Energia kinetyczna układu punktów materialnych

Transkrypt

1 74 egia ietycza ułau putów ateialych egią ietyczą putu ateialego o asie, pouszającego się z pęością, azyway połowę iloczyu asy putu i waatu jego pęości: Dla ułau putów ateialych o asach pouszających się z pęością eegia ietycza bęzie ówa suie eegii ietyczych poszczególych putów ateialych: (775) oobie ja w pzypau ętu ułau putów ateialych (73), pęość bezwzglęą ażego putu ateialego ozłożyy a pęość uoszeia, wywołaą uche postępowy uchoego ułau współzęych x, y, z o początu w śou asy wzglęe ułau ieuchoego x, y, z, i pęość wzglęą wzglęe ułau uchoego (ys 77): o postawieiu tej zależości o wzou (775) oaz pzestawieiu waatu pęości w postaci iloczyu salaego otzyay: ( ) ( ) ( ) (a) Dugi wyaz po pawej stoie powyższego ówaia jest ówy zeu, poieważ występująca w i sua jest pęe ułau putów ateialych w jego uchu wzglęe uchoego ułau współzęych x, y, z Wiaoo jeaże, że pę jest ówy iloczyowi asy całowitej i pęości śoa asy (744), tóa w stosuu o uchoego ułau oiesieia x, y, z jest ówa zeu Zate

2 0 Ostati wyaz jest eegią ietyczą ułau putów ateialych w jego uchu wzglęe uchoego ułau oiesieia x, y, z : c (776) o ozaczeiu asy całowitej ozpatywaego ułau ateialego pzez ówaie (a) pzyjuje postać: (777) Zależość (777) osi azwę twiezeia Koeiga egia ietycza ułau putów ateialych jest ówa eegii tegoż ułau w jego uchu wzglęe śoa asy oaz eegii ietyczej asy całowitej pouszającej się z pęością śoa asy

3 74 egia ietycza były W celu wyzaczeia eegii ietyczej były o asie pouszającej się uche ogóly postąpiy poobie ja pzy wyzaczaiu ętu były (p 733) W byle yślowo wyzieliy eleet asy (ys 78) pouszający się z pęością zgoą ze wzoe (53): egia ietycza tego eleetu, ω (b) a eegia były jest ówa całce wzglęe całej asy z tego wyażeia: (c) o postawieiu o wzou (c) pęości w postaci (b) otzyay: ( ω ) ( ω ) ( ) ( ) ( ) ω ω ω () o pzeształceiu wyażeń pocałowych w ugiej i tzeciej całce o postaci: ω ω, ( ) ( ) ( ω ) ( ω ) ω [ ( ω )] oaz wyłączeiu pze całi i ω, jao wielości iezależych o zieych całowaia x, y, z, wzó () ożey zapisać: ( ) ( ω ω ω ) (e) iewsza cała jest asą były, uga oete statyczy wzglęe śoa asy, a tzecia ęte były w uchu wzglęe śoa asy (76), czyli, 0 oaz ( ω ) o uwzglęieiu powyższych zależości we wzoze (e) otzyujey:

4 ω (778) iewszy wyaz w powyższy wzoze jest eegią ietyczą były w jej chwilowy uchu obotowy wzglęe śoa asy: ω (779) Zate eegię ietyczą były ożey pzestawić w postaci ietyczej ze wzoe (777): Jest to twiezeie Koeiga la były (780) egia ietycza były w uchu ogóly jest suą eegii ietyczej były w jej chwilowy uchu obotowy wzglęe śoa asy i eegii ietyczej asy całowitej pouszającej się z pęością śoa asy Aby obliczyć eegię we wzoze (779), pzestawiy iloczy salay za poocą współzęych wetoów ω i aych w ułazie uchoy x, y, z : ω ( ω ) ω x x ωz z o postawieiu w ty wzoze współzęych ętu aych wzoai (765) i upoząowaiu wyazów eegię ietyczą były w jej uchu wzglęe śoa asy ożey pzestawić w postaci: ( I x ωx I ω I z ωz ) ω ω D ω ω D ω (78) ( ) D x x z z z x z ωx Zate, poobie ja w pzypau ętu, o obliczeia eegii ietyczej były w jej uchu wzglęe śoa asy usiy zać wszystie osiowe i ewiacyje oety bezwłaości Gy osie x, y, z są główyi cetalyi osiai bezwłaości, oety ewiacyje ziają, a wzó (78) upaszcza się o postaci: ( I ω I ω I ) (78) x x z ωz

5 Jeżeli uch były jest uche obotowy woół stałej osi obotu, p l, z pęością ątową ω, to eegia uchu obotowego A A ω I l ω, (783) R gzie I l jest oete bezwłaości wzglęe osi obotu l S zyła 7 Kołowót o asie 5 i poieiach oaz R,5 toczy się bez poślizgu ały obwoe po pozioej listwie (ys 77) Śoe A asy tego ołowotu zajuje się a osi syetii obotowej i a stałą pęość Na uży obwó awiięto Rys 7 Wyzaczeie eegii ietyczej lię, a tóej ońcu zawieszoo ołowotu ciężae o asie oień bezwłaości ołowotu wzglęe osi syetii postopałej o płaszczyzy ysuu jest ówy Obliczyć eegię ietyczą tego ułau i Rozwiązaie egia ietycza ułau jest ówa suie eegii ietyczej ołowotu pouszającego się uche płasi i eegii ietyczej ciężaa pouszającego się uche postępowy: Wzó a eegię ietyczą ołowotu, zgoie z ówaie (780) wyiający z twiezeia Koeiga, po uwzglęieiu zależości (783) a postać: Iω, (a) gzie oet bezwłaości ołowotu wzglęe osi syetii obotowej egia ietycza ciężaa I i 5i (b) (c)

6 oieważ ołowót toczy się bez poślizgu, chwilowy śoe obotu zajuje się w pucie S styu ołowotu z listwą Kozystając z własości chwilowego śoa obotu, ożey apisać: R ( R ) ω, A ω () Zgoie z ysuie pęość ciężaa jest ówa suie geoetyczej pęości i A Stą waat pęości 9 A (e) 4 o oaiu wzou (c) o (a) i uwzglęieiu zależości (b), () i (e) otzyujey całowitą eegię ietyczą ułau: i 49 i 8 5 8

7 743 Zasaa pacy i eegii ietyczej Dla ażego z putów ateialych ułau oówioego w p 7 i pzestawioego a ys 7 apiszey, ta ja popzeio, yaicze ówaie uchu (747): w albo ( ),,, w oóży salaie aże z tych ówań pzez pęość i oajy je stoai: ( ) w w (e) Zgoie z efiicją poaą w p 77 piewsza sua w ówaiu (e) jest ocą ułau sił zewętzych: z N, (784) a uga powója sua ocą wszystich sił wewętzych: w w N (785) Wyażey, że lewa stoa ówaia (e) jest pochoą wzglęe czasu eegii całowitej ułau putów ateialych: ( ) Ostateczie ówaie (e) pzyjuje postać: N z N w (786)

8 Zate pochoa wzglęe czasu eegii ietyczej ułau ateialego jest ówa suie ocy wszystich sił zewętzych i wewętzych o scałowaiu obustoie ówaia (786) o 0 o t otzyay: () t ( 0) N z t 0 t N (f) ałi występujące w powyższy ówaiu, zgoie ze wzoe (736), pzestawiają opowieio pacę sił zewętzych i wewętzych: t 0 t w z N z, w N w (g) 0 o wpowazeiu ozaczeń (g) o ówaia (f) otzyujey zasaę pacy i eegii ietyczej la ułau putów ateialych: ( t) ( 0) z w lub po wpowazeiu ozaczeń (t), (0) z w 0 (787) zyost eegii ietyczej ułau putów ateialych w sończoy pzeziale czasu jest ówy pacy wyoaej w ty say czasie pzez wszystie siły zewętze i wewętze Bez pzepowazaia owou etoą aalityczą oża zauważyć, że paca sił wewętzych jest ściśle związaa ze ziaą oległości ięzy putai ułau ateialego Gy oległości ięzy putai ułau ateialego ie ulegają ziaie, paca sił wewętzych bęzie ówa zeu Zate la były sztywej lub ciała sztywego paca sił wewętzych jest ówa zeu, w 0 W tej sytuacji zasaę pacy i eegii ietyczej la były sztywej oża zapisać w postaci: (788) z zyost eegii ietyczej były sztywej w sończoy pzeziale czasu jest ówy pacy wyoaej w ty say czasie pzez wszystie siły zewętze ziałające a tę byłę zyła 7 Do bęba ołowotu o poieiu i asie jest pzyłożoy stały oet obotowy M Do ońca wiotiej liy awiiętej a bębe pzyocowao cięża o asie, tóy pzesuwa się po ówi pochyłej o ącie achyleia α(ys 7) Współczyi tacia ięzy asą a ówią wyosi µ Jaą pęość ątową ω osiągie bębe po obóceiu się o ϕ aiaów, jeżeli w

9 chwili początowej uła był w spoczyu? Masę liy poiąć, a bębe uważać za jeooy walec N ϕ ϕ,ω O T M α G Rys 7 Wyzaczeie pęości ątowej bęba Rozwiązaie Do ozwiązaia zaaia zastosujey zasaę pacy i eegii ietyczej (788): Z uwagi a to, że uła w chwili początowej zajował się w spoczyu, jego eegia ietycza była ówa zeu, 0 Otzyujey więc: (a) egia ietycza ułau słaa się z eegii ietyczej uchu postępowego asy oaz uchu obotowego bęba: I Oω oieważ oet bezwłaości bęba I O wzglęe osi obotu i pęość są ówe: IO, ω, ay: ω ω ( ) ω (b) 4 4 acę wyoują: oet obotowy M, słaowa siły ciężości G ówoległa o ówi oaz siła tacia T Jeżeli zauważyy, że pzy obocie bęba o ąt ϕ cięża o asie pzesuie się w góę ówi o ϕ, ożey apisać:

10 ( α ) Mϕ gsi T ϕ o postawieiu o tego wzou T µn µ gcosα wyoaa paca M g( siα µcosα) ϕ (c) o postawieiu zależości (b) i (c) o wzou (a) otzyujey ówaie: są 4 M ( ) ω g( siα µcosα) ϕ, ω M g ( siα µcosα) ϕ

11 744 Zasaa zachowaia eegii Obecie ozpatzyy uch ułau ateialego, a tóy ziałają siły potecjale, zaówo zewętze ja i wewętze W pucie 75 uowoioo, że jeżeli a put ateialy ziała siła potecjala, to paca wyoaa pzez tę siłę jest ówa ubytowi eegii potecjalej zyjiey bez owou, że zależość ta jest słusza ie tylo la ażego putu, ale i la całego ułau ateialego Zate pacę sił zewętzych i wewętzych ożey zapisać w postaci: z w U U z w U z U,, w (h) gzie U z i U z ozaczają eegię potecjalą sił zewętzych w położeiu początowy i ońcowy, a U w i U w eegię potecjalą sił wewętzych w położeiu początowy i ońcowy o postawieiu wzoów (h) o ówaia zasay pacy i eegii ietyczej (787) otzyay: lub U z U z U w U w U z U w U z U w (i) Z ówaia (i) wyia, że sua eegii ietyczej i eegii potecjalej sił zewętzych i wewętzych jest w aży położeiu ułau wielością stałą o wpowazeiu o ówaia (i) ozaczeń: otzyay: albo ogólie U U z U w i U U z U w U U U cost (789) Jest to zasaa zachowaia eegii echaiczej Gy a uła ateialy ziałają siły potecjale, wtey sua eegii ietyczej i potecjalej tego ułau jest wielością stałą Zasaa zachowaia eegii echaiczej jest słusza ówież w pzypau, gy ziałające siły oża ozłożyć a siły potecjale i siły, tóe ie są potecjale, ale ie wyoują pacy, p eacje głaich powiezchi Ułay ateiale, o tóych oosi się zasaa zachowaia eegii echaiczej, azyway ułaai zachowawczyi, a siły siłai zachowawczyi Ułay, tóych ie otyczy ta zasaa, azyway ułaai ozpaszającyi lub yssy-patywyi, p ułay z tacie

12 Zasaa zachowaia eegii echaiczej jest tzecią zasaą zachowaia w yaice, po zasazie zachowaia pęu i zasazie zachowaia ętu Należy paiętać, że zasay zachowaia są słusze tylo wówczas, gy są spełioe opowieie założeia poczyioe pzy ich wypowazaiu zyła 73 iei jeooy pęt OA o ługości i asie oże się obacać bez tacia woół osi pozioej postopałej o osi pęta pzechozącej O pzez jego oiec O (ys 73) Jaą pęość ależy aać ońcowi A w ω / chwili, gy pęt jest w spoczyu w położeiu ówowagi stałej, aby wyoał o ćwieć obotu? U 0 A A g Rys 73 Wyzaczeie pęości początowej ońca pęta Rozwiązaie Na pęt ziała siła ciężości, tóa jest siłą potecjalą Zate o ozwiązaia zaaia ożey zastosować zasaę zachowaia eegii echaiczej (789): (a) U U Jeżeli pozio zeowej eegii potecjalej pzyjiey a wysoości śoa ciężości, ja a ysuu, to U 0 o wyoaiu ćwieć obotu pęt zajie położeie pozioe i zatzya się Jego eegia ietycza bęzie ówa zeu, 0 Rówaie (a) bęzie iało więc postać: U (b) W chwili początowej eegia ietycza I O ω Moet bezwłaości pęta jeooego wzglęe jego ońca (patz pzyła 6) Z olei pęość ątowa pęta I O 3 A ω

13 egia ietycza pęta a więc postać: A A (c) 3 6 egia potecjala pęta w położeiu ońcowy U g () o postawieiu wzoów (c) i () o ówości (b) otzyujey ówaie: Stą pęość początowa ońca A pęta A g 6 A 3g zyteliowi pozostawiay wyzaczeie pęości, jaą ależy aać ońcowi A pęta, aby wyoał o pełe obót