Politechnika Poznańska Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska Instytut Konstrukcji Budowlanych Zakład Mechaniki Budowli Studia Stacjonarne II Stopnia I rok Semestr II 21/211 STATECZNOŚĆ RAM WERSJA KOMPUTEROWA Wykonał: inż. Daniel Rejek Grupa Dziekańska 4MBP Poznań, 2.12.21r.
Dla układu 13 przedstawionego na rysunku należy: 1. Dowolną metodą znaleźć rozkład sił normalnych w prętach od zadanego obciążenia jednoparametrowego. 2. Zbudować globalne macierze: sztywności i geometryczną przez agregację macierzy elementowych. 3. Obliczyć wartość obciążenia krytycznego i narysować postać wyboczenia 4. Obliczyć przemieszczenia i siły przekrojowe uwzględniając siły osiowe dla obciążenia odpowiadającego połowie obciążenia krytycznego (wykonać jedną iterację). 1. Dane: 1 25 = ܧ ଶ൨ Pręt 1 - dwuteownik I2 Część I statyka 1 ሾmସ ሿ 214 = ܫ 1 ସ ሾm ଶ ሿ 33.5 = ܣ 1 214 1 = 4387ሾ ଶሿ 25 = ܫܧ 1 33.5 1 ସ = 68675ሾ ሿ 25 = ܣܧ Pręt 2 - dwuteownik I24 1 ሾmସ ሿ 425 = ܫ 1 ସ ሾm ଶ ሿ 46.1 = ܣ 1 425 1 = 8712.5ሾ ଶሿ 25 = ܫܧ 1 46.1 1 ସ = 9455ሾ ሿ 25 = ܣܧ 2
2. Oznaczenie prętów układu i określenie liczby niewiadomych: 3. Wykres sił normalnych N (wykonany za pomocą RM-Win): -44,9 3-6,6-6,6 2,6-44,9-45,2 1 4-45,2,6 3
4. Macierze sztywności i geometryczne dla poszczególnych prętów: ܭ = ܭ - macierz sztywności elementu dla układu globalnego ܭ ܭ - macierz sztywności elementu dla układu lokalnego - macierz transformacji ܥ = ቂ ߙ ݏ ߙݏ ൩ ߚݏ ߙ ݏ = ܥ ቃ ܥ 1 - kąt między osią x układu globalnego a osią ~ x układu lokalnego ߙ ܭ = ܭ - macierz geometryczna elementu dla układu globalnego ܭ ܭ - macierz geometryczna elementu dla układu lokalnego 4
4.1. Macierz sztywności i geometryczna dla pręta I (obustronnie utwierdzonego). Dwuteownik I2: = 4.ሾ ሿ 1 33.5 = ܣ ସ ሾm ଶ ሿ 1 214 = ܫ ሾm ସ ሿ 25 = ܧ 1 ቂ మቃ = 45.2ሾ ሿ 1 214 1 = 4387ሾ ଶሿ 25 = ܫܧ 1 33.5 1 ସ = 68675ሾ ሿ 25 = ܣܧ Macierz sztywności elementu dla układu lokalnego: ଶ ܣܧ ܫܧ 6 ܫܧ 12 ܭ = 1 ଷ ଶ ܫܧ 4 ܫܧ 6 ଶ ܣܧ ܫܧ 6 ܫܧ 12 ଶ ܫܧ 2 ܫܧ 6 ଶ ܣܧ ܫܧ 6 ܫܧ 12 ଶ ܫܧ 2 ܫܧ 6 = ଶ ܣܧ ܫܧ 12 ܫܧ 6 ܫܧ 6 ے ଶ ܫܧ 4 1,716875E+5-1,716875E+5 822,5625 1645,125-822,5625 1645,125 1645,125 4387-1645,125 2193,5 1,716875E+5-1,716875E+5-822,5625-1645,125 822,5625-1645,125 ے -1645,125 4387 1645,125 2193,5 Macierz geometryczna elementu dla układu lokalnego: = ܭ 36 3 3 4 ଶ 3 36 3 ଶ 3 36 3 3 ଶ = 36 3 ے 3 4 ଶ,,,,,,, -13,56-4,52, 13,56-4,52, -4,52-24,17, 4,52 6,27,,,,,,, 13,56 4,52, -13,56 4,52 ے, -4,52 6,27, 4,52-24,17 5
Macierz transformacji = ሾ ሿ: ߙ ݏ ߙݏ ܥ ൩ = ቂ ߙݏ ߙ ݏ = ܥ = ቃ ܥ 1-1 1 1-1 1 ے 1 Macierz sztywności elementu dla układy globalnego: = ܭ = ܭ 822,5625 1645,125-822,5625 1645,125 171687,5-171687,5 1645,125 4387-1645,125 2193,5-822,5625-1645,125 822,5625-1645,125-171687,5 171687,5 ے 1645,125 2193,5-1645,125 4387 Macierz geometryczna elementu dla układu globalnego: = ܭ = ܭ -13,56-4,52 13,56-4,52-4,52-24,1667 4,52 6,26667 13,56 4,52-13,56 4,52 ے -4,52 6,26667 4,52-24,1667 6
4.2. Macierz sztywności i geometryczna dla pręta II (obustronnie utwierdzonego). Dwuteownik I2 = 3.ሾ ሿ 1 33.5 = ܣ ସ ሾm ଶ ሿ 1 214 = ܫ ሾm ସ ሿ 25 = ܧ 1 ቂ మቃ = 44.9ሾ ሿ 1 214 1 = 4387ሾ ଶሿ 25 = ܫܧ 1 33.5 1 ସ = 68675ሾ ሿ 25 = ܣܧ Macierz sztywności elementu dla układu lokalnego: ଶ ܣܧ ܫܧ 6 ܫܧ 12 ܭ = 1 ଷ ଶ ܫܧ 4 ܫܧ 6 ଶ ܣܧ ܫܧ 6 ܫܧ 12 ଶ ܫܧ 2 ܫܧ 6 ଶ ܣܧ ܫܧ 6 ܫܧ 12 ଶ ܫܧ 2 ܫܧ 6 = ଶ ܣܧ ܫܧ 12 ܫܧ 6 ܫܧ 6 ے ଶ ܫܧ 4 2,289167E+5-2,289167E+5 1949,777778 2924,667-1949,78 2924,667 2924,666667 5849,333-2924,67 2924,667-2,289167E+5 2,289167E+5-1949,7778-2924,67 1949,778-2924,67 ے 2924,666667 2924,667-2924,67 5849,333 Macierz geometryczna elementu dla układu lokalnego: = ܭ 36 3 3 4 ଶ 3 36 3 ଶ 3 36 3 3 ଶ = 36 3 ے 3 4 ଶ,,,,,,, -17,96-4,49, 17,96-4,49, -4,49-17,96, 4,49 4,49,,,,,,, 17,96 4,49, -17,96 4,49 ے, -4,49 4,49, 4,49-17,96 7
Macierz transformacji = ሾ ሿ: ߙ ݏ ߙݏ ܥ ൩ = ቂ ߙݏ ߙ ݏ = ܥ = ቃ ܥ 1-1 1 1-1 1 ے 1 Macierz sztywności elementu dla układy globalnego: = ܭ = ܭ 1949,777778 2924,667-1949,777778 2924,667 228916,6667-228917 2924,666667 5849,333-2924,666667 2924,667-1949,777778-2924,67 1949,777778-2924,67-228916,6667 228916,7 ے 2924,666667 2924,667-2924,666667 5849,333 Macierz geometryczna elementu dla układu globalnego: = ܭ = ܭ -17,96-4,49 17,96-4,49-4,49-17,96 4,49 4,49 17,96 4,49-17,96 4,49 ے -4,49 4,49 4,49-17,96 8
4.3. Macierz sztywności i geometryczna dla pręta III (obustronnie utwierdzonego). Dwuteownik I24: = 6.ሾ ሿ 1 46.1 = ܣ ସ ሾm ଶ ሿ 1 425 = ܫ ሾm ସ ሿ 25 = ܧ 1 ቂ మቃ = 6.6ሾ ሿ 1 425 1 = 8712.5ሾ ଶሿ 25 = ܫܧ 1 46.1 1 ସ = 9455ሾ ሿ 25 = ܣܧ Macierz sztywności elementu dla układu lokalnego: ଶ ܣܧ ܫܧ 6 ܫܧ 12 ܭ = 1 ଷ ଶ ܫܧ 4 ܫܧ 6 ଶ ܣܧ ܫܧ 6 ܫܧ 12 ଶ ܫܧ 2 ܫܧ 6 ଶ ܣܧ ܫܧ 6 ܫܧ 12 ଶ ܫܧ 2 ܫܧ 6 = ଶ ܣܧ ܫܧ 12 ܫܧ 6 ܫܧ 6 ے ଶ ܫܧ 4 1,57583E+5-1,57583E+5 484,278 1452,83-484,28 1452,83 1452,83 588,333-1452,8 294,167-1,57583E+5 1,57583E+5-484,278-1452,8 484,278-1452,8 ے 1452,83 294,167-1452,8 588,333 Macierz geometryczna elementu dla układu lokalnego: = ܭ 36 3 3 4 ଶ 3 36 3 ଶ 3 36 3 3 ଶ = 3 36 ے 3 4 ଶ,,,,,,, -12,12-6,6, 12,12-6,6, -6,6-48,48, 6,6 12,12,,,,,,, 12,12 6,6, -12,12 6,6, -6,6 12,12, 6,6-48,48 ے 9
Macierz transformacji = ሾ ሿ: ߙ ݏ ߙݏ ܥ ൩ = ቂ ߙݏ ߙ ݏ = ܥ = ቃ ܥ 1 1 1 1 1 1 ے 1 Macierz sztywności elementu dla układy globalnego: = ܭ = ܭ 15758,3333-15758,3333 484,278 1452,83-484,28 1452,83 1452,83 588,333-1452,8 294,167-15758,3333 15758,3333-484,28-1452,8 484,278-1452,8 ے 1452,83 294,167-1452,8 588,333 Macierz geometryczna elementu dla układu globalnego: = ܭ = ܭ -12,12-6,6 12,12-6,6-6,6-48,48 6,6 12,12 12,12 6,6-12,12 6,6 ے -6,6 12,12 6,6-48,48 1
4.4. Macierz sztywności i geometryczna dla pręta IV (przegub z prawej). Dwuteownik I24: = ξ4 ଶ + 6 ଶ = 7.211ሾ ሿ 1 46.1 = ܣ ସ ሾm ଶ ሿ 1 425 = ܫ ሾm ସ ሿ 1 ቂ 25 = ܧ మቃ =.6ሾ ሿ 1 425 1 = 8712.5ሾ ଶሿ 25 = ܫܧ 1 46.1 1 ସ = 9455ሾ ሿ 25 = ܣܧ Macierz sztywności elementu dla układu lokalnego: ଶ ܣܧ ܫܧ 3 ܫܧ 3 ܭ = 1 ଷ ଶ ܫܧ 3 ܫܧ 3 ଶ ܣܧ ܫܧ 3 ܫܧ 3 ଶ ܣܧ ܫܧ 3 = ܫܧ 3 ଶ ܣܧ ܫܧ 3 ے 1,31567E+5-1,31567E+5 6,97719E+1 5,26585E+2-6,97719E+1-5,26585E+2 5,26585E+2 3,624671E+3 1,31567E+5-1,31567E+5-6,97719E+1-5,26585E+2 6,97719E+1 ے Macierz geometryczna elementu dla układu lokalnego: = ܭ 36 6 6 6 ଶ 3 6 36 36 = 6 36 ے,,,99847455,12 -,9984746,,12,86532 -,12,, -,99847455 -,12,99847455 ے, 11
Macierz transformacji = ૡ. =. ሾ ሿ: ߙ ݏ ߙݏ ܥ ൩ = ቂ ߙݏ ߙ ݏ = ܥ = ቃ ܥ 1 -,8325948 -,554699216,554699216 -,8325948 1 -,8325948 -,554699216,554699216 -,8325948 ے 1 Macierz sztywności elementu dla układy globalnego: = ܭ = ܭ 9753,16549 6455,48449 278,824299-9753,16549-6455,48449 6455,48449 4373,266-418,237544-6455,48449-4373,266 278,824299-418,237544 3624,67642-278,824299 418,237544-9753,16549-6455,48449-278,824299 9753,16549 6455,48449-6455,48449-4373,266 418,237544 6455,48449 4373,266 ے Macierz geometryczna elementu dla układu globalnego: = ܭ = ܭ,3722185 -,4683396,66564 -,3722185,4683396 -,4683396,6912527 -,9985,4683396 -,6912527,6656396 -,99846114,86532 -,6656396,99846114 -,3722185,4683396 -,6656,3722185 -,46834,4683396 -,6912527,99846 -,4683396,6912527 ے 5. Macierz sztywności i geometryczna dla całego układu w układnie globalnym: Tabela powiązań: Nr pręta: 1 2 3 4 5 6 I 1 2 3 4 5 6 II 4 5 6 7 8 9 III 7 8 9 1 11 12 IV 13 14 15 4 5 16 12
: agregacji Macierz sztywności dla całego układu po K 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 16 1 822,5625 1645,125-822,5625 1645,125 2 171687,5-171687,5 3 1645,125 4387-1645,125 2193,5 4-822,5625-1645,125 93525,56 6455,484 1279,5417-1949,7778 2924,6667-9753,165-6455,484-278,82429 5-171688 6455,484 44977,43-228916,67-6455,484-4373,261 418,2375 6 1645,125 2193,5 1279,5417 1236,333-2924,6667 2924,6667 7-1949,7778-2924,6667 159458,11-2924,6667-15758,33 8-228916,67 2294,69 1452,833-484,2778 1452,833 9 2924,6667 2924,6667-2924,6667 1452,833 11657,667-1452,833 294,1667 1-15758,33 15758,33 11-484,2778-1452,833 484,2778-1452,833 12 1452,833 294,1667-1452,833 588,3333 13-9753,165-6455,484 9753,165 6455,484 278,82429 14-6455,484-4373,261 6455,484 4373,261-418,2375 15-278,82429 418,2375 278,82429-418,2375 3624,676 16 Pret I Pręt II Pręt III Pręt IV 13
Macierz geometryczna całego układu po agregacji - : Kg 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 16 1-13,56-4,52 13,56-4,52 2 3-4,52-24,16667 4,52 6,266667 4 13,56 4,52-31,489278 -,46834,3 17,96-4,49 -,3722185,46834 -,665639 5 -,46834,691253,4683396 -,691253,998461 6-4,52 6,266667,3-42,66667 4,49 4,49 7 17,96 4,49-17,96 4,49 8-12,12-6,6 12,12-6,6 9-4,49 4,49 4,49-6,6-66,44 6,6 12,12 1 11 12,12 6,6-12,12 6,6 12-6,6 12,12 6,6-48,48 13 -,37222,46834,3722185 -,46834,665639 14,46834 -,691253 -,4683396,691253 -,998461 15 -,665639,998461,6656396 -,998461,86532 16 Pret I Pręt II Pręt III Pręt IV 14
Po uwzględnieniu warunków podparcia (należy wykreślić wiersze oraz kolumny nr: 1,2,3,1,11,12,13,14,15, oraz redukcji momentu w przegubie nr 16) otrzymano zredukowane macierze w postaci (pozostają niewiadome 4,5,6,7,8,9) = ܭ 93525,5577 6455,48449 1279,541667-1949,777778 2924,666667 6455,48449 44977,4273-228916,6667 1279,541667 1236,33333-2924,666667 2924,666667-1949,777778-2924,666667 159458,1111-2924,666667-228916,6667 2294,6944 1452,83333 ے 2924,666667 2924,666667-2924,666667 1452,83333 11657,66667 = ܭ -31,4893 -,468,3 17,96-4,49 -,468,69125,3-42,667 4,49 4,49 17,96 4,49-17,96 4,49-12,12-6,6 ے -4,49 4,49 4,49-6,6-66,44 Cześć II - Stateczność 1. Wartości własne obciążenia krytycznego oraz wektor przemieszczeń węzłów po utracie stateczności: Wyznaczenie wartości obciążenia krytycznego sprowadza się do rozwiązania równania równowagi układu: = ݍ ሻ ܭ ߣ + ܭሺ Sprowadzając powyższe równanie do rozwiązania problemu własnego otrzymuję się: = ݍ ൰ቇܭ ߣ ൬ 1 ܭቆ Macierz A macierz geometryczna Macierz B macierz sztywności Do rozwiązania równania problemu własnego posłużono się programem UPW: 15
DANE MACIERZ A ---------------------------------------------------------------------- ROZWIAZANIE UOGOLNIONEGO PROBLEMU WLASNEGO ---------------------------------------------------------------------- -.314893E+2 *-.468E-1 *.3E-1 *.1796E+2 *.E+ *-.449E+1 * -.468E-1 *.69125E-1 *.E+ *.E+ *.E+ *.E+ *.3E-1 *.E+ *-.42667E+2 *.449E+1 *.E+ *.449E+1 *.1796E+2 *.E+ *.449E+1 *-.1796E+2 *.E+ *.449E+1 *.E+ *.E+ *.E+ *.E+ *-.1212E+2 *-.66E+1 * -.449E+1 *.E+ *.449E+1 *.449E+1 *-.66E+1 *-.6644E+2 * MACIERZ B.935255E+5 *.64555E+5 *.127954E+4 *-.194978E+4 *.E+ *.292467E+4 *.64555E+5 *.44977E+6 *.E+ *.E+ *-.228917E+6 *.E+ *.127954E+4 *.E+ *.12363E+5 *-.292467E+4 *.E+ *.292467E+4 * -.194978E+4 *.E+ *-.292467E+4 *.159458E+6 *.E+ *-.292467E+4 *.E+ *-.228917E+6 *.E+ *.E+ *.22941E+6 *.14528E+4 *.292467E+4 *.E+ *.292467E+4 *-.292467E+4 *.14528E+4 *.116577E+5 * ---------------------------------------------------------------------- WYNIKI ---------------------------------------------------------------------- WARTOSCI WLASNE NR REAL IMAG 1.157549E-6.E+ 2 -.379644E-4.E+ 3 -.1334E-3.E+ 4 -.49511E-3.E+ 5 -.339282E-2.E+ 6 -.744746E-2.E+ WEKTORY WLASNE WEKTOR NR 1 NR REAL IMAG 1 -.425859E-2.E+ 2.997382E+.E+ 3 -.515214E-3.E+ 4 -.44647E-2.E+ 5.312551E-2.E+ 6 -.333825E-3.E+ WEKTOR NR 2 NR REAL IMAG 1 -.685473E+.E+ 16
2.53165E-1.E+ 3 -.118123E+.E+ 4 -.18324E+1.E+ 5 -.8662E-1.E+ 6 -.273421E-1.E+ WEKTOR NR 3 NR REAL IMAG 1.152294E-1.E+ 2.466117E+.E+ 3 -.28842E-1.E+ 4 -.16627E+.E+ 5.93267E+.E+ 6 -.955455E-1.E+ WEKTOR NR 4 NR REAL IMAG 1.1E+1.E+ 2 -.328256E+.E+ 3 -.1618E-1.E+ 4 -.279981E+.E+ 5 -.36886E+.E+ 6 -.329565E-1.E+ WEKTOR NR 5 NR REAL IMAG 1 -.248892E-1.E+ 2.783213E-2.E+ 3.74291E+.E+ 4.12319E-1.E+ 5.851664E-2.E+ 6.39355E+.E+ WEKTOR NR 6 NR REAL IMAG 1.161273E-1.E+ 2 -.15819E-2.E+ 3.762575E+.E+ 4 -.355751E-2.E+ 5.121459E-2.E+ 6 -.1E+1.E+ ---------------------------------------------------------------------- KONIEC OBLICZEN - SPRAWDZ DANE ---------------------------------------------------------------------- 17
Po przekształceniu ߣ ௭௭ = otrzymano: ఒ ଵ UPW λ 1,57549E-7-6347232 -3,79644E-5 2634,47 -,1334 968,167 -,49511 238,69 -,339282 294,741 -,744746 134,274 Wynika z tego iż: = 134.274 ߣ Wektor własny dla ߣ równy jest: ସ ݍ ହ ݍ ݍ = ݍ ݍ = ݍ ے ଽ ݍ,161273 -,15819,7622575 -,355751,121459 ے 1-2. Przemieszczenia punktów i funkcje kształtu: Przemieszczenie punktu opisuję się ogólnie: ሻݐሺݍ ሺݔሻ ሻݐ =, ݔሺݑ Co jest równoznaczne z zapisem: ݍ ସ ସሺݔሻ ଵ + ݍ ଵሺݔሻ = ݑ ݍ ሺݔሻ ݍ ହ + ହሺݔሻ ݍ ଷ + ଷሺݔሻ ݍ ଶ + ଶሺݔሻ = ݒ gdzie: przemieszczenie po kierunku równoległym do elementu ݑ przemieszczenie po kierunku prostopadłym do elementu ݒ funkcje kształtu 18
Funkcje kształtu dla poszczególnych elementów w zależności od sposobu ich podparcia: Pręt obustronnie utwierdzony Pręt z przegubem na prawym końcu ଵሺݔሻ = 1 ݔ ଶሺݔሻ = 1 3 ൬ ݔ ଶ ൰ + 2 ൬ ݔ ଷ ൰ ଶ ଷሺݔሻ = ݔ ቈ1 2 + ൰ ݔ ൬ݔ ଵሺݔሻ = 1 ݔ ଶሺݔሻ = 1 3 ଶ 2 ൬ݔ ൰ + 1 ଷ 2 ൬ݔ ൰ ଷሺݔሻ = ݔ ቈ1 3 2 ݔ + 1 ଶ 2 ൬ݔ ൰ ସሺݔሻ = ݔ ହሺݔሻ = 3 ൬ ݔ ଶ ൰ 2 ൬ ݔ ଷ ൰ ଶ ሺݔሻ = ݔ ቈ + ൰ ݔ ൬ݔ ସሺݔሻ = ݔ ହሺݔሻ = 3 ଶ 2 ൬ݔ ൰ 1 ଷ 2 ൬ݔ ൰ ሺݔሻ = 3. Przemieszczenia poszczególnych prętów: ݍ = ݍ gdzie: ݍ wektor przemieszczeń lokalnych danego pręta - wektor przemieszczeń globalnych danego pręta ݍ - macierz transformacji 3.1. Pręt I obustronnie utwierdzony: Wektor przemieszczeń globalnych: = ݍ,161273 -,15819 ے,7622575 Wektor przemieszczeń lokalnych: = ݍ 19
,15819,161273 ے,7622575 Funkcje kształtu: ݔ ݔ ଵሺݔሻ ଶሺݔሻ ଷሺݔሻ ସሺݔሻ ହሺݔሻ ሺݔሻ,, 1, 1,,,,, 1,,25,75,8231,5625,25,15625 -,1875 2,,5,5,375,5,5,5 -,5 3,,75,25 -,5469,1875,75,84375 -,5625 4, 1,,,, 1, 1,, Przemieszczenia punktów: ݒ ݑ ݔ,,, 1,,4 -,144 2,,79 -,3737 3,,119 -,41516 4,,158,1613 3.2. Pręt II obustronnie utwierdzony: Wektor przemieszczeń globalnych: = ݍ,161273 -,1582,7622575 -,35575,12146 ے 1,- Wektor przemieszczeń lokalnych: = ݍ,158,1613,76226 -,121 -,356 ے 1,- 2
Funkcje kształtu: ݔ ݔ ଵሺݔሻ ଶሺݔሻ ଷሺݔሻ ସሺݔሻ ହሺݔሻ ሺݔሻ,, 1, 1,,,,,,75,25,75,8231,42188,25,15625 -,1463 1,5,5,5,375,375,5,5 -,375 2,25,75,25 -,5469,1463,75,84375 -,42188 3, 1,,,, 1, 1,, Przemieszczenia punktów: ݒ ݑ ݔ,,158,1613,75,88,47488 1,5,18,66512 2,25 -,52,52518 3, -,121 -,356 3.3. Pręt III obustronnie utwierdzony: Wektor przemieszczeń globalnych: = ݍ -,35575,12146 1,-,, ے, Wektor przemieszczeń lokalnych: = ݍ -,356,1215 1- ے Funkcje kształtu: ݔ ݔ ଵሺݔሻ ଶሺݔሻ ଷሺݔሻ ସሺݔሻ ହሺݔሻ ሺݔሻ,, 1, 1,,,,, 1,5,25,75,8231,84375,25,15625 -,28125 3,,5,5,375,75,5,5 -,75 4,5,75,25 -,5469,28125,75,84375 -,84375 6, 1,,,, 1, 1,, 21
Przemieszczenia punktów: ݒ ݑ ݔ, -,356,121 1,5 -,267 -,84275 3, -,178 -,74954 4,5 -,89 -,28132 6,,, 3.4. Pręt IV przegub na prawym końcu: = ݍ Wektor przemieszczeń globalnych:,161273 -,1582 ے Wektor przemieszczeń lokalnych: = ݍ -,1254,126 ے Funkcje kształtu: ݔ ݔ ଵሺݔሻ ଶሺݔሻ ଷሺݔሻ ସሺݔሻ ହሺݔሻ ሺݔሻ,, 1, 1,,,,, 1,8,25,75,9146 1,1835,25,8594, 3,61,5,5,6875 1,3526,5,3125, 5,41,75,25,36719,8454,75,63281, 7,21 1,,,, 1, 1,, Przemieszczenia punktów: ݒ ݑ ݔ,,, 1,8 -,314,88 3,61 -,627,321 5,41 -,941,649 7,21 -,1254,126 22
3.5. Postać utraty stateczności: 4. Obliczenie przemieszczeń i sił przekrojowych uwzględniając siły osiowe dla obciążenia odpowiadającego połowie obciążenia krytycznego (wykonanie jednej iteracji): Zadanie sprowadza się do rozwiązania problemu w postaci: = ݍ ഥܭ ഥ ଵܭ = ݍ Gdzie: wektor przemieszczeń węzłowych układu ݍ ቁቃ - nowa macierz sztywności układu ߣ ቀ ଵ ଶ ܭ + ܭቂ ഥܭ = - wektor sił 1 = 67.137 134.274 1 = ߣ 2 2 23
Rama obciążona siłami przemnożonymi przez ଵ ߣ ଶ = ଵ 134.274 = 67.137 ଶ 4.1. Wykres sił normalnych N (wykonany za pomocą RM-Win) - punkt odniesienia dla kolejnych obliczeń iteracja zerowa. -3,E+3 3-4,1E+3-4,1E+3 2-3,E+3 38,643-3,E+3 1 4-3,E+3 38,643 24
4.2. Macierze geometryczne i nowe sztywności dla poszczególnych prętów: 4.2.1. Pręt I (obustronnie utwierdzony). Dwuteownik I2: = 4.ሾ ሿ 1 33.5 = ܣ ସ ሾm ଶ ሿ 1 214 = ܫ ሾm ସ ሿ 25 = ܧ 1 ቂ మቃ = 335.363ሾ ሿ 1 214 1 = 4387ሾ ଶሿ 25 = ܫܧ 1 33.5 1 ସ = 68675ሾ ሿ 25 = ܣܧ Macierz geometryczna w układzie lokalnym: = ܭ -91,61-33,537 91,61-33,537-33,537-1618,861 33,537 44,715 91,61 33,537-91,61 33,537 ے -33,537 44,715 33,537-1618,861 Macierz geometryczna w układzie globalnym: = ܭ -91,695-33,5365 91,695-33,5365-33,5365-1618,861 33,5365 44,7153 91,695 33,5365-91,695 33,5365 ے -33,5365 44,7153 33,5365-1618,861 Nowa macierz sztywności w układzie globalnym: = ܭ + ܭ = ഥܭ -8,847E+1,E+ 1,34159E+3 8,847E+1,E+ 1,34159E+3,E+ 1,71688E+5,E+,E+ -1,71688E+5,E+ 2,59822E+3 1,34159E+3,E+ 2,76814E+3-1,34159E+3,E+ 8,847E+1,E+ -1,34159E+3-8,847E+1,E+ -1,34159E+3,E+ -1,71688E+5,E+,E+ 1,71688E+5,E+ ے 2,76814E+3 1,34159E+3,E+ 2,59822E+3-1,34159E+3,E+ 25
4.2.2. Pręt II (obustronnie utwierdzony). Dwuteownik I2: = 3.ሾ ሿ 1 33.5 = ܣ ସ ሾm ଶ ሿ 1 214 = ܫ ሾm ସ ሿ 25 = ܧ 1 ቂ మቃ = 313.928ሾ ሿ 1 214 1 = 4387ሾ ଶሿ 25 = ܫܧ 1 33.5 1 ସ = 68675ሾ ሿ 25 = ܣܧ Macierz geometryczna w układzie lokalnym: = ܭ,,,,,,, -125,571-31,393, 125,571-31,393, -31,393-125,571, 31,393 31,393,,,,,,, 125,571 31,393, -125,571 31,393 ے, -31,393 31,393, 31,393-125,571 Macierz geometryczna w układzie globalnym: = ܭ -125,57-31,393 125,571-31,393-31,393-125,57 31,3928 31,3928 125,571 31,3928-125,57 31,3928 ے -31,393 31,3928 31,3928-125,57 Nowa macierz sztywności w układzie globalnym: = ܭ + ܭ = ഥܭ 7,4427E+2,E+ 2,62327E+3-7,4427E+2,E+ 2,62327E+3,E+ 2,28917E+5,E+,E+ -2,28917E+5,E+ 3,2266E+3 2,62327E+3,E+ 4,64376E+3-2,62327E+3,E+ -7,4427E+2,E+ -2,62327E+3 7,4427E+2,E+ -2,62327E+3,E+ -2,28917E+5,E+,E+ 2,28917E+5,E+ ے 4,64376E+3 2,62327E+3,E+ 3,2266E+3-2,62327E+3,E+ 26
4.2.3. Pręt III (obustronnie utwierdzony). Dwuteownik I24: = 6.ሾ ሿ 1 46.1 = ܣ ସ ሾm ଶ ሿ 1 425 = ܫ ሾm ସ ሿ 25 = ܧ 1 ቂ మቃ = 6.6ሾ ሿ 1 425 1 = 8712.5ሾ ଶሿ 25 = ܫܧ 1 46.1 1 ସ = 9455ሾ ሿ 25 = ܣܧ Macierz geometryczna w układzie lokalnym: = ܭ,,,,,,, -813,149-46,575, 813,149-46,575, -46,575-3252,598, 46,575 813,149,,,,,,, 813,149 46,575, -813,149 46,575, -46,575 813,149, 46,575-3252,598 ے Macierz geometryczna w układzie globalnym: = ܭ -813,149-46,575 813,1494-46,575-46,575-3252,6 46,5747 813,1494 813,1494 46,5747-813,149 46,5747 ے -46,575 813,1494 46,5747-3252,6 Nowa macierz sztywności w układzie globalnym: = ܭ + ܭ = ഥܭ 1,5758E+5,E+,E+ -1,5758E+5,E+,E+,E+ -3,29122E+2 1,4551E+3,E+ 3,29122E+2 1,4551E+3,E+ 1,4551E+3 2,55574E+3,E+ -1,4551E+3 3,71732E+3-1,5758E+5,E+,E+ 1,5758E+5,E+,E+,E+ 3,29122E+2-1,4551E+3,E+ -3,29122E+2-1,4551E+3 ے 2,55574E+3,E+ 1,4551E+3 3,71732E+3,E+ -1,4551E+3 27
4.2.4. Pręt IV (przegub z prawej strony). Dwuteownik I24: = 7.211ሾ ሿ 1 46.1 = ܣ ସ ሾm ଶ ሿ 1 425 = ܫ ሾm ସ ሿ 1 ቂ 25 = ܧ మቃ = 38.643ሾ ሿ 1 425 1 = 8712.5ሾ ଶሿ 25 = ܫܧ 1 46.1 1 ସ = 9455ሾ ሿ 25 = ܣܧ Macierz geometryczna w układzie lokalnym: = ܭ,, 6,43675357 7,7286-6,4367536, 7,7286 55,7393-7,7286,, -6,43675357-7,7286 6,43675357 ے, Macierz geometryczna w układzie globalnym: = ܭ 1,978662345-2,968196 4,28748-1,978662345 2,968196-2,968196 4,4521312-6,4359 2,968196-4,452131 4,28748358-6,43588957 55,7393-4,28748358 6,43588957-1,978662345 2,968196-4,2875 1,978662345-2,96811 2,968196-4,4521312 6,43589-2,968196 4,4521312 ے Nowa macierz sztywności w układzie globalnym: = ܭ + ܭ = ഥܭ 9,7551E+4 6,4525E+4 2,83111E+2-9,7551E+4-6,4525E+4,E+ 6,4525E+4 4,3777E+4-4,24668E+2-6,4525E+4-4,3777E+4,E+,E+ 2,83111E+2-4,24668E+2 3,684E+3-2,83111E+2 4,24668E+2-9,7551E+4-6,4525E+4-2,83111E+2 9,7551E+4 6,4525E+4,E+ -6,4525E+4-4,3777E+4 4,24668E+2 6,4525E+4 4,3777E+4,E+ ے,E+,E+,E+,E+,E+,E+ 28
4.3. Macierz geometryczna całego układu w układzie globalnym: Ke 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 16 1-88,47 1341,5885 88,47 1341,5885 2 171687,5-171687,5 3 1341,5885 2768,1387-1341,5885 2598,2153 4 88,47-1341,5885 91411,34 6452,516 1281,6854-744,2658 2623,2739-9755,144-6452,516-283,11134 5-171687,5 6452,516 44981,88-228916,67-6452,516-4377,713 424,6689 6 1341,5885 2598,2153 1281,6854 7411,98-2623,2739 3226,595 7-744,2658-2623,2739 158252,54-2623,2739-15758,33 8-228916,67 228587,55 145,586 329,12162 145,586 9 2623,2739 3226,595-2623,2739 145,586 7199,4979-145,586 3717,3161 1-15758,33 15758,33 11 329,12162-145,586-329,12162-145,586 12 145,586 3717,3161-145,586 2555,7357 13-9755,144-6452,516 9755,144 6452,516 283,11134 14-6452,516-4377,713 6452,516 4377,713-424,6689 15-283,11134 424,6689 283,11134-424,6689 368,416 16 Pret I Pręt II Pręt III Pręt IV 29
Po uwzględnieniu warunków podparcia (należy wykreślić wiersze oraz kolumny nr: 1,2,3,1,11,12,13,14,15, oraz redukcji momentu w przegubie nr 16) otrzymano zredukowane macierze w postaci (pozostają niewiadome 4,5,6,7,8,9) Macierz sztywności: = ܭ 93525,5577 6455,48449 1279,541667-1949,777778 2924,666667 6455,48449 44977,4273-228916,6667 1279,541667 1236,33333-2924,666667 2924,666667-1949,777778-2924,666667 159458,1111-2924,666667-228916,6667 2294,6944 1452,83333 ے 2924,666667 2924,666667-2924,666667 1452,83333 11657,66667 Macierz geometryczną: = ܭ -2114,2-2,968 2,1437 125,571-31,393-2,968 4,45213 2,1437-2824,43 31,3928 31,3928 125,571 31,3928-125,57 31,3928-813,149-46,575 ے -31,393 31,3928 31,3928-46,575-4458,17 Nową macierz sztywności: തതത = ܭ + ܭ = ܭ 91411,3 6452,52 1281,685-744,27 2623,274 6452,52 44981,9-228917 1281,685 7411,91-2623,27 3226,59-744,27-2623,27 158252,5-2623,27-228917 228587,5 145,59 ے 2623,274 3226,59-2623,27 145,59 7199,498 4.4. Obliczenie wektora sił P: = ௪ ௪ - wektor zewnętrznych sił węzłowych układu - wektor sił przywęzłowych układu od obciążenia przęsłowego Obliczanie wektorów sił przywęzłowych układu od obciążenia przęsłowego: 3
Pręt I = = ے Pręt II = = ے Pręt III układ lokalny pręta pokrywa się z układem globalnym pręta: = 134.274ሾ / ሿ ݍ ݍ 2 ଶ ݍ 42.822 42.822 = 12 = = ݍ 42.822 ے 42.822 2 ଶ ے 12 Pręt IV = = ے Wektor sił P: = ௪ = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 428.22 7 428.22 388.32 42.822 8 2685.48 42.822 = 42.822 9 1 42.822 42.822 11 42.822 42.822 12 13 14 15 ے ے 16 ے 31
4.5. Obliczenie wektora przemieszczeń węzłowych układu q: ഥ ଵܭ = ݍ = = ݍ ഥܭ - wektor przemieszczeń węzłowych układu ݍ - macierz sztywności układu ܭ - wektor sił 91411,3 6452,52 1281,685-744,27 2623,274 6452,52 44981,9-228917 1281,685 7411,91-2623,27 3226,59-744,27-2623,27 158252,5-2623,27-228917 228587,5 145,59 ے 2623,274 3226,59-2623,27 145,59 7199,498 4 ݍ 5 ݍ 4 ݍ 5 ݍ 6 ݍ = ݍ = = 6 ݍ = 7 ݍ 428.22 7 ݍ 8 ݍ 388.32 8 ݍ ے 9 ݍ ے 428.22 ے 9 ݍ -,2874,1931 -,29188,3222,2961 ے,7822 4.6. Wektor przemieszczeń globalnych dla poszczególnych prętów: Dla pręta I: = ݍ,2874-,1931 ے,29188- Dla pręta II: = ݍ -,2874,1931 -,29188,3222,2961 ے,7822 32
Dla pręta III: = ݍ,3222,2961,7822 ے Dla pręta IV: = ݍ -,2874,1931 ے 1 4.7. Wektor przemieszczeń lokalnych dla poszczególnych prętów: ݍ = ݍ ݍ - wektor przemieszczeń lokalnych danego pręta - wektor przemieszczeń globalnych danego pręta ݍ - macierz transformacji Dla pręta I: = ݍ,19399-,287394- ے,291886- Dla pręta II: = ݍ,193994-,2873936- -,2918858,296889-,322262 ے,782164 33
Dla pręta III: = ݍ,322262,296889,782164 ے Dla pręta IV: = ݍ,13214,3286- ے 1 * - w wektorze przemieszczeń globalnych i lokalnych w pręcie IV występuje niewiadoma powstała w wyniku redukcji statycznej dla tego pręta. Ponieważ nie wpływa ona na dalsze obliczenia można w tym miejscu wpisać dowolną liczbę aby umożliwić dalsze obliczenia w programach kalkulacyjnych. Wpisano liczbę 1. 4.8. Obliczenie wektorów sił węzłowych dla poszczególnych prętów. = ഥܭ ݍ + - wektor sił przywęzłowych ഥܭ - nowa macierz sztywności elementu ݍ - wektor przemieszczeń węzłów elementu - wektor sił przywęzłowych od obciążenia przęsłowego Dla pręta I: = 3315,28 394,11- -719,81 3315,28-394,11 ے 769,41-34
Dla pręta II: = 2357,6 146,8 769,41 2357,6- -146,8 ے 2187,25 Dla pręta III: 575,16 327,8794 1438,148 = 575,16- -1133,523 ے 366,443 Dla pręta IV: = -173,13 2,44 16,34 173,13-2,44 ے, 5. Zestawienie wyników: Iteracja ଵ ሾ ሿ ଶ ሾ ሿ ଷ ሾ ሿ ସ ሾ ሿ zerowa -335,365-313,928-465,75 38,643 pierwsza -3315,28-2357,6-575,2 173,13 druga -3424,27-2374,54-5215,9 191,5 trzecia -3439,41-2367,84-5238,5 1951,58 czwarta -3441,91-2367,49-5242,2 1957,8 różnica w %:.7%.15%.7%.28% Wniosek: Wynik z czwartej iteracji jest bardzo zbliżony do wyników z trzeciej iteracji, dlatego wykonywanie kolejnych iteracji nie jest konieczne. 35