Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

Transkrypt

1 Politechnik Gdńsk Wydził Elektrotechniki i Automtyki Ktedr Inżynierii Systemów Sterowni Teori sterowni Sterowlność i obserwowlność liniowych ukłdów sterowni Zdni do ćwiczeń lbortoryjnych termin T Oprcownie: Kzimierz Duzinkiewicz, dr hb. inż. Robert Piotrowski, dr inż.

2 Wskzówki:. Jko mteriły pomocnicze nleży trktowć mteriły wykłdowe z przedmiotów Teori sterowni, Modelownie i identyfikcj orz Modelownie i podstwy identyfikcji z I stopni studiów.. Przed wykonniem tej części zdni zpoznj się lub przypomnij sobie funkcje dostępne w środowisku MATLAB/Simulink, które mogą być użyteczne przy rozwiązywniu podnych niżej zdń. List tych funkcji podn zostł n końcu niniejszego zestwu zdń (Dodtek ). Zdnie Dne są ukłdy opisne równnimi różniczkowymi postci: I). d y t dt dy t y t k u t dt y y II). d y t d y t dy t 9 y t 5 u t dt dt dt y y y III). d y t dy t du t b c b c y t u t dt dt dt dy t y t y t dt y y y Wykonj poniższe poleceni: ) Nrysuj schemty blokowe przedstwionych modeli systemów, wybierz możliwe zmienne stnu. b) Przedstw opis systemów w przestrzeni stnu (równni stnu i równnie wyjści). Podj postcie mcierzy A, B, C orz D. c) Oblicz wrtości liczbowe mcierzy A, B, C orz D. Dl wykonni tej części zdni skorzystj z funkcji dostępnych w środowisku MATLAB. Dne: I) k,,5,, II) jk podne w równnich, III)., b, c 5.

3 d) Korzystjąc z odpowiednich poleceń środowisk MATLAB znjdź opis trnsmitncyjny wielominowy i z pomocą zer, biegunów orz wzmocnieni sttycznego. Potrktuj znlezione opisy, jko definicje nowych systemów. Dokonj konwersji otrzymnych opisów do opisu w przestrzeni stnu. Czy otrzymne w tym punkcie opisy są identyczne z otrzymnymi w punktch b i c? e) Korzystjąc ze środowisk MATLAB npisz m-plik tworzący mcierz obserwowlności i sterowlności ukłdu (dwom sposobmi, z pomocą elementrnych opercji n mcierzch orz z pomocą poleceń: obsv i ctrb) i sprwdzjący obserwowlność i sterowlność ukłdu. Wykonj to dl mcierzy otrzymnych w punkcie c orz d. Czy otrzymne wyniki są identyczne? Zdnie Dne są nstępujące ukłdy: I). x () x (t) - u(t) x () x (t) y(t) -5 II). u[k] 5 z - x x [k] z - x x [k] 6 y[k] - -

4 III). 8 u(t) x () x () x () x (t) x (t) x (t) y(t) IV). x [k] z - x u[k] z - x x [k] 5 z - x x [k] y[k] -9 V). x () u (t) x (t) y (t) -, x () x (t) u (t) x () x (t) x () x (t) 5 y (t) -,5

5 Wykonj poniższe poleceni: ) Przedstw opis systemów w przestrzeni stnu (równni stnu i równnie wyjści) określjąc numeryczne postcie mcierzy A, B, C orz D. b) Korzystjąc z odpowiednich poleceń środowisk MATLAB znjdź opis trnsmitncyjny wielominowy i z pomocą zer, biegunów orz wzmocnieni sttycznego. Potrktuj znlezione opisy, jko definicje nowych systemów. Dokonj konwersji otrzymnych opisów do opisu w przestrzeni stnu. Czy otrzymne w tym punkcie opisy są identyczne z otrzymnymi w punkcie? c) Korzystjąc ze środowisk MATLAB npisz m-plik tworzący mcierz obserwowlności i sterowlności ukłdu (dwom sposobmi, z pomocą opercji n mcierzch orz z pomocą poleceń: obsv i ctrb) i sprwdzjący obserwowlność i sterowlność ukłdu. Wykonj to dl mcierzy otrzymnych w punkcie orz b. Czy otrzymne wyniki są identyczne? Zdnie Dl systemu ZLK wykonj nstępujące poleceni: ) Wyprowdź zlineryzowny, stcjonrny model systemu dl stnu równowgi: belk w ~ położeniu poziomym ( t ), kulk w położeniu stłym ~ p t p, ~ p t const p ) ( b) Korzystjąc z wyników uzysknych w punkcie orz przykłdowych dnych liczbowych dl systemu ZLK i m p.5 zproponuj model przestrzeni stnu dl systemu ZLK (wybór zmiennych stnu i określenie mcierzy A, B, C i D). c) Dl zproponownej w punkcie b relizcji systemu w przestrzeni stnu otrzymj jego digonlną postć knoniczną. d) Odpowiedz n pytnie, czy system ZLK jest sterowlny? Spróbuj to zrobić korzystjąc nie tylko z jednej metody. Podj mtemtyczne szczegóły udzielonej odpowiedzi. Uzsdnij otrzymne wyniki ptrząc n fizyklną nturę problemu. e) Określ knoniczną postć sterowlności dl systemu ZLK. Skomentuj strukturę uzysknej postci. Wydj sąd n temt sterowlności systemu ZLK ptrząc n digonlną postć knoniczną jego relizcji uzyskną w punkcie c. Porównj ten sąd z uzysknym w punkcie d. f) Odpowiedz n pytnie, czy system ZLK jest obserwowlny? Spróbuj to zrobić korzystjąc nie tylko z jednej metody. g) Określ knoniczną postć obserwowlności dl systemu ZLK. Wydj sąd n temt obserwowlności systemu ZLK ptrząc n digonlną postć knoniczną jego relizcji uzyskną w punkcie c. Porównj ten sąd z uzysknym w punkcie f. 5

6 Zdnie Dl systemu ZLK wykonj nstępujące poleceni: ) Wyprowdź zlineryzowny, stcjonrny model systemu dl niestbilnego stnu równowgi odpowidjącego zerowemu odchyleniu whdł b) Korzystjąc z wyników uzysknych w punkcie orz przykłdowych dnych liczbowych dl systemu ZLK zproponuj modele przestrzeni stnu dl systemu ZLK (wybór zmiennych stnu i określenie mcierzy A, B, C i D) dl nstępujących przypdków: i. jedno-wejście, jedno-wyjście: wejście f t, wyjście t ii. jedno-wejście, wiele-wyjść: jedno wejście iii. wiele-wejść, wiele wyjść: dw wejści ; f t i dw wyjści t i t w ; f t i t, dw wyjści t i t w. c) Dl zproponownej w punkcie b. relizcji systemu w przestrzeni stnu dl przypdku i. otrzymj jej digonlną postć knoniczną. d) Odpowiedz n pytnie, czy system ZLK jest sterowlny dl kżdego z przypdków wymienionych w punkcie b? Spróbuj to zrobić korzystjąc nie tylko z jednej metody. Podj mtemtyczne szczegóły udzielonej odpowiedzi. Uzsdnij otrzymne wyniki ptrząc n fizyklną nturę problemu. e) Określ knoniczną postć sterowlności dl systemu ZLK tylko dl przypdku i. z punktu b. Skomentuj strukturę uzysknej postci. f) Odpowiedz n pytnie, czy system ZLK jest obserwowlny dl kżdego z przypdków wymienionych w punkcie b? Spróbuj to zrobić korzystjąc nie tylko z jednej metody. g) Określ knoniczną postć obserwowlności dl systemu ZLK tylko dl przypdku i. z punktu b. Zdnie 5 Dl systemu ZLK wykonj nstępujące poleceni: ) Korzystjąc z modelu wejście wyjście orz przykłdowych dnych liczbowych dl systemu ZLK zproponuj modele przestrzeni stnu dl systemu ZLK (wybór zmiennych stnu i określenie mcierzy A, B, C i D) dl nstępujących przypdków: i. jedno-wejście, jedno-wyjście: wejście - npięcie twornik v A t, wyjście przemieszczenie kątowe włu obciążeni t ; ii. jedno-wejście, jedno-wyjście: wejście - npięcie twornik kątow włu obciążeni t ; L L v A t, i wyjście prędkość b) Dl zproponownej w punkcie. relizcji systemu w przestrzeni stnu dl przypdku i. otrzymj jej digonlną postć knoniczną. 6

7 c) Odpowiedz n pytnie, czy system ZLK jest sterowlny dl kżdego z przypdków wymienionych w punkcie? Spróbuj to zrobić korzystjąc nie tylko z jednej metody. Podj mtemtyczne szczegóły udzielonej odpowiedzi. Uzsdnij otrzymne wyniki ptrząc n fizyklną nturę problemu. d) Określ knoniczną postć sterowlności dl systemu ZLK dl obydwu przypdków z punktu. Skomentuj strukturę uzysknej postci. Wydj sąd n temt sterowlności systemu ZLK z przypdku i. ptrząc n digonlną postć knoniczną jego relizcji uzyskną w punkcie b. Porównj ten sąd z uzysknym w punkcie c. e) Odpowiedz n pytnie, czy system ZLK jest obserwowlny dl kżdego z przypdków wymienionych w punkcie? Spróbuj to zrobić korzystjąc nie tylko z jednej metody. f) Określ knoniczną postć obserwowlności dl systemu ZLK dl obydwu przypdków. z punktu. Wydj sąd n temt obserwowlności systemu ZLK z obu przypdków ptrząc n digonlną postć knoniczną jego relizcji uzyskną w punkcie b. Porównj ten sąd z uzysknym w punkcie e. Zdnie 6 Dl podnych niżej systemów jedno-wejście, jedno-wyjście: x t x t. u t x t x t x t y t u t x t x t x t. x t x t u t x t 5 x t x t y t x t u t x t x t x t. x t x t u t x t x t x t x t y t t t t t x x u t x x 7

8 . x t x t x t x t u t x t x t x t x t y t t t t t x x u t x x ) Określ trnsmitncję H s w torze wejście wyjście. b) Określ knoniczną postć digonlną. c) Wydj sąd o sterowlności systemu. d) Oblicz knoniczną postć sterowlności systemu. e) Wydj sąd o obserwowlności systemu. f) Oblicz knoniczną postć obserwowlności; porównj ją z knoniczną postcią sterowlności z punktu d. 8

9 Dodtek A. Ogólne poleceni MATLAB size(nme) length(nme) eye(n) zeros(m,n) ones(m,n) t = t:dt:tf zwrc wymiry mcierzy nme zwrc wymir wektor nme tworzy mcierz jednostkową (digonlną) I n o wymirch n x n tworzy tblicę zer o wymirch m x n tworzy tblicę jedynek o wymirch m x n tworzy tblicę elementów równomiernie rozłożonych rozpoczynjąc od wrtości początkowej t i kończąc n wrtości tf z krokiem dt B. Opis systemu liniowego stcjonrnego w przestrzeni stnu MATLAB umożliwi cztery strukturlne formy opisu systemów liniowych stcjonrnych, trzy związne z dziedziną czsu i czwrtą związną z dziedziną częstotliwości. W dziedzinie czsu są to nstępujące:. opis w przestrzeni stnu ss określony mcierzmi A, B, C orz D systemu,. opis trnsmitncyjny wielominowy tf określony tblicmi współczynników wielominów licznik num orz minownik den trnsmitncji systemu,. opis trnsmitncyjny z pomocą zer, biegunów i wzmocnieni zpk określony tblicmi pierwistków licznik (zer) z, pierwistków minownik (biegunów) p orz wzmocnieniem sttycznym systemu k. Definicje systemów w kżdej z tych form podne są niżej SysNme = ss(a, B, C, D); SysNme = tf(num, den); SysNme = zpk(z, p, k); W pierwszym wyrżeniu w pozycji rgumentu D jest interpretowne jest jko mcierz zerow odpowiednich rozmirów. Kżde z tych poleceń może być wykorzystne do zdefiniowni systemu, jeżeli system liniowy SysNme zostł możn przeprowdzić ekstrkcję jego prmetrów: [num, den] = tfdt(sysnme); [z, p, k] = zpkdt(sysnme); [A, B, C, D] = ssdt(sysnme) Możliw jest konwersj z modeli przestrzeni stnu do modeli trnsmitncyjnych SysNme = ss(a,b,c,d); SysNmetf = tf(sysnme); SysNmezpk = zpk(sysnme) i ekstrkcj dnych tych modeli [num, den] = tfdt(sysnme, v ); [z, p, k] = zpkdt(sysnme, v ) Posidjąc model trnsmitncyjny wielominowy, możn też dokonć jego konwersji do modelu przestrzeni stnu: SysNmess = ss(sysnmetf) 9

10 C. Wrtości włsne, wielomin chrkterystyczny eig(a) poly(a) roots(den) znjduje wrtości włsne mcierzy A znjduje współczynniki wielominu chrkterystycznego systemu dl mcierzy A znjduje pierwistki wielominu chrkterystycznego Przykłdy użyci: Znlezienie współczynników wielominu chrkterystycznego: ChrPoly = poly(a); Znlezienie biegunów systemu: Poles = roots(chrpoly); Znlezienie wrtości włsnych systemu otwrtego: EigSO = eig(a); D. Przeksztłceni podobieństw, postcie knoniczne cnon ssss funkcj form knonicznych z kluczem modl dl digonlnej postci knonicznej funkcj przeksztłceni jednej relizcji systemu w przestrzeni stnu w inną Uzysknie knonicznej postci digonlnej według wzorów podnych n wykłdzie: [Tdcf, E] = eig(a); Adcf = inv(tdcf)*a*tdcf; Bdcf = inv(tdcf)*b; Cdcf = C*Tdcf; Ddcf = D; (dcf digonl cnonicl form) Uzysknie knonicznej postci digonlnej z wykorzystniem funkcji Cnon: [SysNmem, Tm] = cnon[sysnme, modl ]; Am = SysNmem.; Bm = SysNmem.b; Cm = SysNmem.c; Dm = SysNmem.d; E. Sterowlność P = ctrb(sysnme) obliczenie mcierzy sterowlności dl SysNme rnk(p) ctrbf oblicznie rzędu mcierzy P dekompozycj systemu n część sterowlną i niesterowlną (jeżeli jest niesterowlny) W środowisku MATLAB nie m klucz dl funkcji cnon dl obliczni knonicznej postci sterowlności. Mcierz trnsformcji możn obliczyć: T CCF PP CCF gdzie: P - mcierz sterowlności systemu opisywnego mcierzmi A i B

11 P CCF - odwrotn mcierz sterowlności systemu dnego w postci knonicznej sterowlności Mcierz P CCF m postć: P CCF n n gdzie, i są współczynnikmi wielominu chrkterystycznego systemu z mcierzą A. Po utworzeniu mcierzy T CCF dlsze postępownie może być nlogiczne, jk dl wyznczni knonicznej postci digonlnej (ogólnie jk dl wyznczni kżdej postci podobnej systemu) F. Obserwowlność Q = obsv(sysnme) obliczenie mcierzy obserwowlności dl SysNme obsvf cnon dekompozycj systemu n część obserwowlną i nieobserwowlną (jeżeli jest nieobserwowlny) funkcj form knonicznych z kluczem compnion dl knonicznej postci obserwowlności (nleży unikć stosowni ze względu n złe uwrunkownie obliczeń) Mcierz trnsformcji możn obliczyć: T Q Q gdzie: Q - mcierz obserwowlności systemu opisywnego mcierzmi A i C Q - mcierz obserwowlności systemu dnego w postci knonicznej obserwowlności Mcierz Q m postć: Q n n gdzie, i są współczynnikmi wielominu chrkterystycznego systemu z mcierzą A. Po utworzeniu mcierzy T dlsze postępownie może być nlogiczne, jk dl wyznczni knonicznej postci digonlnej (ogólnie jk dl wyznczni kżdej postci podobnej systemu).