnieni symoli ędziemy używć oznczeń z (*). * X 2 * l Rys Ukłd podstwowy Sił X2* nie wywołuje momentów zginjących, co w konsekwencji ogrnicz ukłd dwóch równń Dor D., Dzikiewicz Ł., Jmrożek S., Komos M., Mikołjczk E., Przyylsk P., Sysk A., Wdowsk A.

10 Część 2 7. METODA MIESZANA knonicznych do jednej równości: * X * * P = (7.8) Po wyznczeniu współczynników Wyliczmy wrtość ndliczowej M * Rys Wykresy momentów dl elki od * = i od ociążeni zewnętrznego * = l * = l P M P * * = l 2 (7.9) i tworzymy wykres momentów w elce niewyznczlnej z rys. 7.7.,5 M (n) Rys Wykresy momentów rzeczywistych dl elki N podstwie rys. 7. i 7.2 orz wzorów trnsformcyjnych (ptrz wykłd ) otrzymliśmy wykresy od poszczególnych stnów jednostkowych.,5,5,5,5, r 2 = =, r 22 = M M 2 Rys Wykres momentów w stnie = Rys Wykres momentów w stnie = Dor D., Dzikiewicz Ł., Jmrożek S., Komos M., Mikołjczk E., Przyylsk P., Sysk A., Wdowsk A.

11 Część 2 7. METODA MIESZANA Terz możemy wyznczyć współczynniki równni knonicznego metody miesznej: według zsd metody sił: = M M ds = [ 4 2,5 2,5 2, 2,,5 2,5, 2,5 2, 2,,5 2,5 2,5, ] według zsd metody przemieszczeń = [ ] =,5 r 22 = =2 rekcję w węźle w stnie = (z równowgi węzł): r 2,5,5 r 2 =, przemieszczenie (wzjemny orót) po kierunku w stnie = (z równni prcy wirtulnej): i = R i i s M M ds zpisujemy: 2 = R 2 s M M 2 ds 2 = r 2 2 2,5, 2 = =, Żey rozwiązć zdnie potrzeujemy jeszcze wykres od ociążeni zewnętrznego w ukłdzie podstwowym. Dor D., Dzikiewicz Ł., Jmrożek S., Komos M., Mikołjczk E., Przyylsk P., Sysk A., Wdowsk A.

12 Część 2 7. METODA MIESZANA 2,5,5,5 kn/m 4,5, 4,5 9, 9, 27, C 4,5 9, r 2p A M P (o) Rys Stn P Rys Wykres momentów M P (o) N podstwie rys. 7.2 i rys wyznczmy współczynniki δ P orz r 2P. Przemieszczenie po kierunku, czyli wzjemny orót przekrojów przy przeguie C od ociążeni zewnętrznego wynosi: P = M M P ds P = [ 2,5 2,5 2,5 2,5, ],5 =,75 Rekcję po kierunku 2 oliczmy z równowgi węzł : r 2 P =27 [knm] Równni knoniczne ędą miły postć: {,5, 2 =,75, 2, 2 = 27 (7.) Z nich wyznczmy niewidome = 5,25 [knm] 2 =,9875 Korzystjąc z zsdy superpozycji wyznczmy wykres momentów rzeczywistych (rys. 7.25). M n =M P o M M 2 2 (7.) Dor D., Dzikiewicz Ł., Jmrożek S., Komos M., Mikołjczk E., Przyylsk P., Sysk A., Wdowsk A.

13 Część 2 7. METODA MIESZANA,9875,25 24,4875,5 5,25,9875 M (n) [knm] Rys Wykres momentów rzeczywistych Zdnie Wyznczyć wykres momentów rzeczywistych dl rmy o nstępującym schemcie ( = const, k= 9 ). 2 2 A k= 9 kn kn = const Rys Schemt rmy niewyznczlnej N początek przyjmujemy ukłd podstwowy metody miesznej. 2 kn kn 2 Rys Ukłd podstwowy metody miesznej Dor D., Dzikiewicz Ł., Jmrożek S., Komos M., Mikołjczk E., Przyylsk P., Sysk A., Wdowsk A.

14 Część 2 7. METODA MIESZANA 4 Przemieszczenie po kierunku odrzuconej podpory A orz rekcj w punkcie od wszystkich wpływów muszą yć równe zeru: { = X 2 2 P = r 2 =r 2 r 22 2 R 2 P = (7.2) Nrysujmy wykresy od siły jednostkowej i od przemieszczeni jednostkowego w ukłdzie podstwowym: = δ 22 δ 2 = r 2 r 22 2 M M 2 Rys Stn = Rys Stn = N podstwie powyższych wykresów (rys i rys. 7.29) oliczmy odpowiednie przemieszczeni i rekcje: = M M ds R 2 k = = 54 r 22 =2 = r 2 = 2 = Nstępnie rysujemy wykres momentów od stnu P: 2 8 r 2P 8 r 2P 2 M P (o) Rys. 7.. Stn P i oliczmy wyrzy wolne: P = s M M P o ds= = 2 Dor D., Dzikiewicz Ł., Jmrożek S., Komos M., Mikołjczk E., Przyylsk P., Sysk A., Wdowsk A.

15 Część 2 7. METODA MIESZANA 5 r 2 P =2 8 = [knm] Jeśli przemnożymy pierwsze równnie przez, to ukłd uzysk postć: A ztem niewidome wynoszą: { 54 X =2 2 = = [kn ] 2 = N postwie tych wyników, zgodnie z zsdą superpozycji możemy wyznczyć momenty rzeczywiste w rmie. M n =M P o M M M (n) [knm] Rys. 7.. Wykres momentów rzeczywistych Dor D., Dzikiewicz Ł., Jmrożek S., Komos M., Mikołjczk E., Przyylsk P., Sysk A., Wdowsk A.