Liczby Stirlinga II rodzaju - definicja i własności

Transkrypt

1 Liczby Stirliga II rodzaju - defiicja i własości Liczby Stirliga II rodzaju ozaczae sybole S(, ) lub { oża defiiować jao współczyii w rozwiięciu gdzie { x x, 0 (1) 0 x x(x 1)... (x + 1), 1 x 0 1. (2) Zostały oe wprowadzoe (raze z liczbai Stirliga I rodzaju) przez Jaesa Stirliga w dziele Methodus Differetialis wyday w Lodyie w rou Defiicja i iterpretacje obiatorycze Defiicja 1. { jest rówe liczbie - bloowych partycji zbioru - eleetowego. (Przypoijy, że partycją zbioru azyway rodzię jego iepustych, parai rozłączych podzbiorów, tóre w suie dają cały zbiór) Na przyład { poieważ zbiór {1, 2, 3, 4 ożey podzielić a dwa bloi astępująco: { { { { {1, {2, 3, 4, {2, {1, 3, 4, {3, {1, 2, 4, {4, {1, 2, 3, { {1, 2, {3, 4, { {1, 3, {2, 4, { {1, 4, {2, 3. UWAGA: Ileroć poiżej będzie owa o przypisywaiu ludzi do stoliów lub do pooi, to przyjujey, że: osoby są rozróżiale; pooje są rozróżiale, p. pouerowae; 1

2 stolii są ierozróżiale (idetycze). Obserwacja 1. Liczba rozieszczeń różych przediotów (p. ule, ażda iego oloru) do idetyczych pudełe, gdy zajętych jest doładie pudełe rówa się {, (, ). Podobie : osób ożey rozsadzić przy doładie stoliach a { sposobów, jeśli przy stoliu oże siedzieć ieograiczoa liczba osób i sposób ich usadzeia przy day stoliu ie a zaczeia. Wyjaśieie: przeprowadź astępujące przyporządowaie: - eleety zbioru przedioty (osoby); - bloi podziału pudeła (stolii); sorzystaj z zasady bijecji i Defiicji 1. Obserwacja 2. Liczba sposobów uloowaia osób w poojach, gdy w ażdy z pooi jest co ajiej jeda osoba jest rówa! { (dzieliy osoby a grup, a astępie grupy przyporządowujey w sposób 1-1 do pooi) rówa Liczba sposobow uloowaia osób w doładie spośród pooi jest ( ) { {!. (3) Łatwo policzyć, że liczba wszystich rozieszczeń osób w poojach jest rówa. Z drugiej stroy ożey policzyć te rozieszczeia suując prawą stroę (3) po 0, 1, 2,...,. Otrzyujey więc: {, (4) 0 czyli rówaie (1) dla N. Obie jego stroy to wieloiay stopia rówe dla wszystich liczb N, a zate taże dla x R. Z powyższego rozuowaia wyia, że rówaie (1) i Defiicja 1 są sobie rówoważe. 2

3 Obserwacja 3. Liczba słów długości złożoych z doładie różych liter wybraych z - zaowego alfabetu rówa się {. Wyjaśieie: przeprowadź astepujące przyporządowaie: - ludzie litery w słowie; - pooje zai alfabetu; sorzystaj z zasady bijecji i rówaia (3). Obserwacja 4. Niech A, B będą zbiorai sończoyi taii, że A, B, ( ). Liczba suriecji f : A B rówa się! {. Wyjaśieie: przeprowadź astępujące przyporządowaie: - ludzie eleety zbioru A; - pooje eleety zbioru B; sorzystaj z zasady bijecji i Obserwacji 2. Obserwacja 5. Liczba będąca iloczye różych liczb pierwszych oże być przedstawioa w postaci iloczyu różych czyiów (ieoieczie będących liczbai pierwszyi) a { sposobów. Wyjaśieie:????? Obserwacja 6. W ryptografii i ryptoaalizie lasyfiuje się słowa wg ich tzw. ciągów odelowych. Polega to a ty, że litery słowa czytae od lewej do prawej są odowae liczbai 1, 2, 3,..., p.: słowo KOMBINA- TORYKA będzie odowae ciągie 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 2, 9, 10, 1, 7, a słowo MATEMATYKA ciągie 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 5, 6, 2. Liczba ciągów odelowych odpowiadających słowo -literowy (czyli długości ) sładający się z różych liter jest rówa {. Wsazówa do wyjaśieia: powtarzające się litery właday do pudeła z liczbą. Niech strofa (zwrota) wiersza słada się z wersów. Możey podzielić zbiór jej wersów a lasy w te sposób, że w jedej lasie są wszystie wersy, tóre ryują się ze sobą. Liczba taich -wersowych strof, w tórych ay 3

4 różych ryowań się wersów jest rówa {. Wyjaśieie:????? Obserwacja 7. Rozważy perutacje liczb. Każda perutacja oże być przedstawioa w postaci iloczyu rozłączych cyli. Weźy tylo te perutacje, tórych cyle (a oretie eleety tych cyli) są uporządowae w pewie orety sposób, p. w porządu rosący. Perutacji liczb spełiających tę własość i rozładających się a cyli jest {. Wyjaśieie:????? Reurecja Rozważy usadzeia (+1) osób doooła stoliów (ta, by przy ażdy ze stoliów siedziała co ajiej jeda osoba). Wyróżijy jedą osobę, p. ostatią. Może oa siedzieć przy stoliu saa. Wtedy pozostałe osób będzie siedzieć przy ( 1) stoliach (wszystie zajęte) a { 1 sposobów. Alteratywa ożliwość polega a ty, że wyróżioa osoba dosiada się do toregoś z stoliów zajetych już przez pozostałe osób a { sposobów. Stosując zasady: ożeia i dodawaia, ay, że { + 1 { { + 1 Powyższe rówaie reurecyje, wraz z waruai brzegowyi: { 1, { δ,0, 0 { 0 δ 0,, staowi defiicję ciągu liczb Stirliga II rodzaju i uożliwia wypisaie tablicy ich wartości. (5) Ćwiczeie: Korzystając ze wzoru (5) sporządź tablicę wartości liczb Stirliga II rodzaju dla, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 4

5 Wzory Obserwacja 8. Usadzay osób przy stoliach ta, by przy ażdy ze stoliów siedziała co ajiej jeda osoba. Możey to zrobić a { sposobów. Postępujey w astepujący sposób: (1) ustawiay wszystie osoby w przypadowej olejości; (2) pierwsze r 1 osób siada przy pierwszy stoliu, oleje r 2 osoby - przy drugi, itd. do oetu aż ostatie r osób siądzie przy -ty stoliu. Wszystich ustawień osób jest!. Nie liczy się olejość osób siedzących przy ty say stoliu (dzieliy więc! przez r 1!r 2!...r!) oraz ie liczy sie olejość (uporządowaie, uerowaie) stoliów, gdyż założyliśy a początu, że stolii są idetycze (dziely więc jeszcze przez!). Liczby osób przy poszczególych stoliach, czyli ciąg r 1, r 2,..., r, wybieray w dowoly sposób byleby były spełioe warui: stąd ay, że r 1 + r r, r i 1, i 1, 2,...,, { r 1 +r r, r i 1! r 1!r 2!...r!! Obserwacja 9. Załóży, że przy usadzeiach opisaych wyżej przy a stoliach siedzi po jedej osobie, przy b stoliach- po dwie, przy c stoliach - po trzy, itd. W rówaiu (6) sładiów odpowiadajacych taiej sytuacji jest!/(a!b!c!...).wstawiając do (6) ay: {! (1!) a (2!) b (3!) c...!! a!b!c!..., gzie suowaie przebiega po wszystich całowitych liczbach a, b, c,... 0 taich, że a + b + c +..., a + 2b + 3c (6)

6 Otrzyujey więc astępujący wzór: { a+b+c+..., a, b, c,... 0 a+2b+3c+...! (1!) a (2!) b (3!) c...a!b!c!.... (7) Obserwacja 10. Rozważy iy iż wyżej algoryt rozsadzeia osób doooła stoliów (ażdy stoli a być zajęty). Ustawy wszystie osoby w pewy oreśloy porządu, p. w porządu alfabetyczy. Pierwszą osobę sadzay przy pierwszy z brzegu, woly stoliu. Koleje a 1 osób (0 a 1 ) usadzay przy ty say stoliu (a 1 a 1 sposobów). Osobę (a 1 + 2)-gą sadzay przy pierwszy z brzegu, woly stoliu. Koleje a 2 osób (0 a 2 ) usadzay w dowoly sposób przy dwóch zajętych już stoliach (oża to zrobić a 2 a 2 sposobów). Osoba (a 1 + a 2 + 3)-cia siada przy pierwszy z brzegu, woly stoliu, a oleje a 3 osób - przy trzech zajetych uprzedio stoliach (a 3 a 3 sposobów), itd. W te sposób przy ażdy ze stoliów usiądzie co ajiej jeda osoba (będą to : 1, a 1 + 2, a 1 + a 2 + 3, a 1 + a 2 + a 3 + 4,...). Liczby a 1, a 2,..., a 0 wybieray ta, by spełiały warue a 1 + a a. Otrzyujey zate astępujący wzór { a 1 +a a a 1, a 2,...,a 0 1 a 1 2 a 2 3 a 3... a. (8) Obserwacja 11. Jeżeli >, to (8) ożey zapisać w postaci : { i 1 i 2 i 3...i. (9) 1 i 1 i 1... i Dlaczego? Każdy sładi 1 a 1 2 a 2 3 a 3... a słada się z a1 +a a czyiów (liczb ze zbioru 1, 2, 3,..., ). Zastępujey ażdy z czyiów przez i j, j 1, 2, 3,...,, przy czy wartości i j ogą się powtarzać. 6

7 Obserwacja 12. Rozieszczay osób w poojach ta, by żade z pooi ie pozostał pusty. Wiey z Obserwacji 2, że ożey to zrobić a! { sposobów. Obliczyy te wyi w iy sposób. Liczba dowolych rozieszczeń osób w poojach jest rówa, ale zajdą sie w tej liczbie rozieszczeia z pewyi poojai pustyi. Musiy więć odjąć te rozieszczeia, w tórych i-ty poój jest pusty (i 1, 2,..., ). Jest ich ( ) 1 ( 1). Ale odjęliśy w te sposób dwurotie rozieszczeia, w tórych p. pooje i-ty i j-ty są puste (i, j 1, 2,...,, i j). Musiy więc sorygować swoje obliczeia dodając wszystie rozieszczeia w tórych oba pooje są puste, a jest ich ( ) 2 ( 2) przy dowoly wyborze liczb i, j. Postępując dalej zgodie z zasadą włączeń i wyłączeń ay, że {! ( ) ( 1) + 1 ( ) ( ) ( 2) ( 1) ( ). 2 Upraszczając otrzyujey olejy wzór a liczby Stirliga II rodzaju: { 1 )! r0( 1) r( r ( 1) r r r r0 r!( r)!. (10) Źródło: D.Braso:Stirlig ubers ad Bell ubers: their role i cobiatorics ad probability, Math. Scietist 25, 1-31 (2000) 7