WYK LAD Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I

WYK LAD Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I ADAM OS EKOWSKI 1. Aksjomatyka Rachuku Prawdopodobieństwa Przypuśćmy, że wykoujemy pewie eksperymet losowy. Powstaje atychmiast pytaie: w jaki sposób opisać go matematyczie? Przede wszystkim, a pewo możemy mówić o jego potecjalych,,ajdrobiejszych wyikach, które bedziemy azywać zdarzeiami elemetarymi. Zbiór wszystkich zdarzeń elemetarych ozaczamy litera Ω, a do ozaczeia zdarzeń elemetarych bedziemy zazwyczaj używać litery ω. Przyk lady: 1. Rzut moeta: możliwe dwa wyiki: Ω = {O, R}. 2. Rzut kostka: możliwe sześć wyików: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Czesto ie iteresuje as kokrety wyik ω, ale to, czy ależy o do wcześiej ustaloego podzbioru zbioru Ω. Takie podzbiory azywamy zdarzeiami i ozaczamy literami A, B, C,.... Przyk lady, c.d.: 3. Rzucamy dwa razy kostka, A - suma oczek wyosi 4. Wówczas Ω = {(i, j) : 1 i, j 6} i A = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}. 4. Rzucamy moeta aż do wypadiecia or la, A - wykoao co ajwyżej trzy rzuty. Wówczas Ω = { (O), (R, O), (R, R, O), (R, R, R, O),... } i A = { (O), (R, O), (R, R, O) }. 5. Obrót tarczy w ruletce, A - strza lka zatrzymuje sie w drugiej ćwiartce. Wówczas Ω = [0, 2π) i A = [π/2, π]. Szczególe zdarzeia, iterpretacje dzia lań/relacji a zdarzeiach: Ω - zdarzeie pewe, - zdarzeie iemożliwe, A B - zasz ly oba zdarzeia A, B, A B = - zdarzeia sie wykluczaja (sa roz l acze), A B - zasz lo A lub B, A - ie zasz lo A (A azywamy zdarzeiem przeciwym do A, badź dope lieiem zbioru A), A \ B = A B - zasz lo A i ie zasz lo B, A B - A pociaga za soba B. Przypuśćmy, że mamy określoy zbiór Ω i chcemy wyróżić rodzie F zdarzeń, które bedziemy badać. Pierwszy aturaly pomys l to rozważyć 2 Ω - klase wszystkich możliwych podzbiorów Ω. Wybór te dobrze sie sprawdza w sytuacji gdy Ω jest zbiorem co ajwyżej przeliczalym. Niestety, dla Ω > ℵ 0 klasa 2 Ω jest zbyt duża - pojawiaja sie k lopoty z określeiem a iej prawdopodobieństwa - 1

2 ADAM OS EKOWSKI co wymusza wybór pewej w laściwej jej podrodziy. Z drugiej stroy, sesowa klasa F powia być zamkieta a braie sum, iloczyów i zdarzeia przeciwego; zak ladamy wiec, że F jest pewym wyróżioym σ-cia lem podzbiorów Ω. Przypomijmy odpowiedia defiicje. Defiicja 1.1. Rodzi e F podzbiorów Ω azywamy σ-cia lem, jeśli (i) F, (ii) A F A F, (iii) A 1, A 2,... F Pare (Ω, F) azywamy przestrzeia mierzala. A F. Przechodzimy teraz do określeia prawdopodobieństwa. Aby zyskać ieco ituicji dotyczacej tego obiektu i jego w lasości, wygodie ajpierw rozważyć tzw. czestość zdarzeń. Za lóżmy, iż w pewym doświadczeiu iteresuje as prawdopodobieństwo zajścia pewego zdarzeia A. Powtórzmy to doświadczeie razy i zdefiiujmy liczba doświadczeń w których zasz lo A ρ (A) =. Jest to czestość wzgleda zajścia zdarzeia A w serii doświadczeń, i spodziewamy sie, iż dla dużych liczba ρ (A) powia być bliska szasie zajścia zdarzeia A w pojedyczym doświadczeiu. Jak latwo sprawdzić, ρ przyjmuje wartości w przedziale [0, 1] oraz posiada astepuj ace w lasości: (i) ρ (Ω) = 1, =1 ( ) (ii) jeśli A 1, A 2,... sa parami roz l acze, to ρ A k = k=1 Prowadzi to do astepuj acej defiicji. ρ (A k ). Defiicja 1.2 (Aksjomatyka Ko lmogorowa). Niech (Ω, F) bedzie ustaloa przestrzeia mierzala. Fukcje P : F [0, 1] azywamy prawdopodobieństwem, jeśli (i) P(Ω) = 1, k=1 (ii) dla dowolych parami roz l aczych A 1, A 2,... F zachodzi ( ) P A k = P(A k ). k=1 k=1 Trójke (Ω, F, P) azywamy przestrzeia probabilistycza. Uwagi: 1. Prawdopodobieństwo jest wiec miara uormowaa a (Ω, F). Czasami be- dziemy mówić, że P jest miara probabilistycza. 2. Należy pamietać, iż przy modelowaiu kokretego doświadczeia losowego wybór przestrzei probabilistyczej zależy tylko od as. W wielu sytuacjach z waruków doświadczeia wyikaja pewe postulaty, które w miej czy bardziej jedozaczy sposób zadaja trójke (Ω, F, P); czasami jedak tak ie jest (por. paradoks Bertrada poiżej).

WYK LAD Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I 3 Twierdzeie 1.1 (Podstawowe w lasości prawdopodobieństwa). Za lóżmy, że (Ω, F, P) jest przestrzeia probabilistycza oraz A, B, A 1, A 2,... F. Wówczas (i) P( ) = 0. ( ) (ii) Jeśli A 1, A 2,..., A sa parami roz l acze, to P A i = P(A i ). (iii) P(A ) = 1 P(A). (iv) Jeśli A B, to P(B \ A) = P(B) P(A) oraz P(A) P(B). (v) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). ( ) (vi) P A i P(A i ). i=1 i=1 W lasość (v) z powyższego twierdzeia moża uogólić a przypadek skończoej liczby zbiorów. Zachodzi astepuj acy fakt. Twierdzeie 1.2 (Wzór w laczeń i wy l aczeń). Jeśli A 1, A 2,..., A F, to P(A 1 A 2... A ) = P(A i A j ) + P(A i A j A k )... i=1 P(A i ) i<j i=1 i<j<k + ( 1) +1 P(A 1 A 2... A ). Dowody powyższych dwóch twierdzeń sa bardzo proste i opieraja sie a wykorzystaiu aksjomatyki Ko lmogorowa. Szczegó ly pozostawiamy czytelikowi. Twierdzeie 1.3 (Twierdzeie o ciag lości). Za lóżmy, że (Ω, F, P) jest przestrzeia probabilistycza oraz (A ) =1 jest ciagiem zdarzeń. (i) Jeśli ciag te jest wstepuj acy (tz. A 1 A 2...), to ( ) P A = lim P(A ). =1 (ii) Jeśli ciag te jest zstepuj acy (tz. A 1 A 2...), to ( ) P A = lim P(A ). =1 Dowód: (i) Rozważmy ciag (B ) 1 zdarzeń, zaday przez B 1 = A 1, B 2 = A 2 \ A 1, B 3 = A 3 \ A 2,.... Jak latwo sprawdzić, zdarzeia B 1, B 2,... sa parami roz l acze, k =1 B = A k dla dowolego k 1 oraz =1 B = =1 A. Zatem ( ( P =1 A ) = P = =1 B ) P(B ) = lim =1 k k =1 P(B ) = lim k P ( k =1 i=1 B ) = lim k P(A k), gdzie w drugim przejściu korzystaliśmy z przeliczalej addytywości miary P, a w czwartym skorzystaliśmy z Twierdzeia 1 (ii).

4 ADAM OS EKOWSKI (ii) Ciag dope lień (A ) 1 jest wstepuj acy, a zatem, korzystajac z (i) oraz z praw de Morgaa, mamy ( ) (( ) ) P A = 1 P A =1 = 1 P ( =1 =1 A ) = 1 lim P(A ) = lim P(A ). Przyk lady: 1. (Schemat klasyczy, prawdopodobieństwo klasycze). Za lóżmy, że Ω jest zbiorem skończoym, F = 2 Ω i wszystkie zdarzeia jedoelemetowe sa jedakowo prawdopodobe. Wówczas, jak latwo sprawdzić, dla dowolego A F, P(A) = A Ω. 2. Za lóżmy, że Ω = {ω 1, ω 2,...} jest zbiorem co ajwyżej przeliczalym oraz p 1, p 2,... - liczby ieujeme o sumie 1. Wówczas wybór F = 2 Ω oraz P({ω i }) = p i, i = 1, 2,..., jedozaczie zadaje przestrzeń probabilistycza (Ω, F, P): dla każdego A F mamy P(A) = 1 A (ω i )p i, i gdzie 1 A to fukcja wskaźikowa (charakterystycza) badź idykator zbioru A: { 1 jeśli ω A, 1 A (ω) = 0 jeśli ω / A. 3. (Prawdopodobieństwo geometrycze). Za lóżmy, że Ω B(R d ), tz. Ω jest podzbiorem borelowskim R d, przy czym 0 < Ω < (tu ozacza miare Lebesgue a w R d ). Niech F = B(Ω) bedzie σ-cia lem podzbiorów borelowskich Ω, a miara probabilistycza P bedzie zadaa przez P(A) = A Ω. Wówczas trójka (Ω, F, P) jest przestrzeia probabilistycza. Przestrzeń te wykorzystujemy do modelowaia doświadczeia polegajacego a losowaiu puktu ze zbioru Ω. 4. (Paradoks Bertrada) Z okregu o promieiu 1 wylosowao cieciw e AB. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że bedzie oa d luższa iż bok trójkata rówoboczego wpisaego w te okrag? Przedstawimy trzy rozwiazaia. I) Ze wzgledu a iezmieiczość okregu a obroty, wylosowaie cieciwy AB możemy utożsamić z wylosowaiem miary kata środkowego α = AOB [0, 2π). Tak wiec Ω = [0, 2π), F = B(Ω) oraz P jest prawdopodobieństwem geometryczym. Cieciwa spe lia waruki zadaia wtedy i tylko wtedy, gdy α (2π/3, 4π/3), a zatem szukae prawdopodobieństwo wyosi P((2π/3, 4π/3)) = (2π/3, 4π/3) [0, 2π) = 1 3.

WYK LAD Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I 5 II) Wylosowaie cieciwy moża utożsamić z wylosowaiem jej środka. Mamy wiec Ω = B(0, 1), F = B(Ω) i P jest prawdopodobieństwem geometryczym. Cieciwa bedzie spe lia la żadae waruki wtedy i tylko wtedy, gdy jej środek bedzie leża l wewatrz ko la o promieiu 1/2 wspó lśrodkowego z daym okregiem, zatem szukae prawdopodobieństwo wyosi P([0, 1/2)) = B(0, 1/2) B(0, 1) = 1 4. III) Tak jak w poprzedim rozwiazaiu, bierzemy pod uwage po lożeie środka cieciwy, lecz tym razem patrzymy a jego odleg lość od środka okregu. Tak wiec Ω = [0, 1], F = B(Ω) i P jest prawdopodobieństwem geometryczym. Cieciwa bedzie spe lia la waruki zadaia jeśli jej środek bedzie odleg ly od środka okregu o miej iż 1/2. Zatem szukae prawdopodobieństwo wyosi P([0, 1/2)) = [0, 1/2) [0, 1] = 1 2. Tak wiec widzimy, iż otrzymaliśmy trzy róże wyiki, stad wyraz,,paradoks powyżej. Sprzeczości jedak tu ie ma - użyliśmy trzech różych przestrzei probabilistyczych do opisu tego samego doświadczeia losowego. Ogólie rzecz ujmujac, teoria prawdopodobieństwa ie rozstrzyga, jaki model doświadczeia ależy wybrać; pozwala oa obliczać prawdopodobieństwa zdarzeń dopiero w sytuacji, gdy zadao już kokreta przestrzeń probabilistycza.

6 ADAM OS EKOWSKI 2. Zadaia 1. Na ile sposobów moża ustawić w ciag sześć jedyek, pieć dwójek oraz cztery trójki? 2. Wyzaczyć liczbe rozwiazań rówaia x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 50 a) w liczbach ca lkowitych ieujemych x 1, x 2, x 3, x 4, b) w liczbach ca lkowitych dodatich x 1, x 2, x 3, x 4. 3. Ile jest takich,,szóstek w Totolotku, że żade dwie z wylosowaych liczb ie a koleje? s 4. Z talii 52 kart wylosowao 13 kart. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że istieje kolor, w którym a) dok ladie siedem, b) dok ladie sześć kart jest tego samego koloru? 5. Klasa liczy 15 ucziów. Nauczyciel wybiera a każdej lekcji a chybi l trafi l jedego uczia do odpowiedzi. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że w ciagu 16 lekcji każdy uczeń bedzie przepytay. 6. W szafie jest par butów. Wyjmujemy a chybi l trafi l k butów (k ). Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że a) wśród wyj etych butów jest co ajmiej jeda para, b) wśród wyj etych butów jest dok ladie jeda para. 7. (Ω, F, P ) jest przestrzeia probabilistycza, A, B, C F. a) Za lóżmy, że P (A B) = 1/2, P (A B) = 1/4, P (A\B) = P (B\A). Obliczyć P (A) oraz P (B\A). b) Za lóżmy, że A B C = Ω, P (B) = 2P (A), P (C) = 3P (A), P (A B) = P (A C) = P (B C). Wykazać, że 1/6 P (A) 1/4. c) Za lóżmy, że P (A) 2/3, P (B) 2/3, P (C) 2/3, P (A B C) = 0. Obliczyć P (A). 8. Rozdao 52 karty czterem graczom, po 13 kart każdemu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że każdy z graczy ma co ajmiej jedego pika? 9. Jest N listów i N zaadaresowaych kopert z różymi adresami. Każdy list odpowiada dok ladie jedemu adresowi i a odwrót. W lożoo listy do kopert a chybi l trafi l, po jedym liście do każdej koperty. Obliczyć prawdopodobieństwo, że żade list ie trafi l do w laściwej koperty. 10. Udowodić, że każde ieskończoe σ-cia lo jest ieprzeliczale. 11. Kij o d lugości 1 z lamao losowo w dwóch puktach. Jakie jest prawdopodobieństwo, że z powsta lych trzech odcików moża zbudować trójkat? 12. Na ieskończoa szachowice o boku 1 rzucoo moete o średicy 2 3. Jakie jest prawdopodobieństwo, że a) moeta zajdzie sie ca lkowicie we wetrzu jedego z pól; b) przetie sie z dwoma bokami szachowicy? 13. Na p laszczyze podzieloa a ieskończoe pasy o szerokości d rzucoo losowo ig l e o d lugości l (l < d). Wyzaczyć prawdopodobieństwo tego, że ig la przetie brzeg któregoś pasa.

WYK LAD Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I 7 3. Prawdopodobieństwo warukowe i iezależość zdarzeń 3.1. Prawdopodobieństwo warukowe. Zaczijmy od astepuj acego przyk ladu. Przyk lad: W urie jest pieć bia lych kul poumerowaych liczbami 1, 2, 3, 4, 5 oraz trzy kule czare poumerowae liczbami 1, 2, 3. Losujemy kule i okazuje sie, że jest bia la. Jakie jest prawdopodobieństwo, że umer a iej jest parzysty? Oczywista odpowiedź: 2/5. Z drugiej stroy, formalie, mamy do czyieia ze schematem klasyczym a Ω = {(1, b), (2, b),..., (5, b), (1, c), (2, c), (3, c)}. Określmy zdarzeia: A - wylosowao kule o umerze parzystym, B - wylosowao kule bia l a; zatem i mamy A = {(2, b), (4, b), (2, c)}, Sugeruje to astepuj ac 2 A B = = 5 B a defiicje. B = {(1, b), (2, b),..., (5, b)} A B / Ω B / Ω = P(A B). P(B) Defiicja 3.1. Za lóżmy, że (Ω, F, P) jest przestrzeia probabilistycza oraz A, B sa zdarzeiami takimi, że P(B) > 0. Prawdopodobieństwem warukowym (zajścia) zdarzeia A pod warukiem (zajścia) zdarzeia B azywamy liczbe P (A B) = P(A B). P(B) Uwaga: Jak latwo sprawdzić, przy ustaloym zdarzeiu B takim, że P(B) > 0, prawdopodobieństwo warukowe P( B) jest owa miara probabilistycza a (Ω, F). Twierdzeie 3.1 (Prawdopodobieństwo iloczyu zdarzeń). Za lóżmy, że (Ω, F, P) jest przestrzeia probabilistycza oraz A 1, A 2,..., A sa zdarzeiami spe liajacymi waruek P(A 1 A 2... A ) > 0. Wówczas P(A 1 A 2... A ) = P(A A 1 A 2... A 1 )P(A 1 A 1 A 2... A 2 )... P(A 2 A 1 )P(A 1 ). Dowód. Wystarczy zastosować defiicj e prawdopodobieństwa warukowego. Przyk lad: W urie zajduje sie 1 bia lych kul oraz jeda czara. Losujemy po jedej kuli aż do mometu, gdy wylosujemy czara kule. jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wykoamy k losowań jeśli a) losujemy bez zwracaia b) losujemy ze zwracaiem? Ozaczmy bia le kule przez b 1, b 2,..., b 1, a czara kule przez c. Mamy Ω = {(c), (b 1, c), (b 2, c),..., (b 1, c), (b 1, b 1, c),...}, F = 2 Ω, a prawdopodobieństwo zadae jest poprzez określeie mas poszczególych zdarzeń jedoelemetowych (por. Przyk lad 2 z poprzediego wyk ladu). Rozważmy zdarzeie A i - i-ta kula jest bia la, i = 1, 2,.... Korzystajac z powyższego twierdzeia, mamy P(A k A k 1 A k 2... A 1 ) = P(A k A k 1... A 1 )P(A k 1 A k 2... A 1 )... P(A 2 A 1 )P(A 1 ).

8 ADAM OS EKOWSKI a) Z waruków zadaia wyika, że P(A i A i 1... A 1 ) = i i + 1, 1 P(A k A k 1... A 1 ) = k + 1, a zatem szukae prawdopodobieństwo wyosi 1 k + 1 k + 1 k + 2 k + 2 k + 3... 2 1 1 = 1. b) Tym razem mamy P(A i A i 1 A i 2... A 1 ) = 1, a wiec szukae prawdopodobieństwo jest rówe ( 1 1 ) 1 1... 1 = 1 ( ) k 1 1. Zajmiemy sie teraz aaliza doświadczeń,,wieloetapowych, w których mamy do czyieia z losowaiem w kilku krokach, a przestrzeń probabilistycza jest zadaa poprzez specyfikacje prawdopodobieństw warukowych zwiazaych z poszczególymi krokami (por. przyk lad poiżej). Zaczijmy od defiicji. Defiicja 3.2. Mówimy, że rodzia zdarzeń (B k ) k=1 jest rozbiciem (skończoym) zbioru Ω, jeśli B 1 B 2... B = Ω oraz zdarzeia B 1, B 2,..., B sa parami roz l acze. Aalogiczie defiiujemy rozbicie przeliczale Ω. Twierdzeie 3.2 (Wzór a prawdopodobieństwo ca lkowite). Za lóżmy, że (Ω, F, P) jest przestrzeia probabilistycza oraz A F oraz (B k ) k jest rozbiciem Ω (skończoym lub przeliczalym), takim, że P(B k ) > 0 dla wszystkich k. Wówczas P(A) = k P(A B k )P(B k ). Dowód. Zdarzeia A B 1, A B 2,..., sa parami roz l acze i daja w sumie A, a zatem P(A) = P(A B k ) = P(A B k )P(B k ). k k Twierdzeie 3.3 (Wzór Bayesa). Przy za lożeiach jak wyżej, jeśli P(A) > 0, to dla każdego k, P(B k A) = P(A B ( k)p(b k ) P(A B = P(A B ) k)p(b k ). )P(B ) P(A) Dowód. Wzór wyika atychmiast z defiicji prawdopodobieństwa warukowego oraz wzoru a prawdopodobieństwo ca lkowite. Przyk lad: Dae sa ury I oraz II. W urie I zajduje sie b 1 kul bia lych oraz c 1 kul czarych, zaś w urie II - b 2 kul bia lych i c 2 kul czarych. Losujemy ure, a astepie kule z tej ury. a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że kula jest bia la? b) Za lóżmy, że wyciagi eta kula jest bia la. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że losowao z I ury? Mamy dwa etapy doświadczeia: losowaie ury oraz losowaie kuli z daej ury. Wprowadźmy zdarzeia A - wyciagi eto bia l a kule, B 1 - wylosowao ure I,

WYK LAD Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I 9 B 2 - wylosowao ur e II. Mamy B 1 B 2 =, B 1 B 2 = Ω, a wi ec rodzia (B i ) 2 i=1 jest rozbiciem Ω. Z waruków zadaia wyika, że P(B 1 ) = P(B 2 ) = 1 2 > 0, P(A B 1) = b 1 b 1 + c 1, P(A B 2 ) = b 2 b 2 + c 2. a) Korzystajac ze wzoru a prawdopodobieństwo ca lkowite mamy P(A) = P(A B 1 )P(B 1 ) + P(A B 2 )P(B 2 ) = 1 ( b1 + b ) 2. 2 b 1 + c 1 b 2 + c 2 b) Na mocy wzoru Bayesa, P(B 1 A) = P(A B 1)P(B 1 ) P(A) = b 1 /(b 1 + c 1 ) b 1 /(b 1 + c 1 ) + b 2 /(b 2 + c 2 ). 3.2. Niezależość zdarzeń. Zaczijmy od ituicji. Za lóżmy, że A, B sa zdarzeiami, przy czym P(B) > 0. Wówczas zdarzeia A, B powiy być iezależe, jeśli iformacja o tym, że zasz lo zdarzeie B ie wp lywa a prawdopodobieństwo zajścia zdarzeia A; tz. iezależość powia być rówoważa rówości P(A B) = P(A), czyli P(A B) = P(A)P(B). Przyjmujemy to jako defiicje. Defiicja 3.3. Za lóżmy, że (Ω, F, P) jest przestrzeia probabilistycza. Zdarzeia A, B sa iezależe, jeśli P(A B) = P(A)P(B). Uwaga: Jeśli P(A) = 0, to dla dowolego B F zdarzeia A oraz B sa iezależe. Ta sama teza zachodzi gdy P(A) = 1. Zdefiiujemy teraz iezależość wiekszej liczby zdarzeń. Zaczijmy od przypadku skończoego. Ituicyjie, zdarzeia A 1, A 2,..., A sa iezależe jeśli każdy poduk lad tych zdarzeń jest iezależy oraz zdarzeia A, A 1 A 2... A 1 sa iezależe. jak latwo zauważyć, powyższe waruki wymuszaja rówość P(A i1 A i2... A ik ) = P(A i1 )P(A i2 )... P(A ik ) dla dowolego k = 2, 3,..., i dowolego rosacego ciagu 1 i 1 < i 2 <... < i k. Przyjmujemy to jako defiicje. Defiicja 3.4. Mówimy, że zdarzeia A 1, A 2,..., A sa iezależe, jeśli dla wszystkich 2 k oraz dowolego ciagu 1 i 1 < i 2 <... < i k zachodzi rówość P(A i1 A i2... A ik ) = P(A i1 )P(A i2 )... P(A ik ). Defiicja 3.5. Mówimy, że zdarzeia A 1, A 2,..., A sa iezależe parami, jeśli dla dowolych różych i, j {1, 2,..., }, zdarzeia A i oraz A j sa iezależe. Oczywiście iezależość,,zespo lowa (czy też,, l acza ) zdarzeń A 1, A 2,..., A pociaga za soba ich iezależość parami. Implikacja w druga stroe ie jest prawdziwa, co ilustruje astepuj acy przyk lad. Przyk lad: Rzucamy dwa razy kostka. Niech A - za pierwszym razem wypad la parzysta liczba oczek, B - za drugim razem wypad la parzysta liczba oczek, C - suma oczek jest parzysta. Bezpośredio wyliczamy, iż P(A) = P(B) = P(C) = 1 2, P(A B) = P(B C) = P(C A) = 1 4,

10 ADAM OS EKOWSKI a wiec zdarzeia A, B, C sa iezależe parami. Nie sa jedak iezależe zespo lowo: mamy A B C, a wiec P(A B C) = P(A B) = 1/4 P(A)P(B)P(C). W przypadku dowolej (być może ieskończoej) liczby zdarzeń, iezależość defiiujemy astepuj aco. Defiicja 3.6. Za lóżmy, że {A i } i I jest pewa rodzia zdarzeń. Mówimy, iż zdarzeia te sa iezależe, jeśli dla każdego oraz parami różych i 1, i 2,..., i I zdarzeia A i1, A i2,..., A i a iezależe. Zdefiiujemy teraz poj ecie iezależości σ-cia l. s Defiicja 3.7. Za lóżmy, że (Ω, F, P) jest przestrzeia probabilistycza oraz F 1, F 2,..., F sa σ-cia lami zawartymi w F. Mówimy, że σ-cia la te sa iezależe, jeśli dla dowolych A 1 F 1, A 2 F 2,..., A F zachodzi waruek P(A 1 A 2... A ) = P(A 1 )P(A 2 )... P(A ). Twierdzeie 3.4. Przy za lożeiach powyższej defiicji, σ-cia la F 1, F 2,..., F sa iezależe wtedy i tylko wtedy, gdy dowole A 1 F 1, A 2 F 2,..., A F sa iezależe. Dowód. oczywiste. Mamy dowieść, że dla dowolego 2 k oraz dowolego ciagu 1 i 1 < i 2 <... < i k zachodzi rówość ( ) P(A i1 A i2... A ik ) = P(A i1 )P(A i2 )... P(A ik ). Rozważmy zdarzeia B 1, B 2,..., B dae przez { A i jeśli i = i l dla pewego l, B i = Ω w przeciwym przypadku. Wówczas B 1 F 1, B 2 F 2,..., B F, a zatem co jest rówoważe (*). P(B 1 B 2... B ) = P(B 1 )P(B 2 )... P(B ), Przyk lady: 1. Rzucamy dwa razy kostka. Wprowadźmy stadardowa przestrzeń probabilistycza opisujac a to doświadczeie (por. poprzedi wyk lad). Rozważmy σ-cia la F 1 = {A {1, 2, 3, 4, 5, 6} : A {1, 2, 3, 4, 5, 6}}, F 2 = {{1, 2, 3, 4, 5, 6} B : B {1, 2, 3, 4, 5, 6}}. Wówczas F 1, F 2 F i F 1, F 2 sa iezależe: istotie, dla dowolych zdarzeń A {1, 2, 3, 4, 5, 6} F 1, B {1, 2, 3, 4, 5, 6} F 2 mamy P(A {1, 2, 3, 4, 5, 6}) = A 6 = A 6 B, P({1, 2, 3, 4, 5, 6} B) = = B 36 6 36 6 oraz A B P((A {1, 2, 3, 4, 5, 6}) ({1, 2, 3, 4, 5, 6} B)) = P(A B) =. 36 2. Za lóżmy, że σ(a 1 ), σ(a 2 ),..., σ(a ) bed a σ-cia lami geerowaymi przez zdarzeia A 1, A 2,..., A, odpowiedio (przypomijmy: σ(a) = {A, A,, Ω}). Wówczas jeśli A 1, A 2,..., A sa iezależe, to σ(a 1 ), σ(a 2 ),..., σ(a ) też sa

WYK LAD Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I 11 iezależe. Aby to wykazać, musimy sprawdzić, że dla dowolych B i F i, i = 1, 2,...,, zachodzi P(B 1 B 2... B ) = P(B 1 )P(B 2 )... P(B ). Jeśli co ajmiej jedo ze zdarzeń B i jest zbiorem pustym, to powyższa rówość jest spe lioa: obie stroy sa rówe 0. Jeśli dla pewego j mamy B j = Ω, to możemy to zdarzeie pomiać po obu stroach. Zatem, wystarczy dowieść, że dla dowolego ciagu 1 i 1 < i 2 <... < i k mamy P(B i1 B i2... B ik ) = P(B i1 )P(B i2 )... P(B ik ), gdzie dla każdego j, zdarzeie B ij jest rówe A ij lub A i j. Poprzez prosta idukcje, wystarczy wykazać, że P(A i 1 A i2 A i3... A ik ) = P(A i 1 )P(A i2 )P(A i3 )... P(A ik ), co atychmiast wyika z iezależości zdarzeń A 1, A 2,..., A : istotie, P(A i 1 A i2 A i3... A ik ) = P(A i2 A i3... A ik ) P(A i1 A i2 A i3... A ik ) = P(A i2 )P(A i3 )... P(A ik ) P(A i1 )P(A i2 )P(A i3 )... P(A ik ) = P(A i 1 )P(A i2 )P(A i3 )... P(A ik ). Rozważmy teraz astepuj acy problem. Za lóżmy, że mamy N doświadczeń, przy czym i-te doświadczeie jest opisywae przez przestrzeń probabilistycza (Ω i, F i, P i ). W jaki sposób możemy zbudować przestrzeń (Ω, F, P) dla doświadczeia polegajacego a iezależym przeprowadzeiu tych N doświadczeń? Oczywiście, jako zbiór Ω bierzemy Ω 1 Ω 2... Ω N. Aby określić F, zwróćmy uwage, iż σ-cia lo F i jest reprezetowae, w kotekście powyższego zbioru Ω, przez klase F i = {Ω 1 Ω 2... Ω i 1 A i Ω i+1... Ω N : A i F i }. Stad aturaly pomys l, by wziać F = σ(f 1, F 2,..., F N ), σ-cia lo geerowae przez F 1, F 2,..., F N. Iymi s lowy, jako F bierzemy σ-cia lo produktowe F 1 F 2... F N. Przejdźmy do określeia miary probabilistyczej P. Z powyższych postulatów, σ-cia la F 1, F 2,..., F N maj a być iezależe, a zatem poszukujemy takiego prawdopodobieństwa P, że dla dowolych A i F i, i = 1, 2,..., N, P(A 1 A 2... A N ) = P ( (A 1 Ω 2... Ω N ) (Ω 1 A 2... Ω N )... (Ω 1... Ω N 1 A N ) ) = N P(Ω 1... A i... Ω N ). Poadto, chcemy by P(Ω 1... A i... Ω N ) = P i (A i ) dla każdego i. Podsumowujac, poszukujemy takiego P, by dla dowolych zdarzeń A 1, A 2,..., A N jak wyżej zachodzi la rówość i=1 P(A 1 A 2... A N ) = P 1 (A 1 )P 2 (A 2 )... P N (A N ). Z teorii miary wiadomo, że istieje dok ladie jedo takie prawdopodobieństwo P a F 1 F 2... F N, i jest oo rówe P 1 P 2... P N - produktowi miar P 1, P 2,..., P N.

12 ADAM OS EKOWSKI Aalogicze rozumowaie moża przeprowadzić w przypadku gdy mamy do czyiaia z ieskończoa liczba doświadczeń modelowaych przez przestrzeie probabilistycze (Ω i, F i, P i ). Przyk lad: Schemat Beroulliego. Za lóżmy, iż dla każdego i = 1, 2,..., N mamy Ω i = {0, 1}, F i = 2 Ωi oraz P i ({1}) = p, gdzie p [0, 1] jest ustaloym parametrem. Widzimy, iż każda pojedycza przestrzeń (Ω i, F i, P i ) modeluje doświadczeie w którym sa dwa możliwe wyiki: 0 i 1, iterpretowae jako porażka i sukces (podkreślmy: prawdopodobieństwo sukcesu jest rówe p i ie zależy od umeru doświadczeia). Takie pojedycze doświadczeie azywamy próba Beroulliego. Na mocy powyższej kostrukcji, przestrzeń probabilistycza ({0, 1} N, 2 Ω, P) = (Ω 1 Ω 2... Ω N, F 1 F 2... F N, P 1 P 2... P N ) modeluje ciag iezależych N powtórzeń próby Beroulliego. Ciag te azywamy schematem Beroulliego. Zauważmy, iż dla dowolego ω = (ω 1, ω 2,..., ω N ) Ω mamy P({ω}) = p k (1 p) N k, gdzie k jest liczba jedyek w ciagu ω. Wyika stad, iż jeśli określimy zdarzeie A k = {liczba sukcesów jest rówa k}, to P(A k ) = ( ) N P({ω}) = A k p k (1 p) N k = p k (1 p) N k. k ω A k Za lóżmy, że A 1, A 2,... sa pewymi zdarzeiami; wówczas =1 m= A m możemy iterpretować jako,,zasz lo ieskończeie wiele spośród zdarzeń A 1, A 2,.... Okazuje sie, że przy pewych za lożeiach, zdarzeie to ma prawdopodobieństwo 0 lub 1. Ściślej, zachodzi astepuj acy fakt. Lemat 3.1 (Borela-Catelli). Za lóżmy, że (Ω, F, P) jest przestrzeia probabilistycza oraz A 1, A 2,... F. (i) Jeśli =1 P(A ) <, to ( ) P A m = 0 =1 m= (a zatem z prawdopodobieństwem 1 zachodzi skończeie wiele spośród A i ). (ii) Jeśli A 1, A 2,... sa iezależe i =1 P(A ) =, to ( ) P A m = 1. Dowód. (i) Mamy ( P =1 m= =1 m= ) ( A m P m= A m ) m= P(A m ) 0. (ii) Udowodimy, że zdarzeie przeciwe =1 m= A m ma prawdopodobieństwo 0. Wystarczy wykazać, iż P( m= A m) = 0 dla wszystkich (wówczas rozważae zdarzeie przeciwe bedzie przeliczala suma zbiorów miary 0, a zatem także bedzie mia lo miare 0). Korzystajac z twierdzeia o ciag lości, mamy iż dla dowolego, ( ) ( k ) ( P A m = P A m = lim P k ) A m, k m= k= m= m=

WYK LAD Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I 13 co a mocy iezależości zdarzeń A 1, A 2,... jest rówe k k lim P(A m) = lim (1 P(A m )) lim sup e k m= P(Am) = 0. k m= k m= k Na zakończeie zaprezetujemy pewie przydaty fakt, tzw. lemat o π λ uk ladach. Aby podać pewa motywacje, za lóżmy, że µ, ν sa miarami probabilistyczymi a pewej przestrzei mierzalej (Ω, F). Przypuśćmy, iż chcemy wykazać, iż te miary sa sobie rówe: mamy wiec sprawdzić, czy dla dowolego A F zachodzi rówość µ(a) = ν(a). Powstaje bardzo aturale pytaie: czy wystarczy zweryfikować powyższa tożsamość dla pewej szczególej klasy zdarzeń A, p. dla geeratorów σ-cia la F? Okazuje sie że zbiór geeratorów ie jest a ogó l dobrym wyborem: miaowicie trzeba za lożyć, że klasa ta jest dodatkowo π-uk ladem. Defiicja 3.8. Za lóżmy, że K jest iepusta klasa podzbiorów Ω. Mówimy, że K jest π-uk ladem, jeśli klasa ta jest zamkieta ze wzgledu a braie skończoych iloczyów: z tego, że A, B K wyika, że A B K. Defiicja 3.9. Za lóżmy, że L jest pewa klasa podzbiorów Ω. Mówimy, że L jest λ-uk ladem, jeśli sa spe lioe astepuj ace waruki: (i) Ω L, (ii) jeśli A, B L i A B, to B \ A L, (iii) jeśli A 1, A 2,... jest wstepuj acym ciagiem elemetów L, to =1 A L. Lemat 3.2 (o π λ uk ladach). Jeśli L jest λ-uk ladem zawierajacym π-uk lad K, to L zawiera także σ-cia lo geerowae przez K. Dowód. Rozumowaie podzielimy a trzy cześci. 1) Zauważmy, że jeśli L jest λ-uk ladem oraz A, B L spe liaja A B =, to A B = (A \ B) L, korzystajac z (i) i (ii). 2) Jeśli L jest jedocześie π-uk ladem oraz λ-uk ladem, to jest σ-cia lem. Aby to wykazać, zauważmy, iż jeśli A, B L, to A B = A (B \ (A B)) L, a mocy 1) oraz waruków defiiujacych π-uk lad i λ-uk lad. Wobec tego, przez prosta idukcje, L bedzie zamkiete ze wzgledu a braie skończoych sum, a zatem jeśli A 1, A 2,... jest dowolym ciagiem elemetów z L, to ( ) A = A k L. =1 =1 W ostatim kroku skorzystaliśmy z tego, że A 1, A 1 A 2, A 1 A 2 A 3,... jest wstepuj acym ciagiem elemetów L. 3) Niech Λ bedzie klasa wszystkich λ-uk ladów zawierajacych K i po lóżmy L 0 = L Λ L. Wówczas L 0 Λ oraz K L 0 L. Wystarczy wiec udowodić, że L 0 jest σ-cia lem: a mocy 2), wystarczy wykazać, że L 0 jest π-uk ladem. Weźmy dowole A K i rozważmy klase K 1 = {B : A B L 0 }. k=1

14 ADAM OS EKOWSKI Oczywiście K 1 K, gdyż K jest π-uk ladem. Poadto K 1 jest λ-uk ladem: (i) Ω K 1, bo A Ω = A K L 0 ; (ii) jeśli B 1, B 2 K 1, B 1 B 2, to A (B 2 \ B 1 ) = (A B 2 ) \ (A B 1 ) L 0, a wiec B 2 \ B 1 K 1 ; (iii) B 1 B 2... K 1, to ( ) A B = (A B ) L 0, =1 =1 skad wyika, iż =1 B K 1. Zatem K 1 zawiera L 0, gdyż L 0 jest ajmiejszym λ-uk ladem zawierajacym K. Wykazaliśmy wiec, że dla dowolego A K oraz dowolego B L 0, A B L 0. Nastepie powtarzamy rozumowaie: ustalamy B L 0 i defiiujemy K 2 = {A : A B L 0 }. Mamy K 2 K oraz K 2 jest λ-uk ladem, skad wyika, iż K 2 L 0, a wiec dla dowolych A, B L 0 zachodzi A B L 0. Dowód jest zakończoy. Jako zastosowaie, udowodimy astepuj acy fakt. Twierdzeie 3.5. Za lóżmy, że (Ω, F, P) jest przestrzeia probabilistycza. Przypuśćmy, iż rodzie {F γ } Γ iezależych σ-cia l podzieloo a podrodzi {F γ i} γi Γ i, i = 1, 2,...,. Wówczas σ-cia la σ ( {F γ 1} γ 1 Γ 1 ), σ ( {Fγ 2} γ 2 Γ 2 ),..., σ ({Fγ } γ Γ ), geerowae przez poszczególe podrodziy też sa iezależe. Dowód. Przeprowadzimy dowód dla = 2; dla wi ekszych rozumowaie jest aalogicze. Mamy wi ec dwie rodziy {F γ } γ Γ, {G δ } δ iezależych pod-σ-cia l F i musimy wykazać, że dla dowolych A σ({f γ } γ Γ ), B σ({g δ } δ ) zachodzi ( ) P(A B) = P(A)P(B). Na mocy iezależości σ-cia l, wzór (*) zachodzi dla zbiorów postaci A = A γ 1 A γ 2... A γ k, A γ i F γ i, i = 1, 2,..., k, B = B δ 1 B δ 2... B δ l, B δ j G δ j, j = 1, 2,..., l. Ustalmy A jak wyżej i rozważmy klase K = {B : zachodzi (*)}. Mamy wiec K {B δ 1 B δ 2... B δ l : B δ j G δ j }, i ta ostatia klasa jest, rzecz jasa, π-uk ladem geerujacym σ({g δ } δ ). Poadto K jest λ-uk ladem: (i) Ω K, bo P(A Ω) = P(A)P(Ω). (ii) jeśli B 1, B 2 K i B 1 B 2, to B 2 \ B 1 K: istotie, P(A (B 2 \ B 1 )) = P ( (A B 2 ) \ (A B 1 ) ) = P(A B 2 ) P(A B 1 ) = P(A) ( P(B 2 ) P(B 1 ) ) = P(A)P(B 2 \ B 1 ).

WYK LAD Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I 15 (iii) Jeśli B 1 B 2... K, to =1 B K, gdyż z twierdzeia o ciag lości, ( ( )) ( ) P A B = P (A B ) =1 =1 = lim P(A B ) = lim P(A)P(B ) = P(A)P ( ) B. Zatem a mocy lematu o π λ uk ladach, K zawiera σ({g δ } δ ), czyli (*) zachodzi dla dowolego zbioru A postaci A γ 1 A γ 2... A γ k oraz B σ({g δ } δ ). Nastepie, powtarzamy rozumowaie: ustalamy B σ({g δ } δ ) i defiiujemy L = {A : zachodzi (*)}. Klasa L zawiera wszystkie zbiory postaci A γ 1 A γ 2... A γ k, które tworza π-uk lad geerujacy σ({f γ } γ Γ ). Tak jak wyżej, sprawdzamy, że L jest λ uk ladem, a zatem z lematu o π λ uk ladach, L σ({f γ } γ Γ ). Wobec tego (*) zachodzi dla wszystkich A σ({f γ } γ Γ ) oraz B σ({g δ } δ ), skad dostajemy żada a iezależość σ-cia l. =1

16 ADAM OS EKOWSKI 4. Zadaia 1. Grupa osób ( 3), wśród których sa osoby X, Y i Z, ustawia sie losowo w kolejce. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że a) X stoi bezpośredio przed Y, jeśli Y stoi bezpośredio przed Z? b) X stoi przed Y, jeśli Y stoi przed Z? 2. Z talii 52 kart losujemy 5 kart bez zwracaia. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że mamy dok ladie 3 asy, jeżeli wiadomo, że a) mamy co ajmiej jedego asa; b) mamy asa czarego koloru; c) mamy asa pik; d) pierwsza wylosowaa karta jest as; e) pierwsza wylosowaa karta jest czary as; f) pierwsza wylosowaa karta jest as pik. 3. W urie zajduja sie trzy bia le i cztery czare kule. Losujemy kule, wyrzucamy bez ogladaia, a astepie losujemy koleja kule z ury. a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że druga kula jest bia la? b) Za lóżmy, że za drugim razem wyciagi eto bia l a kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, że za pierwszym razem wylosowao czara kule? 4. W populacji jest 15% dyslektyków. Jeśli w teście diagostyczym uczeń pope li 6 lub wiecej b l edów, to zostaje uzay za dyslektyka. Każdy dyslektyk a pewo pope li co ajmiej 6 b l edów w takim teście, ale rówież ie-dyslektyk może pope lić wiecej iż 5 b l edów dzieje sie tak z prawdopodobieńswem 0,1. Jasio pope li l w teście 6 b l edów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest dyslektykiem? Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w kolejym teście też pope li co ajmiej 6 b l edów? 5. W pewej fabryce telewizorów każdy z aparatów może być wadliwy z prawdopodobieństwem p. W fabryce sa trzy staowiska kotroli i wyprodukoway telewizor trafia a każde ze staowisk z jedakowym prawdopodobieństwem. i- te staowisko wykrywa wadliwy telewizor z prawdopodobieństwem p i (i = 1, 2, 3). Telewizory ie odrzucoe w fabryce trafiaja do hurtowi i tam poddawae sa dodatkowej kotroli, która wykrywa wadliwy telewizor z prawdopodobieństwem p 0. a) Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że day owowyprodukoway telewizor zajdzie sie w sprzedaży (tz. przejdzie przez obie kotrole). b) Przypuśćmy, że telewizor jest już w sklepie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest o wadliwy? 6. Rzucamy dwa razy kostka. Rozważmy zdarzeia: A za pierwszym razem wypad la liczba oczek podziela przez 3; B suma wyrzucoych oczek jest parzysta; C za każdym razem uzyskaliśmy te sama liczbe oczek. Czy zdarzeia A, B sa iezależe? Czy A, B, C sa iezależe? 7. Na kartoikach zapisao różych liczb rzeczywistych. Kartoiki w lożoo do pude lka, staraie wymieszao, a astepie losowao kolejo bez zwracaia. Niech A k k-ta wylosowaa liczba jest wieksza od poprzedich. a) Udowodić, że P(A k ) = 1/k, k = 1, 2,...,. b) Udowodić, że zdarzeia A 1, A 2,..., A sa iezależe.

WYK LAD Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I 17 8. Dae sa liczby ca lkowite dodatie m, oraz liczby p, q (0, 1) spe liajace waruek p + q = 1. Dowieść, że (1 p ) m + (1 q m ) 1. 9. Wyzaczyć ajbardziej prawdopodoba liczbe sukcesów w schemacie prób Beroulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p. 10. Rzucoo 10 razy kostka. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w pierwszym rzucie otrzymao szóstke, jeśli wiadomo, że a) otrzymao trzy szóstki? b) w astepych dziewieciu rzutach otrzymao same szóstki? 11. Rzucamy kostka aż do mometu gdy wyrzucimy piatk e badź trzy razy szóstke ( l aczie, iekoieczie pod rzad). Jakie jest prawdopodobieństwo, że rzucimy dok ladie razy? 12. Prawdopodobieństwo tego, że w urie zajduje sie k kostek, wyosi 2k k! e 2, k = 0, 1, 2,.... Losujemy kolejo bez zwracaia wszystkie kostki z ury i wykoujemy rzuty każda z ich. Jakie jest prawdopodobieństwo, że uzyskamy l szóstek? 13. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że liczba sukcesów w schemacie Beroulliego prób z p = 1 2 b edzie podziela a) przez 3? b) przez 4? 14. Niech (Ω, F, P) bedzie przestrzeia probabilistycza dla schematu prób Beroulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p. Dla dowolego 0 k, iech A k ozacza zdarzeie, iż jest dok ladie k sukcesów. Wykazać, że dla dowolego B F oraz każdego k, prawdopodobieństwo warukowe P(B A k ) ie zależy od p. 15. Rzucamy ieskończeie wiele razy moeta, dla której prawdopodobieństwo wypadiecia or la wyosi p 1/2. Dla = 2, 4,..., rozważmy zdarzeie A - do rzutu w l aczie wypad lo tyle samo or lów co reszek. Udowodić, że z prawdopodobieństwem 1 zajdzie skończeie wiele spośród zdarzeń A 1, A 2,.... 16. Rzucamy ieskończeie wiele razy moeta, dla której prawdopodobieństwo wypadiecia or la wyosi p (0, 1]. Udowodić, że z prawdopodobieństwem 1 wystapi ieskończeie wiele serii z lożoych ze 100 or lów pod rzad. 17. Dae sa dwie miary probabilistycze µ, ν a (R, B(R)). a) Za lóżmy, że dla dowolej liczby t > 0 mamy ν([ t, t]) = µ([ t, t]). Udowodić, że jeśli A B(R) jest symetryczy wzgledem 0, to µ(a) = ν(a). b) Przypuśćmy, że K jest pewa klasa geerujac a B(R) (tz. spe liajac a σ(k) = B(R)). Czy z tego, że µ(a) = ν(a) dla każdego A K, wyika, iż µ = ν?

18 ADAM OS EKOWSKI 5. Zmiee losowe i ich rozk lady Przechodzimy do kluczowego poj ecia rachuku prawdopodobieństwa. Defiicja 5.1. Za lóżmy, że (Ω, F, P) jest przestrzeia probabilistycza. Zmiea losowa d-wymiarowa (lub zmiea losowa o wartościach w R d ) azywamy dowola mierzala fukcje X : Ω R d (tz. spe liajac a, dla dowolego B B(R d ), waruek {X B} := X 1 (B) = {ω Ω : X(ω) B} F). W szczególości, dla d = 1 bedziemy mówić po prostu,,zmiea losowa. Twierdzeie 5.1. Jeśli (Ω, F, P) jest przestrzeia probabilistycza, X jest d-wymiarowa zmiea losowa oraz f : R d R k jest fukcja borelowska, to f(x) jest k-wymiarowa zmiea losowa. W szczególości teza zachodzi wiec dla ciag lych fukcji f. W szczególości, widzimy iż jeśli X = (X 1, X 2,..., X d ), to X 1, X 2,..., X d sa jedowymiarowymi zmieymi losowymi. Kolejym ważym pojeciem jest tzw. rozk lad zmieej losowej. Za lóżmy, że (Ω, F, P) jest przestrzeia probabilistycza, a X jest d-wymiarowa zmiea losowa. Dla dowolego B B(R d ) określamy P X (B) = P(X B) := P({ω Ω : X(ω) B}) (czyli P X jest obrazem miary P przy przekszta lceiu X). Jak latwo sprawdzić, (R d, B(R d ), P X ) jest owa przestrzeia probabilitycza. Defiicja 5.2. Miar e P X azywamy rozk ladem zmieej X. Defiicja 5.3. Za lóżmy, że (Ω, F, P) jest przestrzeia probabilistycza, a X jest d- wymiarowa zmiea losowa. Dystrybuata tej zmieej losowej azywamy fukcje F X : R d [0, 1] daa wzorem F X (x 1, x 2,..., x d ) = P(X 1 x 1, X 2 x 2,..., X d x d ) = P X ((, x 1 ] (, x 2 ]... (, x d ]). Dystrybuata zależy tylko od rozk ladu, a wi ec jest ses mówić o dystrybuacie rozk ladu prawdopodobieństwa. Przyk lady: 1. Rzucamy raz symetrycza moeta; Ω = {O, R}. Niech X(O) = 1, X(R) = 1. Wówczas 0 jeśli t < 1, F X (t) = P(X t) = 1/2 jeśli 1 t < 1, 1 jeśli t 1. ( 2. Wybieramy losowo pukt z ko la o promieiu R: mamy zatem (Ω, F, P) = K(0, R), B(K(0, R)), πr ). Niech X(ω) = ρ(ω, 0) bedzie 2 odleg lościa wylosowaego puktu od środka. Wówczas 0 jeśli t < 0, F X (t) = P(X t) = t 2 /R 2 jeśli 0 t < R, 1 jeśli t R.

WYK LAD Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I 19 Twierdzeie 5.2 (W lasości dystrybuaty). Za lóżmy, że X jest (jedowymiarowa) zmiea losowa. Wówczas a) F X jest iemalejaca. b) lim t F X (t) = 1, lim t F X (t) = 0. c) F jest prawostroie ciag la. d) dla dowolego t R istieje lewostroa graica F X (t ) = lim s t F X (s) i F X (t ) = P(X < t) = P(X (, t)). e) F X jest ieciag la w pukcie t 0 wtedy i tylko wtedy, gdy P(X = t 0 ) > 0 (taka liczbe t 0 azywamy wówczas atomem rozk ladu). Ściślej, dla dowolego t 0 R mamy P(X = t 0 ) = F X (t 0 ) F X (t 0 ). f) dla dowolych a < b mamy P(a X b) = P(X [a, b]) = F X (b) F X (a ), P(a < X b) = P(X (a, b]) = F X (b) F X (a), P(a X < b) = P(X [a, b)) = F X (b ) F X (a ), P(a < X < b) = P(X (a, b)) = F X (b ) F X (a). Dowód. a) Jeśli t 1 < t 2, to (, t 1 ] (, t 2 ], a wiec F X (t 1 ) = P X ((, t 1 ]) P X ((, t 2 ]) = F X (t 2 ). b) Dla dowolego ciagu (t ) 1 rosacego do ieskończoości zachodzi rówość R = (, t ] i przedzia ly pod suma sa wstepuj ace. Zatem, korzystajac z twierdzeia o ciag lości, 1 = P X (R) = lim P X((, t ]) = lim F X(t ). Aalogiczie dowodzimy druga cześć. c) Weźmy t R oraz ciag (t ) 1 malejacy do t. Ciag przedzia lów (t, t ] jest zstepuj acy i (t, t ] =, a wiec ) ( 0 = P X (t, t ] [ = lim P X ((, t ]) P X ((, t]) = lim P X((t, t ]) = lim P X((, t ] \ (, t]) ] = lim (F X(t ) F X (t)). d) Rozumujemy podobie jak w c). e) Wyika to wprost z d) oraz rówości P(X = t 0 ) = P(X t 0 ) P(X < t 0 ). f) Udowodimy tylko pierwsza rówość, pozosta le wykazuje sie aalogiczie: P(a X b) = P X ([a, b]) = P X ((, b]) P X ((, a)) = F X (b) F X (a ). Uwaga: Jeśli fukcja F spe lia waruki a), b) oraz c) z powyższego twierdzeia, to jest dystrybuata pewego rozk ladu (dowód pozostawiamy jako ćwiczeie). Twierdzeie 5.3 (O jedozaczości). Dystrybuata zmieej losowej d-wymiarowej wyzacza rozk lad jedozaczie. Dowód: Za lóżmy, że X, Y sa zmieymi losowymi posiadajacymi te sama dystrybuate. Chcemy wykazać, że P X = P Y, czyli ( ) P X (B) = P Y (B)

20 ADAM OS EKOWSKI dla dowolego podzbioru borelowskiego R d. Klasa wszystkich zbiorów B spe liajacych (*) tworzy λ-uk lad. Z drugiej stroy, rówość dystrybuat daje, iż P X ((, x 1 ] (, x 2 ]... (, x d ]) = F X (x) = F Y (x) = P Y ((, x 1 ] (, x 2 ]... (, x d ]), a zatem (*) zachodzi dla zbiorów postaci (, x 1 ] (, x 2 ]... (, x d ], które tworza π-uk lad geerujacy B(R d ). Teza twierdzeia wyika wiec atychmiast z lematu o π λ uk ladach. Defiicja 5.4. Za lóżmy, że X = (X 1, X 2,..., X d ) jest d-wymiarowa zmiea losowa oraz 1 i 1 < i 2 <... < i k d (k < d). Wówczas (X i1, X i2,..., X ik ) też jest zmiea losowa i jej rozk lad azywamy k-wymiarowym rozk ladem brzegowym rozk ladu X. Uwaga: Rozk lady brzegowe ie wyzaczaja a ogó l rozk ladu l aczego. Rozważmy astepuj acy przyk lad: I - rzucamy trzy razy moeta i iech X 1 bedzie liczba reszek przed pojawieiem sie pierwszego or la, a X 2 ozacza l acz a liczbe or lów. II - rzucamy dwie serie po trzy razy moeta i iech X 1 bedzie liczba reszek przed pojawieiem sie pierwszego or la w pierwszej serii, a X 2 ozacza l acz a liczbe or lów w drugiej serii. Jest oczywiste, że zmiee X 1 oraz X 1 maja te sam rozk lad; tak samo, X 2 oraz X 2 maja te sam rozk lad. Z drugiej stroy, zmiee (X 1, X 2 ) oraz (X 1, X 2) ie maja tego samego rozk ladu: istotie, P (X1,X 2)({(3, 3)}) = 0 oraz P (X 1,X 2 ) ({(3, 3)}) = 2 6. Tak wiec rozk lady brzegowe zmieych (X 1, X 2 ) oraz (X 1, X 2) sa idetycze, ale rozk lady l acze sa róże. W dalszej cześci wyk ladu bedziemy stosować astepuj ace ozaczeie: jeśli X jest d-wymiarowa zmiea losowa, to σ(x) := {{X B} : B B(R d )} jest σ-cia lem zdarzeń geerowaym przez X. Defiicja 5.5. Za lóżmy, że (Ω, F, P) jest przestrzeia probabilistycza, a {X i } i I jest rodzia zmieych losowych, przy czym X i przyjmuje wartości w R di. Mówimy, że zmiee te sa iezależe, jeśli σ-cia la geerowae przez te zmiee sa iezależe. Iymi s lowy, zmiee {X i } i I sa iezależe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego, dowolych parami różych i 1, i 2,..., i I oraz dowolych B 1 B(R di 1 ),..., B B(R di ), P(X i1 B 1, X i2 B 2,..., X i B ) = P(X i1 B 1 )P(X i2 B 2 )... P(X i B ). Przyk lady: 1. Zdarzeia A 1, A 2,..., A sa iezależe wtedy i tylko wtedy, gdy 1 A1, 1 A2,..., 1 A sa iezależe. Istotie, wyika to atytchmiast z faktu, iż dla dowolego

WYK LAD Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I 21 zdarzeia A oraz dowolego podzbioru borelowskiego prostej mamy A jeśli 0 / B, 1 B, A jeśli 0 B, 1 / B, {1 A B} = jeśli 0, 1 / B, Ω jeśli 0, 1 B. 2. W schemacie prób Beroulliego określmy X i (ω) = X i (ω 1, ω 2,..., ω ) { 1 jeśli w i-tej próbie by l sukces, := ω i = 0 jeśli w i-tej próbie by la porażka. Wówczas X 1, X 2,..., X sa iezależymi zmieymi losowymi. Wyikie to latwo z faktów, które przytoczymy w dalszej cześci wyk ladu. Omówimy teraz pewe waruki które sa rówoważe iezależości zmieych losowych. Dla prostoty, skupimy sie a przypadku jedowymiarowym, ale poiższe twierdzeie pozostaje w mocy także w sytuacji gdy zmiee przyjmuja wartości wektorowe. Twierdzeie 5.4. Za lóżmy, że X 1, X 2,..., X sa zmieymi losowymi. Nastepu- jace waruki sa rówoważe. 1) X 1, X 2,..., X sa iezależe. 2) Dla dowolych B 1, B 2,..., B B(R) zdarzeia {X 1 B 1 }, {X 2 B 2 },..., {X B } sa iezależe. 3) P (X1,X 2,...,X ) = P X1 P X2... P X, 4) Dla dowolego x = (x 1, x 2,..., x ) R, F (X1,X 2,...,X )(x 1, x 2,..., x ) = F X1 (x 1 )F X2 (x 2 )... F X (x ). Dowód. Wiemy już, iż waruki 1) oraz 2) sa rówoważe. 2) 4). Mamy F (X1,X 2,...,X )(x 1, x 2,..., x ) = P(X 1 x 1, X 2 x 2,..., X x ) = P(X 1 x 1 )P(X 2 x 2 )... P(X x ) = F X1 (x 1 )F X2 (x 2 )... F X (x ). 4) 3) Niech X bedzie -wymiarowa zmiea losowa o rozk ladzie P X1 P X2... P X. Dla dowolego x = (x 1, x 2,..., x ) mamy ( F X (x 1, x 2,..., x ) = P X1... P X (, x1 ] (, x 2 ]... (, x ] ) = F X1 (x 1 )F X2 (x 2 )... F X (x ) = F (X1,X 2,...,X )(x 1, x 2,..., x ). Na mocy twierdzeia o jedozaczości, wyika stad P X = P (X1,X 2,...,X ). 3) 1) Dla dowolych podzbiorów borelowskich B 1, B 2,..., B prostej rzeczywstej mamy P(X 1 B 1, X 2 B 2,..., X B ) = P (X1,X 2,...,X )(B 1 B 2... B ) = P X1 (B 1 )P X2 (B 2 )... P X (B ) = P(X 1 B 1 )P(X 2 B 2 )... P(X B ). Dowód jest zakończoy. Przechodzimy teraz do bardziej szczegó lowego omówieia typów i przyk ladów rozk ladów prawdopodobieństwa w R d.

22 ADAM OS EKOWSKI Defiicja 5.6. Mówimy, że d-wymiarowa zmiea losowa X ma dyskrety (skokowy, atomowy) rozk lad, jeśli P(X S X ) = 1, gdzie jest zbiorem atomów rozk ladu. S X = {x R d : P(X = x) > 0} Uwagi: 1) Dla dowolej zmieej d-wyiarowej X zbiór S X jest co ajwyżej przeliczaly, gdyż S X = 1{x R d : P(X = x) > 1/}, i każdy ze zbiorów wystepuj acych pod suma jest skończoy. 2) Rozk lad dyskrety jest jedozaczie wyzaczoy przez co ajwyżej przeliczaly zbiór S R d oraz fukcje p : S [0, 1] taka, że x S p(x) = 1. Istotie, wówczas P (B) = p(x). Odotujmy bardzo prosty fakt. x S B Twierdzeie 5.5. Zmiee losowe X 1, X 2,..., X maja rozk lad skokowy wtedy i tylko wtedy, gdy zmiea (X 1, X 2,..., X ) ma rozk lad skokowy. W przypadku gdy mamy do czyieia ze skończoa rodzia zmieych dyskretych, waruek iezależości może być baday za pomoca astepuj acego prostego kryterium. Twierdzeie 5.6. Zmiee losowe X 1, X 2,..., X majace rozk lady dyskrete sa iezależe wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolych x 1 S X1, x 2 S X2,..., x S X zachodzi P(X 1 = x 1, X 2 = x 2,..., X = x ) = P(X 1 = x 1 )P(X 2 = x 2 )... P(X = x ). Dowód. Oczywiste: postulowaa rówość jest szczególym przypadkiem waruku wystepuj acego w defiicji iezależości. Dla u latwieia zapisu, przeprowadzimy dowód tylko dla = 2; przypadek 3 rozpatruje sie aalogiczie. Mamy P(X 1 B 1, X 2 B 2 ) = P(X 1 S X1 B 1, X 2 S X2 B 2 ) = P(X 1 = x 1, X 2 = x 2 ) x 1 S X1 B 1,x 2 S X2 B 2 = P(X 1 = x 1 )P(X 2 = x 2 ) = P(X 1 B 1 )P(X 2 B 2 ). x 2 S X2 B 2 x 1 S X1 B 1 Przyk lady: 1) Rozk lad skupioy w pukcie a R d, oz. δ a. Zmiea X ma rozk lad skupioy w a, jeśli P(X = a) = 1; S X = {a}. 2) Rozk lad dwupuktowy skupioy w a, b R d, a b. Zmiea X ma rozk lad dwupuktowy skupioy a {a, b} jeśli P(X = a) = p oraz P(X = b) = 1 p dla pewego p (0, 1). 3) Rozk lad Beroulliego (rozk lad dwumiaowy) z parametrami, p ( = 1, 2,..., p (0, 1)), oz. B(, p). Zmiea X ma rozk lad B(, p), jeśli P(X = k) =

WYK LAD Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I 23 ( ) k p k (1 p) k, k S X = {0, 1, 2,..., }. Iymi s lowy, jeśli mamy day schemat Beroulliego sk ladajacy sie z prób o prawdopodobieństwie sukcesu p, to l acza liczba sukcesów ma rozk lad Beroulliego B(, p). Dygresja. Za lóżmy, że zmiee X 1, X 2,..., X zadae sa wzorem { 1 jeśli w i-tej próbie by l sukces, ( ) X i = 0 w przeciwym przypadku. Wówczas jak latwo sprawdzić korzystajac z Twierdzeia 5.6, zmiee X 1, X 2,..., X sa iezależe. Z drugiej stroy, X 1 + X 2 +... + X jest l acz a liczba sukcesów. Otrzymaliśmy wiec astepuj acy fakt: Za lóżmy, że X 1, X 2,..., X sa iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozk ladzie (czasami te dwie w lasości bedziemy w skrócie ozaczać przez i.i.d.) zadaym przez P(X i = 1) = p = 1 P(X i = 0). Wówczas zmiea X 1 + X 2 +... + X ma rozk lad B(, p). Skorzystaliśmy tu z astepuj acej prostej obserwacji: Twierdzeie 5.7. Jeśli d-wymiarowe zmiee X, Y maja te sam rozk lad oraz f : R d R k jest fukcja borelowska, to f(x) oraz f(y ) maja te sam rozk lad. 4) Rozk lad geometryczy z parametrem p (0 < p < 1), oz. Geom(p). Zmiea X ma taki rozk lad, jeśli P(X = k) = (1 p) k p, k S X = {0, 1, 2,...}. Iterpretacja: za lóżmy, iż day jest schemat Beroulliego o ieskończoej liczbie prób i prawdopodobieństwie sukcesu p. Niech X ozacza liczbe porażek poprzedzajacych pojawieie sie pierwszego sukcesu. Wówczas X ma rozk lad geometryczy z parametrem p. Istotie, wprowadzajac zmiee X 1, X 2,... jak w poprzedim przyk ladzie, możemy zapisać P(X = k) = P(X 1 = 0, X 2 = 0,..., X k = 0, X k+1 = 1) = P(X 1 = 0)P(X 2 = 0)... P(X k = 0)P(X k+1 = 1) = (1 p) k p. Czasami w literaturze rozk lad geometryczy jest defiioway ieco iaczej: miaowicie, Y Geom(p) jeśli dla dowolej k S Y = {1, 2,...}, mamy P(Y = k) = (1 p) k 1 p. Wówczas zmiea ta ma iterpretacje jako czas oczekiwaia a pierwszy sukces w ieskończoym schemacie Beroulliego o prawdopodobieństwie sukcesu p. Jest oa zwiazaa z poprzedia zmiea zależościa Y = X + 1. 5) Rozk lad Poissoa z parametrem λ (λ > 0), oz. Pois(λ). Zmiea X ma taki rozk lad, jeśli P(X = k) = λk k! e λ, k S X = {0, 1, 2,...}. Rozk lad Poissoa powstaje przez odpowiedie przejście graicze dla rozk ladów Beroulliego. Ściślej, zachodzi astepuj acy fakt (który pozostawiamy bez dowodu). Twierdzeie 5.8 (Poissoa). Za lóżmy, że (p ) 1 jest ciagiem liczb z przedzia lu (0, 1) spe liajacym waruek lim p = λ > 0. Wówczas dla dowolej liczby k {0, 1, 2,...}, ( lim )p k(1 p ) k = λk k k! e λ.

24 ADAM OS EKOWSKI Iymi s lowy, jeśli X ma rozk lad B(, p), X ma rozk lad Pois(λ) i p λ, to rozk lady X oraz X sa bliskie. Przechodzimy do kolejej ważej rozdziy rozk ladów. Defiicja 5.7. Mówimy, że zmiea losowa d-wymiarowa X ma rozk lad ciag ly, jeśli istieje fukcja borelowska g : R d [0, ) taka, że dla dowolego podzbioru borelowskiego B R d, P(X B) = P X (B) = g(x)dx. Fukcje g azywamy wówczas gestości a rozk ladu. Uwagi: 1. Jeśli P X jest ciag ly, to S X =, ale ie a odwrót (warukiem koieczym i dostateczym jest rówość P(X B) = 0 dla dowolego B R d o zerowej mierze Lebesgue a). 2. Jeśli g : R d [0, ) jest gestości a pewego rozk ladu µ oraz g : R d [0, ) jest fukcja borelowska, to g jest gestości a µ wtedy i tylko wtedy, gdy g = g p.w.. Istotie, implikacja jest oczywista: µ(a) = g(x)dx = g(x)dx. A Przechodzimy do implikacji : mamy B g = g dla dowolego zbioru borelowskiego B B. Za lóżmy, że teza ie zachodzi; wówczas jede ze zbiorów {g > g}, {g < g} ma dodatia miare. Bez straty ogólości za lóżmy, że jest to pierwszy zbiór, i ozaczmy go przez B. Jest to zbiór borelowski, i B g > g, sprzeczość. B 3. Każda fukcja borelowska g : R d [0, ) taka, że g(x)dx = 1 jest R d gestości a pewego rozk ladu, zadaego przez µ(b) = B g(x)dx dla B B(Rd ). 4. Zmiea X ma rozk lad ciag ly wtedy i tylko wtedy, gdy istieje fukcja borelowska g : R d [0, ) taka, że x1 x2 xd F X (x 1, x 2,..., x d ) =... g(y 1, y 2,..., y d )dy d dy d 1... dy 1. Istotie: Mamy F (x 1,..., x d ) = P((X 1,..., X d ) (, x 1 ]... (, x d ]) i wystarczy skorzystać z defiicji gestości. Zbiegajac z x 1, x 2,..., x d do ieskończoości widzimy, że g(x)dx = 1. R d Niech µ b edzie rozk ladem prawdopodobieństwa w R d, zadaym przez g estość g (patrz Uwaga 3 powyżej). Wówczas, a mocy poprzediej implikacji mamy F X = F µ, a zatem, z twierdzeia o jedozaczości, P X = µ. 5. Jako wiosek z poprzediej uwagi, otrzymujemy astepuj acy fakt. Twierdzeie 5.9. Za lóżmy, że X jest d-wymiarowa zmiea losowa o dystrybuacie F i iech g(x 1, x 2,..., x d ) = d F x 1 x 2... x d (x 1, x 2,..., x d ) A B p.w.. Wówczas jeśli g = 1, to X ma rozk lad ciag ly R d i jego gestości a jest fukcja g. Przyk lad:

WYK LAD Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I 25 Losujemy pukt z ko la o promieiu R. Niech X ozacza odleg lość puktu od środka ko la. Wówczas, jak już wiemy, 0 dla t < 0, F X (t) = t 2 /R 2 dla 0 t < R, 1 dla t R. Różiczkujac, dostajemy g(t) = { 0 dla t < 0 lub t R, 2t/R 2 dla 0 t < R. Latwo sprawdzić, że R g = 1, a wiec g jest gestości a rozk ladu zmieej X. Twierdzeie 5.10. Jeśli zmiea X = (X 1, X 2,..., X d ) ma rozk lad ciag ly, to jej rozk lady brzegowe też sa ciag le. Poadto g Xi (x) = g(x 1, x 2,..., x i 1, x, x i+1,..., x d )dx 1... dx i 1 dx i+1... dx d. R d 1 Ogóliej, aby otrzymać g estość wektora (X i1, X i2,..., X ik ), musimy odca lkować g estość X po wszystkich x i dla i / {i 1, i 2,..., i k }. Dowód. Mamy P(X i B) = P((X 1, X 2,..., X d ) R i 1 B R d i ) = ( ) = g(x)dx 1... dx i 1 dx i+1... dx dx i. B R i 1 R d i R i 1 B R d i g W przypadku gdy rozk lad brzegowy jest wielowymiarowy, rozumowaie jest aalogicze. Uwaga: Implikacja w druga stroe ie zachodzi: wystarczy wziać dowola jedowymiarowa zmiea losowa X o rozk ladzie ciag lym i rozważyć wektor (X, X) (który rozk ladu ciag lego już ie posiada, gdyż jest skocetroway a zbiorze {(x, x) : x R}, który ma zerowa miare Lebesgue a). Waże przyk lady rozk ladów ciag lych 1) Rozk lad jedostajy (rówomiery) a zbiorze D, oz. U(D). Za lóżmy, że D B(R d ) spe lia waruek 0 < D <. Zmiea losowa X ma rozk lad jedostajy a D, jeśli ma gestość g(x) = 1 D 1 D(x) = { 1/ D dla x D, 0 dla x / D. Dla dowolego B B(R d ) mamy wówczas P(X B) = B D g(x)dx = B D. W szczególości, jeśli d = 1 oraz D = [a, b], dostajemy rozk lad o gestości g(x) = 1 b a 1 [a,b](x) i dystrybuacie x 0 dla x < a, F X (x) = g(s)ds = (x a)/(b a) dla a x < b, 1 dla x b.

26 ADAM OS EKOWSKI 2) Rozk lad wyk ladiczy z parametrem λ (λ > 0), oz. Exp(λ). Zmiea losowa X ma taki rozk lad, jeśli ma gestość { g(x) = λe λx 0 dla x < 0, 1 [0, ) (x) = λe λx dla x 0. Jak latwo policzyć, wówczas F X (x) = { 0 dla x < 0, 1 e λx dla x 0. Rozk lad wyk ladiczy s luży do modelowaia czasu oczekiwaia a zjawisko ca lkowicie losowe. Za lóżmy, że ieujema zmiea losowa X ozacza taki czas oczekiwaia, a ca lkowita losowość zapisujemy poprzez w lasość braku pamieci: P(X > t + s X > s) = P(X > t) dla wszystkich s, t 0. Ozaczajac f(t) = P(X > t), widzimy, iż powyższe rówaie jest rówoważe f(t + s) = f(t)f(s). Dodatkowo, f jest ierosaca, prawostroie ciag la oraz spe lia f(0) = 1, lim t f(t) = 0, skad już wyika, że f(t) = e λx dla pewego λ > 0, a zatem X ma rozk lad wyk ladiczy. 3) Rozk lad Gaussa (rozk lad ormaly). Za lóżmy, że m jest ustaloym wektorem w R d, a A jest symetrycza i dodatio określoa macierza d d. Zmiea losowa X ma rozk lad ormaly (z parametrami m i A), jeśli jej gestość wyosi deta g(x) = exp ( 12 ) (2π) A(x m), x m d/2 (, ozacza iloczy skalary w R d ). Sprawdźmy, że fukcja g istotie ca lkuje sie do 1. Z algebry liiowej wiadomo, że istieje izometria (macierz ortogoala) B : R d R d taka, że B t AB ma postać diagoala: a 1 0... 0 B t AB = 0 a 2... 0.... 0 0... a d Podstawiajac x m = By, dostajemy deta g(x)dx = exp ( 12 ) R (2π) ABy, By detb dy d d/2 R d ( deta = exp 1 ) (2π) d/2 R 2 B 1 ABy, y dy d ( ) deta = exp 1 d a (2π) d/2 k yk 2 dy R 2 d k=1 deta d = e a ky 2 (2π) d/2 k /2 dy k k=1 R deta d ( ) 1 = e z2 k /2 dz k = 1, a1 a 2... a d 2π k=1 R