9 Rozpaszanie na potencjae sfeycznie symetycznym - fae kuiste W ozdziae tym zajmiemy się ozpaszaniem na potencjae sfeycznie symettycznym V ). Da uchu o dodatniej enegii E = k /m adiane ównanie Schödingea ma postać: d d R k + a pełna funkcja faowa dana jest wzoem d d R k + k + 1) m ) V ) R k = 0, 9.1) ψ km ) = R k )Y m θ, ϕ). 9.) Na funkcje te nazucimy waunek unomowania d 3 ψ k m ψ km = δ δ mm πδk k ), 9.3) co tłumaczy się na funkcje adiane 0 d R k R k = πδk k ) 9.4) zauważmy, że na mocy unomowania f. kuistych = ). Rozwiążmy ównanie 9.1) da cząstki swobodnej, czyi da V 0. Jest to w tym pzypadku tzw. sfeyczne ównanie Bessea. Jego ozwiązania są znane jako sfeyczne funkcje Bessea j k) i można otzymać je pzez ozwiązanie w postaci szeegu. My jednak ozwiążemy je pzy pomocy ticku z podęcznika Landaua i Lifszica. W pzypadku = 0 ównanie 9.1) można pzepisać Równanie to ma dwa ozwiązania: d d R k0) + k R k0 ) = 0. 9.5) R = sin k ub R = cos k. 9.6) Zatem ozwiązanie skończone w zeze i unomowane ma postać R k0 = sin k. 9.7) Rozwiązanie to znane jest w iteatuze matematycznej jako zeowa sfeyczna funkcja Besse a piewszego odzaju j 0 ) = sin 9.8) 174
a dugie ozwiązanie osobiwe w zeze nosi nazwę sfeycznej funkcji Besse a dugiego odzaju. y 0 ) = cos 9.9) Da 0 podstawmy R k = χ k. 9.10) Wówczas χ + 1) k + χ k + k χ k = 0. 9.11) Zóżniczkujmy ównanie 9.11) po : ) χ + 1) k + χ k + k + 1) χ k = 0. 9.1) Dokonajmy teaz podstawienia i podstawmy do ównania 9.1): χ k = f k 9.13) f k + + ) f k + k f k = 0. 9.14) Zauważmy, że jest to ównanie identyczne z ównaniem 9.11) da + 1. zatem f k = χ k +1 czyi χ k +1 = 1 χ k. 9.15) Stąd ekuencja χ k = ) 1 d χ k0. 9.16) d W ten sposób można otzymać użyteczne wzoy ekuencyjne da sfeycznych funkcji Besse a: j ) = 1 ) d sin d, y ) = 1 ) d cos d, 9.17) któe noszą nazwę związków Rayeigh a. Kika piewszych sfeycznych funkcji Bessea ma postać j 1 ) = sin cos, y 1) = cos sin, ) 3 sin j ) = 1 3 cos, y ) = 3 ) cos + 1 3 sin. 175
Otzymane w ten sposób funkcje R k = χ k tzeba odpowiednio unomować: ) ) 1 R k = ) d sin k k d π = kj k) = k J +1/k). 9.18) Badzo użyteczna jest znajomość ozwiązań R k da dużych. Zauważmy, że óżniczkowanie 1/ daje człony niewiodące, zaś óżniczkowanie sinusa daje Stąd już łatwo pokazać Da funkcji Besse a ozncza to, że da dużych j ) d d sin k = k cos k = k sin k π ). 9.19) R k sin k π ). 9.0) sin π/) cos π/), y ). 9.1) W ogónym pzypadku z potencjałem V 0 da dużych odtwazamy ównanie swobodne, ae funkcja R k da małych będzie istotnie óżna od funkcji swobodnej. Wówczas foma asymptotyczna ma postać R k sin k π ) + δ k) 9.) gdzie funkcje δ k) nosi nazwę pzsunięcia fazowego. Ten ostatni wzó łatwo zozumieć ozpatując ozpaszanie na nieskończenie sztywnej kui o pomieniu a: da < a V ) =. 9.3) 0 da a Rozpatzmy = 0. Wówczas dokładne ozwiązanie spełniające waunek bzegowy w = a ma postać Czyi sin k a) R k0 = Da dowonej funkcji pacjanej zapisujemy R k0 a) = 0 9.4) = sink ka). 9.5) δ 0 k) = ka. 9.6) R k ) = j k) + B y k). 9.7) 176
Z ównania 9.4) wynika B = j ka) y ka). 9.8) symptotycznie da dużych funkcja 9.7) zgodnie ze wzoami 9.1) pzyjmuje postać R k ) 1 k [ sink π/) B cosk π/)] [ = B sink π/) k cosk π/) ]. 9.9) Możemy zapisać + B B = cos δ, = sin δ. 9.30) Rzeczywiście i Wówczas dostajemy sin δ + cos δ = 1 9.31) B = tan δ k) czyi δ k) = actan j ka) y ka). 9.3) R k ) = k k [cos δ sink π/) + sin δ cosk π/)] sin k π ) + δ k). 9.33) Da = 0 mamy ) sinka) δ 0 k) = actan = ka 9.34) coska) zgodnie ze wzoem 9.6). Wato zastanowić się nad ozpaszaniem pzy małych enegiach k 0. W tym ceu skozystamy ze znanych wzoów na zachowanie sfeycznych funkcji Besse a w zeze: gdzie Zatem da k 0 j ) + 1)!!, y 1)!! ), 9.35) +1 + 1)!! = 1 3 5... + 1). 9.36) tan δ k) ka) +1 9.37) co oznacza, że δ k 0) jest małe i możemy także ozwinąć tangens otzymując ostatecznie δ k) ka) +1. 9.38) 177
Wynik ten łatwo zintepetować jako wypychanie funkcji faowej ze śodka kui. Zatem da potencjałów odpychających w pzyjętej pzez nas konwencji pzesunięcia faowe są ujemne. Stwiedzenie to jest oczywiście pawdziwe tyko da małych watości δ, gdyż pzesunięcia fazowe są okeśone z doładnością do π. Popocjonaność ta jest pawdziwa da każdego eaistycznego potencjału, pzy czym a ma sens zasięgu potencjału. Da potencjałów odpychających baiea) znak jest ujemny, da pzyciągających dodatni. 178