Dwumia Newtoa Agiesza Dąbrowsa i Maciej Nieszporsi 8 styczia Wstęp Wzory srócoego możeia, tóre pozaliśmy w gimazjum (x + y x + y (x + y x + xy + y (x + y 3 x 3 + 3x y + 3xy + y 3 x 3 + y 3 + 3xy(x + y uogólimy a wyższe potęgi x + y. O ile wypisaie astępego wzoru ie przysparza am problemów (x+y 4 (x+y 3 (x+y (x 3 +3x y+3y x+y 3 (x+y x 4 +4x 3 y+6x y +4xy 3 +y 4 o tyle zalezieie współczyia stojącego przy x 77 y 33 w rozwiięciu (x + y wymaga chwili zastaowieia. Zastaówmy się chwilę. Podczas wymażaia siedmiu sładiów (x + y(x + y(x + y(x + y(x + y(x + y(x + y wład do współczyia powiedzmy przy x 3 y 4 będą miały między iymi możeie wytłuszczoych liter (x + y(x + y(x + y(x + y(x + y(x + y(x + y (x + y(x + y(x + y(x + y(x + y(x + y(x + y Na ile możliwych sposobów moża wybrać z 7 czyiów 3 isy? Iymi słowy ile jest wszystich ombiacji 3-elemetowych ze zbioru 7-elemetowego (liczba możliwych wyborów zbioru 3-elemetowego ze zbioru 7-elemetowego? Odpowiedź być może części czyteliów jest zaa, ta liczba to ( 7 3 : 7! 3!4!. (Ale laszemu? O tym potem. To o czym ależy wiedzieć. Symbol Newtoa! Defiiujemy dla: liczb całowitych, spełiających warui:! (!!
. Własości Symbolu Newtoa! Łatwo poazać, że oraz i ieco trudiej, że +.3 Dwumia Newtoa! ( ( ( ( ( ( ( +,,..., (3 Twierdzeie o dwumiaie mówi am, że : ażda aturalą potęgę sumy x + y moża rozłożyć a: (x+y x +.4 Przyład: (x + y 8 + x y + x y +...+ y x y ( ( ( ( ( ( 8 8 8 8 8 8 x 8 + x 7 y + x 6 y + x 5 y 3 + x 4 y 4 + x 3 y 5 + 3 4 5 ( ( ( 8 8 8 x y 6 + xy 7 + y 8 x 8 + 8x 7 y + 8x 6 y + 56x 5 y 3 + 6 7 8 + 7x 4 y 4 + 56x 3 y 5 + 8x y 6 + 8xy 7 + y 8 Łatwo tu zauważyć, że jeśli jeda ze zmieych wyosi,( do dowolej potęgi to zawsze wzór upraszcza się do : ( ( 8 8 (x + 8 x 8 + x 7 +... + Uogóliając: ( + x x.5 Przyład. Na potęgę różicy wzór też działa : Zastępując we wzorze y przez y otrzymujemy ( ( ( ( 5 5 5 5 (x y 5 x 5 x 4 y + x 3 y 3 x y 3 + x 5 5x 4 y + x 3 y x y 3 + 5xy 4 y 5 ( 5 xy 4 4 ( 5 xy 5 5
.6 Dowód iducyjy 4 Dla zachodzi: (x + y ( xy + ( x y ( x y Poczyńmy założeie iducyje, tz. załóżmy, że dla pewego zachodzi (x+y x + Poażemy, że wyia stąd x y + x y +...+ y x y ( ( ( ( + + + + (x+y + x + + x y+ x y +...+ y + + Rzeczywiście, zapisując (x + y + (x + y(x + y, + ( + x + y orzystając z założeia iducyjego (x + y(x + y (x + y x y i wymażając otrzymujemy (x + y x y x + y + x y +. Ostatie wyrażeie moża zapisać x + + ( x + y + Przeumerowując wsaźii w drugiej sumie x + + i używając rówości (3 ostateczie mamy x + + co ończy dowód. ( + x y + + [( ( ] + x + y + x + y + y + + ( + y +. y + x + y 3
.7 Tri a obliczeie wartości dwumiau: Trójąt Pascala! No może ie tyle tri ile użycie związu (3. Ja ostruujemy Trójąt :.Dwa boi są samymi jedyami. Na szczycie rówież stoi jedya..następie wypełiamy trójąt od góry, liczbami powstałymi z sumowaia dwóch liczb stojących ad aszą ową liczbą. 3.Ta, więc X [ + ], Y Z 3 [ + ] 4. A teraz pełiejsza wersja : 5.Ja to się ma do współczyiów dwumiau Newtoa? Otóż możemy przyjąć że wysoość trójąta(liczoa od wierzchoła do podstawy ( to, a szeroość to. Waże jest rówież to, że zaczyamy liczyć od. i to jest wierzchołe aszego trójąta 3 W tórym wyładowca wtrąca swoje trzy grosze * Wyobraźmy sobie, że stajemy przed problemem zalezieia iezaych współczyiów f(, rozładu i pałamy iechęcią do ombiatoryi (x + y To co bez trudu zauważamy to fat f(, x y (4 N : f(, f(, (5 4
Zajdźmy związe między współczyiami rozładu (4 f(, i współczyiami f( +, postępując ta ja dowodzie iducyjym z poprzediego rozdziału, to zaczy używając tożsamości (x + y + (x + y(x +. Otrzymujemy f( +, f(, + f(,, N,,,...,. (6 Ostatie rówaie jest przyładem rówaia różicowego w dwóch zmieych iezależych ( i. Natomiast warue (5 przyładem waruu brzegowego ałożoego a rówaie (6. Przy zadaym waruu brzegowym (obrazowo: ałożoym a ramioa iesończoego trójąta z ustępu.7 rówaie (6 ma doładie jedo rozwiązaie ja to widzieliśmy w ustępie.7 ostruując trójąt pasala. Tym rozwiązaiem jest f(,. Iymi słowy jeśli mamy zadaą wartość fucji a brzegu obszaru (w aszym przypadu ramioa iesończoego trójąta to rówaie (6 pozwala zaleźć warość fucji w dowolym pucie wętrza trójąta. W iedaleiej przyszłości będą Państwo rozwiązywać rówaia różiczowe przy zadaych waruach początowo-brzegowych. Szczególą uwagę zwrócimy a taie warui początowo-brzegowe, tóre gwaratują istieie i jedozaczość rozwiązaia rówaia. 3. Wielomiay a symbol Newtoa Niech daa będzie rodzia wielomiaów Rodzia ta ma astępującą własość w (x x!, N {} d dx w +(x w (x. Dysretym odpowiediiem taiej rodziy jest ( ( + W (! Istotie, dla ustaloego, W ( jest wielomiaem -tego stopia w. Poadto, ozaczając przez operator różicowy f( : f( + f( łatwo sprawdzić, że W + ( W (. Z tego względu symbol Newtoa jest elemetarym obietem w rachuu różicowym. Poieważ rówaie (6 przy zadaym waruu (5 moża tratować jao ciąg rówań f(, f(, f(, f(, 3 f(, i ta dalej, a rozwiązaie tego ciągu rówań przy waruu f(, to buła z masłem, to i zalezieie rozwiązaia (6 przy zadaym waruu (5 ależy do elemetarza rówań różicowych. 5