Plan wykładu Pole gawitacyjne d inż. Ieneusz Owczaek CMF PŁ ieneusz.owczaek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczaek 2013/14 1 Wielkości chaakteyzujace pole Pawo Gaussa wewnatz Ziemi 2 Enegia układu ciał 3 1 d inż. Ieneusz Owczaek Pole gawitacyjne 2 d inż. Ieneusz Owczaek Pole gawitacyjne Definicje Rodzaje pól to pzestzenny ozkład wielkości fizycznej. jest polem ealnie istniejacej wielkości fizycznej. W zależności od chaakteu tej wielkości ozóżnia się: pole skalane, np. pole tempeatuy lub ciśnienia, pole wektoowe gdy każdemu punktowi pzestzeni pzypisany jest pewien wekto. Pzykładem jest pole ciężkości lub pole magnetyczne, pole tensoowe, np. pole tensoa napężenia enegii w ogólnej teoii względności. Analiza pola spowadza się do badania ozkładu pola, wpowadzania wielkości chaakteyzujacych pola skalane i wektoowe oaz fomułowania ogólnych zwiazków miedzy nimi. Ze względu na ozkład pzestzenny wielkości chaakteyzujacych pole wyóżnia się: 1 pole jednoodne, 2 pole centalne, 3 pole źódłowe (lub bezźódłowe), 4 pole wiowe (lub bezwiowe). Ze względu na czasowa zmienność tych wielkości, można podzielić na 1 stacjonane (wielkość chaakteyzujaca pole w dowolnym punkcie nie zmienia się w czasie), 2 niestacjonane (zmienne w czasie). Linie pola to linie, do któych styczne w każdym punkcie maja kieunek zgodny z kieunkami sił działajacych w tym polu. 3 d inż. Ieneusz Owczaek Pole gawitacyjne 4 d inż. Ieneusz Owczaek Pole gawitacyjne
Rodzaje pól... Rodzaje pól... Pole centalne to pole fizyczne, dla któego linie pola maja pzebieg adialny - sa wszędzie postopadłe do sfeycznych izopowiezchni. Linie pzechodza pzez jeden punkt, zwany centum sił lub centum pola. Pole potencjalne to pole sił, w któym istnieje potencjałv(,t) taki, że F= dv d. Jeżeli potencjałv( ) nie zależy od czasu, to siła i odpowiednio jej pole sa zachowawcze. W polu siły zachowawczej paca wykonana na dodze między dwoma punktami pzestzeni nie zależy od kształtu dogi (pzejścia) między nimi. 5 d inż. Ieneusz Owczaek Pole gawitacyjne 6 d inż. Ieneusz Owczaek Pole gawitacyjne Ciażenie powszechne Źódła pola Pawo powszechnego ciażenia Między dowolnymi dwoma punktami mateialnymi działa siła wzajemnego pzyciagania wpost popocjonalna do iloczynu mas tych punktów i odwotnie popocjonalna do kwadatu odległości miedzy nimi lub Wielkość jest stała gawitacji. Jest to stała uniwesalna ówna liczbowo sile gawitacyjnej, jaka wywieaja na siebie dwa ciała o masie 1kg każde z odległości1m. F= G m1m2 2 F= G m1m2 2. G=6,67 10 11 m 3 kg s 2. Pole gawitacyjne jest to pzestzeń, w któej na umieszczone w niej ciała obdazone masa działa siła gawitacyjna. Pole to opisane jest pzez: 1 źódła, 2 pzestzenny ozkład wielkości chaakteyzujacych pole: natężenie, potencjał, enegię. Źódłami i obiektami oddziaływania pola gawitacyjnego sa ciała ważkie. Chaakteyzuja je ich: masy i ozmieszczenie. ρ= dm dv. 7 d inż. Ieneusz Owczaek Pole gawitacyjne 8 d inż. Ieneusz Owczaek Pole gawitacyjne
Natężenie pola Potencjał pola Miaa ilościowa pola gawitacyjnego jest jego natężeniee. Watość natężenia pola gawitacyjnego jest ówna liczbowo sile, z jaka to pole działa na punkt mateialny o masie jednostkowej F E= m = GM 3 = g Wekto natężeniae jest ównoległy do siły gawitacyjnej i jest tak samo zwócony. Natężenie pola gawitacyjnego i pzyspieszenie gawitacyjne sa okeślone tymi samymi wzoami. Wnioski Źódłem pola gawitacyjnego jest ciało o okeślonej masie, Natężenie pola gawitacyjnego jest zwócone ku masie, któa to pole wytwaza, Natężenie pola gawitacyjnego ma wymia pzyspieszenia, tj. m s 2. Wielkościa skalana chaakteyzujac a pole gawitacyjne jest potencjałv. Potencjał gawitacyjny jest to paca wykonana pzez siły gawitacji pzy pzemieszczeniu punktu mateialnego o jednostkowej masie z danego punktu pola do nieskończoności V= W m = 1 m F d = GM 1 2d= GM Znak " oznacza, że pole gawitacyjne jest polem sił pzyciagaj acych. Powiezchnie ekwipotencjalne to powiezchnie, któych wszystkie punkty maja taki sam potencjał gawitacyjny. Powiezchnie ekwipotencjalne i linie sił pzecinaja się w każdym punkcie pola pod katem postym. 9 d inż. Ieneusz Owczaek Pole gawitacyjne 10 d inż. Ieneusz Owczaek Pole gawitacyjne Enegia Stumień pola Pawo Gaussa Gdy dwa ciała o masach odpowiednio ównychm imznajduja się w odległości od siebie, wówczas ich enegia potencjalna zwiazana z oddziaływaniami gawitacyjnymi jest ówna pacy, jaka musi wykonać siła gawitacyjna, aby ozsunać te ciała na odległość nieskończenie wielka E p=w = F d = GMm d 2= GMm. Enegia potencjalna jest największa w nieskończoności i ma watość ówno zeu. Gdy ciało zbliża się do źódła pola, to jego enegia potencjalna maleje A> B 1 A < 1 B E p<0. W AB= B A F d = B A ( G Mm ) d. 2 W AB=G Mm B G Mm A =E pa E pb. 11 d inż. Ieneusz Owczaek Pole gawitacyjne Jeżeli w pzestzeni, w któej każdemu jej punktowi o współzędnychx,y,z pzypozadkowany jest wekto natężenia pola, np. E(x,y,z) pzechodzacy pzez element powiezchnids todφ= E d S. Stumień pola Φ= E d S jest wielkościa skalana opisujac a pole wektoowe oaz jego źódłowość. Jako suma stumieni czastkowych Φ i= E i S i n Φ S= E i S i. i=1 12 d inż. Ieneusz Owczaek Pole gawitacyjne
Stumień pola... Pawo Gaussa Spadek w tunelu wewnatz Ziemi Szczególnie ważnym pzypadkiem jest stumień pzechodzacy pzez powiezchnię zamknięta Φ= E d S. Jeżeli jego watość jest óżna od zea, to pole jest polem źódłowym (posiada wewnatz tej powiezchni źódło). Pzykład: Znaleźć pzyspieszenie pojazdu o masiemwzależności od jego odległości od śodka Ziemi. Jeżeli gęstość kuli jest stała to ρ= M V W pzypadku centalnego pola gawitacyjnego pawo Gaussa pzyjmuje postać E d S= 4πGM. Stumień wektoae wewnatz kuli o pomieniu to M wewn V() = M 4 3 πr3 M wewn= M R 33. Φ= 4πGM wewn E 4π 2 = 4πGM wewn. 13 d inż. Ieneusz Owczaek Pole gawitacyjne 14 d inż. Ieneusz Owczaek Pole gawitacyjne Spadek w tunelu... wewnatz Ziemi Układ słoneczny E 4π 2 = 4πGM wewn E 2 = G M R 33 E= G M R 3. Zależność pzyspieszenia gawitacyjnego od odległości od śodka Ziemi. 15 d inż. Ieneusz Owczaek Pole gawitacyjne 16 d inż. Ieneusz Owczaek Pole gawitacyjne
Pędkość kosmiczna Pędkość kosmiczna... Z ównowagi sił gawitacji i odśodkowej na obicie o pomieniu Piewsza pędkość kosmiczna G Mm =m v2 2 to najmniejsza pozioma pędkość, jaka należy nadać ciału względem pzyciagaj acego je ciała niebieskiego, aby ciało to pouszało się po zamkniętej obicie v I= G M. Ciało staje się wtedy satelita ciała niebieskiego. Enegia mechaniczna w nieskończoności ówna jest 0, zatem na powiezchni ciała niebieskiego Duga pędkość kosmiczna E= mv2 2 GMm to pędkość, jaka należy nadać obiektowi, aby opuścił na zawsze dane ciało niebieskie pouszajac się dalej uchem swobodnym v II= 2G M. =0 Pzykładowe pędkości dla: Ziemi (=R Z):7,91 km, s Księżyca:1,68 km, s Słońca:436,74 km. s Czyli jest to pędkość (ucieczki), jaka tzeba nadać obiektowi na powiezchni tego ciała niebieskiego, aby to jego uchu stał się paabola lub hipebola. W pzypadku Ziemi pędkości ta ma watość11,9 km. s 17 d inż. Ieneusz Owczaek Pole gawitacyjne 18 d inż. Ieneusz Owczaek Pole gawitacyjne Pędkość kosmiczna... Enegia mechaniczna Enegia układu ciał Tzecia pędkość kosmiczna to pędkość poczatkowa potzebna do opuszczenia Układu Słonecznego. v III=16,7 km s. Enegia potencjalna układu E p()= G Mm. W celu wyznaczenia enegii kinetycznej np. satelity na obicie kołowej G Mm =m v2 2 Czwata pędkość kosmiczna wówczas to pędkość poczatkowa potzebna do opuszczenia Dogi Mlecznej. G M =v2 v IV=130 km s. i enegia kinetyczna E k ()= 1 2 mv2 = GMm. 2 R =384000 6400 =60 T=27,3dnia=2,36 10 6 s Całkowita enegia układu ciał E()=E k ()+E GMm p()= GMm 2 E()= GMm. 2 19 d inż. Ieneusz Owczaek Pole gawitacyjne 20 d inż. Ieneusz Owczaek Pole gawitacyjne
Rodzaje obit Siła centalna Obita to to ciała niebieskiego lub sztucznego satelity każ acego wokół innego ciała niebieskiego. Ciała pouszaja się wokół wspólnego śodka masy. Pod wpływem siły centalnej ciała pouszaja się po tzw. kzywych stożkowych. Obita może być otwata (wtedy ciało nie powaca) lub zamknięta (ciało powaca), co zależy od całkowitej enegii układu. Otwate obity maja kształt hipeboli (czasem badzo bliskiej paaboli), a zamknięte obity maja kształt elipsy (okęgu). Ogólny pzypadek uchu punktu mateialnego o masiemwpolu centalnej siły zachowawczej F we współzędnych biegunowych: x=cosϕ, y=sinϕ, = x 2 +y 2, ϕ=actg y x. v 2 =v+v 2 ϕ, 2 ( ) v 2 d 2+ ( = dϕ ) 2, dt dt ( ) v 2 d 2+ = 2 ω 2. dt Z zasady zachowania momentu pędu, wynika, że jest to uch w płaszczyźnie i v L=mv ϕ=m 2 dϕ dt =m2 ω, ( v 2 d 2+ ( ) L 2. = dt) m 21 d inż. Ieneusz Owczaek Pole gawitacyjne 22 d inż. Ieneusz Owczaek Pole gawitacyjne Siła centalna... Ruch adialny Kozystajac z zasady zachowania enegii ) 2+ L 2 E=E k +E p= 1 2 m ( d dt Efektywna enegia potencjalna U ef ()= 2m 2+Ep()=1 2 m ( d dt L 2 +E p(), }{{} 2m 2 enegia odsodkowa dlatego istnieje siła odśodkowa F= d ( L 2 ) = L2. d 2m 2 m 3=mω2 ) 2+Uef (). JeśliL 0to zasada zachowania momentu pędu zapobiega zbliżeniu się ciała do źódła siły ( 0). Jednowymiaowe zagadnienie uchu adialnego E= 1 ( ) d 2+Uef 2 m (), dt można pzekształcić do postaci: d dt = 2 m (E U ef()). Pozwala to na ozdzielenie zmiennych i całkowanie zależności: t= 0 d 2 m (E U ef()). Bez dalszych achunków widać, że uch może się odbywać tylko w obszaze E U ef () 0. 23 d inż. Ieneusz Owczaek Pole gawitacyjne 24 d inż. Ieneusz Owczaek Pole gawitacyjne
Ruch adialny... Ruch katowy Jeśli moment pędu jest óżny od zea, L 0, istnieje oganiczenie na odległość najmniejszego zbliżenia ciała do centum siły: min. Jeśli całkowita enegia ciała jest mniejsza niż ganiczna watość enegii potencjalnej dla dużych odległości,e<u ef ( ), to ciało nie może dowolnie oddalić się od centum siły i uch odbywa się w oganiczonym obszaze max. Chaakte uch ciała w tym polu zależy od jego enegii całkowitej E>0 to otwaty, E<0 to zamknięty, E=E min uch po okęgu 25 d inż. Ieneusz Owczaek Pole gawitacyjne W uchu w polu sił centalnych moment pędu, jest zachowany, a pędkość katow a można wyazić ω= dϕ dt = L m 2. Można wypowadzić ównanie na to ciała we współzędnych biegunowych podstawiajac θ=ϕ= otzymuje się ozwiazanie max min p= L2 GMm 2 oaz e= (θ)= Ld m 2 2 (E U m ef()), p 1+ecosθ. 1+E 2L2 G 2 M 2 m 3, Jest to ogólne ównanie dla kzywej stożkowej (we współzędnych biegunowych). 26 d inż. Ieneusz Owczaek Pole gawitacyjne Ruch katowy... Pawa Keplea To planety zależy od enegii układu. Jeśli E>0, toe>1, co oznacza, że to jest hipebola, E=0, toe=1, co oznacza, że to jest paabola, E<0, toe<1, co oznacza, że to jest elipsa. Jedyna możliwościa odpowiadajac a oganiczonemu uchowi planety wokół gwiazdy jest elipsa, co tym samym dowodzi piewszego pawa Keplea. Piewsze pawo Keplea Każda planeta pousza się po obicie eliptycznej, w któej ognisku znajduje się Słońce. W pzypadku obity eliptycznej enegia mechaniczna satelity na obicie eliptycznej o półosi wielkieja E= GMm 2a. Równanie tou planety we współzędnych biegunowych = p 1+ecosθ gdzie jest pomieniem wodzacym, e mimośodem, p paametem elipsy. 27 d inż. Ieneusz Owczaek Pole gawitacyjne 28 d inż. Ieneusz Owczaek Pole gawitacyjne
Pawa Keplea... Pawa Keplea... Dugie pawo Keplea Pomień wodzacy planety zakeśla w ównych odstępach czasu ówne pola. Szybkość zmian pola ds dt =1 dθ 2 2 dt =1 2 2 ω, co oznacza, że pędkość polowa planety ds dt = L 2m jest wielkościa stała σ= 1 2 2 dθ dt = L 2m =const. Tzecie pawo Keplea Kwadaty okesów obiegu planet dookoła Słońca sa wpost popocjonalne do sześcianów większych półosi ich obit T 2 a 3 =const. Gdy to jest elipsa, półosie elipsy można zapisać w postaci a= p 1 e 2, Pole elipsy o półosiachaibwynosi S=πab. b= p 1 e 2. 29 d inż. Ieneusz Owczaek Pole gawitacyjne 30 d inż. Ieneusz Owczaek Pole gawitacyjne Pawa Keplea... Liteatua Ponieważ pędkość polowa planety w jej uchu wokół gwiazdy jest stała, to okes obiegu planety można obliczyć ze wzou T ds dt =πab, ( T L ) 2=π ( 2 a 2 L 2 ) 2 G 2 M 2 m 3 2m GMm 2 2L 2 E. Pzekształcajac otzymuje się okes obiegu planty wokół gwiazdy 4π T= 2 a 3 GM, lub w postaci 4π 2 GM =T2 a 3 =const. Halliday D., Resnick R, Walke J. Podstawy Fizyki t. 1-5. PWN, 2005. Paca zbioowa pod ed. A. Justa Wstęp do analizy matematycznej i wybanych zagadnień z fizyki. Wydawnictwo PŁ, Łódź 2007. Jawoski B., Dietłaf A. Kus Fizyki t. 1-3. PWN, 1984. Stona intenetowa powadzona pzez CMF PŁ http://cmf.p.lodz.pl/efizyka e-fizyka. Podstawy fizyki. Kakol Z. Żukowski J. http://home.agh.edu.pl/ kakol/wyklady_pl.htm Wykłady z fizyki. 31 d inż. Ieneusz Owczaek Pole gawitacyjne 32 d inż. Ieneusz Owczaek Pole gawitacyjne