O kilku zastosowaniach grup i pierścieni grupowych
|
|
- Agnieszka Komorowska
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 O kilku zastosowaiach grup i pierściei grupowych Czesław BAGIŃSKI, Edmud R. PUCZYŁOWSKI, Białystok Warszawa Nierzadko zdarza się, że rozwiązaie elemetarie brzmiącego zadaia, wymaga iestadardowych pomysłów. Niektóre z tych pomysłów odzwierciedlają własości pewych abstrakcyjych obiektów występujących w różych działach matematyki wyższej. Przedstawimy tutaj kilka takich zadań i pokażemy jak moża je dość prosto rozwiązać, gdy umiejętie wykorzysta się pewe własości grup i algebr grupowych. Kilkaaście lat temu w kokursie zadaiowym Kwata pojawiło się astępujące zadaie: 1. Na okręgu wypisao 101 liczb aturalych, których suma jest rówa 00. Wykazać, że suma pewej ilości kolejych z tych liczb wyosi 200. Moża je łatwo rozwiązać, gdy się wie, że: Porówaj z przykładem a stroie 49 książki V. Bryat, Aspekty kombiatoryki, WN-T, Warszawa Cz. Bagiński, E. R. Puczyłowski O kilku twierdzeiach elemetarej teorii liczb, czyli o tym, skąd się biorą grupy, Delta, sierpień 200. Dla działaia grupy stosujemy zapis multiplikatywy, e ozacza elemet eutraly grupy G. 2. Suma pewej ilości kolejych liczb wśród dowolie zadaych liczb całkowitych a 1,...,a dzieli się przez. Istotie, poumerujmy kolejo liczby a okręgu, zgodie z ruchem wskazówek zegara, zaczyając od którejkolwiek z ich. Korzystając z 2 stwierdzamy, źe suma pewej ilości kolejych, spośród liczb a 1,...,a 100 dzieli się przez 100. Suma ta ie może być rówa 0, bo sumujemy liczby aturale, ai 00, bo a 101 ie jest jej składikiem. Zatem jest oa rówa 100 lub 200. Jeśli jest rówa 200, to właśie oa realizuje tezę. Jeśli jest rówa 100, to suma pozostałych liczb, które są koleje dzięki temu, że mamy do czyieia z liczbami wypisaymi a okręgu, jest rówa 200 i teraz oa realizuje tezę. Aby rozwiązać zadaie 2, ozaczmy przez r 1,...,r reszty z dzieleia przez kolejych liczb a 1,..., a. Reszty te są elemetami zbioru Z = {0, 1,..., 1}, który wraz z działaiem a b = reszta z dzieleia a + b przez tworzy grupę. Temu zadaiu moża teraz adać astępującą postać: 2. Udowodić, że dla pewych i, j (0 i < j ), r i+1 r i+2 r j = 0. Jest to szczególy przypadek zaczie ogóliejszej obserwacji dotyczącej dowolej grupy skończoej.. Jeśli g 1,...,g ależą do -elemetowej grupy G, to dla pewych i, j, 0 i < j, mamy g i+1 g i+2... g j = e. Dla dowodu zauważmy, że elemety h 0 = e, h 1 = g 1, h 2 = g 1 g 2,...,h = g 1 g 2... g ależą do grupy G. Poieważ G ma elemetów, a ciąg przed chwilą utworzoy ma + 1 wyrazów, więc a podstawie Szufladkowej Zasady Dirichleta, dla pewych i, j (0 i < j ), jest h i = h j = h i g i+1 g i+2... g j. Skracając obie stroy tej rówości przez h i, otrzymujemy, że g i+1 g i+2... g j = e. Następe zadaie, które chcielibyśmy rozważyć, jest w sformułowaiu dość podobe do zadaia drugiego. 4. Spośród dowolych 2 1 liczb całkowitych moża wybrać liczb, których suma jest podziela przez. Nie żądamy tu, by wybrae liczby były kolejymi. Chcemy atomiast, aby było ich dokładie. Okazuje się, że wykazaie, że jest to możliwe jest zaczie trudiejsze iż rozwiązaie zadaia 2. 28
2 Najpierw zredukujemy zadaie do przypadku, gdy jest liczbą pierwszą. W tym celu wystarczy wykazać, że jeśli k, l > 1 oraz spośród dowolych 2k 1 liczb całkowitych moża wybrać k liczb, których suma jest podziela przez k, a także spośród dowolych 2l 1 liczb całkowitych moża wybrać l liczb, których suma jest podziela przez l, to spośród dowolych 2kl 1 liczb całkowitych a 1, a 2,, a kl moża wybrać kl liczb, których suma jest podziela przez kl. Poieważ 2kl 1 > 2k 1, więc spośród aszych 2kl 1 liczb możemy wybrać k, których suma s 1 jest podziela przez k. Z pozostałych liczb zowu możemy wybrać k, których suma s 2 jest podziela przez k. Postępowaie to kotyuujemy do mometu, gdy zostaie miej iż 2k 1 liczb. Zauważmy, że poieważ 2kl 1 = k(2l 1) + k 1, operację tę możemy powtórzyć 2l 1 razy uzyskując sumy s 1, s 2,, s 2l 1 podziele przez k. Spośród tych liczb możemy wybrać l, których suma jest podziela przez l. Jase jest, że ta suma jest podziela przez kl i że jest sumą kl liczb wybraych spośród liczb a 1, a 2,, a kl. Rozwiązaie zadaia 4 sprowadza się więc do wykazaia, że: 4. Jeśli p jest liczbą pierwszą, to spośród 2p 1 liczb całkowitych moża wybrać p liczb, których suma jest podziela przez p. Dla ustaleia uwagi moża przyjąć, że K jest ciałem liczb wymierych lub ciałem Z p reszt modulo p, którego elemetami są liczby 0, 1,..., p 1 z operacjami dodawaia i możeia zdefiiowaymi rówościami: a b = reszta z dzieleia a + b przez p, a b = reszta z dzieleia a b przez p. Przy skrócoej otacji (1), rówość (2) ma postać α g g = β g g, i zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy α g = β g dla wszystkich g G. W dowodzie tego faktu wykorzystamy pojęcie algebry grupowej. Zaczijmy od ogólej defiicji. Niech G będzie dowolą grupą skończoą z działaiem o zapisie multiplikatywym, mającą dokładie elemetów, zaś K dowolym ciałem. Przez K[G] ozaczymy zbiór wszystkich formalych wyrażeń postaci (1) α g g, gdzie α g K i g G. Moża przyjąć, że elemety zbioru K[G] są wektorami o współrzędych umerowaych elemetami grupy G. Zamiast α g g piszemy też α 1 g 1 + α 2 g α g, gdzie α 1,...,α K oraz {g 1,...,g } = G. Przyjmujemy przy tym, że (2) α 1 g 1 + α 2 g α g = β 1 g 1 + β 2 g β g wtedy i tylko wtedy, gdy α i = β i, dla wszystkich i = 1,..., ). Przy zapisie poszczególych elemetów w K[G] pomijamy a ogół człoy ze współczyikami zero (gdy wszystkie współczyiki są rówe zero, to piszemy zamiast 0g, lub 0g g, po prostu 0). W aturaly sposób wprowadzamy rówież ie uproszczeia otacji. I tak, zamiast 1g piszemy g, zamiast ( α)g piszemy αg, a elemet eutraly e grupy G ozaczamy symbolem 1 (tak jak elemet z ciała K) i będziemy go a ogół opuszczali przy zapisie elemetów K[G], tz. zamiast α 1 będziemy pisali α. W zbiorze K[G] wprowadzamy działaia dodawaia i możeia przez skalary (czyli elemety ciała), tak jak czyi się to z wektorami: dodawaie: (α 1 g α g ) + (β 1 g β g ) = (α 1 + β 1 )g (α + β )g ; możeie przez skalary: α (β 1 g β g ) = (αβ 1 )g (αβ )g. Wprowadzamy jeszcze jedą operację, którą jedak wygodiej zapisać w skrótowej postaci. Jest to operacja możeia: ( ) ( ) α g g β g g = γ x x, x G gdzie γ x = gh=x α g β h. Jak zatem widać, ajbardziej skomplikowae jest możeie. Oo także w decydującym stopiu wpływa a wewętrzą strukturę algebry K[G], dlatego przyjrzyjmy się mu jeszcze przez chwilę. Możąc elemet α 1 g α g przez 29
3 β 1 g β g, postępujemy dokładie tak samo, jak przy możeiu wyrażeń algebraiczych, czyli wszystkie składiki α i g i pierwszej sumy możymy po kolei przez wszystkie składiki β j g j drugiej, wedle wzoru α i g i β j g j = (α i β j )(g i g j ). Następie sumujemy otrzymae wyiki i redukujemy wyrazy podobe. Działaia określoe w K[G] mają prawie wszystkie własości podstawowych działań a liczbach i a wektorach. Jedyie czego ie moża oczekiwać, to istieie odwrotości dla dowolego elemetu różego od zera i przemieości możeia, jeśli G ie jest grupą przemieą. W przypadku pewych grup o mało skomplikowaej strukturze, ich algebry grupowe moża opisać w ieco iy, może bardziej elemetary, sposób. Niech G będzie cykliczą grupą rzędu, tz. G = {x, x 2,...,x 1, x = 1}. Elemety grupy G możemy traktować jak jedomiay zmieej x, które możymy wedle powszechie zaych reguł, ale dodatkowo upraszczamy zapis wyikający z faktu, iż x = 1. I tak a przykład, x 2 x 1 = x +1 = x x = x. Elemety algebry K[G] możemy więc traktować jak wielomiay zmieej x, których stopień ie przekracza 1: α 0 + α 1 x + + α 1 x 1. Możeie elemetów tej algebry wykoujemy dokładie tak, jak możeie wielomiaów, pamiętając przy tym, że x = 1. Mamy zatem: (α 0 + α 1 x + + α 1 x 1 ) (β 0 + β 1 x + + β 1 x 1 ) = = α 0 β 0 + α 0 β 1 x + + α 0 β 2 x 2 + α 0 β 1 x α 1 β 0 x + α 1 β 1 x α 1 β 2 x 1 + α 1 β α 2 β 0 x 2 + α 2 β 1 x + + α 2 β 2 + α 2 β 1 x+ + α 1 β 0 x 1 + α 1 β α 1 β 2 x + α 1 β 1 x 2 = = (α 0 β 0 + α 1 β α 2 β 2 + α 1 β 1 )+ + (α 0 β 1 + α 1 β α 2 β + α 1 β 2 )x+ + (α 0 β 2 + α 1 β α 2 β 4 + α 1 β )x (α 0 β 1 + α 1 β α 2 β 1 + α 1 β 0 )x 1. Nietrudo sprawdzić, że tak określoe możeie moża zdefiiować aalogiczie, jak możeie modulo. Otóż, elemety omawiaej algebry K[G] moża traktować jak reszty z dzieleia wielomiaów zmieej x o współczyikach z K przez wielomia x 1. Jeśli teraz mamy dwa dowole elemety (reszty), to ich iloczy w K[G] jest po prostu resztą z dzieleia przez x 1 zwykłego iloczyu tych elemetów, traktowaych jak wielomiay. Niech teraz G będzie iloczyem kartezjańskim dwóch kopii grupy cykliczej {1, g, g 2,...,g p 1 } rzędu p. Moża ją iterpretować jako zbiór wszystkich jedomiaów zmieych x, y postaci x k y l, gdzie 1 k, l p 1, których możeie wykoujemy tak, jak zwykłe możeie jedomiaów przemieych zmieych x i y, pamiętając przy tym, że x p = y p = 1. Niech poadto K = Z p. W algebrze K[G] rozważmy zbiór ω(g) = { α g (g 1) α g K}. Zauważmy, że jeśli g = x k y l, to g 1 = x k y l 1 = (x k 1)y l + y l 1 = = (x 1)(1 + x + x x k 1 )y l + (y 1)(1 + y + y y l 1 ) = = (x 1)a + (y 1)b dla odpowiedich a, b K[G]. Wyika stąd, że jeśli a 1,...,a ω(g), to a 1... a jest sumą elemetów postaci (x 1) m (y 1) r c, gdzie m, r są liczbami całkowitymi ieujemymi takimi, że m + r = oraz c K[G]. Zauważmy także, że (x 1) p = x p 1 p = 0 = (y 1) p, a zatem jeśli m p, to (x 1) m = (y 1) m = 0. Jeśli teraz a 1,...,a 2p 1 ω(g), to () a 1 a 2... a 2p 1 = 0. 0
4 Rzeczywiście, po uwzględieiu postaci czyików i ich wymożeiu, iloczy po lewej stroie tej rówości staie się sumą elemetów postaci (x 1) m (y 1) r c, gdzie m + r = 2p 1. Zatem każdy składik tej sumy jest rówy zero. Wyposażei w tę wiedzę możemy już ietrudo wykazać 4 (chociaż w pewym sesie właśie teraz pojawia się ajistotiejszy pomysł). Załóżmy więc, że 1, 2,, 2p 1 są daymi liczbami całkowitymi. Możemy je oczywiście zastąpić przez ich reszty modulo p i w efekcie założyć, że są to liczby ieujeme ie większe od p 1. Niech, jak wyżej, G będzie grupą, która jest iloczyem kartezjańskim dwóch kopii grupy cykliczej {1, g,...,g p 1 } rzędu p, K = Z p i iech g 1 = x 1 y 1+1, g 2 = x 2 y 2+1,...,g 2p 1 = x 2p 1 y 2p 1+1. Oczywiście g 1 1, g 2 1,, g 2p 1 1 ω(g). Zatem (g 1 1)(g 2 1) (g 2p 1 1) = 0. Po rozwiięciu lewej stroy tej rówości otrzymamy wyrażeie, które jest sumą 1 oraz wyrażeń ±g i1 g i2 g ik, gdzie k 2p 1. Oczywiście 1 musi się zredukować z pewym takim wyrażeiem. Wyika stąd, że dla pewego k oraz i 1, i 2,, i k takich, że 1 k, i 1, i 2,, i k 2p 1, mamy g i1 g i2 g ik = 1. To zaś ozacza, że x i 1 + i2 + + ik y i 1 + i2 + + ik +k = 1. W efekcie x i 1 + i2 + + ik = 1 oraz y k = 1. Z tych rówości wyika, że k oraz i1 + i2 + + ik są podziele przez p. Poieważ jedak 1 k 2p 1, więc k = p. Zatem suma p spośród liczb 1, 2,, 2p 1 jest podziela przez p i zadaie jest rozwiązae. Zajmiemy się teraz iym zadaiem z elemetarej teorii liczb. Przy odrobiie ciekawości moża opisaą w im własość odkryć bawiąc się potęgami elemetu 1 x ależącego do rozpatrywaej wyżej algebry grupowej grupy rzędu p ad ciałem Z p. Załóżmy ajpierw, że p = 2. Jak wiemy, w tej algebrze (1 x) 2 = 1 2x + x 2 = 2 2x = 0, a więc dla dowolej liczby aturalej p także mamy rówość (1 x) = 0. Z rozwiięcia lewej stroy tego wyrażeia oraz rówości x 2 = 1 otrzymujemy 0 = Zatem obie liczby ( 1) k( ) x k = k=0 0 2k k 2k) i 0 2k 1 2k+1 2k) 1 2k+1 2k+1) x. 2k+1) są podziele przez 2, poieważ traktowae, jako elemety ciała Z 2 są rówe 0. Rozważmy jeszcze jede szczególy przypadek p =. Tu aalogiczie, dla zachodzi rówość (1 x) = 0, a po rozwiięciu lewej stroy i uwzględieiu rówości x = 1, dostajemy 0 = ( 1) k k) x k = k=0 = ( 1) k( ) + ( 1) k+1( ) x + ( 1) k k+2) x 2. 0 k k 1 k+1 k+1 1 k+2 Aalogiczie, jak poprzedio otrzymujemy zatem, że każda z liczb ( 1) k( ), ( 1) k( ), ( 1) k 0 k k 1 k+1 k+1 1 k+2 k+2 dzieli się przez. Na bazie tych szczególych przypadków sformułujmy zadaie ogóle, którego rozwiązaie pozostawiamy Czytelikowi. 5. Niech p będzie dowolą liczbą pierwszą, p > 2, i m liczbą całkowitą z przedziału 0; p 1. Wówczas dla dowolej liczby aturalej p, liczba ( 1) k( ) dzieli się przez p. 1 pk+m pk+m Na zakończeie zapropoujemy do rozwiązaia w liczbach całkowitych astępujący układ rówań. a 2 + 2bc = pa (4) b 2 + 2ac = pc c 2 + 2ab = pb 1 )
5 Jego rozwiązaie metodami tradycyjymi ie jest może szczególie trude, ale za to jest dość żmude. Tymczasem okazuje się, że wykorzystaie algebr grupowych i ich klasyczych własości daje odpowiedź atychmiast. Niech G = {1, g, g 2 } będzie grupą cykliczą rzędu oraz Q[G] algebrą grupową tej grupy ad ciałem Q liczb wymierych. W algebrze tej rozważmy podzbiór Z[G] = {a + bg + cg 2 a, b, c Z}, gdzie Z ozacza zbiór liczb całkowitych. Zauważmy, że rozwiązaie układu (4) jest rówoważe z wyzaczeiem wszystkich elemetów ξ = a + bg + cg 2 Z[G], które dla ustaloej liczby p spełiają rówaie (5) ξ 2 = pξ. Podstawieie ξ = a + bg + cg 2 prowadzi właśie do układu (4). Dzieląc rówaie (5) obustroie przez p 2 otrzymujemy rówaie w algebrze Q[G] (6) η 2 = η, gdzie η = ξ p. Ze zaych od poad 100 lat strukturalych własości algebr grupowych wiadomo, że w aszej sytuacji, ostatie z rówań ma cztery 1+g+g rozwiązaia: 0, 1, 2, 1 1+g+g2 = 2 g g2. To ozacza, że p = i układ (4) ma cztery rozwiązaia: 1) a = b = c = 0 2) a =, b = 0, c = 0 ) a = b = c = 1 4) a = 2, b = c = 1 Wzorując się a powyższym przykładzie moża ułożyć całą serię układów rówań ieliiowych, iełatwych do rozwiązaia metodami elemetarymi. Owe strukturale własości algebr grupowych, a które powołaliśmy się przy rozwiązaiu układu (4) zae są dla zaczie ogóliejszego przypadku grup, iż tylko grupy cyklicze. Na początku dwudziestego wieku opisao rozwiązaia rówań postaci (6) rówież w przypadku grup ieabelowych tz. takich, w których działaie ie jest przemiee. Od takich rozważań zaczął się m.i. jede z bardzo ważych i obszerych działów współczesej algebry teoria reprezetacji grup skończoych. O iej i zagadieiach pokrewych opowiemy przy iej okazji. 2
I. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
Bardziej szczegółowoStwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
Bardziej szczegółowoO liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowoAnaliza I.1, zima wzorcowe rozwiązania
Aaliza I., zima 07 - wzorcowe rozwiązaia Marci Kotowsi 5 listopada 07 Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczba 7 + dzieli się przez 6. Dowód. Tezę udowodimy za pomocą iducji matematyczej. Najpierw
Bardziej szczegółowoO trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności
Edward Stachowski O trzech elemetarych ierówościach i ich zastosowaiach przy dowodzeiu iych ierówości Przy dowodzeiu ierówości stosujemy elemetare przejścia rówoważe, przeprowadzamy rozumowaie typu: jeżeli
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy
12. Dowieść, że istieje ieskończeie wiele par liczb aturalych k < spełiających rówaie ( ) ( ) k. k k +1 Stosując wzór a wartość współczyika dwumiaowego otrzymujemy ( ) ( )!! oraz k k! ( k)! k +1 (k +1)!
Bardziej szczegółowoTeoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
Bardziej szczegółowo2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1
Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.
Bardziej szczegółowoParametryzacja rozwiązań układu równań
Parametryzacja rozwiązań układu rówań Przykład: ozwiąż układy rówań: / 2 2 6 2 5 2 6 2 5 //( / / 2 2 9 2 2 4 4 2 ) / 4 2 2 5 2 4 2 2 Korzystając z postaci schodkowej (środkowa macierz) i stosując podstawiaie
Bardziej szczegółowo5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie 5. Zasada idukcji matematyczej. Dowody idukcyje. W rozdziale sformułowaliśmy dla liczb aturalych zasadę miimum. Bezpośredią kosekwecją
Bardziej szczegółowoDamian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.
Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako
Bardziej szczegółowoInternetowe Kółko Matematyczne 2004/2005
Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,
Bardziej szczegółowoWykład 11. a, b G a b = b a,
Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada
Bardziej szczegółowoGeometrycznie o liczbach
Geometryczie o liczbach Geometryczie o liczbach Łukasz Bożyk Dodatią liczbę całkowitą moża iterpretować jako pole pewej figury składającej się z kwadratów jedostkowych Te prosty pomysł pozwala w aturaly
Bardziej szczegółowoKongruencje Wykład 4. Kongruencje kwadratowe symbole Legendre a i Jac
Kogruecje kwadratowe symbole Legedre a i Jacobiego Kogruecje Wykład 4 Defiicja 1 Kogruecję w ostaci x a (mod m), gdzie a m, azywamy kogruecją kwadratową; jej bardziej ogóla ostać ax + bx + c może zostać
Bardziej szczegółowo7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi,
7 Liczby zespoloe Liczby zespoloe to liczby postaci z a + bi, gdzie a, b R. Liczbę i azywamy jedostką urojoą, spełia oa waruek i 2 1. Zbiór liczb zespoloych ozaczamy przez C: C {a + bi; a, b R}. Liczba
Bardziej szczegółowo3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
Bardziej szczegółowox 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem
9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH
Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. Robert Rałowski
Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................
Bardziej szczegółowoPierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik
Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Informatyka 2015/2016 Kazimierz Jezuita. ZADANIA - Seria 1. Znaleźć wzór na ogólny wyraz ciągu opisanego relacją rekurencyjną: x
Iformatyka 05/06 Kazimierz Jezuita ZADANIA - Seria. Relacja rekurecyja kowecja sumacyja suma ciągu geometryczego. Zaleźć wzór a ogóly wyraz ciągu opisaego relacją rekurecyją: x sprowadzając problem do
Bardziej szczegółowoFunkcje tworzące - przypomnienie
Zadaia z ćwiczeń # (po. marca) Matematyka Dyskreta Fukcje tworzące - przypomieie Fukcje tworzące są początkowo trude do przełkięcia, ale stosuje się je dość automatyczie i potrafimy je policzyć dla praktyczie
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.9.6, godz. :-5: Zadaie. ( puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z 4 = 4 w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej (bez używaia fukcji trygoometryczych)
Bardziej szczegółowoDwumian Newtona. Agnieszka Dąbrowska i Maciej Nieszporski 8 stycznia 2011
Dwumia Newtoa Agiesza Dąbrowsa i Maciej Nieszporsi 8 styczia Wstęp Wzory srócoego możeia, tóre pozaliśmy w gimazjum (x + y x + y (x + y x + xy + y (x + y 3 x 3 + 3x y + 3xy + y 3 x 3 + y 3 + 3xy(x + y
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji ( ) : m f x = Ax ( A) { Ax x } = Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/ n 333))
46. Wskazać liczbę rzeczywistą k, dla której graica k 666 + 333)) istieje i jest liczbą rzeczywistą dodatią. Obliczyć wartość graicy przy tak wybraej liczbie k. Rozwiązaie: Korzystając ze wzoru a różicę
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone
Zadaia z algebry liiowej - sem. I Liczby zespoloe Defiicja 1. Parę uporządkowaą liczb rzeczywistych x, y azywamy liczbą zespoloą i ozaczamy z = x, y. Zbiór wszystkich liczb zespoloych ozaczamy przez C
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Podstawowe struktury algebraicze Defiicja 1. Działaiem dwuargumetowym(biarym) określoym a iepustym zbiorze X azywamy fukcję f, która każdej parze uporządkowaej(a, b) elemetów zbioru X przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoRekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech
Bardziej szczegółowoMACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Bardziej szczegółowoCAŁKA NIEOZNACZONA. F (x) = f(x) dx.
CAŁKA NIEOZNACZONA Mówimy, że fukcja F () jest fukcją pierwotą dla fukcji f() w pewym ustaloym przedziale - gdy w kadym pukcie zachodzi F () = f(). Fukcję pierwotą często azywamy całką ieozaczoą i zapisujemy
Bardziej szczegółowoWykład 7. Przestrzenie metryczne zwarte. x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy
Wyład 7 Przestrzeie metrycze zwarte Defiicja 8 (przestrzei zwartej i zbioru zwartego Przestrzeń metryczą ( ρ X azywamy zwartą jeśli ażdy ciąg elemetów tej przestrzei posiada podciąg zbieży (do putu tej
Bardziej szczegółowoCIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy
CIĄGI LICZBOWE Poziom podstawowy Zadaie ( pkt) + 0 Day jest ciąg o wyrazie ogólym a =, N+ + jest rówy? Wyzacz a a + Czy istieje wyraz tego ciągu, który Zadaie (6 pkt) Marek chce przekopać swój przydomowy
Bardziej szczegółowoc 2 + d2 c 2 + d i, 2
3. Wykład 3: Ciało liczb zespoloych. Twierdzeie 3.1. Niech C R. W zbiorze C określamy dodawaie: oraz możeie: a, b) + c, d) a + c, b + d) a, b) c, d) ac bd, ad + bc). Wówczas C, +, ) jest ciałem, w którym
Bardziej szczegółowoI. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n
I. Ciągi liczbowe Defiicja 1. Fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych o wartościach rzeczywistych azywamy ciągiem liczbowym. Ciągi będziemy ozaczać symbolem a ), gdzie a ozacza -ty wyraz ciągu a ). Defiicja.
Bardziej szczegółowo3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej
3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych
Bardziej szczegółowoMARIUSZ KAWECKI zbiór zadań dla zainteresowanego matematyką licealisty
MARIUSZ KAWECKI zbiór zadań dla zaiteresowaego matematyką licealisty Copyright by M. Kawecki 07 Spis treści Wstęp 3. Logika w praktyce 5. Liczby i działaia 0 3. Rówaia i układy rówań 6 4. Własości fukcji
Bardziej szczegółowo201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204.
Liczby rzeczywiste dodatie a 1, a 2, a 3,...a spełiają waruek a 1 +a 2 +a 3 +...+a =. Wpisać w kratkę zak lub i udowodić podaą ierówość bez korzystaia z gotowych twierdzeń (moża korzystać z wcześiejszych
Bardziej szczegółowoLICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY
LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY Zgodie z dążeiami filozofii pitagorejsiej matematyzacja abstracyjego myśleia powia być dooywaa przy pomocy liczb. Soro ta, to liczby ależy tworzyć w miarę
Bardziej szczegółowo( ) WŁASNOŚCI MACIERZY
.Kowalski własości macierzy WŁSNOŚC MCERZY Własości iloczyu i traspozycji a) możeie macierzy jest łącze, tz. (C) ()C, dlatego zapis C jest jedozaczy, b) możeie macierzy jest rozdziele względem dodawaia,
Bardziej szczegółowoZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ.
ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ I Fukcja kwadratowa ) PODAJ POSTAĆ KANONICZNĄ I ILOCZYNOWĄ (O ILE ISTNIEJE) FUNKCJI: a) f ( ) + b) f ( ) 6+ 9 c) f ( ) ) Narysuj wykresy fukcji f
Bardziej szczegółowo3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe.
3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe. Bóg stworzył liczby aturale, wszystko ie jest dziełem człowieka. Leopold Kroecker Ozaczeia: zbiór liczb aturalych: N = {1, 2,...} zbiór liczb całkowitych ieujemych: N
Bardziej szczegółowoma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y
Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:
Bardziej szczegółowozadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12
Rozwiazaia zadań z pierwszej klasówki, 0 listopada 06 r zestaw A Ciag a ) jest zaday rekuryjie: a a, a + a a 9, a R, a
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 Zasadnicze twierdzenie algebry. Poj. ecie pierścienia
Wy lad 8 Zasadicze twierdzeie algebry. Poj ecie pierścieia 1 Zasadicze twierdzeie algebry i jego dowód Defiicja 8.1. f: C C postaci Wielomiaem o wspó lczyiach zespoloych azywamy fucj e f(x) = a x + a 1
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji : m f x = Ax RAAx x Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy podprzestrzeń
Bardziej szczegółowoElementy rach. macierzowego Materiały pomocnicze do MES Strona 1 z 7. Elementy rachunku macierzowego
Elemety rach macierzowego Materiały pomocicze do MES Stroa z 7 Elemety rachuku macierzowego Przedstawioe poiżej iformacje staowią krótkie przypomieie elemetów rachuku macierzowego iezbęde dla zrozumieia
Bardziej szczegółowoI kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy
Klucz odpowiedzi do zadań zamkiętych oraz schematy oceiaia zadań otwartych Matematyka CZERWIEC 0 Schemat oceiaia Klucz puktowaia zadań zamkiętych Nr zad Odp 5 6 8 9 0 5 6 8 9 0 5 6 B C C B C C A A B B
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.
Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe
Bardziej szczegółowo3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt Pascala. (c.d.
Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących 009/10 3 Wzory skrócoego możeia działaia a wielomiaach Procety Elemety kombiatoryki: dwumia Newtoa i trójkąt Pascala (cd) paździerika 009 r 0 Skometować frgmet
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD Szeregi potęgowe Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C jeżeli jest -krotie różiczkowala i jej -ta pochoda jest fukcją ciągłą. Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C, jeżeli jest
Bardziej szczegółowoEgzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania
zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia
Bardziej szczegółowoMATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań
MATURA 0 z WSiP Matematyka Poziom rozszerzoy Zasady oceiaia zadań Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo, Warszawa 0 Matematyka Poziom rozszerzoy Kartoteka testu Numer zadaia Sprawdzaa umiejętość
Bardziej szczegółowoTrzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w
Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to
Bardziej szczegółowoO pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii
O pewych zastosowaiach rachuku różiczkowego fukcji dwóch zmieych w ekoomii 1 Wielkość wytwarzaego dochodu arodowego D zależa jest od wielkości produkcyjego majątku trwałego M i akładów pracy żywej Z Fukcję
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n 4n n 1
30. Obliczyć wartość graicy ( 0 ( ( ( 4 +1 + 1 4 +3 + 4 +9 + 3 4 +7 +...+ 1 4 +3 + 1 ( ( 4 +3. Rozwiązaie: Ozaczmy sumę występującą pod zakiem graicy przez b. Zamierzamy skorzystać z twierdzeia o trzech
Bardziej szczegółowoRozmieszczenie liczb pierwszych
Rozmieszczeie liczb pierwszych Euler Pierwszy owoczesy wyik pochodzi od Eulera: TWIERDZENIE: Szereg p primes p est rozbieży. Szkic dowodu: Dla s > zachodzi rówość ( ) = s = i= ( + p s i ) + p 2s i +....
Bardziej szczegółowoKombinowanie o nieskończoności. 1. Jak zliczyć materiały do ćwiczeń
Kombiowaie o ieskończoości.. Jak zliczyć materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch marzec 208 Szybkie przypomieie z wykładu Prezetacja multimediala do wykładu. Permutacje,
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji
http://www.ii.ui.wroc.pl/ sle/teachig/a-apr.pdf Aaliza umerycza Staisław Lewaowicz Grudzień 007 r. Aproksymacja fukcji Pojęcia wstępe Defiicja. Przestrzeń liiową X (ad ciałem liczb rzeczywistych R) azywamy
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy
Klucz odpowiedzi do zadań zamkiętych oraz schematy oceiaia zadań otwartych Matematyka CZERWIEC 0 Klucz puktowaia zadań zamkiętych Nr zad Odp 5 6 8 9 0 5 6 8 9 0 5 6 B C C B C C A A B B C A B A A A B D
Bardziej szczegółowoA A A A11 A12 A1. m m mn
DODTEK NR. GEBR MCIERZY W dodatku tym podamy ajważiejsze defiicje rachuku macierzowego i omówimy iektóre fukcje i trasformacje macierzy ajbardziej przydate w zastosowaiach umeryczych a w szczególości w
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1 LUX, zima 2016/17
585. Wskaż liczbę rzeczywistą k, dla której podaa graica istieje i jest dodatią liczbą rzeczywistą. Podaj wartość graicy dla tej wartości parametru k. Jeżeli odpowiedź jest liczbą wymierą, podaj ją w postaci
Bardziej szczegółowoMetody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych
Metody badaia zbieżości/rozbieżości ciągów liczbowych Ryszard Rębowski 14 grudia 2017 1 Wstęp Kluczowe pytaie odoszące się do zagadieia badaia zachowaia się ciągu liczbowego sprowadza się do sposobu opisu
Bardziej szczegółowoScenariusz lekcji: Kombinatoryka utrwalenie wiadomości
Sceariusz lekcji: Kombiatoryka utrwaleie wiadomości 1 1. Cele lekcji a) Wiadomości Uczeń: za pojęcia: permutacja, wariacja i kombiacja, zdarzeie losowe, prawdopodobieństwo, za iezbęde wzory. b) Umiejętości
Bardziej szczegółowo3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt
Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących 008/09 3. Wzory skrócoego możeia działaia a wielomiaach. Procety. Elemety kombiatoryki: dwumia Newtoa i trójkąt Pascala. 5 paździerika 008 r. 35. Uprościć wyrażeie
Bardziej szczegółowoa n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.
ZADANIA MATURALNE - CIĄGI LICZBOWE - POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Dauta Brzezińska Zad.1. ( pkt) Ciąg a określoy jest wzorem 5.Wyzacz liczbę ujemych wyrazów tego ciągu. Zad.. ( 6 pkt) a Day jest ciąg
Bardziej szczegółowoTeoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a,, a będą dowolymi liczbami Sumę a + a + + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od do a ) Za Σ to duża greca litera sigma,
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoRozwiązania, seria 5.
Rozwiązania, seria 5. 26 listopada 2012 Zadanie 1. Zbadaj, dla jakich wartości parametru r R wektor (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)} R 3? Rozwiązanie. Załóżmy, że (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)}.
Bardziej szczegółowoZajęcia nr. 2 notatki
Zajęcia r otati wietia 5 Wzory srócoego możeia W rozdziale tym podamy ila wzorów tóre ułatwiają obliczaie wielu zadań rachuowych Fat (wzory srócoego możeia) Dla dowolych liczb rzeczywistych a, b zachodzi:
Bardziej szczegółowoa 1, a 2, a 3,..., a n,...
III. Ciągi liczbowe. 1. Defiicja ciągu liczbowego. Defiicja 1.1. Ciągiem liczbowym azywamy fukcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb aturalych N w zbiór liczb rzeczywistych R i ozaczamy przez { }. Używamy
Bardziej szczegółowo2. Nieskończone ciągi liczbowe
Ciągiem liczbowym azywamy fukcję 2. Nieskończoe ciągi liczbowe a: N R. Wartości tej fukcji ozaczamy przez a) = a i azywamy wyrazami ciągu. Często ciąg ozaczamy przez {a } = lub po prostu przez {a }. Prostymi
Bardziej szczegółowo1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki
1 Twierdzeia o graiczym przejściu pod zakiem całki Ozaczeia: R + = [0, ) R + = [0, ] (X, M, µ), gdzie M jest σ-ciałem podzbiorów X oraz µ: M R + - zbiór mierzaly, to zaczy M Twierdzeie 1.1. Jeżeli dae
Bardziej szczegółowoMatematyka. Zakres podstawowy. Nawi zanie do gimnazjum. n/m Rozwi zywanie zada Zadanie domowe Dodatkowe Komunikaty Bie ce materiały
Lekcja 1. Lekcja orgaizacyja kotrakt Podręczik: W. Babiański, L. Chańko, D. Poczek Mateatyka. Zakres podstawowy. Wyd. Nowa Era. Zakres ateriału: Liczby rzeczywiste Wyrażeia algebraicze Rówaia i ierówości
Bardziej szczegółowoKolorowanie Dywanu Sierpińskiego. Andrzej Szablewski, Radosław Peszkowski
olorowaie Dywau ierpińskiego Adrzej zablewski, Radosław Peszkowski pis treści stęp... Problem kolorowaia... Róże rodzaje kwadratów... osekwecja atury fraktalej...6 zory rekurecyje... Przekształcaie rekurecji...
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA ZADANIA
KOMBINATORYKA ZADANIA Magdalea Rudź 25 marca 2017 1 Zadaie 1. a Ile istieje liczb aturalych sześciocyfrowych? b Ile istieje liczb aturalych sześciocyfrowych takich, w których cyfra setek to sześć? 1.1
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe
Zadaia z aalizy matematyczej - sem. I Szeregi liczbowe Defiicja szereg ciąg sum częściowyc. Szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) S ) ) ciągów gdzie: ciąg a ) ciąg S ) jest day jest ciągiem sum częściowych
Bardziej szczegółowoZadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4
Zadaia z Matematyka - SIMR 00/009 - szeregi zadaia z rozwiązaiami. Zbadać zbieżość szeregu Rozwiązaie: 0 4 4 + 6 0 : Dla dostateczie dużych 0 wyrazy szeregu są ieujeme 0 a = 4 4 + 6 0 0 Stosujemy kryterium
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Zadanie o sumach cyfr poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Zadaie o sumach cyfr poziom rozszerzoy 1 Popatrzmy a astępujące trzy zadaia: Zadaie 1. Ile jest liczb dwudziestocyfrowych o sumie cyfr rówej 5? Zadaie. Oblicz, ile jest liczb dwudziestocyfrowych
Bardziej szczegółowoWektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wektory Fukcje rzeczywiste wielu zmieych rzeczywistych Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 2008/2009 R. Łochowski Wektory pukty w przestrzei R Przestrzeń R to zbiór uporządkowaych -ek liczb
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Liczby zespolone
Maciej Grzesiak Istytut Matematyki Politechiki Pozańskiej Liczby zespoloe 1. Określeie liczb zespoloych Rówaie kwadratowe ie ma pierwiastków rzeczywistych gdy < 0, bo wzory ogóle wymagają wtedy obliczeia
Bardziej szczegółowoEgzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011
Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe i ich własności. Kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność bezwzględna i warunkowa. Mnożenie szeregów.
Materiały dydaktyze Aaliza Matematyza (Wykład 3) Szeregi lizbowe i ih własośi. Kryteria zbieżośi szeregów. Zbieżość bezwzględa i warukowa. Możeie szeregów. Defiija. Nieh {a } N będzie iągiem lizbowym.
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH. 1. Renty
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 2: RENTY. PRZEPŁYWY PIENIĘŻNE. TRWANIE ŻYCIA 1. Rety Retą azywamy pewie ciąg płatości. Na razie będziemy je rozpatrywać bez żadego związku z czasem życiem człowieka.
Bardziej szczegółowo1. Powtórzenie: określenie i przykłady grup
1. Powtórzeie: określeie i przykłady grup Defiicja 1. Zbiór G z określoym a im działaiem dwuargumetowym azywamy grupą, gdy: G1. x,y,z G (x y) z = x (y z); G2. e G x G e x = x e = x; G3. x G x 1 G x x 1
Bardziej szczegółowoSKRYPT Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ DLA UCZNIÓW XIV LO Lista zadań Lista zadań 21
SKRYPT Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ DLA UCZNIÓW XIV LO MARCIN PREISNER [ PREISNER@MATH.UNI.WROC.PL ] Wrocław, 3 paździerika 03 SPIS TREŚCI Wstęp Ozaczeia. INDUKCJA MATEMATYCZNA.. Wprowadzeie.. Lista zadań 4.
Bardziej szczegółowoTematy zadań 2 razy 33 przykładowe zadania maturalne. Matura podstawowa
Tematy zadań razy przykładowe zadaia maturale Matura podstawowa Porówaj liczby: 54 + 5 oraz 4 W klasie jest 9 ucziów o średiej wieku 6 lat Średia wieku wzrośie o rok, jeżeli doliczy się wiek wychowawcy
Bardziej szczegółowoCiała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowoSzereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:
Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego
Bardziej szczegółowoAlgebra abstrakcyjna
Algebra abstrakcyjna Przykłady 1. Sama liczba 0 tworzy grupę (rzędu 1) ze względu na zwykłe dodawanie, również liczba 1 tworzy grupę (rzędu 1) ze względu na zwykłe mnożenie.. Liczby 1 i 1 stanowią grupą
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Cayleya-Hamiltona
Twierdzeie Cayleya-Hamiltoa Twierdzeie (Cayleya-Hamiltoa): Każda macierz kwadratowa spełia swoje włase rówaie charakterystycze. D: Chcemy pokazać, że jeśli wielomiaem charakterystyczym macierzy A jest
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE METODY STOLIKÓW EKSPERCKICH NA LEKCJACH MATEMATYKI SCENARIUSZE ZAJĘĆ
ZASTOSOWANIE METODY STOLIKÓW EKSERCKICH NA LEKCJACH MATEMATYKI SCENARIUSZE ZAJĘĆ Opracowała: mgr Ewa Atropik Koiecza Świebodzi 005 r Zastosowaie metody stolików eksperckich a lekcjach matematyki Wstęp
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA. Oznaczenia. } oznacza zbiór o elementach a, a2,..., an. Kolejność wypisania elementów zbioru nie odgrywa roli.
KOMBINATORYKA Kombiatoryą azywamy dział matematyi zajmujący się zbiorami sończoymi oraz relacjami między imi. Kombiatorya w szczególości zajmuje się wyzaczaiem liczby elemetów zbiorów sończoych utworzoych
Bardziej szczegółowo