ARYTMETYKA LICZB RZECZYWISTYCH

Transkrypt

1 Treść: ARYTMETYKA LICZB RZECZYWISTYCH. Tbliczk moŝei Nzwy dziłń i ich elemetów Zbiory liczbowe (turle, cłkowite, wymiere, iewymiere, rzeczywiste, pierwsze) Kolejość wykoywi dziłń Podstwowe dziłi z udziłem liczb dodtich i ujemych: Dziłie dodwi i odejmowi z udziłem liczb dodtich i ujemych Dziłie moŝei i dzielei z udziłem liczb dodtich i ujemych Ułmek zwykły i dziesięty Zmi postci ułmk zwykłego Nzwy cyfr w zpisie liczby w systemie dziesiętym Zmi ułmk zwykłego dziesięty Zmi ułmk dziesiętego zwykły PrzybliŜei dziesięte liczb zokrąglie ułmk dziesiętego Cyfry rzymskie Oś liczbow Cechy podzielości Dziłie potęgowi: Defiicj potęgi o wykłdiku turlym Tbliczk potęgowi Defiicj potęgi o wykłdiku cłkowitym ujemym Potęgowie liczb ujemych Dziłie pierwistkowi: Defiicj pierwistk kwdrtowego z liczby ieujemej Defiicj pierwistk sześcieego Dziłi ułmkch zwykłych: Dodwie ułmków zwykłych Odejmowie ułmków zwykłych MoŜeie ułmków zwykłych Dzieleie ułmków zwykłych Potęgowie ułmków zwykłych (wykłdik turly) Potęgowie ułmków zwykłych (wykłdik cłkowity ujemy) Pierwistkowie ułmków zwykłych Dziłi piseme liczbch turlych i ułmkch dziesiętych MoŜeie ułmków dziesiętych przez 0, 00, 000, 0000 itd Porówywie liczb: Porówywie liczb cłkowitych Porówywie ułmków zwykłych Porówywie ułmków dziesiętych Porówywie ułmków dziesiętych ze zwykłymi Potęgowie i pierwistkowie ułmków dziesiętych Prw dziłń potęgch i pierwistkch: Prwo moŝei potęg o tych smych podstwch Prwo dzielei potęg o tych smych podstwch Prwo moŝei potęg o tych smych wykłdikch (prwo potęgowi iloczyu) Prwo dzielei potęg o tych smych wykłdikch (prwo potęgowi ilorzu) Prwo potęgowi potęgi Prwo potęgowi pierwistk (pierwistkowi potęgi) Prwo moŝei pierwistków tego smego stopi Prwo dzielei pierwistków tego smego stopi Pierwistkowie, liczby iewymiere zmi postci liczby iewymierej: Wyłączie czyik spod zku pierwistk Usuwie iewymierości z miowik Nzywie i odczytywie liczb wielocyfrowych. Notcj wykłdicz Liczby wielocyfrowe o duŝych wrtościch Liczby wielocyfrowe o młych wrtościch Notcj wykłdicz WŜe pojęci rytmetycze i sttystycze: Stosuek dwóch wielkości Średi rytmetycz Medi Wrtość bezwzględ liczby Część liczby Ile rzy jed liczb jest większ od drugiej? O ile jed liczb jest większ od drugiej? zgdieie elemetre - zgdieie wykrczjące poz progrm

2 ARYTMETYKA LICZB RZECZYWISTYCH. Tbliczk moŝei: Nzwy dziłń i ich elemetów: DODAWANIE SUMA ODEJMOWANIE RÓśNICA 9 MNOśENIE ILOCZYN 6 skłdik skłdik sum DZIELENIE ILORAZ : 7 odjem odjemik róŝic POTĘGOWANIE 6 czyik czyik iloczy PIERWIASTEK dziel dzielik ilorz podstw wykłdik (stopień) stopień liczb podpierwistkow UWAGA! Liczb o większ od x to iczej x + Liczb rzy miejsz od x to iczej x : Liczb o miejsz od x to iczej x Liczb rzy większ od x to iczej x Kwdrt liczby x to iczej x Sześci liczby x to iczej x Ilorz (dzieleie) dwóch liczb moŝ zpisć rówieŝ z pomocą kreski ułmkowej, czyli zmist dziłi : moŝ zpisć: Niewykole jest dziłie dzielei przez zero. : 0 tkie dziłie ie m wyiku, ie moŝ go wykoć. MoŜ liczbę zero podzielić przez dowol liczbę. Wyik zwsze będzie rówy zero. Np.: 0 : 0, 0 : 0 0 itd. Wyik moŝei liczby przez zero wyosi zwsze zero. N przykłd 0 0, 7 0 0, itd.. Zbiory liczbowe: Zbiór liczb turlych N, to zbiór, do którego leŝą liczby {,,,,, 6, 7,, 9, 0,,,,,, 79,, 000,, , }. Jest to zbiór ieskończoy (liczb jest ieskończeie wiele). Czsem liczb 0 jest uzw z liczbę turlą. Zbiór liczb cłkowitych C, to zbiór, do którego leŝą liczby {, -0,, -6,, -, -, -, -, -, 0,,,,,,, 67,, 00,, 7000,, , }. Jest to zbiór ieskończoy (liczb jest ieskończeie wiele). Do zbioru liczb cłkowitych leŝą wszystkie liczby turle orz przeciwe do ich liczby ujeme orz liczb 0. p Zbiór liczb wymierych W, to zbiór wszystkich liczb, które moŝ zpisć w postci ułmk zwykłego, (p to liczb q cłkowit, q to liczb turl). Liczby wymiere to przykłd,, 7, 0,, 0,, 7,,. Jest to zbiór 7 6 ieskończoy (liczb jest ieskończeie wiele). Do zbioru liczb cłkowitych leŝą wszystkie liczby turle orz wszystkie liczby cłkowite. Zbiór liczb iewymierych NW, to zbiór wszystkich liczb, których ie moŝ zpisć w postci ułmk zwykłego. Wrtości tych liczb moŝ podć tylko w przybliŝeiu, więc często prezetuje się je z pomocą dziłi (p. ), lub ukryw się je pod symbolmi literowymi (p. ). Jest to zbiór ieskończoy (liczb jest ieskończeie wiele). Zbiór liczb rzeczywistych R, to po prostu zbiór wszystkich liczb. NleŜą do iego zrówo liczby wymiere jk i iewymiere, cłkowite i turle.

3 Ie wŝe zbiory liczbowe Liczby pierwsze, to tkie liczby turle, które moŝ podzielić (bez reszty) tylko przez liczbę orz przez smą siebie (liczb ie jest uzw z liczbę pierwszą). Liczb pierwszą jest przykłd liczb. MoŜ ją podzielić przez (bo kŝdą liczbę moŝ podzielić przez ). :. MoŜ ją podzielić przez smą siebie (bo kŝdą liczbę moŝ podzielić przez smą siebie). :. Ale juŝ więcej ie m tkich liczb, przez które moŝ podzielić liczbę (ie dzieli się przez i przez, i przez itd.) Z tego wyik, Ŝe liczb jest liczbą pierwszą. Ie liczby pierwsze, to,,, 7,,, 7, 9,, 9,, 7,,, 7,, 9 itd. Liczby turle, które ie są pierwsze zywmy złoŝoymi (oprócz liczb 0 i ). Kolejość wykoywi dziłń. Podczs obliczi wyrŝei rytmetyczego złoŝoego z kilku dziłń leŝy zchowć odpowiedią kolejość: ) potęgowie i pierwistkowie b) moŝeie i dzieleie c) dodwie i odejmowie Jeśli w wyrŝeiu zjdują się dziłi w wisch leŝy je wykoć jko pierwsze!. Podstwowe dziłi z udziłem liczb dodtich i ujemych. Dziłie dodwi i odejmowi z udziłem liczb dodtich i ujemych opisują przykłdy: + Sum dwóch liczb dodtich (sytucj oczywist). 7 9 RóŜic liczb dodtich (sytucj oczywist) 6 RóŜic liczb dodtich sytucj, gdy pierwsz liczb (odjem) m miejszą wrtość iŝ drug (odjemik). Wówczs wyik dziłi będzie mił zk ujemy, wrtość bezwzględą wyiku otrzymujemy odejmując od większej liczby liczbę miejszą ( 6, wyik zpisujemy ze zkiem mius ). + 6 Sum liczby ujemej i liczby dodtiej sytucj, gdy liczb ujem m miejszą wrtość bezwzględą od liczby dodtiej. Wówczs wyik dziłi będzie mił zk dodti, wrtość bezwzględą wyiku otrzymujemy odejmując od większej wrtości liczby, wrtość miejszą ( 6). + 9 Sum liczby ujemej i liczby dodtiej sytucj, gdy liczb ujem m większą wrtość bezwzględą od liczby dodtiej. Wówczs wyik dziłi będzie mił zk ujemy, wrtość bezwzględą wyiku otrzymujemy odejmując od większej wrtości liczby wrtość miejszą ( 9, wyik zpisujemy ze zkiem mius ). 0 RóŜic liczby ujemej i liczby dodtiej. Wówczs wyik dziłi będzie mił zk ujemy, wrtość bezwzględą wyiku otrzymujemy dodjąc wrtości liczb ( + 0, wyik zpisujemy ze zkiem mius ). + ( 7) ( ) + ( 0) 0 6 Dodwie liczby ujemej zmieimy odejmowie liczby dodtiej ( plus i mius zmieimy mius ) i wykoujemy dziłie jk we wcześiejszych przykłdch. ( 7) ( ) + ( ) Odejmowie liczby ujemej zmieimy dodwie liczby dodtiej (dw miusy zmieimy plus ) i wykoujemy dziłie jk we wcześiejszych przykłdch.

4 Dziłie moŝei i dzielei z udziłem liczb dodtich i ujemych opisują przykłdy: Iloczy dwóch liczb dodtich (sytucj oczywist). ( 6) 0 Iloczy dwóch liczb ujemych wyik m zk dodti ( dw miusy dją plus ). ( ) 7 9 lub 7 6 Iloczy liczby ujemej i dodtiej (lub dodtiej i ujemej ) wyik m zk ujemy ( mius i plus dją mius ). : lub Ilorz dwóch liczb dodtich (sytucj oczywist). : ( ) 7 lub 7 Ilorz dwóch liczb ujemych wyik m zk dodti ( dw miusy dją plus ). : ( ) lub 9 6 Ilorz liczby ujemej i dodtiej (lub dodtiej i ujemej ) wyik m zk ujemy ( mius i plus dją mius ). UWAGA! W przypdku większej ilości czyików postępujemy według zsdy: Jeśli w dziłiu (moŝei lub dzielei) występuje przyst ilość zków mius, to wyik dziłi jest dodti. Jeśli w dziłiu (moŝei lub dzielei) występuje ieprzyst ilość zków mius, to wyik dziłi jest ujemy. N przykłd: ( ) ( ) 0 - w dziłiu występują trzy zki mius (liczb ieprzyst), więc wyik jest ujemy. ( 6) ( 0) ( ) : - w dziłiu występują cztery zki mius (przyst), więc wyik jest dodti. 6. Ułmek zwykły i dziesięty. Ułmek zwykły: liczik kresk ułmkow miowik Ułmek zwykły moŝ zilustrowć w stępujący sposób: cłą figurę dzielimy pięć rówych części. Jeśli wybierzemy trzy części spośród pięciu, ozcz to, Ŝe wybrliśmy cłej figury.

5 Zmi postci ułmk zwykłego: Skrcie ułmk. NleŜy liczik i miowik podzielić przez tą smą liczbę. N przykłd: 6 Rozszerzie ułmk. NleŜy liczik i miowik pomoŝyć przez tą smą liczbę. N przykłd: 7 : : 9 9 Wyłączie cłości (zmi ułmk iewłściwego do postci liczby mieszej). Dzielimy liczik przez miowik. Reszt z dzielei zostje zpis jko liczik ułmk. bo gdy podzielimy : otrzymmy cłości i resztę (reszt to liczik ułmk, miowik pozostwimy bez zmi). bo gdy podzielimy : (dzieleie moŝ wykoć pisemie) otrzymmy cłości i resztę (reszt to liczik ułmk, miowik pozostwimy bez zmi). Zmi liczby mieszej do postci ułmk iewłściwego. Aby wyliczyć wrtość owego liczik ułmk, moŝymy część cłkowitą przez miowik ułmk i dodjemy stry liczik. N przykłd: Ułmek dziesięty: 7 + Ułmek zwykły o miowiku 0, 00, 000, 0000 itd. moŝ zpisć jko ułmek dziesięty. N przykłd: , 0, 9,, 7 0, Istieją ułmki dziesięte okresowe, czyli tkie, w którym w części ułmkowej pew sekwecj cyfr powtrz się w kółko. przykłd: 0, zpisujemy wówczs w uproszczeiu 0,(7); 0,66666 zpisujemy 0,(6). Njbrdziej ze ułmki dziesięte okresowe: 0,... 0( ) 0, , ( 6) 0,... 0, ( ) 9 Nzwy cyfr w zpisie liczby w systemie dziesiętym: cyfr dziesiątek tysięcy cyfr tysięcy cyfr setek 607,9 cyfr dziesiątek cyfr jedości cyfr części dziesiątych cyfr części tysięczych cyfr części setych Liczbę w systemie dziesiętym moŝ zpisć z pomocą jej cyfr, jko stępujące dziłie:

6 Zmi ułmk zwykłego dziesięty: Aby zmieić ułmek zwykły dziesięty moŝ wybrć jede ze sposobów: Rozszerzmy ułmek, tk, by miowikiem zostł liczb 0, 00, 000, 0000 itd. N przykłd: , 6 0, 9 0, Pisemie dzielimy liczik przez miowik, tk, by otrzymć wyik w postci dziesiętej. Jeśli zmieimy liczbę zpisą w postci mieszej (liczb cłkowit i ułmek) moŝ przed wykoiem dziłi pisemego zmieić liczbę do postci iewłściwej (ptrz drugi przykłd. Uwg! W wyiku dziłi pisemego moŝemy otrzymć dziesięty ułmek okresowy. N przykłd: 6 Zmi ułmk dziesiętego zwykły: : 6 0,,..., Ułmek dziesięty zpisujemy w postci zwykłej i skrcmy liczik z miowikiem (jeśli jest to moŝliwe). N przykłd: 9 0, 6, 6 6, 0, PrzybliŜei dziesięte liczb zokrąglie ułmk dziesiętego. Liczbę zpisą w postci dziesiętej moŝ zpisć w przybliŝeiu. Dokouje się tego przez pomiięcie iepotrzebych cyfr. Dokłdość przybliŝei moŝe być pod poprzez wskzie tej cyfry, któr m pozostć jko ostti. N przykłd: Jeśli liczbę,76 chcemy zpisć z dokłdością do części setych (z dokłdością do dwóch miejsc po przeciku), leŝy sksowć cyfry o miejszym zczeiu iŝ cyfr części setych, czyli cyfry i 6 (cyfr części tysięczych i części dziesięciotysięczych). Otrzymujemy więc: cyfr części setych,76,7 W powyŝszym przykłdzie cyfrą o jwiększym zczeiu, którą sksowliśmy był cyfr części tysięczych, czyli. Jest to cyfr iewielk, lecz moŝe się zdrzyć, Ŝe usuw cyfr moŝe być duŝ. N przykłd: Jeśli liczbę,96 chcemy zpisć z dokłdością do części dziesiątych (z dokłdością do jedego miejsc po przeciku), wówczs usuwą cyfrą o jwiększym zczeiu będzie 9. Wówczs po usuięciu iepotrzebych cyfr, leŝy osttią pozostwio cyfrę powiększyć o. Tk sytucj zchodzić będzie, gdy usuwą cyfrą o jwiększym zczeiu będzie jed z cyfr, 6, 7, lub 9. W przypdku miejszych cyfr przybliŝeie wykoujemy tk jk w przykłdzie pierwszym tylko poprzez usuięcie cyfr. cyfr części dziesiątych cyfry do usuięci,96, ( ) usuw cyfr o jwiększym zczeiu usuw cyfr o jwiększym zczeiu 0 cyfry do usuięci cyfr powiększo o W przypdku, gdy dokłdość przybliŝei dotyczy cyfr części cłkowitej liczby, leŝy usuwe cyfry części cłkowitej zstąpić zermi. N przykłd: Gdy liczbę 6969 leŝy zpisć z dokłdością do tysięcy, wykoujemy czyości: cyfr tysięcy cyfry do usuięci usuw cyfr o jwiększym zczeiu zer zstępujące cyfry cyfr powiększo o 6

7 7. Cyfry rzymskie. Do zpisu liczb z pomocą symboli rzymskich uŝywmy siedmiu symboli. Nie moŝ uŝyć obok siebie więcej iŝ trzech idetyczych symboli. Nie moŝ zpisć liczby jko IIII; by zpisć liczbę leŝy uŝyć IV czyli cyfr pomiejszo o. Podobie zpis XC ozcz dziłie 00 0, czyli 90. Podstwowe symbole: I V X 0 L 0 C 00 D 00 M 000 Przykłdy zpisu liczb II XI LXXXVIII III XVI 6 XC 90 IV XX 0 CXXXV VI 6 XXX 0 CCXXIV VII 7 XL 0 CD 00 VIII XLVII 7 CM 900 IX 9 XLIX 9 MMMCDXLVIII. Oś liczbow. Oś liczbow to prost z zzczoym kierukiem (strzłk), puktem zerowym i wyzczoą jedostką (jczęściej zzczoą liczbą ). Oś liczbow słuŝy do prezetcji grficzej liczb rzeczywistych (zzczi liczb rzeczywistych) Cechy podzielości. Cech podzielości liczby przez liczb turl jest podziel przez dw (jest przyst), jeśli cyfrą jedości tej liczby jest 0,,, 6 lub. N przykłd: Liczb 60 jest podziel przez dw bo osttią cyfrą w zpisie (cyfrą jedości) jest. Cech podzielości liczby przez liczb turl jest podziel przez trzy, jeśli sum jej cyfr jest podziel przez. N przykłd: Liczb 60 jest podziel przez trzy, bo gdy dodmy jej cyfry otrzymmy Liczb 7 jest podziel przez, więc liczb 60 rówieŝ jest podziel przez. Cech podzielości liczby przez liczb turl jest podziel przez cztery, jeśli liczb utworzo z cyfry dziesiątek i cyfry jedości jest podziel przez. N przykłd: Liczb 706 jest podziel przez cztery, bo liczb 6 (dwie osttie cyfry) jest podziel przez. Cech podzielości liczby przez liczb turl jest podziel przez pięć, jeśli cyfrą jedości tej liczby jest 0 lub. N przykłd: Liczb 77 jest podziel przez pięć bo osttią cyfrą w zpisie (cyfrą jedości) jest. Cech podzielości liczby przez 6 liczb turl jest podziel przez sześć, jeśli jest podziel przez dw i przez trzy (zgodie z wcześiejszymi cechmi podzielości). Cech podzielości liczby przez 9 liczb turl jest podziel przez dziewięć, jeśli sum jej cyfr jest podziel przez 9. N przykłd: Liczb 6 jest podziel przez dziewięć, bo gdy dodmy jej cyfry otrzymmy Liczb 7 jest podziel przez 9, więc liczb 6 rówieŝ jest podziel przez 9. Cech podzielości liczby przez 0 liczb turl jest podziel przez dziesięć, jeśli cyfrą jedości tej liczby jest 0. N przykłd: Liczb 660 jest podziel przez dziesięć, bo osttią cyfrą w zpisie (cyfrą jedości) jest Dziłie potęgowi. Defiicj potęgi o wykłdiku turlym. Potęgą o wykłdiku turlym zywmy dziłie, w którym: czyików R, 0 R N dowol liczb rzeczywist liczb turl - symbol leŝy R zbiór liczb rzeczywistych N zbiór liczb turlych - symbol róŝe 7

8 Tbliczk potęgowi. Kwdrt liczb turlych Kwdrt liczb turlych Sześci liczb turlych Potęgi liczby Defiicj potęgi o wykłdiku cłkowitym ujemym. Potęgą o wykłdiku cłkowitym ujemym zywmy dziłie, w którym: R, 0, N dowol liczb rzeczywist liczb turl - symbol leŝy R zbiór liczb rzeczywistych N zbiór liczb turlych - symbol róŝe Potęgowie liczb ujemych: Potęgowie liczb ujemych odbyw się według zsdy: ) jeśli wykłdik potęgi jest liczbą przystą, to wyik potęgowi będzie liczbą dodtią. N przykłd: ( ) 6, ( ), ( ) b) jeśli wykłdik potęgi jest liczbą ieprzystą, to wyik potęgowi będzie liczbą ujemą. N przykłd: ( ), ( ), ( ) UWAGA! Potęgując liczbę ujemą lub ułmek zwykły, leŝy zpisć tą liczbę w wisie! Gdy wisu brk, otrzymujemy zupełie ie dziłie. Przykłdy: ( ) 7, le, 6 le 7. Dziłie pierwistkowi. Defiicj pierwistk kwdrtowego z liczby ieujemej. Pierwistkiem kwdrtowym z liczby ieujemej zywmy dziłie, w którym: x, wtedy, gdy x, 0 Defiicj pierwistk sześcieego. Pierwistkiem sześcieym z liczby zywmy dziłie, w którym: x, wtedy, gdy x

9 Podczs pierwistkowi liczb cłkowitych korzystmy z tbliczki potęgowi. Przykłdy:, bo 6 6, bo 6 6 7, bo , bo ( 0) 000. Dziłi ułmkch zwykłych. Dodwie ułmków zwykłych. NleŜy wykoć koleje czyości: ) sprowdzić ułmki do wspólego miowik. b) dodć części cłkowite liczb i licziki części ułmkowych. Miowik ie uleg zmiie. c) jeśli część ułmkow jest zpis w postci iewłściwej (liczik większy od miowik) leŝy wyłączyć cłość i dodć ją do części cłkowitej. d) jeśli jest to moŝliwe leŝy skrócić część ułmkową (rzdko się zdrz). Przykłd: Odejmowie ułmków zwykłych. NleŜy wykoć koleje czyości: ) sprowdzić ułmki do wspólego miowik. b) jeśli liczik pierwszego ułmk jest miejszy od liczik ułmk drugiego leŝy zmieić jedą cłość części ułmkowe ( zsdzie zmiy liczby mieszej do postci ułmk iewłściwego). Jeśli liczik pierwszego ułmk jest większy od liczik ułmk drugiego od rzu relizujemy stępą czyość (podpukt c). c) odjąć części cłkowite liczb i licziki części ułmkowych. Miowik ie uleg zmiie. d) jeśli jest to moŝliwe leŝy skrócić część ułmkową (rzdko się zdrz). Przykłd: MoŜeie ułmków zwykłych. NleŜy wykoć koleje czyości: ) części cłkowite liczb zmieić do postci ułmk (zmi do postci iewłściwej). b) skrócić liczik pierwszego ułmk z miowikiem ułmk drugiego i miowik pierwszego ułmk z liczikiem drugiego. c) pomoŝyć licziki ułmków (skrócoe) i miowiki ułmków (skrócoe). d) wyłączyć cłości. Przykłd: Sytucj szczegól: Dzieleie ułmków zwykłych. NleŜy wykoć koleje czyości: ) części cłkowite liczb zmieić do postci ułmk (zmi do postci iewłściwej). b) odwrócić dzielik, czyli zmieić miejscmi liczik i miowik w drugiej liczbie. Rówocześie zmieić dziłie dzieleie moŝeie. c) skrócić liczik pierwszego ułmk z miowikiem ułmk drugiego i miowik pierwszego ułmk z liczikiem drugiego. d) pomoŝyć licziki ułmków (skrócoe) i miowiki ułmków (skrócoe). e) wyłączyć cłości. Przykłd: : :

10 Sytucj szczegól: 6 6 : : Potęgowie ułmków zwykłych (wykłdik turly). NleŜy wykoć koleje czyości: ) część cłkowitą podstwy potęgi zmieić do postci ułmk (zmi do postci iewłściwej). b) podieść do potęgi liczik ułmk i podieść do potęgi miowik ułmk. c) wyłączyć cłości. Przykłd: Potęgowie ułmków zwykłych (wykłdik cłkowity ujemy). NleŜy wykoć koleje czyości: ) część cłkowitą podstwy potęgi zmieić do postci ułmk (zmi do postci iewłściwej jeśli zjdzie tk potrzeb). b) podieść do potęgi liczik ułmk i podieść do potęgi miowik ułmk i rówocześie odwrócić liczbę (zmieić miejscmi liczik i miowik) c) wyłączyć cłości (jeśli zjdzie tk potrzeb). Przykłdy: 7 Pierwistkowie ułmków zwykłych. NleŜy wykoć koleje czyości: ) część cłkowitą liczby podpierwistkowej zmieić do postci ułmk (zmi do postci iewłściwej). b) wykoć osobo pierwistkowie liczik ułmk i miowik ułmk (jeśli pierwistek jest liczbą iewymierą ie wykoujemy pierwistkowi w wyiku zpisujemy liczbę w postci dziłi pierwistkowi). c) wyłączyć cłości. Przykłd: 6 Sytucj szczegól (gdy trzeb usuąć iewymierość z miowik): UWAGA! Dziłi ułmkch zwykłych z udziłem liczb ujemych wykouje się zgodie z zsdmi określoymi w pukcie.. Dziłi piseme liczbch turlych i ułmkch dziesiętych. Dodwie: Ułmki dziesięte zpisujemy przeciek pod przecikiem. N przykłd: 0 + 6,7 +,96 69, ,7 +,96 69,706 0

11 Odejmowie: Ułmki dziesięte zpisujemy przeciek pod przecikiem. NleŜy pmiętć o koieczości poŝyczi jedostki z cyfry wyŝszej i zmieić 0 jedostek cyfry iŝszej, gdy zchodzi tk potrzeb. N przykłd: ,7 90, 7, ,70 90, 7, MoŜeie: Ułmki dziesięte zpisujemy tk, by osttie cyfry w zpisie obu liczb zlzły się jed pod drugą. W przypdku, gdy moŝymy ułmki dziesięte, ilość cyfr po przeciku w wyiku dziłi powi być sumą ilości cyfr po przeciku w obu czyikch. MoŜeie wykoujemy tk, jk w przykłdch: ,9,6 0, ,, ,0 0 Dzieleie: Podczs dzielei liczby przez ułmek dziesięty leŝy jpierw przesuąć przeciek w obu liczbch, tk by dzielik (drug liczb) był cłkowit. Dzieleie wykoujemy tk, jk w przykłdch: 6 : 9, 7 : 6,79 : 0, 67,9 : 6,97 9, 6 : : ,97 67,9 : UWAGA! Dziłi piseme moŝ wykoywć tylko liczbch dodtich. Wyik odejmowi teŝ musi być liczbą dodtią (ie moŝ od liczby miejszej odjąć większej). Aby wykoć dziłie liczbch ujemych trzeb jpierw ustlić zk wyiku, stępie umiejętie wybrć dziłie piseme prowdzące do wyliczei odpowiediej wrtości zgodie z zsdmi określoymi w pukcie.. MoŜeie ułmków dziesiętych przez 0, 00, 000, 0000 itd. MoŜąc ułmek dziesięty przez 0, 00, 000, 0000 itd. przesuwmy przeciek w prwo o tyle miejsc, ile zer występuje w liczbie, przez którą moŝymy. N przykłd:,6 0,6 0,7 00,7 9, Dzieląc ułmek dziesięty przez 0, 00, 000, 0000 itd. przesuwmy przeciek w lewo o tyle miejsc, ile zer występuje w dzieliku, przez który dzielimy. N przykłd:, : 0,,6 : 00 0,06 0,0 : 000 0,0000

12 . Porówywie liczb. Do porówywi liczb uŝywmy zków: > zk większości < zk miejszości zk rówości Porówywie liczb cłkowitych: Wśród liczb turlych obowiązuje porządek rosący: 0,,,,,, 6, 7,, 9, 0,,, itd Wśród liczb cłkowitych ujemych porządek jest odwroty w porówiu z odpowidjącymi im liczbmi dodtimi przeciwymi. Np.: 6 > 7 bo 6 < 7 > bo < < - bo > KŜd liczb dodti jest większ od ujemej. Np. >, 0 >, 7, > 0,, >, 7 Zero jest większe od kŝdej liczby ujemej. Zero jest miejsze od kŝdej liczby dodtiej. Np.: 0 >, 0 >,7 0 > 6, 0 <, 0 <,6, 0 < Porówywie ułmków zwykłych: Z dwóch dodtich ułmków o tych smych miowikch większy jest te, który m większy liczik. Jeśli ułmki mją róŝe miowiki moŝ sprowdzić je do wspólego miowik. Przykłdy: 9 9 > < >, bo > (wspóly miowik) UWAGA! W przypdku liczb ujemych porządek jest odwroty w porówiu z odpowidjącymi im liczbmi dodtimi przeciwymi. Np.: 7 7 >, bo < Porówywie ułmków dziesiętych: Porówując ułmki dziesięte sprwdzmy jpierw części cłkowite liczby, potem kolejo poszczególe cyfry zczyjąc od cyfry części dziesiątych (pierwsze miejsce po przeciku). Np.:,7 < 7,7 bo podczs sprwdzi róŝic widocz jest w częścich cłkowitych liczb (cyfr po przeciku juŝ ie sprwdzmy)., <,6 bo podczs sprwdzi odjdujemy róŝicę drugim miejscu po przeciku (dlszych cyfr juŝ ie sprwdzmy).,7 >,7 bo podczs sprwdzi odjdujemy róŝicę trzecim miejscu po przeciku (dlszych cyfr juŝ ie sprwdzmy). 0,() > 0, bo 0, > 0,00000 bo ułmek okresowy m w rozwiięciu dziesiętym ieskończeie wiele cyfr, więc juŝ drugim miejscu po przeciku odjdujemy róŝicę. UWAGA! W przypdku liczb ujemych porządek jest odwroty w porówiu z odpowidjącymi im liczbmi dodtimi przeciwymi. Np.: 0, > 0, 7, bo 0, < 0, 7 Porówywie ułmków dziesiętych ze zwykłymi: Aby porówć ułmek dziesięty ze zwykłym, leŝy zmieić ułmek dziesięty do postci zwykłej lub ułmek zwykły do postci dziesiętej. Nstępie porówć, tk jk w przykłdch powyŝej.

13 6. Potęgowie i pierwistkowie ułmków dziesiętych. Gdy potęgujemy ułmek dziesięty potęgą stopi drugiego (kwdrt), postępujemy według zsd: ) korzystmy z tbliczki potęgowi, tk jkby liczb ie był ułmkiem dziesiętym (igorujemy przeciek i zer w zpisie liczby). b) zpisujemy przeciek w wyiku w tkim miejscu, by ilość miejsc po przeciku wzrosł dwukrotie. Przykłdy: 0, 0, 0,007 0,00009,,96 jedo miejsce dw miejsc trzy miejsc sześć miejsc jedo miejsce dw miejsc po przeciku po przeciku po przeciku po przeciku po przeciku po przeciku Gdy potęgujemy ułmek dziesięty potęgą stopi trzeciego (sześci), postępujemy według zsd: ) korzystmy z tbliczki potęgowi, tk jkby liczb ie był ułmkiem dziesiętym (igorujemy przeciek i zer w zpisie liczby). b) zpisujemy przeciek w wyiku w tkim miejscu, by ilość miejsc po przeciku wzrosł trzykrotie. Przykłdy: 0, 0,00 0,0 0,000 0,00 0, jedo miejsce trzy miejsc dw miejsc sześć miejsc trzy miejsc dziewięć miejsc po przeciku po przeciku po przeciku po przeciku po przeciku po przeciku Gdy pierwistkujemy ułmek dziesięty pierwistkiem stopi drugiego (kwdrtowym), postępujemy według zsd: ) pierwistkujemy liczbę, tk jkby ie był ułmkiem dziesiętym (igorujemy przeciek i zer w zpisie liczby). b) zpisujemy przeciek w wyiku w tkim miejscu, by ilość miejsc po przeciku zmiejszył się dwukrotie. Przykłdy: 0, 0 0, 0, 00 0, 09 0, , 00 dw miejsc jedo miejsce cztery miejsc dw miejsc osiem miejsc cztery miejsc po przeciku po przeciku po przeciku po przeciku po przeciku po przeciku Gdy pierwistkujemy ułmek dziesięty pierwistkiem stopi trzeciego (sześcieym), postępujemy według zsd: ) pierwistkujemy liczbę, tk jkby ie był ułmkiem dziesiętym (igorujemy przeciek i zer w zpisie liczby). b) zpisujemy przeciek w wyiku w tkim miejscu, by ilość miejsc po przeciku zmiejszył się trzykrotie. Przykłdy: 0, 00 0, 0, 07 0, 0, 000 0, 0 trzy miejsc jedo miejsce trzy miejsc jedo miejsce sześć miejsc dw miejsc po przeciku po przeciku po przeciku po przeciku po przeciku po przeciku UWAGA! Jeśli podczs pierwistkowi ie d się zstosowć powyŝszych zsd, to zczy, Ŝe wyik jest iewymiery. 7. Prw dziłń potęgch i pierwistkch. Prwo moŝei potęg o tych smych podstwch: k + k dowol liczb rzeczywist róŝ od zer., k dowole liczby cłkowite. MoŜąc potęgi o tej smej podstwie dodjemy ich wykłdiki. Przykłd: 7

14 Prwo dzielei potęg o tych smych podstwch: : k k dowol liczb rzeczywist róŝ od zer., k dowole liczby cłkowite. Dzieląc potęgi o tej smej podstwie odejmujemy ich wykłdiki. 9 0 Przykłdy: : 9 Prwo moŝei potęg o tych smych wykłdikch (prwo potęgowi iloczyu): b ( b), b dowole liczby rzeczywiste róŝ od zer. dowol liczb cłkowit. MoŜąc potęgi o tym smym wykłdiku moŝ jpierw pomoŝyć ich podstwy Przykłd: UWAGA! Jeśli zpiszemy prwo zmieijąc jego stroy, otrzymmy prwo potęgowi iloczyu, czyli prwo rozdzielości potęgowi względem moŝei. ( b ) b Prwo dzielei potęg o tych smych wykłdikch (prwo potęgowi ilorzu): ( b) : b :, b dowole liczby rzeczywiste róŝ od zer. dowol liczb cłkowit. Dzieląc potęgi o tym smym wykłdiku moŝ jpierw podzielić ich podstwy. 6 6 : Przykłdy: 7 6 ( 7 : 6 ) UWAGA! Jeśli zpiszemy prwo zmieijąc jego stroy, otrzymmy prwo potęgowi ilorzu, czyli prwo rozdzielości potęgowi względem dzielei. Prwo potęgowi potęgi: b b k k ( ) Potęgując potęgę moŝ pomoŝyć wykłdiki. dowol liczb rzeczywist róŝ od zer., k dowole liczby cłkowite. Przykłd: ( ) 6 6 Prwo potęgowi pierwistk (pierwistkowi potęgi): lbo dowol liczb rzeczywist dodti. dowol liczb turl większ od. Potęg i pierwistek tego smego stopi wzjemie się skrcją. UWAGA! Prwo jest prwdziwe tylko dl liczb dodtich! Przykłd:

15 Prwo moŝei pierwistków tego smego stopi: b b, b dowole liczby rzeczywiste dodtie. dowol liczb turl większ od. MoŜąc pierwistki tego smego stopi moŝ jpierw pomoŝyć liczby podpierwistkowe. Przykłd: UWAGA! Jeśli zpiszemy prwo zmieijąc jego stroy, otrzymmy prwo pierwistkowi iloczyu, czyli prwo rozdzielości pierwistkowi względem moŝei. Prwo dzielei pierwistków tego smego stopi: b b : b : b, b dowole liczby rzeczywiste dodtie. dowol liczb turl większ od. Dzieląc pierwistki tego smego stopi moŝ jpierw podzielić liczby podpierwistkowe. Przykłd: : 7 UWAGA! Jeśli zpiszemy prwo zmieijąc jego stroy, otrzymmy prwo pierwistkowi ilorzu, czyli prwo rozdzielości pierwistkowi względem dzielei. b b. Pierwistkowie, liczby iewymiere zmi postci liczby iewymierej. Pierwistkowie jest dziłiem, które często prowdzi do otrzymywi liczb iewymierych. Liczby iewymiere to te, których ie moŝ zpisć w postci ułmk zwykłego. Wrtości tych liczb moŝ podć tylko w przybliŝeiu, więc często prezetuje się je z pomocą dziłi (pierwistkowi, logrytmu), wrtości fukcji (fukcje trygoometrycze) lub ukryw się je pod symbolmi literowymi (p. )., Przykłdy liczb iewymierych otrzymywych drodze pierwistkowi: 7, Wyłączie czyik spod zku pierwistk., W przypdku, gdy pierwistkowie liczby cłkowitej prowdzi do otrzymi wyiku w postci liczby iewymierej, korzystmy z prw rozdzielości pierwistkowi względem moŝei, by zpisć dziłie w postci iloczyu liczby cłkowitej i pierwistk. Wykoujemy kolejo czyości: ) Rozkłdmy liczbę podpierwistkową dw czyiki. Pierwszy czyik musi być liczbą, z której moŝ obliczyć cłkowity pierwistek (zgodie z tbliczką potęgowi tymi liczbmi mogą być w przypdku pierwistk kwdrtowego, 9, 6,, 6, 9, 6 itd, w przypdku pierwistk sześcieego, 7, 6, itd ). Drugi czyik powiie być moŝliwie jk jmiejszy. b) Pierwistkujemy pierwszy czyik i zpisujemy go przed pierwistkiem z drugiego czyik. Przykłd: Usuwie iewymierości z miowik. W przypdku, gdy wyik dziłi otrzymmy w postci ułmk z liczbą iewymierą w postci pierwistk stopi drugiego w miowiku, leŝy usuąć te pierwistek z miowik wykoując czyości: ) rozszerzmy ułmek przez liczbę zpisą w postci pierwistk, któr zjduje się w miowiku (moŝymy liczik i miowik przez te pierwistek). b) wykoujemy odpowiedie dziłi w licziku i miowiku ułmk. c) skrcmy ułmek (jeśli jest to moŝliwe). Przykłd:

16 W przypdku, gdy wyik dziłi otrzymmy w postci ułmk z liczbą iewymierą w postci pierwistk stopi trzeciego w miowiku, leŝy usuąć te pierwistek z miowik wykoując czyości: ) rozszerzmy ułmek przez liczbę, któr jest kwdrtem liczby zpisej w miowiku w postci pierwistk (moŝymy liczik i miowik przez te pierwistek). b) wykoujemy odpowiedie dziłi w licziku i miowiku ułmk. c) skrcmy ułmek (jeśli jest to moŝliwe). Przykłd: W przypdku, gdy w miowiku ułmk zjduje się wyrŝeie w postci sumy lub róŝicy liczb z udziłem liczb iewymierych zpisych w postci pierwistk kwdrtowego, leŝy usuąć te pierwistki z miowik wykoując czyości: ) rozszerzmy ułmek przez wyrŝeie, które zjduje się w miowiku ułmk, zmieijąc jedyie zk + zk, lbo zk zk + (moŝymy liczik i miowik przez to wyrŝeie. b) wykoujemy odpowiedie dziłi w licziku i miowiku ułmk. c) skrcmy ułmek lub wykoujemy odpowiedie dzieleie (jeśli jest to moŝliwe). Przykłd: 6 6 ( + ) ( ) ( + ) Nzywie i odczytywie liczb wielocyfrowych. Notcj wykłdicz. Liczby wielocyfrowe o duŝych wrtościch: Nzwy liczb będących potęgmi liczby jede dziesięć milirdów 0 0 dziesięć sto milirdów 00 0 sto bilio tysiąc bilird dziesięć tysięcy trylio sto tysięcy trylird milio kwdrylio dziesięć milioów kwitylio sto milioów milird itd Ilość zer w zpisie powyŝszych liczb, to wykłdik potęgi liczby 0 w zpisie wykłdiczym. Aby odczytć liczbę wielocyfrową stosujemy zwy cyfr zgodie z powyŝszą tbelą, p.: to trzydzieści cztery milirdy dziewięćset osiemdziesiąt dw milioy siedemset tysięcy to dw bilioy trzyst jede milirdów siedemset pięćdziesiąt milioów Liczby wielocyfrowe o młych wrtościch: Nzwy liczb będących potęgmi liczby 0 0, 0 - jed dziesiąt 0, jed stumilirdow 0,0 0 - jed set 0, jed bilioow 0, jed tysięcz 0, jed dziesięciobilioow 0, jed dziesięciotysięcz 0, jed stubilioow 0, jed stutysięcz 0, jed trylioow 0, jed milioow 0, jed dziesięciotrylioow 0, jed dziesięciomilioow 0, jed stumilioow itd 0, jed milirdow 0, jed dziesięciomilirdow Ilość zer w zpisie powyŝszych liczb, to wrtość wykłdik potęgi liczby 0 w zpisie wykłdiczym (zpisego z miusem). 6

17 Aby odczytć liczbę wielocyfrową stosujemy zwy cyfr zgodie z powyŝszą tbelą, p.: 0, to czterdzieści osiem stumilioowych. 0, to dw tysiące dziewięćset pięćdziesiąt siedem dziesięciomilirdowych Notcj wykłdicz to uproszczoy zpis liczb wielocyfrowych Zpis liczby w otcji wykłdiczej:, 0 liczb dziesięt większ od i miejsz iŝ 0 Przykłd : Aby zpisć liczbę z pomocą otcji wykłdiczej, leŝy: ) wstwić przeciek w tej liczbie tk, by zjdowł się po jego lewej stroie tylko jed cyfr (róŝ od zer):, b) pomijmy zer w zpisie liczby (ie są potrzebe):, c) liczymy ilość cyfr, które zlzły się po prwej stroie przecik (włączie ze skreślymi zermi):, d) zpisujemy liczbę w otcji wykłdiczej, gdzie liczb 0 podiesio jest do potęgi, której wykłdik jest ilością cyfr odkreśloych przecikiem:,7 0 moŝeie Przykłd : Aby zpisć liczbę 0, z pomocą otcji wykłdiczej, leŝy: ) przesuąć przeciek w tej liczbie tk, by zjdowł się po jego lewej stroie tylko jed cyfr (róŝ od zer): ,6 b) pomijmy zer w zpisie liczby (ie są potrzebe): ,6 potęg liczby dziesięć jedeście cyfr (miejsc po przeciku) c) liczymy ilość cyfr, które omięliśmy przesuwjąc przeciek (włączie ze skreślymi zermi). MoŜ zuwŝyć, Ŝe ilość tych cyfr jest rów ilości zer zjdujących się przed cyfrą ,6 osiem cyfr (siedem zer i czwórk) d) zpisujemy liczbę w otcji wykłdiczej, gdzie liczb 0 podiesio jest do potęgi, której wykłdik jest ilością cyfr omiiętych przecikiem zpisą ze zkiem mius:,6 0 - Przykłd : Przypdki szczególe. W liczbch lub 0, w zpisie z pomocą otcji wykłdiczej ie będzie występowć przeciek: ,

18 0. WŜe pojęci rytmetycze i sttystycze. Stosuek dwóch wielkości (stosuek dwóch liczb) to ilorz dwóch wielkości. N przykłd stosuek liczb i 7 to: lub : 7. Stosuek dwóch liczb mówi m ile rzy jed liczb jest większ od drugiej lub jką częścią jedej wielkości jest 7 drug. Średi rytmetycz liczb to sum tych liczb podzielo przez ich ilość. N przykłd: Średi rytmetycz liczb,,, -,, 0 i i wyosi: ( ) Średi rytmetycz jest często wykorzystyw do obliczi średiej oce szkolych. Medi liczb to środkow liczb w rosącym ciągu liczb, lub średi rytmetycz dwóch środkowych liczb w rosącym ciągu liczb. Aby policzyć medię kilku liczb, leŝy: ) UłoŜyć wszystkie liczby w kolejości od jmiejszej do jwiększej, b) Policzyć ilość wszystkich liczb, c) Jeśli ilość liczb jest ieprzyst odjdujemy liczbę, któr stoi dokłdie w środku liczb t to medi, d) Jeśli ilość liczb jest przyst odjdujemy dwie liczby leŝące dokłdie w środku i obliczmy ich średią rytmetyczą wyik średiej rytmetyczej to medi. Przykłd: Aby obliczyć średią rytmetyczą liczb: 9,, 6,,,,, 6,, -,,,, -, -6 ustwim je w kolejości od jmiejszej do jwiększej: -6, -, -,,,,,,,,,, 6, 6, 9. Liczę ilość liczb: jest ich. Środkow liczb zjduje się miejscu ósmym. Medi to liczb. Aby obliczyć średią rytmetyczą liczb:,, -,,, 6, 9, 0,, - ustwim je w kolejości od jmiejszej do jwiększej: -, -,,, 6,,, 9, 0,. Liczę ilość liczb: jest ich 0. Dwie środkowe liczby zjdują się miejscch piątym i szóstym. Są to liczby 6 i. Obliczm ich średią rytmetyczą: Medi to liczb 7. Wrtość bezwzględ liczby. Wrtość bezwzględ liczby (dw zw to moduł ), to dziłie określe w stępujący sposób: ) Wrtość bezwzględ z liczby dodtiej lub zer to t sm liczb, p.: , 7, 7 b) Wrtość bezwzględ z liczby ujemej, to przeciw do iej liczb dodti, p.: , 6, Wrtość bezwzględą moŝ iterpretowć jko odległość liczby od zer osi liczbowej: -, 0 Odległość liczby, od zer osi liczbowej wyosi,, czyli,, Odległość liczby od zer osi liczbowej wyosi, czyli Część liczby. Aby obliczyć część (ułmek) dej wielkości (liczby), leŝy wykoć moŝeie pomiędzy ułmkiem określjącym wielkość części orz dą wielkością (liczbą). Np.: Aby obliczyć liczby 69 wykoujemy dziłie: 69 6 Aby obliczyć szóstą część liczby 7 wykoujemy dziłie: 7 6

19 Ile rzy jed liczb jest większ od drugiej? Aby obliczyć, ile rzy jed liczb jest większ od drugiej, obliczmy stosuek tych liczb. Np.: Ile rzy liczb 60 jest większ iŝ? Wykoujemy dziłie 60 :. Odpowiedź: liczb 60 jest cztery rzy większ od liczby. Ile rzy liczb 7, jest większ iŝ,? Wykoujemy dziłie 7, :,,. Odpowiedź: liczb 7, jest cztery i osiem dziesiątych rzy większ od liczby,. O ile jed liczb jest większ od drugiej? Aby obliczyć, o ile jed liczb jest większ od drugiej, obliczmy róŝicę tych liczb. Np.: O ile liczb 60 jest większ iŝ? Wykoujemy dziłie 60. Odpowiedź: liczb 60 jest o czterdzieści pięć większ od liczby. O ile liczb 7, jest większ iŝ,? Wykoujemy dziłie 7,,, 7. Odpowiedź: liczb 7, jest o pięć i siedem dziesiątych większ od liczby,. Oprcowł: Pweł Górlczyk Wszelkie prw zstrzeŝoe Gimzjum Społecze im. Ldy Sue Ryder w Woli Btorskiej 9