3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt

Transkrypt

1 Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących 008/09 3. Wzory skrócoego możeia działaia a wielomiaach. Procety. Elemety kombiatoryki: dwumia Newtoa i trójkąt Pascala. 5 paździerika 008 r. 35. Uprościć wyrażeie Rozwiązaie: Usuwając iewymierość z miaowika otrzymujemy (5 6) (5 6) Dowieść że dla dowolej liczby aturalej zachodzi ierówość < 1. Rozwiązaie: Sposób I. Po obustroym dodaiu otrzymujemy ierówość < 1. Poieważ obie stroy powyższej ierówości są dodatie podosząc obie stroy do kwadratu dostaiemy ierówość rówoważą która jest oczywiście prawdziwa. Sposób II. < 1 Przekształcamy lewą stroę daej w zadaiu ierówości ( ) ( ) < Uzupełić wzory skrócoego możeia. Kropki występujące po lewej stroie rówości zastąpić pojedyczym zakiem. a) a 3...b 3 (ab)... b) a 3...b 3 (a b)... c) a...b (ab)... d) a...b (a b)... Szkice rozwiązań Istytut Matematyczy Uiwersytetu Wrocławskiego

2 Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących 008/09 Odpowiedź: a) a 3 b 3 (ab) (a abb ) b) a 3 b 3 (a b) (a abb ) c) a b (ab) (a 3 a bab b 3 ) d) a b (a b) (a 3 a bab b 3 ) 38. Dowieść że dla dowolej liczby aturalej zachodzi ierówość 3 3 < Rozwiązaie: Ci wszyscy którym iestraszy ułamek po prawej stroie mogą podieść ierówość stroami do sześciau. Pozostali przeoszą a lewą stroę otrzymując ierówość 3 3 < Wówczas po skorzystaiu ze wzoru otrzymujemy 3 3 a b (a b) (a abb ) a abb a3 b 3 a abb ( 3 3 ) (( 3 ) /3 ( 3 ) 1/3 ) ( 3 ) /3 ( 3 ) 1/3 ( 3 ) /3 ( 3 ) 1/3 < ( 3 ) /3 ( 3 ) 1/3 1 3 < Uwaga: Gdyby a początku było wiadomo że liczbę po prawej stroie ierówości moża oszacować przez 1/3 moża byłoby podieść obie stroy wyjściowej ierówości do sześciau bez koieczości rachowaia a ułamkach o wielocyfrowych liczikach i miaowikach. 39. Które z wielomiaów x 30 1 x 30 1 x 60 1 x 60 1 są podziele przez wielomia a) x 5 1 b) x 5 1 c) x 6 1 d) x 6 1? Odpowiedź: a) x 30 1 oraz x 60 1 b) x 30 1 oraz x 60 1 c) x 30 1 oraz x 60 1 d) x 30 1 oraz x Szkice rozwiązań Istytut Matematyczy Uiwersytetu Wrocławskiego

3 Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących 008/09 0. Skometować frgmet artykułu Ay Zawadzkiej Ile waży light? (Gazeta Wyborcza sierpia 006 r.): W Śmietakowym Warmii tłuszczu co prawda 73% ale ie podao czy a 100 g czy a całą kostkę czyli a 00 g. Z Łaciatym to samo. Napis głosi miimum 8% tłuszczu. Ale a ile? Nie podao. Masło Stołowe z Sokołowa Podlaskiego - 735% tłuszczu. Zów ie wiemy czy a 100 g czy a kostkę. Zwyczajowo a opakowaiach podaje się ilość tłuszczu a 100 gramów ale kosumet ma prawo tego ie wiedzieć. Odpowiedź: Zawartość procetowa jest z defiicji iezależa od wielkości porcji. Dzieikarz poważej gazety ie ma prawa tego ie wiedzieć. 1. Kilogram ziemiaków kosztuje 50 groszy. Jaka będzie cea ziemiaków jeżeli ich cea wzrośie a) o 000% b) o 1000% c) o 00% d) o 00% e) o 100% Odpowiedź: a) 1050 b) 550 c) 50 d) 150 e) 100. Za 17 złotych i 37 groszy moża kupić 30 kg ziemiaków. Ile ziemiaków moża będzie kupić za 3 złote i 7 grosze jeżeli ich cea a) wzrośie o 0% b) zmaleje o 0% c) wzrośie o 50% d) zmaleje o 50% Odpowiedź: a) 50 kg b) 75 kg c) 0 kg d) 10 kg Szkice rozwiązań Istytut Matematyczy Uiwersytetu Wrocławskiego

4 Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących 008/09 3. Czy istieją takie liczby pierwsze p i q że liczba q jest od liczby p a) większa o 100% b) większa o 50% c) większa o 0% d) większa o 0% e) większa o 5% f) miejsza o 5% Odpowiedź: a) NIE. b) TAK p q 3. c) TAK p 5 q 7. d) NIE. e) NIE. f) NIE.. Liczba aturala m jest o 5% większa od liczby aturalej. O ile procet ajwiększy wspóly dzielik liczb m i jest miejszy od ich ajmiejszej wspólej wielokrotości? Rozwiązaie: Z założeia m. Ozaczając k / otrzymujemy k oraz m 5k. W kosekwecji NWD(m ) k oraz NWW(m ) 0k skąd wyika że ajwiększy wspóly dzielik jest miejszy od ajmiejszej wspólej wielokrotości 0-krotie czyli o 95%. 5. Liczba aturala m jest o 5% miejsza od liczby aturalej. O ile procet ajmiejsza wspóla wielokrotość liczb m i jest większa od ich ajwiększego wspólego dzielika? Rozwiązaie: Z założeia m. Ozaczając k / otrzymujemy k oraz m 3k. W kosekwecji NWD(m ) k oraz NWW(m ) 1k skąd wyika że ajmiejsza wspóla wielokrotość jest większa od ajwiększego wspólego dzielika 1-krotie czyli o 1100%. Szkice rozwiązań Istytut Matematyczy Uiwersytetu Wrocławskiego

5 Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących 008/09 6. Chcemy ulokować w baku pieiądze a 5 lat. Który z dwóch baków powiiśmy wybrać oferujący 10% roczie z coroczą kapitalizacją odesetek czy oferujący 1% roczie ale z odsetki dopisywaymi po 5 latach bez kapitalizacji w trakcie trwaia okresu lokaty? Rozwiązaie: W drugim baku kwota K po 5 latach zamiei się a 16 K. Natomiast w pierwszym baku po 5 latach będziemy mieli kwotę (( ) ( ) 5 5 K (101) 5 K (01) 1 > K ( ) 16 K a zatem pierwszy bak oferuje korzystiejsze oprocetowaie. ( ) ) (01)... > 7. Uporządkować rosąco astępujące liczby: Odpowiedź: Poieważ ( ) 100 k rośie wraz ze wzrostem k w zakresie 0 k 50 otrzymujemy ( ) ( ) ( ) < < < 3 < 7 57 < Rozwiązać rówaie w liczbach aturalych k. 3 ( ) ( ) k Rozwiązaie: Przekształcając lewą stroę rówaia otrzymujemy ( ) 3 ( 1) ( ) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3 1 ) ( ) 3 1 zatem dae w zadaiu rówaie jest spełioe dla dowolej liczby aturalej oraz k 3 ( 1) ( ) ( ) 1. Szkice rozwiązań - - Istytut Matematyczy Uiwersytetu Wrocławskiego

6 Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących 008/09 9. Wskazać taką liczbę x że dla dowolych liczb aturalych i k prawdziwa jest rówość Rozwiązaie: Korzystając ze wzoru otrzymujemy ( ) ( ) 1 k k 1 x. k k 1 k k ( ) ( ) ( ) a a a1 b b1 b1 ( ) [( ) ( )] 1 k k k 1 ( ) ( ) ( ) k k 1 k zatem daa w zadaiu rówość jest prawdziwa przy x. [( ) ( )] k 1 k 50. Dowieść że dla dowolych liczb całkowitych ieujemych abc zachodzi rówość ( )( ) ( )( ) abc bc abc ac. a b b a Rozwiązaie: Sposób I. Lewa stroa rówości jest rówa ( )( ) abc bc (abc)! a b a! (bc)! (bc)! (abc)!. b! c! a! b! c! Aalogiczy rachuek pokazuje że prawa stroa daej w zadaiu rówości sprowadza się do tego samego wyrażeia. Sposób II. Na ile sposobów moża podzielić abc ucziów a 3 grupy tak aby w pierwszej grupie było a ucziów w drugiej b ucziów a w trzeciej c ucziów? Otóż a ucziów do pierwszej grupy moża wybrać a ( ) abc a sposobów. Z pozostałych bc ucziów moża wybrać b ucziów do drugiej grupy a ( ) bc b sposobów a pozostałych c ucziów utworzy grupę trzecią. Zatem istieje ( )( ) abc bc a b sposobów podziału ucziów a trzy grupy we wskazay sposób. Przeprowadzając aalogicze rozumowaie przy wyborze ajpierw b ucziów do drugiej grupy a astępie a ucziów do pierwszej grupy otrzymujemy wzór a liczbę możliwych sposobów podziału w postaci ( )( ) abc ac b a. Szkice rozwiązań Istytut Matematyczy Uiwersytetu Wrocławskiego

7 Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących 008/ Obliczyć sumę ( ) Rozwiązaie: Sposób I. 0 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ). Rozwijając a sumę -tą potęgę dwumiau 1 1 otrzymujemy ( ) (11) Sposób II. Ile podzbiorów ma zbiór -elemetowy? Z jedej stroy ma o podzbiorów. Z drugej stroy ma o: ( ) 0 1 podzbiorów 0-elemetowych (zbiór pusty) ( ) 1 podzbiorów 1-elemetowych ( ) podzbiorów -elemetowych... ( ) k podzbiorów k-elemetowych... ( ) 1 podzbiorów -elemetowych (cały zbiór) Zatem zbiór -elemetowy ma ( ( ( ( ) 0) 1) )... podzbiorów skąd ( ) ( ) Obliczyć sumę ( ) 0 Rozwiązaie: ( ) ( ) ( )... 6 ( ). ( ) Rozwijając a sumę -tą potęgę dwumiau 1 1 otrzymujemy ( ) ( ) 0 (1 1)...( 1) 1 ( 1). ( ) Dodając stroami rówości ( ) oraz ( ) otrzymujemy ( ) skąd ( ) 0 ( ) ( ) ( ) Szkice rozwiązań - - Istytut Matematyczy Uiwersytetu Wrocławskiego

8 Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących 008/ Dowieść że dla każdej liczby aturalej zachodzi ierówość ( ) <. Rozwiązaie: Rozwijając -tą potęgę dwumiau 1 1 otrzymujemy (11) ( ) 1 ( ) > ( ). 5. Czy w trójkącie Pascala istieją trzy liczby stojące w jedym wierszu a kolejych miejscach i pozostające w proporcji 1::3? Rozwiązaie: Załóżmy że tymi liczbami są ( ) k 1 Wówczas ( ) k 1 ( ) k ( ). k 1! (k 1)! ( k 1)!! k k! ( k)! ( k 1) ( ) k Skoro pierwsze dwie liczby mają pozostawać w proporcji 1: musi być k k 1 1 czyli Podobie ( ) k 1 k k 1 3k 1.! (k 1)! ( k 1)!! ( k) k! (k 1) ( k)! Z proporcji :3 liczb drugiej i trzeciej wyika k k 1 3 skąd Z zależości 3k 1 otrzymujemy co daje k 3k 3 5k 3. 6k 5k 3 6k. k k 1. ( ) k k k 1. Szkice rozwiązań Istytut Matematyczy Uiwersytetu Wrocławskiego

9 Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących 008/09 Stąd otrzymujemy k 5 1. Jedya trójka liczb spełiających waruki zadaia to ( ) ( ) ( ) Na okręgu zazaczoo puktów i arysowao wszystkie cięciwy o końcach w tych puktach. Okazało się że żade trzy z arysowaych cięciw ie mają wspólego puktu leżącego wewątrz koła ograiczoego daym okręgiem. Na ile obszarów zostało podzieloe koło jeżeli 1 3 5? Dla jakiej liczby koło zostaie podzieloe a 56 obszarów? Rozwiązaie: Uważe zrobieie rysuku i policzeie obszarów pokazuje że dla liczby obszarów są rówe odpowiedio Widzimy więc że liczby obszarów są kolejymi potęgami dwójki. Stąd wzór a liczbę obszarów ma postać 1. Zatem liczba 56 obszarów pojawi się dla 9. Niestety powyższe rozwiązaie jest błęde! Dla 6 liczba obszarów ie jest rówa 3 ale 31. Przy 7 otrzymujemy 57 obszarów. A oto poprawe rozwiązaie. Zaim arysujemy jakąkolwiek cięciwę okrąg ograicza jede obszar (koło). Jak zmieia się liczba obszarów po arysowaiu kolejej cięciwy? Gdy zaczyamy rysować cięciwę zaczyamy dzielić pewie obszar a dwa obszary. W momecie przecięcia z ią wcześiej arysowaą cięciwą zaczyamy dzielić iy obszar. Stąd wyika że arysowaie cięciwy zwiększa liczbę obszarów o 1 (liczba przecięć z wcześiej arysowaymi cięciwami). Przez przecięcie cięciw rozumiemy pukt wspóly cięciw iebędący ich wspólym końcem. Zatem łącza liczba obszarów po arysowaiu wszystkich cięciw jest rówa 1(liczba cięciw)(liczba przecięć cięciw). Poieważ każda cięciwa jest wyzaczoa przez dwa z wybraych puktów liczba cięciw jest rówa ( ). Z kolei każdy pukt przecięcia dwóch cięciw wyzacza pukty - końce tych cięciw. Co więcej każda czwórka puktów wyzacza dokładie jedą parę przeciających się cięciw (zrób rysuek i zobacz że pukty wyzaczają 6 cięciw ale tylko jeda para cięciw przecia się wewątrz koła). To ozacza że puktów przecięć cięciw jest tyle ile czwórek zazaczoych puktów czyli ( ). Szkice rozwiązań Istytut Matematyczy Uiwersytetu Wrocławskiego

10 Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących 008/09 Zatem liczba obszarów a jakie dzielą koło cięciwy jest rówa ( ) 1. 0 Te wzór wyjaśia dlaczego dla małych liczba obszarów jest rówa 1. Otóż dla małych zachodzi rówość ( ) ( ) Po lewej stroie mamy sumę trzech wyrazów -tego wiersza trójkąta Pascala zaś po prawej mamy sumę co drugiego wyrazu aż do końca wiersza. Jeśli jest małe -ty wiersz trójkąta Pascala jest a tyle krótki że suma po lewej stroie rozciąga się do końca wiersza. To wyjaśia dlaczego wzór 1 a liczbę obszarów początkowo jest prawdziwy a potem się załamuje. Wzór załamuje się dla 6 gdzie liczba obszarów jest rówa ( ) ( ) ( ) podczas gdy a podstawie zadaia 5 wiemy że Poprawa odpowiedź a ostatie pytaie postawioe w zadaiu brzmi: 56 obszarów pojawi się dla 10. Otóż dla 10 liczba obszarów jest rówa ( ) ( ) podczas gdy a podstawie zadaia 5 wiemy że ( ) 10 Jedak z uwagi a rówość ( ) ( ) k 10 k ( ) ( ) otrzymujemy ( ) ( ) ( ) ( ) [( ) co prowadzi do ( ) 10 0 ( ) 10 ( ) ( ) 10 ( )] 10 Szkice rozwiązań Istytut Matematyczy Uiwersytetu Wrocławskiego