7.3.. Defiicja ętu i ęt uładu ateialego Kęte putu ateialego o asie względe putu azyway oet pędu p tego putu ateialego względe putu : p. (7.56) Z powyższej defiicji wyia, że ęt zdefiioway podobie ja oet siły względe putu jest wetoe postopadły do płaszczyzy wyzaczoej pzez put i weto pędości (ys. 7.6). Kęt putu będzie ówy zeu, poza pzypadai tywialyi ( 0 i 0), gdy wetoy i będą współliiowe. Jeżeli będziey ieli uład putów ateialych o asach opisaych wetoai wodzącyi i pouszających się z pędością (ys. 7.7), to ęt tego uładu ateialego względe ieuchoego putu będzie ówy suie ętów (suie oetów pędów) poszczególych putów ateialych względe tego putu. p. (7.57) o Rys. 7.6. Kęt (oet pędu) putu ateialego
7.3.. Reducja ętu do śoda asy Wzó (7.57) opisuje ęt uładu ateialego obliczoy względe dowolego ieuchoego putu. Zadajy sobie pytaie, jai będzie ęt tego saego uładu ateialego względe śoda asy. W ty celu pzyjijy w śodu asy począte uchoego uładu współzędych o osiach x,y,z ówoległych do odpowiedich osi ieuchoego uładu współzędych x, y, z (ys. 7.7). W tej sytuacji uład x,y,z będzie się pouszał uche postępowy względe uładu ieuchoego x, y, z z pędością śoda asy. z y x Rys. 7.7. Rozład pędości uładu putów ateialych Pzy tai założeiu pędość bezwzględa ażdego putu ateialego względe uładu ieuchoego x, y, z będzie suą pędości uoszeia ówej pędości śoda asy i pędości względej wzgęde uładu uchoego x, y,, azywaej dalej pędością względe śoda asy: +. (a) Kęt ozpatywaego uładu putów ateialych względe śoda asy wyazi wzó:, (7.58) gdzie jest poieie wodzący put ateialy o asie w uładzie x, y,. Z ysuu 7.7 wyia, że poień wodzący jest ówy suie poieia wodzącego śoda asy i poieia : +.
Po wyzaczeiu z tej zależości i podstawieiu do wzou (7.58) otzyay: ( ). (b) Piewsza sua po pawej stoie tego wzou, zgodie ze wzoe (7.57), jest ęte względe ieuchoego putu, duga zaś jest pęde oawiaego uładu ateialego. Na podstawie wzou (7.4) ożey zapisać: p gdzie jest asą całego uładu. Zate ówaie (b) pzyjie postać:, lub +. (7.59) Kęt uładu putów ateialych względe dowolego ieuchoego putu jest ówy ętowi tego uładu względe śoda asy powięszoeu o ęt asy całowitej supioej w śodu asy. Wzó (7.58) pzedstawia ęt uładu ateialego względe śoda asy obliczoy dla uchu bezwzględego, poieważ występująca w ty wzoze pędość jest pędością względe ieuchoego uładu odiesieia. Zastaówy się, czeu będzie ówy ęt tego uładu ateialego względe śoda asy wyzaczoy dla uchu względego. W ty celu podstawy do wzou (7.58) zależość (a). + ( + ) + +. Ale sua 0,
poieważ oet statyczy uładu względe śoda asy jest ówy zeu. stateczie ay:. (7.60) Z otzyaej zależości wyia stwiedzeie: Kęt uładu putów ateialych względe śoda asy wyzaczoy dla uchu bezwzględego jest ówy ętowi względe śoda asy wyzaczoeu dla uchu względego.
7.3.3. Kęt były Wyzaczy ęt były o asie pouszającej się uche dowoly, a więc były swobodej. Podobie ja w ieatyce były (p. 5.3.) pzyjiey dwa ułady współzędych jede ieuchoy o początu w ieuchoy pucie i osiach x, y, z, a dugi uchoy, sztywo związay z byłą o osiach x,y,z (ys. 7.8) i początu ie w dowoly pucie, lecz w śodu asy. W byle wydziely yślowo eleet asy d o wetoze wodzący gdzie x +, (c) i+ y j+ z, i + j +. Zając pędość śoda asy i pędość ątową ω, ożey obliczyć pędość dowolego putu były (wzó 5.3). Zate pędość eleetaej asy d Zgodie z defiicją ęt eleetu asy d względe ieuchoego putu d d. Kęt były będzie ówy całce z powyższej zależości ozciągiętej a całą asę były: d. Po podstawieiu do tego wzou zależości (c) i (d) otzyay: + ω. (d) ( + ) ( + ω ) d d + ( ω ) + d + ( ω ) d. x z d + d Rys. 7.8. pis położeia dowolego eleetu były sztywej y
Występujące pod całai wielości, i ω ie podlegają całowaiu i ogą być wyciągięte pzed zai całe: d + d d + ω ( ω ) d. Dwie śodowe całi są oetai statyczyi były względe śoda asy, a więc są ówe zeu: d 0, a piewsza cała jest asą całowitą były: d. stateczie ęt były ożey zapisać w postaci: ( ω ) d +. (7.6) ała występująca w ty wzoze jest ęte śoda asy z pędością ątową ω. ( ω ) Zate wzó (7.6) ożey zapisać w postaci: były w jej uchu względe d. (7.6) +. (7.63) Kęt były względe dowolego ieuchoego putu jest ówy ętowi były względe śoda asy (w jej uchu względe śoda asy z pędością ątową ω) powięszoeu o ęt asy były pouszającej się z pędością śoda asy. becie obliczyy współzęde wetoa w uchoy uładzie współzędych x, y, o początu w śodu asy (ys. 7.8). W ty uładzie współzędych wetoy występujące we wzoze (7.6) ają astępujące współzęde: i + j + x y i + j +, z,
ω i + ω j + ω. ω Po ozpisaiu podwójego iloczyu wetoowego ze wzou (7.6), zgodie ze wzoe (.34) otzyay: ω d ( ω) d ω ( ) d ( ω) d. Piewsza cała występująca po pawej stoie powyższego ówaia jest bieguowy oete bezwładości względe śoda asy : a więc ( ) I d, ( ω) d ω I. (7.64) Współzęde ętu otzyay po zzutowaiu tego wetoa a osie x,y,z : i ωx I ( ω) d, j ωy I ( ω) d, ωz I ( ω) d. Po podstawieiu do tych wzoów iloczyu salaego: ω ω x ω + y + z ω oaz wyłączeiu pzed całi współzędych pędości ątowej otzyujey: ω I ω d ω d ω d, ω ω I I ω ω ( ) d ω d ω ( ) d ω d ω d, ( ) d. ałi występujące w powyższych wzoach są zdefiiowayi w p. 6.. oetai bezwładości były względe odpowiedich płaszczyz i oetai dewiacyjyi. Po wyozystaiu zależości (6.7) i (6.9) iędzy oetai
bezwładości względe biegua, płaszczyz i osi oaz odpowiedi upoządowaiu wyazów współzęde ętu były opisują wzoy: ω I ω D ω D, ω D + ω I ω D, ω ω + ω D D I. (7.65) Z powyższych wzoów wyia, że do obliczeia ętu były swobodej względe śoda asy usiy zać wszystie osiowe oety bezwładości i wszysie oety dewiacyje, czyli teso bezwładości. Wzoy (7.65) zaczie się upaszczają, gdy osie x,y,z są główyi cetalyi osiai bezwładości. W ty pzypadu, ja wiadoo z p. 6.5, wszystie oety dewiacyje są ówe zeu i ęt ω I i + ω I j + ω I. (7.66) Jeżeli założyy, że osią obotu były jest p. oś, to pędość ątowa ω poyje się z osią obotu: ω ω ω z. Wówczas ęt wyzaczoy ze wzoów (7.65) a postać: a a podstawie wzou (7.66) ωd i ωd j + ωi, (7.67) ω zi z. (7.68) Z poówaia wzoów (7.67) i (7.68) wyia, że jeżeli oś obotu jest główą cetalą osią bezwładości, to weto ętu leży a tej osi; gdy ta ie jest, ieue wetoa ętu ie poywa się z osią obotu. Pzyład 7.9. Koba A o asie obaca się z pędością ątową ω 0 woół osi z pzechodzącej pzez put i postopadłej do płaszczyzy ys. 7.9. Na ońcu A oby jest osadzoa ciea A jedooda tacza o asie i ω 0 ω poieiu, tóa toczy się bez poślizgu po ieuchoy ole o poieiu R. Wyzaczyć ęt uładu względe osi z. R A Kobę A uważać za pęt jedoody. Rys. 7.9. Wyzaczeie ętu uładu
Rozwiązaie. Kęt uładu względe osi z słada się z ętu pouszającej się uche obotowy woół osi z oaz ętu się uche postępowy śoda ciężości A taczy z pędością oby A taczy pouszającej z A oaz uche obotowy z pędością ω względe osi z ówoległej do osi z i pzechodzącej pzez śode taczy: Kęt oby A względe osi z z z z z +. (a) ω. (b) z Iz Kęt taczy względe tej saej osi a podstawie wzou (7.63) ożey wyazić zależością: I ω + R +. (c) 0 ( ) A z z We wzoach (b) i (c) Iz i I są odpowiedio oetai bezwładości oby względe osi z pzechodzącej pzez put i taczy względe osi z pzechodzącej pzez jej śode A. Zgodie ze wzoai (f) i (a) z pzyładu 6.: Pędość śoda taczy I z ( R + ) ( R + ),I. (d) 3 3 A ( R + ) ω 0. (e) Poieważ put (ys. 7.9) styu taczy z ieuchoy ołe jest chwilowy śodie obotu taczy, ay ówież:, A ( R + ) A ω stąd ω ω0. (f) Po uwzględieiu w związach (b) i (c) wzoów (d), (e) i (f) oaz po ich podstawieiu do ówaia (a) otzyujey ęt uładu względe osi z. z R 3 R 3 ( + ) ω + ( + )( 7R + 0) ω. 0 0 ( R + ) ω 0 + R ( + )( R + ) ω 0
7.3.4. Zasada ętu i poętu. Zasada zachowaia ętu Załóży, że ay uład ateialy sładający się z putów ateialych o asach pouszających się z pędością (ys. 7.7). Na ażdy put iech działa siła zewętza P oaz siły wewętze F l. Zgodie z dugi pawe Newtoa ożey dla dowolego putu ozważaego uładu ateialego apisać dyaicze ówaie uchu: lub d d P + P w (,,... ) P + Pw, W powyższy ówaiu zgodie ze wzoe (7.45) P w jest wypadową sił wewętzych działających a put o asie. Poóży wetoowo ażde z ówań obustoie pzez weto wodzący i dodajy wszystie ówaia stoai. tzyay: d P. (e) ( P + Pw ) P + Duga sua po pawej stoie tego ówaia jest suą oetów sił wewętzych względe putu i ja wyazao w p. 7..4 (wzó 7.3), jest ówa zeu. Z olei sua oetów sił zewętzych względe putu jest ówa oetowi główeu (3.6): o M P. Suę występującą po lewej stoie ówaia (e) ożey pzeształcić: w d d d ( ). d + d d ( ) Wyia z tego, że lewa stoa ówaia (e) jest pochodą ętu całego uładu ateialego względe ieuchoego putu. stateczie otzyujey:
tzyaa zależość óżiczowa jest zasadą ętu. d M. (7.69) Pochoda względe czasu ętu uładu putów ateialych względe dowolego ieuchoego putu jest ówa oetowi główeu wszystich sił zewętzych względe tego saego putu. Po obustoy scałowaiu ówaia (7.69) w gaicach od 0 do t otzyay: () t ( 0) t M. (7.70) ała występująca w ty ówaiu osi azwę poętu oetu główego, a sao ówaie jest zasadą ętu i poętu. Pzyost ętu uładu ateialego względe dowolego ieuchoego putu jest ówy poętowi oetu główego sił zewętzych względe tego saego putu. Rówaia (7.69) i (7.70) są słusze ie tylo dla uładu putów ateialych, ale i dla były. zęsto się zdaza, że oet główy uładu sił zewętzych względe obaego ieuchoego biegua educji jest stale ówy zeu bądź jest poijalie ały, M 0. Wtedy cała po pawej stoie ówaia (7.70) jest ówa zeu i zasada ętu i poętu pzechodzi w zasadę zachowaia ętu: t 0 0, czyli t 0 lub () ( ) ( ) ( ) cost jeżeli 0 M 0, to cost. (7.7) tzyaą zasadę zachowaia ętu oża wyazić słowie: Jeżeli oet główy sił zewętzych względe ieuchoego putu educji jest ówy zeu, to ęt uładu ateialego (były) względe tego putu jest wielością stałą.
7.3.5. Reducja zasady ętu i poętu do śoda asy Zastaówy się, jaą postać pzyjie zasada ętu i poętu (7.70), jeżeli za biegu educji pzyjiey ie dowoly put, lecz śode asy uładu ateialego. W celu udzieleia odpowiedzi a postawioe pytaie podstawy do ówaia (7.69) wzó (7.59): + oaz twiedzeie o oecie główy (3.9): M M + W i dooajy óżiczowaia: d d( ) + M + W, d d d( ) + + M + W. (f) Dugi wyaz po lewej stoie powyższego ówaia jest ówy zeu, poieważ jest to iloczy wetoowy wetoów ówoległych: d 0, a pochoda występująca w tzeci wyazie jest pochodą względe czasu pędu uładu ateialego, ówą wetoowi główeu uładu sił zewętzych (7.48): d ( ) d p W. Po uwzględieiu powyższych zależości w ówaiu (f) i uposzczeiu otzyay zasadę ętu pzy educji do śoda asy: d M. (7.7) Z olei po scałowaiu tego ówaia od zea do t otzyay zasadę ętu i poętu zeduowaą do śoda asy uładu: () t ( 0) t M. (7.73) 0
Widziy, że foala postać otzyaych ówań (7.7) i (7.73) jest taa saa ja ówań (7.69) i (7.70), ale ówaia (7.7) i (7.73) ie opisują uchu śoda asy. Do opisu uchu śoda asy ależałoby zastosować zasadę pędu (7.48). Jeżeli założyy teaz, że oet sił zewętzych względe śoda asy uładu ateialego będzie stale ówy zeu, M 0, to zasada ętu i poętu (7.73) zeduowaa do śoda asy pzejdzie w zasadę zachowaia ętu względe śoda asy, co oża zapisać w astępujący sposób: jeżeli M 0, to cost (7.74) lub ująć słowie: Jeżeli oet główy sił zewętzych względe śoda asy uładu ateialego jest ówy zeu, to ęt tego uładu ateialego względe śoda asy jest wielością stałą. Pzyład 7.0. Put ateialy A o asie zaczął się pouszać wzdłuż cięciwy B (ys. 7.0a) pozioej jedoodej taczy ołowej o poieiu R i asie według ówaia: x bsit, gdzie x ozacza współzędą odiezoą ja a ys. 7.0, pewą stałą, a b B. Tacza oże się obacać bez tacia woół osi pioowej z pzechodzącej pzez śode taczy. Wyzaczyć pędość ątową ω taczy w fucji czasu t, jeżeli odległość cięciwy od śoda taczy wyosi b, a tacza w chwili początowej t 0 była ieuchoa. a) b) α w R A x R A α x b A 0 ω b A 0 u B Rys. 7.0. Wyzaczeie pędości ątowej taczy Rozwiązaie. Na uład działają siły zewętze ciężości taczy i putu ateialego oaz eacje w łożysach osi obotu taczy. Siły ciężości są ówoległe do osi obotu, więc ich oety względe osi obotu są zawsze
ówe zeu. Nie dają oetu względe tej osi ówież eacje w łożysach. Zate zgodie z zasadą zachowaia ętu (7.7) ęt uładu względe osi ie ulega ziaie. Poieważ w chwili początowej t 0, gdy put A był jeszcze ieuchoy, ęt uładu był ówy zeu, zate w dowolej chwili t ęt tego uładu ówież będzie ówy zeu. Po ozpoczęciu uchu putu A tacza zaczie się pouszać uche obotowy z pędością ątową w ieuu pzeciwy do uchu putu (ys. 7.0b). Pędość putu taczy, w tóy w chwili t zajduje się put A, czyli pędość uoszeia putu A ω ω b + x ωb si t. u + Pędość putu A względe taczy (pędość względa) dx w bcost. Z olei pędość bezwzględa putu A jest ówa suie wetoowej pędości uoszeia i pędości względej: +. A Rzut wetoa pędości bezwzględej putu A a ieue postopadły do poieia A jest ówy cosα. u w w u Kęt uładu w chwili t względe osi obotu z słada się z ętu i ętu z taczy względe tej osi. Kęt putu A z putu A z ( cosα ) ( cosα ) w u w u ( wb ωb + si t ) ( b cost ωb + si t b + x ) [ b cost ωb ( + si t) ], a ęt taczy względe osi obotu z I zω R ω. Poieważ ęt całowity uładu jest w ażdej chwili ówy zeu, otzyujey: [ b cost ωb ( + si t) ] R ω 0.
Z powyższego ówaia zajdujey pędość ątową taczy: b cost ω. b ( + si t) + R