Jk zdć mturę ie lubiąc mtemtyki tylko 0 godzi powtórki do mtury. Spis treści Wstęp. Liczby. Procety 9. Przedziły i wrtość bezwględ. Logrytmy 9 5. Wyrżei lgebricze 6. Rówi liiowe 5 7. Prost w ukłdzie współrzędych 8. Ukłdy ierówości 7 9. Rówi kwdrtowe 0 0. Fukcj kwdrtow i jej wykres 5. Fukcj kwdrtow w zdich 5. Nierówości kwdrtowe 56. Fukcje trygoometrycze 6. Włsości fukcji 70 5. Ciągi 7 6. Ciąg rytmetyczy i geometryczy w zdich 79 7. Plimetri 8 8. Zdi z plimetrii 85 9. Geometri litycz 90 0. Sttystyk, elemety kombitoryki i rchuek prwdopodobieństw 98
Jk zdć mturę ie lubiąc mtemtyki tylko 0 godzi powtórki do mtury. Wstęp Większość ucziów, iestety, ie lubi mtemtyki, ie rozumie jej i w związku z tym ie z. Przedmturle powtórki odkłd późiej, ż w końcu, zwykle w okolicch studiówki strch przed mturą z mtemtyki osiągie pogeum. Jk zdć mturę ie lubiąc mtemtyki? Przede wszystkim, ie leży zkłdć, że uczymy się cłego mteriłu przez prę miesięcy, skoro ie udło to się w ciągu trzech lub czterech lt. Lepiej uczyć się rzeczy jwżiejszych i tkich, które jczęściej obece są w zdich mturlych, iż iepotrzebie trcić czs cły, trudy mterił. W tej książce wybro około 60% mteriłu z profilu podstwowego, który obecy jest w około 90% zdń mturlych. Nie zjdziemy tu fukcji wykłdiczej, przeksztłceń fukcji, przeksztłceń płszczyzy, geometrii przestrzeej i iych trudiejszych frgmetów progrmu, których uczeń ie lubiący mtemtyki i ie zjący jej ie uczy się w trkcie powtórek. Wszystko, co jest w książce d się zrozumieć i d się uczyć w ciągu 0 lekcji, co zgwrtuje sukces mturly poziomie powyżej 0%. Uczeń ie lubiący mtemtyki męczy się tkże w trkcie rozwiązywi zdń. Nie m sesu robić coś siłę. Lepiej przeczytć przykłdowe rozwiązi, podptrzeć je, iż smemu trcić czs wywżie otwrtych drzwi. W książce wszystkie przykłdy mogące wystąpić w zdich mturlych są rozwiąze. Rozwiązi te są zwykle zbliżoe do rozumowń ucziowskich, co ozcz, że ie są optymle le łtwo przyswjle. Zdi przedstwioe w książce podzieloo dw rodzje, typowe problemy sprwdze w testch mturlych orz zdi zpropoowe przez CKE. Sposoby rozwiązń tych osttich wielokrotie różią się od propozycji CKE i idą w kieruku rozumowń ucziowskich. Do przeczyti książki i uczei się tego zkresu mteriłu wystrczy 0 godzi. Propoowłbym kżdego di przerobić jedą godzię. Moje wieloletie doświdczeie uczy, że tki dobór mteriłu i metod gwrtują sukces mturly, czego życzę wszystkim czytelikom zdjącym egzmiy dojrzłości. Chciłbym też prosić wszystkich czytelików o przesyłie uwg i dostrzeżoych błędów dres: ksizki07@gmil.com Mriusz Kwecki
Jk zdć mturę ie lubiąc mtemtyki tylko 0 godzi powtórki do mtury. Godzi Liczby Liczby turle to zbiór liczb postci N {0,,,...}. Czsmi mówi się o liczbch turlych dodtich N {,,...} (liczb 0 ie jest dodti, ie jest też ujem). Wśród liczb turlych wyróżimy liczby pierwsze. Liczby pierwsze to tkie, które są większe od i dzielą się tylko przez i siebie p.,, 5, 7,... Liczb pierwszych jest ieskończeie wiele. Liczby, które ie są pierwsze oprócz siebie i mją ie dzieliki p., 6, 8, 9,... Kżdą liczbę turlą moż zpisć jko iloczy liczb pierwszych. Procedurę, któr to czyi zywmy rozkłdem czyiki pierwsze. Poleg o tym, że rozkłdą liczbę dzielimy przez koleje liczby pierwsze dopóki się d. 0 00 Liczb 0 5 60 00 Liczb 00 5 5 0 50 5 5 5 5 5 5 5 Jeżeli z obu rozłożoych liczb wybierzemy wspóle czyiki pierwsze i je pomożymy, to otrzym liczb będzie dzielikiem obu wyjściowych i to jwiększym dzielikiem. Tką liczbę zywmy Njwiększym Wspólym Dzielikiem: NWD(0,00) 5 0 Jeżeli do wspólych czyików dopiszemy z obu liczb te czyiki, które wspóle ie są i pomożymy je, to otrzym liczb będzie dzielił się przez obie wyjściowe i będzie jmiejszą o tej włsości. Tką liczbę zywmy Njmiejszą Wspól Wielokrotą: NWW (0,00) 55 600 Dwie liczby, b dl których NWD(, b) zywją się względie pierwsze p. NWD(7, 0), NWD(0, 9). Sprwdź czy rozumiesz! Policz: NWD (80, 50) i NWW (80,60). Jeżeli do liczb turlych dorzucimy liczby turle poprzedzoe zkiem mius, otrzymmy liczby cłkowite: C {0,,,,,,,...}. Ilorzy (dzieleie) liczb cłkowitych przez siebie tworzą liczby wymiere: W={0,,,, /,...}. Zuwżmy, że 0 0, to ilorzy liczb cłkowitych więc rówież liczby wymiere.
Jk zdć mturę ie lubiąc mtemtyki tylko 0 godzi powtórki do mtury. Pozostłe liczby zywmy liczbmi iewymierymi NW {,,,...}. Zuwżmy, że liczb (w przybliżeiu, ) jest liczbą iewymierą. Często używymi liczbmi wymierymi są ułmki dziesięte. Jeżeli w zpisie ułmk dziesiętego ilość cyfr po przeciku jest skończo, to ułmek dziesięty zyw się ułmkiem skończoym p.,5. Jeżeli ilość cyfr jest ieskończo i powtrz się w pewych grupch, to tki ułmek zywmy ułmkiem okresowym,... =, (). Jeżeli ilość cyfr po przeciku jest ieskończo i ie powtrz się w pewych grupch to jest to liczb iewymier:,567890... Sposób zmiy ułmk okresowego zwykły jest brdzo prosty. Spójrzmy przykłdy: 5 0,(), 0,(), 0,(5),,() 0,(), 0,(), 9 9 99 99 999 5 bcde 567 0,(5) i ogólie: 0,( bcde) więc 0,(567) 999 99999 99999 Sprwdź czy rozumiesz! Zmień ułmek zwykły: 0,(),, (5) Oprócz czterech podstwowych dziłń (dodwie, odejmowie, możeie i dzieleie) liczby możemy potęgowć i pierwistkowć. Przypomimy defiicję potęgi: 0,, 0 Symbol 0 ie jest określoy. Liczb, którą podosimy do potęgi ujemej musi być róż od 0. Pierwistkowie, to w grucie rzeczy potęgowie gdyż: Pierwistkując pmiętjmy, że pierwistki stopi przystych istieją tylko z liczb dodtich i sme są liczbmi dodtimi. Pierwistki stopi ieprzystych mogą być wyciąge z liczb ujemych i są wtedy liczbmi ujemymi. 5 5,, ( 7) 7, 8 8,, 7 8 Potęgi i pierwistki spełiją podobe prw, zwróćmy uwgę grupy () i (). 5
Jk zdć mturę ie lubiąc mtemtyki tylko 0 godzi powtórki do mtury. () m m m m () ( ) m m b ( b) b b () ( ) m m b b b b Zdi występujące mturze 5. Ze zbioru liczb, 7,.(), 9, 9, 5,, wybierz liczby wymiere. 7 Liczby wymiere w tym zbiorze to: 5,,(), 9, 5,. 7 99. Pokż, że liczby 80 i 5 ie są względie pierwsze. Rozkłdmy obie liczby czyiki: 80 5 5 90 9 7 5 7 7 5 5 5 Obie liczby mją wspóly czyik większy od. Ich NWD(80,5) 5, ztem ie są względie pierwsze. 5. Policz: (, (7) 5 7. Przykłd pozorie wygląd skomplikowy le jk policzymy wrtość wisu kwdrtowego okże się, że: 7 6 6 (, (7) 0 9 9 9 Ztem wrtość cłego wyrżei wyosi 0. 7. Policz:. 5 9 : 8 Zuwżmy, że potęgowe liczby sme są potęgo. Przeksztłcmy wyrżeie tk, żeby to wykorzystć: 9 7 ( ) 7 0 8 8 : 5 5 9 : ( ) : 8 6
Jk zdć mturę ie lubiąc mtemtyki tylko 0 godzi powtórki do mtury. 5. Porówj liczby: 5 00 00 i 7. 00 00 00 00 Zuwżmy, że: 5 5 (5 ) 5 i 00 00 00 00 7 7 (7 ) 9, więc 00 00 5 7. 6. Pomiędzy liczby 77 i wstw dwie róże liczby wymiere. 77 Nleży rozszerzyć ułmek, to zczy liczik i miowik pomożyć przez tę smą liczbę większą od. Poiewż mmy wstwić dwie róże liczby pomóżmy liczik i miowik przez, otrzymmy: 9 i Między te liczby moż wstwić: 0 i Gdybyśmy mieli wstwić trzy ie dwie róże liczby, leżłoby pomożyć liczik i miowik przez, dl wstwiei jedej liczby wystrczy pomożyć przez. 7. ) Wyłącz czyik przed pierwistek 0 6. b) Wprowdź czyik pod pierwistek. 6 7 6 6 6 6 6 6 ) 6 8 b) 7 5 8. Usuń iewymierość z miowik: ) b) 5 c) W przykłdzie ) liczik i miowik możymy przez sm pierwistek, w przykłdch b) i c) liczik i miowik możymy przez tzw. sprzężeie czyli wyrżeie z miowik ze zmieioym zkiem i korzystmy ze wzoru skrócoego możei ( b)( b) b : ) b) c) 5 5 5 5 5 5 5 5 ( ) () ( ) ( ) 9. Policz 6 8. 8 8 8 6 56 ( ) ( ) ( ) 7
Jk zdć mturę ie lubiąc mtemtyki tylko 0 godzi powtórki do mtury.,() 0. Policz 8 9 5,() 0. 5 5 5 ( ) 8 Zdi propoowe przez CKE. Wrtość wyrżei A. 6 8 B. jest rów: C. D. 6 ( 6) 8 8 8 8. Odwrotością liczby A. 8 B. 8. Liczb A. 8 6 jest rów: 6 B. jest liczb: C. C. D. D. 8 6 6 ( ) ( ). N tblicy zpiso stępujące potęgi: ( ) ( ), (),, ( ) (). Ile różych liczb reprezetują zpisy? A. B. C. D. ( ) 8 ( ) ( ) 8 ( ) ( ) 6 () () ( ) 6 () () 8
Jk zdć mturę ie lubiąc mtemtyki tylko 0 godzi powtórki do mtury. Godzi Procety Procet to jed set % 0,0. Promil to jed tysięcz % o 0, 00. Jeżeli umiesz liczyć ułmkch, to umiesz rówież liczyć procety. Jeżeli chcesz policzyć 5% ze 0 to zczy możysz 0,50 8. Jeżeli ceę towru zwiększoo o 0% przed podwyżką towr kosztowł 50 zł, to terz kosztuje 50 0, 50 00 zł. Jeżeli terz obiżymy ceę o 0% to ie wrócimy do cey pierwotej, gdyż 0% z 00 odejmujemy od 00: 00 0, 00 0 zł. Postwmy pytie o ile procet leży obiżyć ceę, żeby powrócić do cey wyjściowej 50 zł.? Zuwżmy, że sze pytie moż opisć rówiem: 50 00 x00 50 50 x00 x 0,666... 6, 6% 00 Pukty procetowe to różic tego smego typu wielkości wyrżych w procetch. Dw ośrodki bdwcze bdją jki procet populcji osi w zimie czpki usztki. Jede ośrodek stwierdził, że jest to 5%, drugi, że czpki usztki osi 0% populcji. Ob wyiki różią się o 5 puktów procetowych. Gdybyśmy powiedzieli, że wyiki różią się o 5%, popełilibyśmy błąd gdyż: 5% 5% 5% 0,5 0, 050,5 0,575 5, 75% Co ozcz, że drugi ośrodek musiłby stwierdzić, że czpki usztki osi 5,75% populcji. W zgdieich bkowych wżą rolę odgryw odróżieie procetu prostego od procetu skłdego. Kwot, którą depoujemy w bku zyw się kpitłem. Jeżeli po okresie rozliczeiowym odsetki ie są dopisywe do kpitłu i w stępym okresie rozliczeiowym ie są od ich licze koleje odsetki, to mmy doczyiei z procetem prostym. Wrtość depozytu z tkiej lokty obliczmy zgodie ze wzorem: W K( p ) gdzie W to wrtość depozytu (to co mmy w bku wrz z kpitłem początkowym), K kpitł początkowy, p procet przypdjący okres obliczeiowy, ilość okresów obliczeiowych. Jeżeli po okresie rozliczeiowym odsetki są dopisywe do kpitłu i w stępym okresie rozliczeiowym są od ich licze koleje odsetki, to mmy doczyiei z procetem skłdym. Wrtość depozytu przy procecie skłdym liczymy ze wzoru: W K( p) Zwróćmy uwgę, że w obu wypdkch procet p musi przypdć okres obliczeiowy. Przykłdowo jeżeli bk propouje procet skłdy w wysokości % w skli roku odsetki kpitlizuje kwrtlie to z 000 zł lokty otrzymmy po roku 9
Jk zdć mturę ie lubiąc mtemtyki tylko 0 godzi powtórki do mtury. kwotę W 000( 0, 0) 5,5 zł, gdyż p % : %, (w roku są kwrtły). Gdyby bk propoowł procet zwykły, to: W 000( 0,0) 0 zł, co ozcz, że lokt przy procecie skłdym jest brdziej opłcl. Sprwdź czy rozumiesz! Który z bków dje lepsze wruki: A, gdzie lokt jest 5% w skli roku, odsetki kpitlizowe są kwrtlie czy B, gdzie lokt jest % w skli roku odsetki kpitlizowe są miesięczie? Zdi występujące mturze. ) Oblicz 0% z liczby. b) Jkim procetem liczby 60 jest liczb 00? c) Jk to liczb, której % rów się 5? ),, 00 b) p60 00 p, 666... 66, 6% 60 5 c) 0, 0x5 x 50 0,0. Z prwidłowe rozwiązie testu moż uzyskć 50 puktów. Jcek uzyskł 5 puktów, Plcek 5. O ile procet wyik Jck był większy od wyiku Plck? O ile puktów procetowych różią się wyiki Jck i Plck. 0 5 p5 5 p5 0 p 0,8 80% 5 Jcek uzyskł: 5 0,9 90% 50 puktów. Plcek uzyskł: 5 0,5 50% 50 puktów. Ob wyiki różią się o 0 puktów procetowych.. Ceę pewego towru zwiększoo o 0%. Poiewż ie zotowo wzrostu sprzedży ową ceę obiżoo o 5%. Po tych opercjch towr kosztuje,75 zł. Jk ce towru był początku? x - początkow ce towru, stąd rówie: ( x0, x) 0,5( x0, x),75, 75,x0,5,x, 75 0,95x, 75 x 50 zł. 0,99. Jk to liczb, której 75% jest rówe tej liczbie zmiejszoej o 0? x - iez liczb, z treści zdi mmy 0,75x x 0, 0,5x 0 0 x 0 0, 5 0
Jk zdć mturę ie lubiąc mtemtyki tylko 0 godzi powtórki do mtury. 5. Zmieszo kg solki 0% z kg solki 0%. Roztwór o jkim stężeiu soli otrzymo? W tego typu zdich leży pmiętć, że ilość soli przed zmiesziem jest rów ilości soli po zmiesziu roztworów. stąd rówie 0, 0, p 5, gdzie p to stężeie soli otrzymego roztworu. 0, 0, 0,8 p 0,6 6% 5 5 6. Ile czystej wody leży dodć do kg solki 5% by jej stężeie spdło do 0%? Podobie jk w zdiu poprzedim ilość soli przed i po dodiu wody pozostje iezmie. Niech x ozcz ilość wody, którą leży dodć do solki. 0,5 0,5 0,( x) 0, 5 0, 0, x 0,x0,5 x,5 [kg] 0, 7. Liczb mieszkńców jwiększego mist w pewym krju stowi 0% pozostłej liczby mieszkńców tego krju. Ile procet mieszkńców krju stowi liczb mieszkńców tego mist? x - liczb mieszkńców krju, y - liczb mieszkńców jwiększego mist p - procet mieszkńców krju, którzy są mieszkńcmi jwiększego mist y 0, y 0,( x y) y 0,x0, y, y 0, x 0,857 8,6% x, y px y p 8,6% x 8. Ceę pewego towru obiżoo dwukrotie. Z pierwszym rzem o 5%, z drugim o 0%. O ile procet obiżoo ceę towru po obu obiżkch w stosuku do cey pierwotej? x - początkow ce towru ( x 0,5 x) 0,85x - ce towru po pierwszej obiżce 0,85x 0, 0,85x - ce towru po drugiej obiżce 0,85x 0, 0,85x 0,68x Skoro po obiżkch towr kosztuje 0,68x, jego ceę obiżoo o 0, czyli %. 9. Po pierwszym roku produkcji owego modelu smochodu fbryk sprzedł 0000 sztuk. W ciągu stępych lt sprzedż wzrstł o 0% roczie. Ile smochodów sprzedł fbryk po piątym roku produkcji? Ile smochodów sprzedł fbryk od początku produkcji? Zgodie z wrukmi zdi moż zbudowć tbelkę sprzedży: po I roku po II roku Po III roku Po IV roku Po V roku Ilość 0000 000 00 660 98
Jk zdć mturę ie lubiąc mtemtyki tylko 0 godzi powtórki do mtury. Łącz ilość = 0000+000+00+660+98=0 Po piątym roku produkcji sprzedo 98 smochodów, łączie sprzedo 0 smochodów. 0. Odsetki dwóch kredytów o łączej wrtości 50000 zł wyoszą roczie 5500 zł. Jede kredyt zostł wzięty % w skli roku, drugi %. Oblicz wielkość kżdego kredytu. x - wrtość pierwszego kredytu, (50000 x) - wrtość drugiego kredytu 0, 0x0, 0(50000 x) 5500 0, 0x6000 0, 0x 5500 500 500 0, 0 x x 50000 0,0 Wrtość pierwszego kredytu 50000 zł, wrtość drugiego kredytu 00000 zł. Zdi propoowe przez CKE. N początku roku kdemickiego mężczyźi stowili 0% wszystkich studetów. N koiec roku liczb wszystkich studetów zmlł o 0% i wówczs okzło się, że mężczyźi stowią % wszystkich studetów. O ile procet zmieił się liczb mężczyz koiec roku w stosuku do liczby mężczyz początku roku? x - liczb wszystkich studetów początku roku p - procet zmiy liczby mężczyz koiec roku Liczb mężczyz początek roku: 0% x x 0 9 Liczb mężczyz koiec roku: % 90% x x x 0 0 xp x p 75% 0 0 Liczb mężczyz koiec roku stowi 75% liczby mężczyz z początku roku, ztem zmlł o 5% w stosuku do liczby mężczyz z początku roku.. N lokcie złożoo 000 zł przy roczej stopie procetowej p% (procet skłdy). Odsetki licze są co kwrtł. Po upływie roku wielkość kpitłu lokcie będzie rów: p p p p A. 000 B. 000 C. 000 D. 000 00 00 00 00 Zgodie ze wzorem procet skłdy poprwe jest D, zwróćmy uwgę, że p p%. 00. Dy jest trójkąt o bokch długości, b, c. Stosuek :b:c jest rówy :5:7. Które zdie jest fłszywe? A. Liczb c jest o,5% miejsz od liczby +b.
Jk zdć mturę ie lubiąc mtemtyki tylko 0 godzi powtórki do mtury. B. Liczb stowi 0% liczby +b+c. C. Liczb stowi 5% liczby b+c. D. Liczb b to 60% liczby c. Możemy przyjąć =, b=5, c=7 wtedy: A. +b=8,,5% z 8 to, +b-=c, zdie prwdziwe B. +b+c=5, 0% z 5 to =, zdie prwdziwe C. b+c=, 5% z to =, zdie prwdziwe D. zdie fłszywe poiewż 60% z 7 to,. Nomil stop oprocetowi lokty wyosi % w stosuku roczym (bez uwzględiei podtku). Odsetki kpitlizowe są koiec kżdego kolejego okresu czteromiesięczego. Oblicz, jką kwotę wpłcoo tę loktę, jeśli koiec ośmiu miesięcy oszczędzi rchuku lokty było o 96,56 zł więcej iż przy jej otwrciu. Zwróćmy uwgę, że lokt kpitlizow jest co cztery miesiące i trw dw tkie okresy. Stopę procetową roczą leży podzielić przez by obliczyć stopę procetową okres rozliczeiowy ( miesiące). x - kwot wpłco loktę, z wruków zdi mmy: 0,0 x 96,56 x x96,56 x, 00 96,56=0,00x 96,56 x 5600 [zł] 0,00 5. W pewej szkole przez trzy koleje lt zmieił się liczb ucziów. W pierwszym roku liczb ucziów zmlł i koiec roku był o 0% miejsz iż początku. W drugim roku wzrosł i ukończyło go 0% więcej ucziów iż pierwszy. O ile procet, w stosuku do liczby ucziów kończących drugi rok, zmiejszył się ich liczb w stępym roku, jeśli koiec trzeciego roku było tyle smo ucziów co początku pierwszego? Wyik zokrąglij do 0,%. x - liczb ucziów początku pierwszego roku p - procet zmiy liczby ucziów pomiędzy II i III rokiem Treść zdi moż opisć tbelką: Okres Początek I Koiec I roku Koiec II roku Koiec III roku Ucziów x 0,9x 0,9x 0, 0,9x, 08x x, 08 xp x p :, 08 0,959 9, 6% Liczb ucziów zmiejszył się o 7,%