Rozważymy nieskończony strumień płatności i obliczymy jego wartość teraźniejszą.

Transkrypt

1 Renty wieczyste Rozważyy nieskończony stuień płatności i obliczyy jego watość teaźniejszą Najpiew ozważy entę wieczystą polegającą na wypłacie jp co ok Jeśli piewsza płatność jest w chwili, to ówiy o encie płatnej z góy (ang pepetuity due) Jej watość teaźniejszą ozn ä Zate ä + υ + υ + υ d gdzie υ jest czynnikie dyskontujący Jeżeli piewsza płatność a + iejsce na koniec piewszego oku, to enta jest płatna z dołu (ang iediate pepetuity) Jej watość teaźniejszą ozn a : a υ + υ + υ υ, ale υ υ ( + )( ) +, + więc a Rozważy teaz enty, gdzie kwota jest wypłacana azy do oku Jeśli płatność jest z góy (piewsza wypłata w chwili ), to ozn ä () oaz ä () + υ + υ + υ bo d() υ Jeżeli płatności są z dołu, to oznaczay a () oaz d (), a () υ + υ + υ + υ υ υ ( + ) [ () + ] () Pzypoinay zależność d() + () ( + ) υ

2 Otzyane wyżej ówności: ä () d (), a(), () i oczywisty fakt, że oba odzaje ent óżnią się tylko płatnością w chwili, daje znaną już ówność d () + () Rozważy teaz entę wypłacaną w sposób ciągły (watość enty, początek wypłat w chwili ) Jej watość teaźniejszą oznaczy a Wypłatę dt w chwili t należy zdyskontować czynnikie e δt (bo czynnik ponażający dla jednego oku to e δ ), więc ay a To sao otzyay obliczając e δt dt δ a li ä() li d () δ, lub a li a() li () δ Rozważy teaz pewną entę wieczystą (z góy), w któej ay osnący ciąg płatności Renta ta będzie okeślona dwoa paaetai: liczba płatności w oku; liczba podwyżek w oku (zakładay, że ) Np dla i 4 płatności są dokonywane iesięcznie, a podwyższane co kwatał Ogólnie, płatności takiej osnącej enty są dokonywane wg scheatu: Czas + Płatność

3 W szczególności, w piewszy oku ostatnie płatności (czas od do ) wynoszą Ogólniej, w k-ty oku ostatnie płatności wynoszą k Oznaczay watość teaźniejszą takiej osnącej enty pzez (I() ä) () Można obliczyć jej watość pzedstawiając ją jako suę ent stałych (wysokość, płatność azy w oku) ozpoczynających się w oentach czasu,,, Zate (watość ocznej wpłaty to ): (I () ä) () ä() [ + υ/ + υ / + ] ä () ä () d () d () Odpowiednia enta płatna z dołu óżni się tylko ty, że każda wpłata jest dokonywana -tą oku później, więc (I () a) () υ ( (I ()ä) ) () υ d () d () () d, () bo d () υ () Indeks góny zawsze opuszczay Np watość teaźniejsza enty płatnej z góy z ocznyi płatnościai,,, to (Iä) (I () ä) () d Równości (I () ä) () d () d, () (I() a) () () d () ożna wykozystać (pzechodząc z ) do obliczenia watości teaźniejszych ciągłych stuieni płatności Np (uwaga: [x] oznacza całość z x): (Īā) te δt dt δ, (Iā) [t + ]e δt dt δd, pzy czy wyniki końcowe uzyskujey bez liczenia całek (Należy uwzględnić, że li oaz, że ) d () δ d () d Na koniec ozważy entę wypłacającą kwoty,,, (w chwilach,,, ) Jej watość teaźniejsza ä wynosi: ä + υ + υ +

4 Taka zienna enta oże być ozważana jako sua stałych ent, według scheatu Dooczna płatność Moent statu Jej watość teaźniejszą ożey więc zapisać jako ä d [ + υ( ) + υ ( ) + ] Taka postać bywa pzydatna, gdy óżnice są postsze niż sae k ; tak jest np wtedy, gdy k jest wieloiane ziennej k Np gdy k k +, to ożey otzyać znany już wzó (Iä) d ( + υ + υ + ) d υ d Czase jest łatwiej wyliczyć watość teaźniejszą bezpośednio Jeżeli np to pod waunkie, że τ < δ k e τk, k,,, ä + υe τ + υ e τ + υe τ e δ e τ e, (δ τ) Renty teinowe Rentą teinową (ang annuity) nazyway ciąg płatności z oganiczony czase twania n Watość teaźniejszą enty teinowej płatnej z góy, w wysokości, oznaczay ä Zate ä + υ + υ + + υ n υn υ υn d 4

5 Wynik ten ożna uzyskać taktując tę entę jako óżnicę dwóch ent wieczystych (jedna zaczyna się dla t, duga dla t n): Podobnie uzyskay: ä ä υ n ä υn d a υn, ä () υn d (), a () υn () W pzypadku ent teinowych inteesująca jest ównież ich watość pzyszła (końcowa) Watość pzyszłą uzyskay nożąc watość teaźniejszą pzez ( + ) n Stąd υ n s ( + )n d s ( + )n, s () ( + )n, d () May także zależność czyli s + s () ( + )n () ( ) υ n + υ n + υ n υ n υ n υ n υ, n a + a s Rozważy teaz osnącą entę teinową z paaetai i (np, 4) 5

6 Czas + Płatność n n + n Taka osnąca enta teinowa oże być taktowana jako osnąca enta wieczysta ozpoczynająca się w chwili inus osnąca enta wieczysta ozpoczynająca się w chwili n, inus stała enta (w wysokości n ) ozpoczynająca się w chwili n Zate Analogicznie: (I () ä) () (I () ä) () υ n (I () ä) () υ n nä () n d () d () υn d () d () υn n d () ( υ n d () d () ) υ n n ä() (I () a) () ä() nυ n () Ważnyi szczególnyi pzypadkai są:,,,,,,, nυ n d () Renty teinowe ozważane wyżej są to tzw standadowe enty osnące (I) Standadowe enty alejące (D) są podobnie skonstuowane, ale płatności są w odwotnej kolejności Zate suy obu tych ent twozą stałą entę W następujący achunku ä () jest watością enty w wysokości watością enty w wysokości n 6, więc nä() jest

7 teinową (wysokość iesięczna płatności to n + ) Zate skąd (I () ä) () + (D () ä) () (n + )ä() (D () ä) () (n + )ä() (n + [ d () [ d () ä() ) υn d () nυ n d () υ n d () nυ n d () n nυ n + υn υn n ( υ n )( d () ) d () ], + nυ n ] ale d () +, () więc (D () ä) () (n ) υn n a() d () () d () Wzó ten, czyli watość teaźniejszą standadowej enty alejącej ożna wyznaczyć także bezpośednio, taktując tę entę jako stałą entę wieczystą z płatnościai n inus n odoczonych ent wieczystych, każda z płatnością, zaczynających się w oentach,,, n Zate (D () ä) () nä () n [ ä () n [ d () d () υ i ä() i n ] υ i i n υ ] υn υ n υn, (υ ) 7

8 ale ponieważ ( + () ) υ, tj () (υ ), więc (D () ä) () d () [n υn () ] n a() d () Pzykłady 4-letni obotnik chce zgoadzić fundusz na eeytuę W ty celu odkłada w banku zł na początku każdego oku, pzez 5 lat Po pzejściu na eeytuę planuje wykozystać ten fundusz wybieając jednakowe kwoty na początku każdego oku pzez 5 lat W jakiej wysokości będą te kwoty jeśli efektywna oczna stopa pocentowa wynosi 8% pzez piewsze 5 lat, a później 7%? Jedna enta wypłaca kwoty 4 na koniec oku pzez 6 lat Duga kwoty 5 na koniec oku pzez 8 lat Watość teaźniejsza obu ent jest taka saa, pzy stopie i Znajdź n takie, że kapitał zainwestowany na n lat podwoi swoją watość pzy stopie i Załóży, że K i M zaabiają butto Na fundusz eeytalny pacodawca wpłaca 9,76% tej kwoty Obliczyć watość pzyszłą konta eeytalnego dla K po 4 latach i M po 45 latach Taktując obliczone wielkości jako watości teaźniejsze ent wypłacanych: w pzypadku K pzez lat, w pzypadku M pzez lat obliczyć wysokość (iesięczną) takiej enty Stopa oczna 4% Wpłaty i wypłaty z dołu, kapitalizacja iesięczna Rozwiązanie: Wpłata iesięczna wynosi, 976 9, 8 Ponieważ kapitalizacja jest iesięczna, najlepiej stosować wzó na s, gdzie n jest liczbą iesięcy, a jest stopą iesięczną,4 Zate podstawiay do wzou: s ( + )n, i otzyujey watość pzyszłą konta eeytalnego dla K po 4 latach: 9, 8s 48 Altenatywnie, gdyby stosować wzó: ( +,4 )48,4 s () ( + )n (), , 47

9 w któy n jest liczbą lat, to tzeba paiętać, że w ty wzoze jest stopą efektywną Zate nie jest ówne, 4, lecz ef, gdzie + ef ( +,4 ) Natoiast (), 4 Eeytuę (iesięczną) obliczay dla K z ówności a dla M z ówności 9, 8 s 48 x a 4, 9, 8 s 54 x a Wyniki dla óżnych stóp pocentowych: Stopa Kap:K Kap:M Eeyt:K Eeyt:M, , , , , , Zadania z egzainów dla aktuaiuszy ( zad) Rozważy -letnią entę pewną natychiast płatną o płatnościach dokonywanych na początku każdego oku Niech k dla k,,, oznacza płatność na początku oku k i niech k będzie zdefiniowane następująco: { α k+ ( k ) k dla k,,, Wiadoo, że watość obecna tej enty (tzn watość tej enty w chwili dokonania piewszej wypłaty) wynosi (z dokładnością do liczb całkowitych) Wiadoo też że czynnik dyskontujący wynosi υ, 7 Oblicz α Odpowiedź (podaj najbliższą watość):,5;,5;,75;,5;,65 Rozwiązanie Zauważy,że α, ( )α,; ogólnie k+ ( ) α k 9

10 Zate watość obecna k k υ k k k+ υ k k ( ) αυ k α k Stąd 4866 α, 7, więc α, 5 k ( ) υ k α( + υ) k (76 zad4) Dane są enty ciągłe, w któych wysokość płatności w chwili t wynosi t zaś natężenie opocentowania zależne jest od długości okesu wypłacania enty i wynosi Wyznacz ile azy obecna watość enty n wypłacanej pzez okes lat jest większa od obecnej watości wypłacanej pzez okes lat Odpowiedź:,5 azy ;,5 azy;, azy;,75 azy; żadna z powyższych odpowiedzi nie jest pawdziwa Rozwiązanie a W a podstawiay t u: te t dt, a te t dt Zate a ue u du 9 4 a a a 9 4, 5 (76 zad9) Oblicz watość końcową iesięcznej enty o wysokości kwatałai stałej po upływie 5 iesięcy wiedząc, że wysokość at wzośnie w kolejnych kwatałach o 4% Na początku enta wynosi 5 zł Miesięczna stopa pocentowa wynosi % Odpowiedź (podaj najbliższą watość): 785; 795; 85; 85; 85 Rozwiązanie Niech 5,,, p, 4 Watość pzyszła

11 (zakładay, że enta jest płatna z dołu): X p( ) + + p ( ) + p ( ) + p 4 ( + + ), [ + p 9 + p 6 + p + p 4 ] ) 5 ( p, p 5,,4 ( ) 5,,, (,4 ) 797, 4(76 zad) Dane są dwie enty wieczyste A i B, gdzie ) enta A - w wysokości płatna na koniec każdego oku, ) enta B - w wysokości płatna na koniec co dugiego oku Różnica poiędzy obecną watością enty A, wyznaczoną pzy stopie technicznej i, a obecną watością enty B wyznaczoną ównież pzy stopie technicznej i, wynosi Wyznacz stopę techniczną i Odpowiedź (podaj najbliższą watość):,;,;,;,4;,5 Rozwiązanie Watość obecna enty A wynosi, zaś enty B: i υ + υ 4 + Stąd υ υ υ ( υ ) υ ( + i) i + i i i(i + ), więc i+ i(i+), czyli i +( )i, skąd i <, i, 4